一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝0B．x2+x＝C．3（x﹣1）﹣x＝1D．x2＝2x﹣1
2．將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式時，它的二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為（ ）
A．2x2，﹣3，1B．2x2，3，﹣1C．﹣2x2，﹣3，﹣1D．﹣2x2，3，1
3．下列一元二次方程最適合用因式分解法來解的是（ ）
A．（x﹣2）（x+5）＝1B．3（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2﹣3x+1＝0D．9（x﹣1）2＝5
4．已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，則代數(shù)式a2+3a+2019的值是（ ）
A．2020B．﹣2020C．2021D．﹣2021
5．一元二次方程x2+3x+2＝0的實數(shù)根情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根D．無法判斷
6．已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一個根為m，記Δ＝b2﹣4ac，下列說法正確的是（ ）
A．Δ＝（am+b）2B．Δ＝（am﹣b）2C．Δ＝（2am+b）2D．Δ＝（2am﹣b）2
7．某小區(qū)原有一塊長為30米，寬為20米的矩形康樂健身區(qū)域，現(xiàn)計劃在這一場地四周（場內(nèi)）筑一條寬度相等的健走步道，其步道面積為214平方米，設這條步道的寬度為x米，可以列出方程是（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣2x）＝214
B．（30﹣x）（20﹣x）＝30×20﹣214
C．（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214
D．（30+2x）（20+2x）＝30×20﹣214
8．已知x2+3x﹣1＝0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
9．若實數(shù)x，y滿足（x+y）（x+y﹣1）＝2，則x+y的值為（ ）
A．﹣1B．2C．﹣1或2D．﹣2或1
10．等腰三角形邊長分別為a，b，2，且a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的兩個根，則n的值為（ ）
A．6B．6或7C．7或8D．7
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11．關于x的方程xk+1﹣x+5＝0是一元二次方程，則k＝ ．
12．把一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，則m+n的值為 ．
13．若x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，則判別式Δ＝b2﹣4ac和完全平方式M＝（2a+b）2的關系是：Δ M．（填“＞”“＜”或“＝”）
14．某醫(yī)藥廠兩年前生產(chǎn)1t某種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t該種藥品的成本是3000元．設該種藥品生產(chǎn)成本的年平均下降率為x，列出方程 ．
15．德爾塔（Delta）是一種全球流行的新冠病毒變異毒株，其傳染性極強．某地有1人感染了德爾塔，因為沒有及時隔離治療，經(jīng)過兩輪傳染后，一共有144人感染了德爾塔病毒，如果不及時控制，照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪傳染后，一共有 人感染德爾塔病毒．
16．對于實數(shù)m，n，先定義一種運算“?”如下：，若x?（﹣2）＝10，則實數(shù)x的值為 ．
三．解答題（共7小題，滿分66分）
17．（6分）把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．
（1）（2x﹣1）（3x+2）＝x2+2； （2）．
18．（10分）解一元二次方程：
（1）x（3x+1）＝2（3x+1）； （2）3x2﹣4x﹣1＝0．
19．（8分）某村2020年的人均收入40000元，2022年的人均收入為48400元，求2020年到2022年該村人均收入的年平均增長率．
20．（10分）某飲料批發(fā)商店平均每天可售出某款飲料300瓶，售出1瓶該款飲料的利潤是1元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若該款飲料的批發(fā)價每降低0.1元，則每天可多售出100瓶．為了使每天獲得的利潤更多，該飲料批發(fā)商店決定降價x元．
（1）當x為多少時，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤為400元？
（2）該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤能達到600元嗎？若能，請求出x的值，若不能，請說明理由．
21．（10分）如圖，利用一面墻（墻EF最長可利用28m），圍成一個矩形花園ABCD，與墻平行的一邊BC上要預留2m寬的入口（如圖中MN所示，不用砌墻），現(xiàn)有砌60m長的墻的材料．
（1）當矩形的長BC為多少米時，矩形花園的面積為300m2；
（2）能否圍成面積為480m2的矩形花園，為什么？
22．（10分）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，當Q到達點C時，點Q、P同時停止移動．
（1）如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積為4cm2？
（2）如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，那么幾秒后，PQ的長度為5cm？
23．（12分）閱讀材料并解決下列問題：
材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根為x1、x2，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2 已知實數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求+的值．
解：由題知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)材料1，得m+n＝1，mn＝﹣1，
∴+＝＝＝＝﹣3．
根據(jù)上述材料解決下面的問題：
（1）一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2＝ ，x1x2＝ ．
（2）已知實數(shù)m，n滿足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．
（3）已知實數(shù)p，q滿足p2＝7p﹣2，2q2＝7q﹣1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
參考答案
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．解：A．是二元一次方程，故本選項不合題意；
B．是分式方程，故本選項不合題意；
C．是一元一次方程，故本選項不合題意；
D．是一元二次方程，故本選項符合題意；
故選：D．
2．解：將一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式為：2x2+3x﹣1＝0，
∴它的二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為：2x2，3，﹣1，
故選：B．
3．解：A、（x﹣2）（x+5）＝1適合于公式法解方程，故本選項不符合題意；
B、由原方程得到x2﹣6x+8＝0，適合于因式分解法解方程，故本選項符合題意；
C、x2﹣3x+1＝0適合于公式法解方程，故本選項不符合題意；
D、由原方程得到（x﹣1）2＝，最適合于直接開平方法解方程，故本選項不符合題意；
故選：B．
4．解：根據(jù)題意，得
a2+3a﹣1＝0，
整理得，a2+3a＝1，
所以a2+3a+2019＝1+2019＝2020．
故選：A．
5．解：∵Δ＝32﹣4×1×2＝1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
6．解：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有一個根為m，
∴am2+bm+c＝0，
∴am2+bm＝﹣c，
∴Δ＝b2+4a（am2+bm）＝b2+4a2m2+4abm＝（2am+b）2．
故選：C．
7．解：設健走步道的寬度為x米，根據(jù)題意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝30×20﹣214，
故選：C．
8．解：∵x2+3x﹣1＝0的兩個根為x1、x2，
∴x1+x2＝﹣3．
故選：D．
9．解：設x+y＝a，
方程整理得：a（a﹣1）＝2，
整理得：a2﹣a﹣2＝0，即（a﹣2）（a+1）＝0，
解得：a＝2或a＝﹣1，
則x+y＝2或﹣1．
故選：C．
10．解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a＝2，或b＝2；②a＝b兩種情況，
①當a＝2，或b＝2時，
∵a，b是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n+2＝0的兩個根，
∴x＝2，
把x＝2代入x2﹣6x+n+2＝0得，22﹣6×2+n+2＝0，
解得：n＝6，
當n＝6，方程的兩根是2和4，而2，4，2不能組成三角形，
故n＝6不合題意，
②當a＝b時，方程x2﹣6x+n+2＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n+2）＝0
解得：n＝7．
故選：D．
二．填空題（共6小題，滿分24分，每小題4分）
11．解：∵關于x的方程xk+1﹣x+5＝0是一元二次方程，
∴k+1＝2，
解得k＝1，
故答案是：1．
12．解：x2﹣4x﹣8＝0，
移項，得x2﹣4x＝8，
配方，得x2﹣4x+4＝8+4，
∴（x﹣2）2＝12，
∴m＝2，n＝12，
∴m+n＝2+12＝14，
故答案為：14．
13．解：∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根，
∴a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2，M＝（2a+b）2＝（2a﹣a﹣c）2＝（a﹣c）2，
則Δ＝M．
故答案為：＝．
14．解：依題意得：5000（1﹣x）2＝3000．
故答案為：5000（1﹣x）2＝3000．
15．解：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得：
1+x+x（1+x）＝144，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．
144+11×144＝1728（人）．
答：經(jīng)過三輪傳染后，一共有1728人感染德爾塔病毒．
故答案為：1728．
16．解：分兩種情況：
當x≥﹣2時，
∵x?（﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
當x＜﹣2時，
∵x?（﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
綜上所述：x＝3，
故答案為：3．
三．解答題（共7小題，滿分66分）
17．解：（1）化簡后為5x2+x﹣4＝0，因此二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4；
（2）化簡后為2x2+6x+1＝0，二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1．
18．解：（1）x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0，
（3x+1）（x﹣2）＝0，
3x+1＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝﹣，x2＝2；
（2）Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）＝28＞0，
x＝＝＝，
所以x1＝，x2＝．
19．解：設2020年到2022年該村人均收入的年平均增長率為x，
依題意得：40000（1+x）2＝48400，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．
答：2020年到2022年該村人均收入的年平均增長率為10%．
20．解：（1）∵該飲料批發(fā)商店決定降價x元，
∴售出1瓶該款飲料的利潤是（1﹣x）元，平均每天可售出300+×100＝（300+1000x）瓶．
依題意得：（1﹣x）（300+1000x）＝400，
整理得：10x2﹣7x+1＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.5．
答：當x為0.2或0.5時，該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤為400．
（2）該飲料批發(fā)商店每天賣出該款飲料的利潤不能達到600元，理由如下：
依題意得：（1﹣x）（300+1000x）＝600，
整理得：10x2﹣7x+3＝0，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×10×3＝﹣71＜0，
∴原方程沒有實數(shù)根，
即該飲料批發(fā)商每天賣出該款飲料的利潤不能達到600元．
21．解：（1）設BC＝xm，則AB＝ m，
依題意得：x?＝300，
整理得：x2﹣62x+600＝0，
解得：x1＝12，x2＝50．
又∵墻EF最長可利用28m，
∴x＝12．
答：當矩形的長BC為12m時，矩形花園的面積為300m2．
（2）不能圍成面積為480m2的矩形花園，理由如下：
設BC＝y(tǒng)m，則AB＝ m，
依題意得：y?＝480，
整理得：y2﹣62y+960＝0，
解得：y1＝30，y2＝32．
又∵墻EF最長可利用28m，
∴y1＝30，y2＝32均不符合題意，舍去，
∴不能圍成面積為480m2的矩形花園．
22．解：當運動時間為ts時，AP＝tcm，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）依題意得：（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
當t＝1時，2t＝2×1＝2＜7，符合題意；
當t＝4時，2t＝2×4＝8＞7，不符合題意，舍去．
答：1s后，△PBQ的面積為4cm2．
（2）依題意得：（5﹣t）2+（2t）2＝25，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合題意，舍去），t2＝2．
答：2s后，PQ的長度為5cm．
23．解：（1）在5x2+10x﹣1＝0中，a＝5，b＝10，c＝﹣1，
∴x1+x2＝﹣＝﹣2，x1x2＝＝﹣．
故答案為：﹣2，﹣；
（2）∵m，n滿足3m2﹣3m﹣1＝0，3n2﹣3n﹣1＝0，m≠n，
∴m，n可以看作3x2﹣3x﹣1＝0的兩個不等的實數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣，
∴m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣×1＝﹣；
（3）由題意知p與2q即為方程x2﹣7x+2＝0的兩個不等的實數(shù)根，
∴p+2q＝7，2pq＝2，
∴p2+4q2＝（p+2q）2﹣4pq＝72﹣2×2＝45．

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