?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-余弦定理

一、單選題
1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1，，，則（?????）
A．能制作一個(gè)銳角三角形 B．能制作一個(gè)直角三角形
C．能制作一個(gè)鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形
2．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)二模）設(shè)M，N為某海邊相鄰的兩座山峰，到海平面的距離分別為100米，50米．現(xiàn)欲在M，N之間架設(shè)高壓電網(wǎng)，須計(jì)算M，N之間的距離．勘測(cè)人員在海平面上選取一點(diǎn)P，利用測(cè)角儀從P點(diǎn)測(cè)得的M，N點(diǎn)的仰角分別為30°，45°，并從P點(diǎn)觀測(cè)到M，N點(diǎn)的視角為45°，則M，N之間的距離為（???????）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知中，，，現(xiàn)以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（???????）
A． B．
C． D．
5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，滿足，且經(jīng)過(guò)的內(nèi)切圓圓心，則雙曲線的離心率為（???????）
A． B．2 C． D．
6．（2022·江蘇泰州·一模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與在軸上方的交點(diǎn)為.若，則的離心率是（???????）
A． B． C． D．
7．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有平面，則線段的最小值為（???????）
A．1 B． C． D．
8．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（???????）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
9．（2022·江蘇·南京市雨花臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知，，，，過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則的值為（???????）
A． B．
C． D．

二、多選題
10．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，若在圓上存在，兩點(diǎn)，使得（其中為常數(shù)，且），則稱點(diǎn)為圓的“倍分點(diǎn)”.則（???????）
A．點(diǎn)不是圓的“3倍分點(diǎn)”
B．在直線上，圓的“倍分點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為
C．在圓上，恰有1個(gè)點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”
D．若：點(diǎn)是圓的“1倍分點(diǎn)”，：點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”，則是的充分不必要條件
11．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，面積為，有以下四個(gè)命題中正確的是（???????）
A．的最大值為
B．當(dāng)，時(shí)，不可能是直角三角形
C．當(dāng)，，時(shí)，的周長(zhǎng)為
D．當(dāng)，，時(shí)，若為的內(nèi)心，則的面積為

三、填空題
12．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則的值是________．
13．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則該數(shù)列中的最小項(xiàng)的值為_(kāi)_________．
(2)若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于__________．
(3)如圖所示的數(shù)陣中，用表示第m行的第n個(gè)數(shù)，則以此規(guī)律為_(kāi)_________．

(4)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知，且，有下列結(jié)論：①；②；③，時(shí)，的面積為；④當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形．其中正確的是__________填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)
14．（2022·江蘇·金陵中學(xué)二模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在C的右支上，AF1與C交于點(diǎn)B，若，則C的離心率為_(kāi)_______．
15．（2022·江蘇江蘇·一模）在中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最小值是___________.
16．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，，為的中點(diǎn)，，則面積的最大值為_(kāi)_____.

四、解答題
17．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）記銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，且．
(1)求；
(2)將延長(zhǎng)至D，使得，記的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)T，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
18．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在四邊形中，，，其中．
(1)若，求；
(2)若，求．
19．（2022·江蘇泰州·一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，從下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，判斷是否為鈍角三角形，并說(shuō)明理由.①；②.
20．（2022·江蘇江蘇·一模）從①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成解答.
已知點(diǎn)在內(nèi)，，若___________，求的面積.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
21．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，D是邊AB上一點(diǎn)，.
(1)若CD平分，求a；
(2)若，，求c.
22．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知中，是邊的中點(diǎn)，且①；②；③；④.
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）的平分線交BC于點(diǎn)E，求AE的長(zhǎng).
上面問(wèn)題的條件有多余，現(xiàn)請(qǐng)你在①，②，③，④中刪去一個(gè)，并將剩下的三個(gè)作為條件解答這個(gè)問(wèn)題，要求答案存在且唯一.你刪去的條件是___________，請(qǐng)寫出用剩余條件解答本題的過(guò)程.
23．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）在中，D為上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，且．記的面積為．
(1)若，求；
(2)求的取值范圍．
24．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知邊上的高等于a．
(1)求證：；
(2)若，求的值．

參考答案：
1．C
【分析】由向量關(guān)系與余弦定理列方程求解三條邊長(zhǎng)后判斷
【詳解】設(shè)三角形的三條邊為a，b，c，設(shè)中點(diǎn)為D，
，則
，∴
同理，
∴，∴，，∴可以構(gòu)成三角形
，∴，
∴為鈍角三角形，
故選：C
2．A
【分析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用余弦定理和基本不等式計(jì)算即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，
由橢圓和雙曲線的定義可得，得，
設(shè)，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼?br /> ，
即，
整理得，故.
又，即，
所以，即的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.
故選：A.
3．A
【分析】根據(jù)題意可得，，然后利用余弦定理即得.
【詳解】如圖，由題可知，

∴，，又，
∴，
∴（米）．
故選：A.
4．D
【分析】如圖作出旋轉(zhuǎn)體的軸截面，由題意可得軸截面為邊長(zhǎng)為3的菱形，其中，從而可求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求出其表面積
【詳解】如圖所示，旋轉(zhuǎn)體的軸截面為邊長(zhǎng)為3的菱形，為內(nèi)切球的球心
因?yàn)?，?br /> 所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，所以，
所以內(nèi)切球的半徑，
故，
故選：D.

5．C
【分析】根據(jù)雙曲線的定義先推出為正三角形，然后根據(jù)余弦定理解決.
【詳解】，∴，∴，
∵經(jīng)過(guò)內(nèi)切圓圓心，∴為的角平分線，
∴．∴，∴，
，，
∴，于是，
∴為正三角形，．
中，由余弦定理，∴.
故選：C.

6．A
【分析】結(jié)合條件及余弦定理可得，然后利用橢圓的定義即求.
【詳解】設(shè)，則，，

又，
在中，由余弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
故選：A.
7．B
【分析】CD中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，根據(jù)面面平行的判定定理，可證平面平面，即M在平面內(nèi)，根據(jù)題意，可得點(diǎn)M在線段PQ上，在中，分別求得各個(gè)邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得答案.
【詳解】取CD中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，如圖所示：

因?yàn)镻、N分別為CD、BC中點(diǎn)，
所以，
同理，P、Q分別為CD、中點(diǎn)，
所以，
又，平面PQN，，平面，
所以平面平面，
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面，又點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，
所以點(diǎn)M在平面和平面的交線上，即，
在中，，，，
所以，
所以，

所以N點(diǎn)到PQ的最小距離.
所以線段的最小值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是作出平面平面，在根據(jù)題意，確定點(diǎn)M的位置，再求解，考查面面平行的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，解三角形等知識(shí)，屬中檔題.
8．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 由正弦定理可得，
則有，
由的內(nèi)角為銳角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有




故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
9．D
【解析】作出圖形，由平面向量數(shù)量積的定義及余弦定理可得，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
【詳解】由題意，作出圖形，如圖，

，，
，，
由可得，
，
又，則，
.
故選：D．
10．BCD
【分析】對(duì)“倍分點(diǎn)”這個(gè)概念理解以后，根據(jù)的不同取值，對(duì)題干進(jìn)行討論與驗(yàn)證，結(jié)合同角這一條件，運(yùn)用余弦定理找到變量之間的關(guān)系即可進(jìn)行判斷.
【詳解】若滿足，設(shè)，，則有，，，.如下圖：

在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，點(diǎn)是圓的“3倍分點(diǎn)”，故A錯(cuò)誤；
過(guò)作弦的垂線垂足為，當(dāng)在直線上時(shí)，如下圖：

若是圓的“倍分點(diǎn)”即，設(shè)，，則有，.
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
，解得.又，，
即，解得，
又與坐標(biāo)軸得交點(diǎn)為與，
則在直線上，圓的“倍分點(diǎn)”的軌跡長(zhǎng)度為，故B正確；
在圓上取一點(diǎn)，若點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”，
則有，設(shè)，，，，則有，，
如下圖：

在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，
解得，即，綜上，，
所以在圓上，恰有1個(gè)點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”，故C正確；
設(shè)，，.如下圖：

若點(diǎn)是圓的“1倍分點(diǎn)”則有，，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，，解得，，
由上面的結(jié)論可知，若點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”， 解得，，
若：點(diǎn)是圓的“1倍分點(diǎn)”，：點(diǎn)是圓的“2倍分點(diǎn)”，
則是的充分不必要條件，故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題以圓為背景，考查了平面向量與解三角形知識(shí)，并且運(yùn)用不等式對(duì)答案進(jìn)行判斷.
11．ACD
【解析】利用三角形面積公式，余弦定理基本不等式，以及三角換元，數(shù)形結(jié)合等即可判斷選項(xiàng)A；
利用勾股定理的逆定理即可判斷選項(xiàng)B；利用正弦定理和三角恒等變換公式即可判斷選項(xiàng)C；
由已知條件可得是直角三角形，從而可以求出其內(nèi)切圓的半徑，即可得的面積即可判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.
令，，故，
因?yàn)?，且?br /> 故可得點(diǎn)表示的平面區(qū)域是半圓弧上的點(diǎn)，如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)上，表示圓弧上一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)的斜率，
數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即三角形為等邊三角形時(shí)，取得最大值，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，若是直角三角形的斜邊，則有，即，得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化簡(jiǎn)得，
因?yàn)椋曰?jiǎn)得，
因?yàn)椋?，所以，則，
所以，所以，，，
因?yàn)?，所以，?br /> 所以的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，由C可知，為直角三角形，且，，，，，所以的內(nèi)切圓半徑為，
所以的面積為
所以選項(xiàng)D正確，
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是正余弦定理以及面積公式，對(duì)于A利用面積公式和余弦定理，結(jié)合不等式得，再利用三角換元、數(shù)形結(jié)合即可得證，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.
12．
【分析】先求出弦長(zhǎng)，再由余弦定理即可求解.
【詳解】
由題意知：圓心，半徑，圓心到直線的距離為，故，
故.
故答案為：.
13．???? ##???? 2???? ???? ①②④
【分析】(1)令，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)f(x)單調(diào)性即可求單調(diào)性和最小項(xiàng)的值；
(2)求的通項(xiàng)，令其通項(xiàng)x的次數(shù)為0或－3，求出對(duì)應(yīng)的n的最小值，比較即可得出n的最小值；
(3)規(guī)律：①設(shè)第n行第1個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為，則有，；②從第三行起，每一行的第二個(gè)數(shù)的分母都等于上一行的第一個(gè)數(shù)的分母和第二個(gè)數(shù)的分母之和﹒根據(jù)這兩個(gè)規(guī)律即可求出；
(4)①根據(jù)即可求出t的范圍；②結(jié)合余弦定理和即可求出m的范圍；③求出b、c，根據(jù)三角形面積公式即可求面積；④利用余弦定理判斷cosC的正負(fù)即可判斷三角形為鈍角三角形.
【詳解】(1)令，
則，令，解得，
單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增，
∴數(shù)列在1≤n≤12時(shí)遞減，在n≥13時(shí)遞增，
∵n＝12離更近，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列取得最小值；
(2)的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，
由題意，令得，則r＝4時(shí)，n取最小值5；
令得n＝，則r＝2時(shí)，n取最小值2.
綜上，n的最小值為2.
(3)由題可知，設(shè)第n行第1個(gè)分?jǐn)?shù)的分母為，
則有，，
累加可得，故第6、7行第一個(gè)分?jǐn)?shù)分母分別為28、36.

觀察數(shù)陣，不難發(fā)現(xiàn)，從第三行起，每一行的第二個(gè)數(shù)的分母都等于上一行的第一個(gè)數(shù)的分母和第二個(gè)數(shù)的分母之和，據(jù)此可求出第6行第二個(gè)分?jǐn)?shù)分母為21＋37＝58，第7行第2個(gè)分?jǐn)?shù)分母為28＋58＝86，第8行第2個(gè)分?jǐn)?shù)分母為36＋86＝122，如圖所示.
故為：.
(4)對(duì)于①，根據(jù)題意，若，則，故可設(shè).
則有，則，變形可得，故①正確；
對(duì)于②，，
又，∴，
，∴，∴，故②正確；
對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，
則有，則a邊上的高為，
∴，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，則，
則，故C為鈍角，為鈍角三角形，故④正確.
故正確的有：①②④.
故答案為：；2；；①②④.
14．
【分析】由題意可得為等腰直角三角形，設(shè)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì)，可得，再在中，由余弦定理可得，從而可求出離心率
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以為等腰直角三角形，
設(shè)，則，
由雙曲線的定義可得，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，得，
所以離心率為，
故答案為：
15．
【分析】根據(jù)余弦定理以及基本不等式可求得答案.
【詳解】解：由余弦定理得，又，所以，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以的最小值是，
故答案為：.
16．
【分析】首先利用余弦定理得到邊長(zhǎng)的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．
【詳解】設(shè)，，
由于，
在和中應(yīng)用余弦定理可得：
，整理可得：，
結(jié)合勾股定理可得的面積：

，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立．
則面積的最大值為．
故答案為：
17．(1)2；
(2)是，定值為

【分析】（1）由題設(shè)得，整理得，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合的范圍求得即可求解；
（2）先由（1）中結(jié)論結(jié)合正余弦定理求得，再由向量的線性運(yùn)算得，進(jìn)而求得，由切線長(zhǎng)定理化簡(jiǎn)即可求得.
（1）由可得，即，整理得，由正弦定理得，又，則，又，，，，則，即；
（2）由（1）得，即，整理得，又，則，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，則，又，則
，則，則，又，則.
18．(1)
(2)

【分析】（1）依題意可得，再利用余弦定理求出，最后由余弦定理計(jì)算可得；
（2）依題意將四邊形放到如圖所示的圓中，設(shè)，利用勾股定理求出，最后根據(jù)計(jì)算可得；
(1)
解：因?yàn)?，所以，即，又，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，所以，
所以，
由于，
所以，
即，
所以，
所以．
(2)
解：如圖所示，過(guò)作交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，

設(shè)，則，
設(shè)，
則，
整理得
即，
解得或（負(fù)值舍去）．
所以
所以
19．若選①：鈍角三角形，理由見(jiàn)解析；若選②：不是鈍角三角形，是銳角三角形，理由見(jiàn)解析.
【分析】利用余弦定理求出邊，利用三邊即可判斷.
【詳解】若選①，由余弦定理得，，
所以，
所以，
故為鈍角三角形；
若選②，由余弦定理得，，
所以（舍），，
又，
故為銳角三角形，不是鈍角三角形.
20．
【分析】選擇①，根據(jù)可得，再根據(jù)余弦定理得，求出，即可求得角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
選擇②，根據(jù)可得，從而可得，再根據(jù)余弦定理得，求出，即可求得角，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
選擇③，根據(jù)可求得，再利用余弦定理求得，再利用余弦定理可求的角 ，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.
【詳解】解：選擇①，
因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，，
所以，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，所以，
所以.
選擇②，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，，
所以所以，所以，
由余弦定理得，
即，解得，
又，所以，
所以.
選擇③，
因?yàn)?，所以?br /> 在中 ，，
在中，，
又，所以，
所以.

21．(1)
(2)6

【分析】（1）分別對(duì)和由正弦定理得，，結(jié)合即可求；
（2）由得，由二倍角公式可求，再對(duì)由余弦定理可求c.
(1)
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因?yàn)?，?br /> 所以，，
所以，
所以；
(2)
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
在中，，，
所以由余弦定理得，，
即，得，
因?yàn)?，所?
22．刪去條件見(jiàn)解析；（1）2；（2）.
【分析】若刪去②③，由余弦定理易得出兩解，不滿足題意.刪①，在中和中分別利用余弦定理建立關(guān)系可求解，再利用可求AE的長(zhǎng)；刪④，在中，由余弦定理有，在中，，由求得，利用可求AE的長(zhǎng).
【詳解】刪①.
（1）設(shè)，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
聯(lián)立方程解得，所以；
（2）設(shè)，則由
得，解得；
刪②，
則在中，由余弦定理有，
即，解得或，
則或4，有2解，不滿足題意；
刪③，
在中，由余弦定理可得，
即，解得或2，有2解，不滿足題意；
刪④.
（1）設(shè)，
在中，由余弦定理有，
同理，在中，，
，，解得，；
（2）設(shè)，則由
得，解得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題得關(guān)鍵是熟練應(yīng)用余弦定理建立等量關(guān)系求解.
23．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理可得，再在與中分別用余弦定理，再根據(jù)，利用誘導(dǎo)公式即可得到，解得，，，，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，最后根據(jù)面積公式計(jì)算可得；
（2）設(shè)，，根據(jù)及三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（1）
解：因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)闉樯峡拷c(diǎn)的三等分點(diǎn)，，所以，
在中由余弦定理
即①，
在中由余弦定理
即②，
又，所以
所以，，，
所以，，
所以
（2）
解：設(shè)，，則，
所以


顯然，所以，即
24．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）由銳角三角形可得，結(jié)合題意和正弦定理整理可證；（2）利用等面積可得，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)整理．
(1)
設(shè)邊上的高為，則，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，
所以．

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