?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-對數(shù)函數(shù)

一、單選題
1．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測）已知集合，則（???????）
A． B． C． D．
2．（2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測）已知，則，，的大小為（???????）
A． B． C． D．
3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（???????）
A． B． C． D．
4．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，， ， ，則（???????）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）已知集合，，則（???????）
A． B． C． D．
6．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）某市衛(wèi)健委用模型的回歸方程分析年月份感染新冠肺炎病毒的人數(shù)，令后得到的線性回歸方程為，則（???????）
A． B． C． D．
7．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若m＞n＞1，則下列各式一定成立的是（???????）
A． B． C．log2（m－1）＞log2（n－1） D．
8．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線的兩條互相垂直的切線，切點(diǎn)分別為（不重合），設(shè)直線分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則面積的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
9．（2022·江蘇南京·三模）我們知道，任何一個正整數(shù)N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此時lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．當(dāng)n≥0時，N是一個n＋1位數(shù)．已知lg5≈0.69897，則5100是（???????）位數(shù)．
A．71 B．70 C．69 D．68
10．（2022·江蘇·二模）已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（???????）
A． B．
C． D．
11．（2022·江蘇·二模）已知集合，，則（???????）
A． B．
C． D．
12．（2022·江蘇·新沂市第一中學(xué)模擬預(yù)測）在某款計算器上計算時，需依次按下“Log”?“（”?“a”?“，”?“b”?“）”6個鍵.某同學(xué)使用該計算器計算（，）時，誤將“Log”?“（”?“b”?“，”?“a”?“）”這6鍵，所得到的值是正確結(jié)果的倍，則（???????）
A． B． C． D．
13．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測）《中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L．某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為450ml/L，現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進(jìn)行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，要使廢水中的氨氮含量達(dá)到國家排放標(biāo)準(zhǔn)，至少要進(jìn)行循環(huán)的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（???????）
A．3 B．4 C．8 D．9
14．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)n的最小值為（?????）
參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
15．（2022·江蘇·金陵中學(xué)二模）在如今這個5G時代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦．會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會提升到原來的（???????）參考數(shù)據(jù)：．
A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍
16．（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)一模）區(qū)塊鏈作為一種新型的技術(shù)，已經(jīng)被應(yīng)用于許多領(lǐng)域.在區(qū)塊鏈技術(shù)中，某個密碼的長度設(shè)定為512B，則密碼一共有種可能，為了破解該密碼，最壞的情況需要進(jìn)行次運(yùn)算.現(xiàn)在有一臺計算機(jī)，每秒能進(jìn)行次運(yùn)算，那么在最壞的情況下，這臺計算機(jī)破譯該密碼所需時間大約為（???????）（參考數(shù)據(jù)：，）
A． B． C． D．
17．（2022·江蘇·南京市第五高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（???????）．
A． B．
C． D．
18．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)二模）設(shè)集合，則（???????）
A． B． C． D．
19．（2022·江蘇·南京市雨花臺中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，，則（???????）
A． B． C． D．
20．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）我國于2021年5月成功研制出目前國際上超導(dǎo)量子比特數(shù)量最多的量子計算原型機(jī)“祖沖之號”，操控的超導(dǎo)量子比特為62個.已知1個超導(dǎo)量子比特共有“，”2種疊加態(tài)，2個超導(dǎo)量子比特共有“，，，”4種疊加態(tài)，3個超導(dǎo)量子比特共有“，，，，，，，”8種疊加態(tài)，…，只要增加1個超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈指數(shù)級增長.設(shè)62個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，則是一個（???????）位的數(shù).(參考數(shù)據(jù)：)
A．18 B．19 C．62 D．63
21．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，則有（???????）
A． B． C． D．
22．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，則（???????）
A． B．
C． D．
23．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知，則正確的大小順序是（???????）
A． B． C． D．
24．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列結(jié)論不正確的是（???????）
A．有最大值 B．的最小值是8
C．若，則 D．的最大值為

二、多選題
25．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知，且，則下列說法中正確的有（???????）
A． B． C． D．
26．（2022·江蘇江蘇·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（???????）
A． B．
C． D．
27．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知，且，則（???????）
A． B．
C． D．
28．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若，，則下列結(jié)論正確的是（???????）．
A． B．
C． D．
29．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知，，且，則（???????）
A． B．
C． D．

三、填空題
30．（2022·江蘇江蘇·二模）實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.
31．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）定義在R上的函數(shù)滿足.已知當(dāng)時，，則f()=___________.
32．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）若函數(shù)滿足：（1）對于任意實(shí)數(shù)，當(dāng)時，都有；（2），則___________.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)即可)

四、雙空題
33．（2022·江蘇南京·三模）19世紀(jì)，美國天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對數(shù)表時，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個世紀(jì)后，物理學(xué)家本福特又重新發(fā)現(xiàn)這個現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率約為總數(shù)的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學(xué)愛好者用此定律來檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．根據(jù)本福特定律，在某項(xiàng)大量經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)（十進(jìn)制）中，以6開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為______；若,，則k的值為__________．
34．（2022·江蘇·海安高級中學(xué)二模）“以直代曲”是微積分中最基本、最樸素的思想方法，如在切點(diǎn)附近，可用曲線在該點(diǎn)處的切線近似代替曲線．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_____________，利用上述“切線近以代替曲線”的思想方法計算所得結(jié)果為_____________（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．
35．（2022·江蘇·南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾塵埃”作法如下：第一次操作，將邊長為1的正方形分成9個邊長為的小正方形后，保留靠角的4個，刪去其余5個；第二次操作，將第一次剩余的每個小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個小正方形靠角的4個，其余正方形刪去；以此方法繼續(xù)下去……、經(jīng)過n次操作后，共刪去______個小正方形；若要使保留下來的所有小正方形面積之和不超過，則至少需要操作______次．（）


參考答案：
1．D
【分析】解一元二次不等式得集合，求函數(shù)的值域得集合，由集合交集的運(yùn)算即可求解.
【詳解】由不等式，解得或，所以集合或，
由得，因?yàn)榈?，所以?br /> 所以或，
故選：D.
2．C
【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小作答.
【詳解】令函數(shù)，當(dāng)時，求導(dǎo)得：，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，
顯然，則有，所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小比較問題，探討給定數(shù)或式的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.
3．B
【分析】根據(jù)中間值及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷大小.
【詳解】因?yàn)椋?，所以且?br /> 又，所以．
故選：B
4．A
【分析】由題，寫出原函數(shù)，討論其奇偶性、單調(diào)性，再結(jié)合、、的范圍即可比較大小
【詳解】，則，為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，
，，即，，
所以，∴，
故選：A
5．B
【分析】分別解分式不等式和求對數(shù)定義域，再求交集即可.
【詳解】，，，
故選：B
6．A
【分析】利用對數(shù)與指數(shù)的互化可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
【詳解】，所以，，解得.
故選：A.
7．C
【分析】由指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性對選項(xiàng)一一分析，即可得出答案.
【詳解】，，A不正確；
，，當(dāng)時，B不正確；
，則，，C正確；
，所以，當(dāng)時，，D不正確.
故選：C.
8．B
【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，，進(jìn)而根據(jù)兩切線垂直得，再求的長，，進(jìn)而計算面積.
【詳解】解：設(shè)
當(dāng)時，
故切線為：，即
當(dāng)時，，，
故切線為：，即
兩切線垂直，則，則
所以，
，解得
∴.
故選：B．
9．B
【分析】運(yùn)用代入法直接進(jìn)行求解即可.
【詳解】，則其為70位數(shù)，
故選：B
10．D
【分析】設(shè)，，則，，，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，，的圖象，由此判斷答案．
【詳解】設(shè)，，
則，，，
在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，，的圖象，

當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
由此可以看出，不可能出現(xiàn)這種情況，
故選：．
11．A
【分析】求解對數(shù)不等式得到集合，進(jìn)而結(jié)合補(bǔ)集和交集的概念即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 故選：A.
12．D
【分析】由題可得，然后利用換底公式及指數(shù)式對數(shù)式互化即得.
【詳解】由題可知，
∴，又，，
∴，，
∴，即.
故選：D.
13．D
【分析】設(shè)循環(huán)次數(shù)為，由題意可得方程，利用指對數(shù)轉(zhuǎn)化求解即可，需注意為符合條件下的最小整數(shù).
【詳解】由題，設(shè)至少循環(huán)次，才能達(dá)到國家排放標(biāo)準(zhǔn)，
則，即，
兩邊同時取對數(shù)，可得，所以，
所以至少要進(jìn)行次循環(huán)，
故選：D
14．B
【分析】根據(jù)題意抽象概括出去掉的各區(qū)間長度為通項(xiàng)公式為的數(shù)列，結(jié)合題意和等比數(shù)列前n項(xiàng)求和法列出不等式，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可.
【詳解】第一次操作去掉，設(shè)為；
第二次操作去掉，設(shè)為；
第三次操作去掉，設(shè)為，


依次類推，.
故
，
整理，得，
，
，
故n的最小值為7.
故選：B.
15．C
【分析】按照題中所給公式分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的最大信息傳遞率即可求出答案.
【詳解】當(dāng)時，最大信息傳遞率
當(dāng)時，最大信息傳遞率

.
故選：C.
16．D
【分析】根據(jù)題意所求時間為，利用對數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)在最壞的情況下，這臺計算機(jī)破譯該密碼所需時間為秒，則有；
兩邊取常用對數(shù)，得；

；
所以.
故選：D.
17．C
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到.
【詳解】∵，，，
∴．
故選：C.
18．B
【分析】通過解不等式分別求出集合與，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】由得，則集合，
由得，則集合，
所以.
故選：B.
19．D
【分析】利用對數(shù)換底公式及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)變形，再利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可作答.
【詳解】依題意，，，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，即，
又在R上單調(diào)遞增，于是得，即，
所以有.
故選：D
20．B
【分析】根據(jù)題意個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，進(jìn)而兩邊取以為底的對數(shù)化簡整理即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，
所以當(dāng)有62個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)。
兩邊取以為底的對數(shù)得，
所以，由于，
故是一個19位的數(shù).
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)學(xué)文化，對數(shù)運(yùn)算，考查知識的遷移與應(yīng)，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)材料得個超導(dǎo)量子比特共有種疊加態(tài)，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求解.
21．A
【分析】比較與的大小，求出和的范圍即可得到結(jié)論．
【詳解】解：，
，
，，，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題．
22．D
【分析】分別判斷出，，，即可得到答案.
【詳解】.
因?yàn)椋?
所以；
因?yàn)樵赗上為增函數(shù)，所以；
因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且所以，即；
所以.
故選：D
23．B
【分析】作差利用對數(shù)的性質(zhì)即可比較.
【詳解】因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 所以.
故選：B.
24．B
【分析】利用基本不等式，以及對數(shù)的運(yùn)算，不等式的性質(zhì)，對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.
【詳解】對A：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；
對B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B錯誤；
對C：，∴，∴，故C正確；
對D：由可知，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.
故選：B.
25．ABC
【分析】根據(jù)基本不等式判斷ABC，舉反例判斷D．
【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，A正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，C正確；
，時，，D錯誤．
故選：ABC．
26．BCD
【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】分別為直線與和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
所們這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線，
而直線、的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，
故，，，，
，
，故
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用反函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
27．AC
【分析】由基本不等式可得，A由求的范圍即可判斷；B由求范圍即可判斷；C應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算及對數(shù)的性質(zhì)即可判斷；D利用基本不等式求的范圍即可判斷.
【詳解】由題設(shè)，，則(僅等號成立)，可得，
由，即，則，A正確；
由，即，B錯誤；
由，C正確；
由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D錯誤；
故選：AC
28．AC
【分析】由題意可得，對于A，代入計算即可，對于B，先求出，再判斷的正負(fù)即可，對于C，利用基本不等式判斷，對于D，先求出的取值范圍，然后將代入，化簡后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值
【詳解】由題意可得，
對于A，，所以A正確，
對于B，因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，所以B錯誤，
對于C，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以取不到等號，所以，所以C正確，
對于D，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以D錯誤，
故選：AC
29．ACD
【分析】利用基本不等式判斷AB，由不等式性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷C．由基本不等式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則判斷D．
【詳解】對于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立．
對于B，變形得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故B錯誤．
對于C，因?yàn)?，所以，即，則．
對于D，由可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．
故選：ACD．
30．8
【分析】利用基本不等式可求的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故的最小值為8，
故答案為：8.
31．##
【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)判斷的符號，結(jié)合已知解析式求函數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，，又，
所以.
故答案為：
32．型的都對
【分析】本題屬于開放性題，只需填寫符合題意的答案即可，依題意可以判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，（且，）即可得解；
【詳解】解：對于任意實(shí)數(shù)，，當(dāng)時，都有，說明該函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又對數(shù)函數(shù)滿足運(yùn)算性質(zhì)：，
故可選一個遞增的對數(shù)函數(shù)：．
故答案為：．
33．???? ???? 5
【分析】第一空，將 代入即可求得答案；第二空，根據(jù)得到的表達(dá)式，結(jié)合的值可得方程，解得答案.
【詳解】由題意可得：
（1）
（2），而，故，則．
故答案為：
34．???? ????
【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，由此可得切線方程；根據(jù)切線方程可得，代入求解即可.
【詳解】由得：，在點(diǎn)處的切線斜率，則切線方程為：；
由題意知：，，即，
，即.
故答案為：；.
35．???? ???? 9
【分析】通過觀察可知每次刪掉的正方形數(shù)和保留下來的正方形數(shù)為等比數(shù)列，然后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可解.
【詳解】由題可知，每次刪掉的正方形數(shù)構(gòu)成公比為4，首項(xiàng)為5的等比數(shù)列，
所以經(jīng)過n次操作后，共刪去的正方形個數(shù)；
易知，第次操作后共保留個小正方形，其邊長為，
所以，保留下來的所有小正方形面積之和為
由，得
所以，至少需要9次操作才能使保留下來的所有小正方形面積之和不超過.
故答案為：，9.

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