?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類匯編-函數(shù)的應(yīng)用

一、單選題
1．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，已知當(dāng)時(shí)，，若恰有六個(gè)不相等的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
2．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)a，b滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)的最大值為（???????）
A． B． C．2 D．3
3．（2022·江蘇鹽城·三模）函數(shù)的大致圖象是(???????)
A． B．
C． D．
4．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)三模）非空集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．
6．（2022·江蘇·金陵中學(xué)二模）在如今這個(gè)5G時(shí)代，6G研究已方興未艾．2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國(guó)際研討會(huì)在北京舉辦．會(huì)上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時(shí)延達(dá)到亞毫秒級(jí)水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比．若不改變帶寬W，而將信噪比從9提升至161，則最大信息傳遞率C會(huì)提升到原來的（???????）參考數(shù)據(jù)：．
A．2.4倍 B．2.3倍 C．2.2倍 D．2.1倍
7．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（3x），當(dāng)x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在區(qū)間[1，9）內(nèi)，函數(shù)g（x）＝f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

二、多選題
8．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)．如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等等．其概率函數(shù)為，參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)．現(xiàn)采用某種紫外線照射大腸桿菌，大腸桿菌的基因組平均產(chǎn)生3個(gè)嘧啶二體．設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為Y，表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生k個(gè)嘧啶二體的概率．已知Y服從泊松分布，記為，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，下列說法正確的有（???????）（參考數(shù)據(jù)：，恒等式）
A．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率約為5%
B．設(shè)，則
C．如果，那么，X的標(biāo)準(zhǔn)差
D．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線照射后，其基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3
9．（2022·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．在上單調(diào)遞增
B．當(dāng)時(shí)，方程有且只有2個(gè)不同實(shí)根
C．的值域?yàn)?br /> D．若對(duì)于任意的，都有成立，則
10．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）如圖是函數(shù)的部分圖像，則（???????）

A．的最小正周期為
B．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到的函數(shù)為奇函數(shù)
C．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
D．若函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則
11．（2022·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（???????）
A．函數(shù)的值域?yàn)?br /> B．函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)
C．直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
D．方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根
12．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，當(dāng)，則下列說法中正確的有（???????）
A．函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱
B．4是函數(shù)的周期
C．
D．方程恰有4不同的根
13．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是（???????）
A．若為的跟隨區(qū)間，則
B．函數(shù)存在跟隨區(qū)間
C．若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則
D．二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”
14．（2022·江蘇江蘇·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（???????）
A． B．
C． D．
15．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意，有，當(dāng)時(shí)，，則（???????）
A．是以2為周期的周期函數(shù)
B．點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心
C．
D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)
16．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（???????）
A．若對(duì)于任意的，都有成立，則
B．若對(duì)于任意的，都有成立，則
C．當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為
D．當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
17．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，且，則（???????）
A．的取值范圍是 B．的取值范圍是
C． D．
18．（2022·江蘇江蘇·一模）若函數(shù)，則關(guān)于的性質(zhì)說法正確的有（???????）
A．偶函數(shù) B．最小正周期為
C．既有最大值也有最小值 D．有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)
19．（2022·江蘇南京·二模）若函數(shù)的圖像在R上連續(xù)不斷，且滿足，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（???????）
A．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定沒有零點(diǎn)
B．在區(qū)間(0，1)上一定沒有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)
C．在區(qū)間(0，1)上一定有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)
D．在區(qū)間(0，1)上可能有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上一定有零點(diǎn)

三、填空題
20．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖像上，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．
21．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知是函數(shù)（且）的三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_________．
22．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為__________．
23．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）建筑學(xué)中必須要對(duì)組合墻的平均隔聲量進(jìn)行設(shè)計(jì)．組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：m2），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實(shí)際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實(shí)際隔聲量（單位：dB）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為20 m2，在墻上有一門，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量約為_______dB．（注：）
24．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則a的取值范圍為________．
25．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若的圖象與x軸恰有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為___________.
26．（2022·江蘇連云港·二模）某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比一年利潤(rùn)增長(zhǎng)8%，則2026年的利潤(rùn)是___________萬元.（結(jié)果精確到1萬元）
27．（2022·江蘇泰州·一模）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的三次函數(shù)_________.
①為奇函數(shù)；②存在3個(gè)不同的零點(diǎn)；③在上是增函數(shù).

四、解答題
28．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（其中a，b為實(shí)數(shù)）的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)證明：方程有且只有一個(gè)實(shí)根．
29．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求b的范圍；
(2)若在處的切線為，且，求整數(shù)m的最大值．
30．（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
31．（2022·江蘇江蘇·二模）設(shè)函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.
(1)若，求證：函數(shù)有唯一的零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求的取值范圍.
32．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，試討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：）
33．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

（1）求，和的值；
（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰有2020個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

五、雙空題
34．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
（1）不等式的解集為____________；
（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．
35．（2022·江蘇江蘇·一模）已知是定義在上的奇函數(shù)，且.若當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上的值域?yàn)開___________，在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為__________

參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)已知求出，再分析出函數(shù)的周期性和對(duì)稱性，作出函數(shù)的圖象分析即得解.
【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以.
所以當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，則關(guān)于對(duì)稱，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，有6個(gè)不相同的根，
∴在有三個(gè)不同的根，
表示過定點(diǎn)的直線系，

.
作出在上的圖象,如圖所示，


時(shí)，，又,
則；
時(shí)，;
時(shí)，顯然不滿足題意.
∴m的取值范圍.
故選：D．
2．D
【分析】令整理得，利用基本不等式“1”的代換可得，求解即可判斷．
【詳解】，則
則，整理得
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
∴，解得：或
故選：D．
3．B
【分析】根據(jù)和函數(shù)值得正負(fù)即可排除CD，再根據(jù)f(1)和f(2)的函數(shù)值即可排除A．
【詳解】時(shí)，指數(shù)函數(shù)增速快于二次函數(shù)，故f(x)→+￥，圖象單調(diào)遞增，故排除C；
時(shí)，，，故，故排除D；
又，即f(x)>0時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，故圖象B符合，圖象A不符合．
故選：B．
4．A
【分析】由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，解不等式即可得答案.
【詳解】解：由題知，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
故令函數(shù)，
所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點(diǎn)的存在性定理得：
，即，解得，
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A

5．B
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，分析可知關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，利用代數(shù)法可知方程有兩個(gè)根，分析可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 由可得，
所以，關(guān)于的方程、共有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①先討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
當(dāng)時(shí)，由，可得，
所以，方程只有兩解和；
②下面討論方程的解的個(gè)數(shù).
當(dāng)時(shí)，由可得，可得或，
當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí)方程有無數(shù)個(gè)解，不合乎題意，
當(dāng)時(shí)，由可得，
因?yàn)椋深}意可得或或，
解得或.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
6．C
【分析】按照題中所給公式分別求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的最大信息傳遞率即可求出答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞率
當(dāng)時(shí)，最大信息傳遞率

.
故選：C.
7．B
【分析】根據(jù)題意得到畫出函數(shù)圖像，計(jì)算直線與函數(shù)相切和過點(diǎn)時(shí)的斜率，根據(jù)圖像得到答案.
【詳解】函數(shù)f（x）滿足f（x）＝f（3x），當(dāng)x∈[1，3），f（x）＝lnx
故，
畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

當(dāng)直線與相切時(shí)：
，設(shè)切點(diǎn)為則
此時(shí)
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)：
綜上所述：
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.
8．AD
【分析】根據(jù)珀松分布的性質(zhì)即可逐一求解.
【詳解】對(duì)于A;當(dāng)時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，當(dāng)時(shí)，大腸桿菌能存活，由 知，當(dāng)時(shí)，，故A對(duì)，
對(duì)于B;,,
，因?yàn)?，的正?fù)無法確定，故的大小無法確定，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C；根據(jù)珀松分布的方差可知,但
,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D;由珀松分布可知，而，故，故D正確.
故選：AD
9．BD
【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可判斷；對(duì)于B,分和兩種情況解方程，判斷解的情況；對(duì)于C，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷；對(duì)于D，分和三種情況，構(gòu)造函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)遞增，
故可作出函數(shù)的圖象如圖示：

由此可知，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B, 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
令，解得 ，即此時(shí)有一解；
當(dāng)時(shí)，，故是的一個(gè)解；
當(dāng)時(shí)，令，，
即，即，此時(shí)無解；
故綜合上述，當(dāng)時(shí)，方程有且只有2個(gè)不同實(shí)根，B正確；
由函數(shù)的圖象可知，其值域?yàn)镽,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D, 對(duì)于任意的，都有成立,
則當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
即，令，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，故；
當(dāng)時(shí)，恒成立，
當(dāng)時(shí)，，即恒成立，
令，注意到
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，令， ，
當(dāng)時(shí)，，
故，不符合題意
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
故遞減，則，
即恒成立，
綜合上述，可知當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，都有成立，
故D正確，
故選：BD
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答的關(guān)鍵是能恰當(dāng)?shù)淖兪?，?gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，以及求解最值.
10．AD
【分析】先根據(jù)圖像可得，即可判斷A，接下來求得 ，即可得到的解析式，根據(jù)圖像平移判斷B，令解出即可判斷C，令，解出函數(shù)零點(diǎn)，然后根據(jù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)列出不等式解 即可判斷D
【詳解】由圖像可知，
，即，故A正確
???
此時(shí)
又 在圖像上， ，解得

將 的圖像向右平移個(gè)單位后得到的圖像對(duì)應(yīng)的解析式為 不為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤
，

當(dāng)是函數(shù)的一條對(duì)稱軸時(shí)，此時(shí) 不符合題意，故C錯(cuò)誤
令 ，解得
當(dāng) 時(shí)， ，不合題意
時(shí)， ；
時(shí)， ；
時(shí)，
又因?yàn)楹瘮?shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
，解得 ，故D正確
故選：AD
11．ABD
【分析】利用函數(shù)的奇偶性、周期性分析判斷A，B；利用對(duì)稱的性質(zhì)驗(yàn)證判斷C；利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷D作答.
【詳解】顯然，，即函數(shù)是偶函數(shù)，
又，函數(shù)是周期函數(shù)，是它的一個(gè)周期，B正確；
當(dāng)時(shí)，，的最小值為，最大值為，
即當(dāng)時(shí)，的取值集合是，因是偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的取值集合是，
因此，當(dāng)時(shí)，的取值集合是，而是的周期，所以，的值域?yàn)?，A正確；
因，，即函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)不在此函數(shù)圖象上，C不正確；
因當(dāng)時(shí)，恒有成立，而的值域?yàn)?，方程在上無零點(diǎn)，
又當(dāng)或時(shí)，的值與的值異號(hào)，即方程在、上都無零點(diǎn)，
令，，顯然在單調(diào)遞減，
而，，于是得存在唯一，使得，
因此，方程在上有唯一實(shí)根，則方程在上有唯一實(shí)根，又定義域?yàn)椋?br /> 所以方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，D正確.
故選：ABD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
12．ABD
【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，即可判斷A的正誤；根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的周期性，可判斷B的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，結(jié)合解析式，即可判斷C的正誤；分別作出和的圖象，即可判斷D的正誤，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，
所以，即
所以關(guān)于對(duì)稱，故A正確.
對(duì)于B：因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，即周期，故B正確
對(duì)于C：
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，且關(guān)于直線對(duì)稱，
根據(jù)對(duì)稱性可以作出上的圖象，
又，根據(jù)對(duì)稱性，可作出上的圖象，
又的周期，
作出圖象與圖象，如下圖所示：

所以與有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.
故選： ABD
13．ACD
【分析】A，由已知可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而可以求解的值；
B，假設(shè)存在跟隨區(qū)間，則根據(jù)跟隨區(qū)間的條件求解，的值，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷；
C，先設(shè)跟隨區(qū)間為，，則根據(jù)跟隨區(qū)間滿足的條件建立方程組，找出，的關(guān)系，然后統(tǒng)一變量表示出，列出關(guān)于的關(guān)系式，利用方程思想求解的取值范圍，
D，若存在3倍跟隨區(qū)間，則設(shè)定義域?yàn)?，，值域?yàn)椋?，由此建立方程組，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可以求解．
【詳解】選項(xiàng)：由已知可得函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則有 ，
解得或1（舍，所以，正確；
選項(xiàng)：若存在跟隨區(qū)間，，又因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)區(qū)間上遞減，圖象如圖示，

則區(qū)間，一定是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即 或,
則有，解得，此時(shí)異號(hào)，
故函數(shù)不存在跟隨區(qū)間，不正確；
選項(xiàng)：由已知函數(shù)可得：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
若存在跟隨區(qū)間，，
則有，即，兩式作差得：，
即，
又，所以，得，
所以，設(shè)，，則，
即在區(qū)間，上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
只需：，解得，正確；
選項(xiàng)：若函數(shù)存在3倍跟隨區(qū)間，設(shè)定義域?yàn)椋?，值域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得或，
故存在定義域?yàn)椋沟弥涤驗(yàn)?，，正確，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題是根據(jù)新的定義求解參數(shù)或者是判斷函數(shù)是否符合新定義，考查學(xué)生的理解新知識(shí)運(yùn)用新知識(shí)的能力，解答時(shí)要能根據(jù)新定義，靈活求解，綜合性較強(qiáng).
14．BCD
【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】分別為直線與和的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
所們這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線，
而直線、的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，
故，，，，
，
，故
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用反函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
15．BD
【分析】首先根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性求出的周期和對(duì)稱中心，然后求得.利用圖象法即可判斷D.
【詳解】依題意，為偶函數(shù)，
且，有，即關(guān)于對(duì)稱，
則
，
所以是周期為4的周期函數(shù)，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)榈闹芷跒?，關(guān)于對(duì)稱，
所以是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；
因?yàn)榈闹芷跒?，則，，
所以，故C錯(cuò)誤；
作函數(shù)和的圖象如下圖所示，

由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
所以函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.
故選：BD.
16．ACD
【分析】由題可得恒成立，利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，利用函數(shù)的周期的含義可判斷B，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，由題可得，進(jìn)而可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，對(duì)于任意的，都有成立，
所以恒成立，又，，
∴，故A正確；
對(duì)于B，由題可得是函數(shù)的周期，但不能推出函數(shù)的最小正周期為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
則，，故，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，
由在上至少有兩個(gè)零點(diǎn)，
則，即，故D正確.
故選：ACD.
17．AC
【分析】結(jié)合的圖象，由圖可知，，，由二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得，可得答案.
【詳解】有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，即方程有四個(gè)不同的解．
的圖象如圖所示，由圖可知，，，所以，
即的取值范圍是，
由二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得．因?yàn)?，所以，故?br /> 故選：AC.

18．CD
【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期的定義、偶函數(shù)的定義、零點(diǎn)的定義逐一判斷即可.
【詳解】A：因?yàn)?，所以該函?shù)不是偶函數(shù)，因此本選項(xiàng)說法不正確；
B：因?yàn)?，所以該函?shù)最小正周期不是，因此本選項(xiàng)說法不正確；
C：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最小值，因此本選項(xiàng)說法正確；
D：，則有，解得，或，
即，或，或，因此本選項(xiàng)說法正確，
故選：CD
19．ABD
【解析】根據(jù)的圖像在上連續(xù)不斷，，，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，判斷出在區(qū)間和上零點(diǎn)存在的情況，得到答案．
【詳解】由題知，所以根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在區(qū)間上一定有零點(diǎn)，
又，無法判斷在區(qū)間上是否有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，2)上可能有零點(diǎn)．
故選：．
20．
【分析】將題設(shè)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求出直線和相切時(shí)的值以及直線過點(diǎn)時(shí)的值，結(jié)合圖象即可求解.
【詳解】
由，解得，
又關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，
則題設(shè)等價(jià)于函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
易得等價(jià)于，
畫出和的圖象，設(shè)直線和相切，
由，解得或（舍），
又當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)的圖像和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
故答案為：.
21．
【分析】由題可判斷1是的零點(diǎn)，且另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則所求可化為求出的值域，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】顯然，設(shè)，
則
，
所以1是的零點(diǎn)，且另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
所以，
則，
令，
則，所以在單調(diào)遞減，
所以，即的取值范圍是.
故答案為：.
22．
【分析】先求定義域，對(duì)去掉絕對(duì)值，利用導(dǎo)函數(shù)研究其函數(shù)圖像，畫出函數(shù)圖像，將有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)?shù)茫海?br /> 恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，
畫出函數(shù)圖像如下：

顯然，當(dāng)時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)，滿足要求
故答案為：-2
23．
【分析】根據(jù)已知公式求得組合墻的透射系數(shù)的平均值，根據(jù)即可求得答案.
【詳解】由題意得：組合墻的透射系數(shù)的平均值：，
故組合墻的平均隔聲量為
設(shè) ，則 ，
由于，故，
故 ，
所以，
故答案為：
24．（0，3）
【分析】構(gòu)造函數(shù)，將交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】函數(shù) 與 有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)，
令 ，顯然 ，
，
當(dāng) 時(shí)， ， 是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ， ，
方程有兩個(gè)解，設(shè)為 ，
由韋達(dá)定理知： ，故 為一正一負(fù)，設(shè) ，
考慮函數(shù) 的定義域， ，
…①
，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， ，
∴在 處， 取最大值， ，
顯然欲使得 有兩個(gè)零點(diǎn)，必須有 ，
將①代入上式得： ，
設(shè)???， 是增函數(shù)，
顯然 ，當(dāng) ，即當(dāng) ，
由①， 是減函數(shù)，∴ ，
a的取值范圍為（0,3）；
故答案為：（0,3）.
25．2
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性知在、上各有一個(gè)零點(diǎn)且，討論a值結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的零點(diǎn)情況，即可得結(jié)果.
【詳解】由偶函數(shù)的對(duì)稱性知：在、上各有一個(gè)零點(diǎn)且，
所以，則或，
當(dāng)時(shí)，在上，則，
所以在上遞增，，故無零點(diǎn)，不合要求；
當(dāng)時(shí)，在上，則，
所以在上遞減，在上遞增，
則且，，故上有一個(gè)零點(diǎn)，符合要求；
綜上，.
故答案為：2
26．147
【分析】根據(jù)題意得出含指數(shù)的利潤(rùn)表達(dá)式，利用二項(xiàng)式定理求近似值即可，
【詳解】由題意可知， (萬元)，即2026年的利潤(rùn)大約是147萬元.
故答案為：147
27．
【分析】根據(jù)已知寫出符合三個(gè)條件的函數(shù)，驗(yàn)證即可.
【詳解】，為奇函數(shù)，有三個(gè)零點(diǎn)0，，
，時(shí)，，即在為增函數(shù)，
①②③都滿足，∴.
故答案為：
28．(1)
(2)證明見解析

【分析】（1）求導(dǎo)，得，由題知，解方程得解.
（2）令， 分三種情況討論：當(dāng)，，時(shí)
的零點(diǎn)情況；令，分兩種情況討論：當(dāng)，時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，借助單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理，判斷的零點(diǎn)情況，進(jìn)而得證.
(1)
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)榈膱D象在處的切線為，
所以解得
(2)
令函數(shù)，定義域?yàn)椋?br /> 當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，由知在上單調(diào)遞增，
又且函數(shù)連續(xù)不間斷，
所以，有．
綜上所述，函數(shù)在有唯一的零點(diǎn)，且在上恒小于零，在上恒大于零．
令函數(shù)，討論如下：
①當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得．
因?yàn)椋裕?br /> 即函數(shù)在單調(diào)遞增．
又因?yàn)椋?br /> ，
所以函數(shù)在存在唯一的零點(diǎn)，
所以方程在上有唯一的零點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，．
法一：由（1）易證在上恒成立．
事實(shí)上，令，則．
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即在上恒成立．
從而，
所以方程在上無零點(diǎn)．
綜上所述，方程有且只有一個(gè)實(shí)根．
法二：因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
所以，
所以方程在上無零點(diǎn)．
綜上所述，方程有且只有一個(gè)實(shí)根．
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，第二問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性，并借助零點(diǎn)存在性定理研究方程的實(shí)根，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
29．(1);
(2)2

【分析】（1）求出當(dāng)時(shí)，只需要；（2）先根據(jù)切線的條件求出參數(shù)，在類似（1）中用恒成立的方式來處理.
(1)
由，當(dāng)時(shí)，得．
當(dāng)時(shí)，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，
得，所以，即b的范圍是．
(2)
由得，且．
由題意得，所以，
又在切線上．
所以，所以，即．
因?yàn)?，所以有?br /> 令，則等價(jià)于，即，從而．
設(shè)，則．
易知在上單調(diào)遞增，且．
所以，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的使得，
即，則．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
從而．
而在上是減函數(shù)，所以．
因此的最小值．
從而整數(shù)m的最大值是2．
30．(1)兩個(gè)零點(diǎn)
(2)

【分析】（1）用零點(diǎn)存在性定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）即，
即，
構(gòu)造函數(shù)，即，判斷單調(diào)性，轉(zhuǎn)換函數(shù)，分類討論即可.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以?br /> 令，則，
當(dāng) 時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ，為減函數(shù)，
所以，???????????????
又因?yàn)?，所以，所以在上有唯一零點(diǎn)，
同理，因?yàn)?，所以所以在上有唯一零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．
(2)
即，
即，
構(gòu)造函數(shù)，即，?????????????
顯然為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以轉(zhuǎn)化為：在上恒成立，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以，而，顯然不符合題意．?????????????????????????
②當(dāng)時(shí)，即在上恒成立，
令，則，
令，則 ，
i)當(dāng)即時(shí)，因?yàn)?，所以，所以在上遞增，所以
，即恒成立，符合題意．
ii)當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，
令，則，所以在上遞增，
所以，所以不符合題意，所以舍去．
綜上所述．
【點(diǎn)睛】變形得到，構(gòu)造函數(shù)，即，判斷單調(diào)性，轉(zhuǎn)換函數(shù)在上恒成立，分類討論即可.
31．(1)證明見解析
(2)

【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值情況求參數(shù)值.
(1)
當(dāng)時(shí)，恒成立，所以單調(diào)遞減，
又，，
所以存在唯一的，使得，命題得證；
(2)
由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則有唯一零點(diǎn)，
，
設(shè)，
則，所以單調(diào)遞增，
又，列表可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
即，
當(dāng)時(shí)，恒成立，無零點(diǎn)，即不符題意，
當(dāng)時(shí)，，即僅有一個(gè)零點(diǎn)，即符合題意，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，?br /> 所以存在，，使得，即不符題意，
綜上，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．
32．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)答案見解析

【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令可得增區(qū)間，可得減區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，從而分和兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及函數(shù)的單調(diào)性，求出的單調(diào)區(qū)間，從而即可求解.
(1)
解：，則，定義域?yàn)?，?br /> 由，解得，可得，
解得，
由，解得，可得，
解得，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
(2)
解：由已知，
，令，則．
，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
，，．
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
，使得，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
，，又，
∴由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，此時(shí)在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；
②若時(shí)，，
又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，
，，使得，， 且當(dāng)、時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
，，
，，
又，
∴由零點(diǎn)存在性定理可得，在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，即此時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題（2）問的解題關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
33．（1），，（2），（3），
【分析】（1）有圖象可得，，進(jìn)而求得，令，則，結(jié)合，可求得；
（2）由（1）求得解析式，令，，解之即可；
（3）條件轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即可得取值范圍．
【詳解】（1）由題可得，，則，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，則，
所以，
又因?yàn)椋剩?br /> （2）由（1）可知，
令，，
則，，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，，
則在，上的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
（3）令，則，解得，，
所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)橹芷跒?，
若函數(shù)在區(qū)間，上恰有2020個(gè)零點(diǎn)，
則，
解得的取值范圍為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，涉及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于中檔題．
34．???? ????
【分析】由圖像可知函數(shù)為“不增”函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可解出不等式；根據(jù)函數(shù)圖像可得，由換元法可得一元二次方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】作出函數(shù)圖像，該函數(shù)為“不增”函數(shù)，

所以，解得，
所以解集為；
由函數(shù)圖像可得，
令，在區(qū)間上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
則有解得．
故答案為：；.
35．???? ???? ##2.5
【分析】第一空先求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)畫出的圖像，再由得到，
進(jìn)而得到函數(shù)在上的圖像，即可求得值域；
第二空畫出將零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)，再畫出的圖像即可求解.
【詳解】由當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又是奇函數(shù)，可得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又當(dāng)時(shí)，即，即，
即函數(shù)右移兩個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，由此可得函數(shù)在上的圖像如圖所示：

結(jié)合圖像可知在區(qū)間上的值域?yàn)?；，即，即的交點(diǎn)，
畫出的圖像，由圖像可知4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，又均是奇函數(shù)，故，
故.
故答案為：；.

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