?江蘇省2022年高考數(shù)學(xué)模擬題分類(lèi)匯編-正弦定理解邊角互化的應(yīng)用

一、單選題
1．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則的取值范圍為（???????）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
2．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，且，，若，變化時(shí)，存在最大值，則正數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

二、多選題
3．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，，下列命題為真命題的有（???????）
A．若，則
B．若，則為銳角三角形
C．若，則為直角三角形
D．若，則為直角三角形
4．（2022·江蘇·常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知A，B分別是橢圓（）的左?右頂點(diǎn)，P是橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率分別為，，則（???????）
A．
B．若，則橢圓的方程為
C．若橢圓的離心率，則
D．的面積隨的增大而減小

三、解答題
5．（2022·江蘇·鹽城中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）記銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，且．
(1)求；
(2)將延長(zhǎng)至D，使得，記的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)T，是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
6．（2022·江蘇·南京市江寧高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）從①為銳角且sinB－cosC＝；②b＝2asin(C＋)這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，填入橫線(xiàn)上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， ．
(1)求角A；
(2)若b＝c且BC邊上的高AD為2，求CD的長(zhǎng)．
7．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知邊上的高等于a．
(1)求證：；
(2)若，求的值．
8．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿(mǎn)足.
(1)求角；
(2)角的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，若，，求.
9．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)?jiān)冖傧蛄?，，且；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入橫線(xiàn)上并解答．
在銳角三角形中，已知角，，的對(duì)邊分別為，，c，．
(1)求角；
(2)若的面積為，求的取值范圍．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
10．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，請(qǐng)?jiān)冖?；②；③．這三個(gè)條件中任意選擇一個(gè)，完成下列問(wèn)題：
(1)求；
(2)若，，延長(zhǎng)到D，使，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．
11．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，a，b，c分別為A，B，C所對(duì)邊，．
(1)求cosC的值；
(2)若，求的值．
12．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知tanB
(1)若，求tanC的值：
(2)已知中線(xiàn)AM交BC于M，角平分線(xiàn)AN交BC于N，且求△ABC的面積．
13．（2022·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，面積為，滿(mǎn)足．
(1)證明：；
(2)求所有正整數(shù)，的值，使得和同時(shí)成立．
14．（2022·江蘇江蘇·三模）在中，內(nèi)角A，，所對(duì)的邊分別為，，，.從條件①?②中找出能使得唯一確定的條件，并求邊上的高.
條件①，；條件②，.
15．（2022·江蘇·南京市雨花臺(tái)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在①3asinC＝4ccosA；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題．
在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知， ，．

(1)求sinA；
(2)如圖，M為邊AC上一點(diǎn)，MC＝MB，，求△ABC的面積．
16．（2022·江蘇·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，，求的面積.
17．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，．
(1)證明：﹔
(2)求的面積的最大值．
18．（2022·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中， .
(1)求∠B的大??；
(2)再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中，選擇兩個(gè)作為已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面積
條作①；
條件②；
條件③：AB邊上的高為.
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，接第一個(gè)解答計(jì)分.
19．（2022·江蘇江蘇·一模）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.
已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，___________，求的面積.
20．（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）記中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，且.
(1)求；
(2)若，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且，求的面積.
21．（2022·江蘇江蘇·二模）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，sinA＝2sinB.
(1)若，求C；
(2)點(diǎn)D在邊AB上，且AD＝c，證明：CD平分∠ACB.
22．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)二模）在中，角，，所對(duì)的邊分別，，．已知．
(1)求；
(2)若，，設(shè)為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
23．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知．
(1)求；
(2)若，是外的一點(diǎn)，且，，則當(dāng)為多少時(shí)，平面四邊形的面積最大，并求的最大值．
24．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC邊上的高為，求c.
25．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，．
(1)求角B的大??；
(2)若的面積，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，求的值．
26．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)一模）如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，．

(1)求角C：
(2)若，，延長(zhǎng)CB至M，使得，求BM．
27．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足①；②；③．
(1)從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；
(2)若為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，，求的面積．
28．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）在中，，．
（1）求；
（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．
條件①：；
條件②：的周長(zhǎng)為；
條件③：的面積為；
29．（2022·江蘇·常州高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.
（1）證明：；
（2）若，求.
30．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且滿(mǎn)足.
（1）求角B大??；
（2）若為銳角三角形，且，求周長(zhǎng)的取值范圍.

四、雙空題
31．（2022·江蘇·華羅庚中學(xué)三模）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知，則的最大值為_(kāi)________；設(shè)D是上一點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)________．
32．（2022·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知向量，且，為邊上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，.則_______，面積的最大值為_(kāi)_______.

參考答案：
1．D
【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化為，結(jié)合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 由正弦定理可得，
則有，
由的內(nèi)角為銳角，
可得，
，
由余弦定理可得
因此有




故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常見(jiàn)用法有以下幾種：（1）知道兩邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個(gè)角的對(duì)邊，求另一個(gè)角的對(duì)邊；（3）證明化簡(jiǎn)過(guò)程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑.
2．A
【分析】由，可得，由正弦定理轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系可以得到，由此推出，又為銳角三角形，可求出，將都用角A表示可以得到，且，當(dāng)取最大值時(shí)利用可求得的范圍.
【詳解】解：因?yàn)?，，所以?br /> 可得：，即，
因?yàn)闉殇J角三角形，則有，即，解得：.

= ，
當(dāng)時(shí)，原式有最大值，此時(shí)，
則，，，即，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)輔助角公式，對(duì)輔助角公式的熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于難題.
3．ACD
【分析】利用正弦定理判斷選項(xiàng)A，利用數(shù)量積的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B和C，利用數(shù)量積的性質(zhì)和余弦定理判斷選項(xiàng)D．
【詳解】解：A：若，由正弦定理得，
，則 A正確；
B：若，則，
，即為鈍角，
為鈍角三角形，故 B錯(cuò)誤；
C：若，則，
為直角三角形，故 C正確；
D：若，則，
， ，
由余弦定理知，
，則，
，，為直角三角形，故 D正確．
故選：ACD．
4．BCD
【分析】利用斜率公式及橢圓方程可判斷A，利用條件及正弦定理可求，可判斷B，結(jié)合條件及的關(guān)系式可判斷C，由題可得，再利用導(dǎo)數(shù)可判斷D.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，，設(shè)，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，由正弦定理得，
∴，則，即，，從而，
因此，即，則橢圓方程為，故B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由B可知，，得，
∴，即，
又，，
所以，得，即，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，過(guò)P作于D，則，，

故，即，
∴，，
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則的面積隨的增大而減小，故D正確.
故選：BCD.
5．(1)2；
(2)是，定值為

【分析】（1）由題設(shè)得，整理得，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合的范圍求得即可求解；
（2）先由（1）中結(jié)論結(jié)合正余弦定理求得，再由向量的線(xiàn)性運(yùn)算得，進(jìn)而求得，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理化簡(jiǎn)即可求得.
（1）由可得，即，整理得，由正弦定理得，又，則，又，，，，則，即；
（2）由（1）得，即，整理得，又，則，設(shè)內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓與邊分別相切于點(diǎn)，則，又，則
，則，則，又，則.
6．(1)條件選擇見(jiàn)解析，
(2)

【分析】（1）在三角形中，運(yùn)用正余弦定理，實(shí)現(xiàn)邊角互化即可求解.
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得的關(guān)系，在中運(yùn)用余弦定理可求出的值，然后根據(jù)邊的長(zhǎng)度用余弦定理求角，即可求解.
(1)
選①
因?yàn)?，所以?br /> 由余弦定理得，，所以，即
由正弦定理得
在中，有，故
由A為銳角，得
選②
因?yàn)閎＝2asin(C＋)，由正弦定理得
即???????
化簡(jiǎn)得
在中，有，由A為銳角得，
所以，得
(2)
由題意得，，所以，
又b＝c，所以
由余弦定理，解得
所以，，
所以是鈍角三角形
所以，所以
在直角中，
7．(1)證明見(jiàn)解析
(2)

【分析】（1）由銳角三角形可得，結(jié)合題意和正弦定理整理可證；（2）利用等面積可得，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)整理．
(1)
設(shè)邊上的高為，則，所以，
由正弦定理得．
(2)
由余弦定理得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，
所以．
8．(1)；
(2)

【分析】（1）先由正弦定理及切化弦得，結(jié)合角的范圍，即可求解；
（2）先由結(jié)合面積公式求得，再由余弦定理求得的值，再由正弦定理求出即可.
(1)
由正弦定理及切化弦可得，
又，則，即，又，則；
(2)

，又，，
可得，又由余弦定理得，解得（負(fù)值舍去），則，
可得或，又，顯然當(dāng)或12時(shí)，的值相同，不妨設(shè)，則，
由正弦定理得，可得，又，可得.
9．(1)
(2)

【分析】(1)選①：根據(jù)平面共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示和正弦定理可得，結(jié)合余弦定理即可求出C；選②：根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合特殊角的正切值即可求出C；
(2)由三角形的面積公式可得，法一：利用余弦定理解得；法二：由正弦定理可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可.
(1)
選擇①：
因?yàn)?，所以?br /> 由正弦定理得，，
即，即，即，
即．因?yàn)椋?br /> 又為銳角，所以．
選擇②：
因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，，
即．
又，
所以．
因?yàn)?，所以?br /> 又為銳角，所以，．
(2)
因?yàn)椋?br /> 所以，則．
(法一)由余弦定理得，．①
因?yàn)闉殇J角三角形，所以即
將①代入上式可得即解得．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，即的取值范圍為．
(法二)由正弦定理得，
又，所以．
因?yàn)闉殇J角三角形，所以解得
因?yàn)?，所以，?br /> 即，解得．
令，，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，
即，即的取值范圍為．
10．(1)
(2)5

【分析】（1）若選①，由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等換公式化簡(jiǎn)可求出角，若選②，由正弦定理將已知式子統(tǒng)一成角的形式，再利用三角函數(shù)恒等換公式化簡(jiǎn)可求出角，若選③，對(duì)已知式子利用余弦定理和三角形的面積公式化簡(jiǎn)可求出角，
（2）在中，由余弦定理可求得，再利用正弦定理得的值，然后分別在利用正弦定理和余弦定理求解即可
(1)
若選①，因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得,
因?yàn)椋?
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，
若選②，因?yàn)椋?br /> 所以由正弦定理得,
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)?，所以?br /> 若選③，因?yàn)椋?br /> 所以，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋裕?br /> (2)
在中，由余弦定理得，
，化簡(jiǎn)得，
解得或（舍去），
由正弦定理得，
所以，所以，
所以，
因?yàn)?，?br /> 所以 ，
在中，由正弦定理得,
所以，得，
在中，由余弦定理得
，
所以，
化簡(jiǎn)得,
解得或（舍去）
所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度為5
11．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為“邊”的等式，再利用余弦定理即可求得cosC的值；
（2）首先利用角C的值和已知條件判斷出角A為銳角，再利用兩角和的正弦公式求得的值，進(jìn)而利用正弦定理即可求得的值．
(1)
由，可得
則，
由正弦定理得
由余弦定理得
整理得，又，則
則，
(2)
由（1）可知，又，則，
由，可知角A為鈍角或銳角
若A為鈍角，則
這與內(nèi)角和為矛盾，即A不能為鈍角，
為銳角，由，可得


12．(1)或；
(2).

【分析】（1）利用同角關(guān)系式可得或sin，然后利用和角公式即得；
（2）由題可得，利用角平分線(xiàn)定理及條件可得，進(jìn)而可得，，即得.
(1)
因?yàn)椋?br /> 所以，
解得或sin,
當(dāng)時(shí)，，，
所以，；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br /> 所以，又，
所以．
(2)
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
由角平分線(xiàn)定理可知，，又，
所以，

由，可得，
∴，，
所以．
13．(1)證明見(jiàn)解析
(2)，

【分析】（1）由結(jié)合已知條件得，，整理得，再利用正弦定理邊化角即可求解；
（2）由得，，再利用正余弦定理化簡(jiǎn)得，結(jié)合條件得，即，再分析求解即可.
(1)
因?yàn)椋?br /> 所以，即．
因?yàn)椋?，所以?br /> 由正弦定理得，其中為的外接圓半徑，
所以．
(2)
由，可知，
則由正、余弦定理得到，
化簡(jiǎn)得．
因?yàn)?，，所以?br /> 即，
因?yàn)?，均為正整?shù)，所以，.
14．答案見(jiàn)解析
【分析】利用正弦定理化邊為角，結(jié)合三角形的內(nèi)角關(guān)系及兩角和的正弦公式求得，條件①，由求出角，即可判斷三角形的解是否唯一，條件②，由正弦定理求出，然后求出，從而可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得?br /> 又，所以，
又，所以，
則，
選①，因?yàn)?，所以或?br /> 則有兩個(gè)解，不符題意；
選②，因?yàn)?，所以?br /> 又，故是唯一的，
，
所以，
所以.

15．(1)；
(2)

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變換求出即可；
（2）根據(jù)兩角互補(bǔ)其余弦值之和為，利用余弦定理建立等式求出的長(zhǎng)，再利用面積公式求的面積即可.
（1）
若選擇條件①，在中，由正弦定理得.
即
又，
若選擇條件②，，
，即.
又，，
則
.
（2）
設(shè)，易知
在中，由余弦定理得 ，解得.

在中，，，
則

16．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，得到，利用余弦定理，求得答案；
（2）利用余弦定理結(jié)合求得，利用三角形面積公式，求得答案.
(1)
因?yàn)椋?br /> 在中，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)得，
所以.
又因?yàn)?，所?
(2)
由余弦定理，得
因?yàn)?，所以將代入上式，解得?br /> 所以的面積.
17．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).

【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，再結(jié)合正弦定理邊角化即可證明；
（2）根據(jù)已知及余弦定理求出，利用平方關(guān)系得出，再結(jié)合三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
(1)
因?yàn)椋?br /> 所以，
由正弦定理得，，
所以．
由正弦定理，得．
(2)
由（1）知，，所以由余弦定理得，
，
所以．
所以的面積
，
當(dāng)即（負(fù)舍）時(shí)，取得最大值為,
所以的面積的最大值為.
18．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得：，從而得到，得出答案.
（2）選擇條件①②，△ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.
方法1：由兩角差的余弦公式求出，最后由面積公式計(jì)算即可.
方法2：由余弦定理求出，最后由面積公式計(jì)算即可.
選擇①③，△ABC存在且唯一. 由得出，因?yàn)锳B邊上的高為，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下與選擇條件①②相同.
(1)
由正弦定理及.
得，因?yàn)?，所?br /> 因?yàn)?，所?
(2)
選擇條件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
由正弦定理及
得，解得.
方法1：由，得

.
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得
所以
選擇①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
因?yàn)锳B邊上的高為，所以.
由正弦定理及，
得，解得：.
（以下與選擇條件①②相同）
19．.
【分析】選①，由已知結(jié)合正弦定理角化邊，求出，再按A是銳角和鈍角分類(lèi)計(jì)算作答.
選②，由已知結(jié)合余弦定理角化邊，再求出，按A是銳角和鈍角分類(lèi)計(jì)算作答.
選③，按A是銳角和鈍角分類(lèi)計(jì)算作答.
【詳解】選擇條件①：依題意，，
在中，由正弦定理得，，
由余弦定理得：，
若A為銳角，則，則，
則，又，解得或，
即有的面積為，
若A為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，
綜上可得，的面積為．
選擇條件②：因?yàn)?，由余弦定理得：?br /> 整理得：，即，
而，則，
若A為銳角，則，有，
由余弦定理得：，
則有，又，解得或，
即有的面積為，
若A為鈍角，則，則，舍去，
綜上可得，的面積為.
③因?yàn)?，由余弦定理?br /> 若A為銳角，則，則，
則，又，解得或，
即有的面積為．
若A為鈍角，則，則，有，又，無(wú)解，舍去，
綜上可得，的面積為.
20．(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理得，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)得到，求得，即可求解；
（2）由為邊的中點(diǎn)，可得，得到，再由余弦定理得到，聯(lián)立方程組求得的值，結(jié)合面積公式，即可求解.
(1)
解：在中，因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，
又由，所以，
所以，即，
因?yàn)?，可得，所以，即?br /> 又因?yàn)?，所?
(2)
解：由為邊的中點(diǎn)，可得，
所以，
又由，且，可得，
因?yàn)?，由余弦定理可得?br /> 聯(lián)立方程組，可得，所以.
21．(1)；
(2)證明見(jiàn)解析﹒

【分析】(1)根據(jù)正弦定理可知a＝2b，根據(jù)余弦定理可求cosC，由此即可求C；
(2)由正弦定理證明sin∠BCD＝sin∠ACD即可.
(1)
由，
，∵C，∴；
(2)
設(shè)∠BCD＝α，∠ACD＝β，
∵sinA＝2sinB，∴由正弦定理得a＝2b，
在中，由正弦定理得，，①
在中，由正弦定理得，，②
，a＝2b，
∴得，，∵0＜α、β＜，
，即平分.

22．(1)；
(2).

【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可.
(1)
，
由正弦定理可得：
，
，，，；
(2)
由（1）知，
，，
由正弦定理可得，，即，
，
或（舍去），
，
，
，，
，
．

23．(1)
(2)時(shí)，S最大值為

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用兩角和差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.
（2）將四邊形面積分成兩個(gè)三角形面積和來(lái)解決，設(shè)，則利用x分別表示的面積，然后在中，利用余弦定理找到x與∠D的關(guān)系，最后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)值域來(lái)求最值.
(1)
在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，已知．
由正弦定理得：，又，
，
，，
，，．
(2)
，，是等邊三角形，設(shè)，，
，，，，
由余弦定理得，
，
，，當(dāng)，即時(shí)，
平面四邊形的面積取最大值．
24．(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用三角恒等變形即可求解；
（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.
(1)
由已知條件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
(2)
由三角形面積公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 將代入可得，
解得或（舍去），
故.
25．(1)；
(2).

【分析】(1)結(jié)合已知條件和正弦定理邊化角，三角恒等變換即可求出B；
(2)根據(jù)三角形面積公式求出a，根據(jù)余弦定理求出b.在和分別由正弦定理表示出和，根據(jù)，即可得.
(1)
∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
，；
(2)
，
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
26．(1);
(2).

【分析】（1）將正弦定理代入條件整理得，從而有，根據(jù)角的范圍可得角大??；
（2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，進(jìn)一步計(jì)算可得．
(1)
解：（1）因?yàn)椋?br /> 由正弦定理得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，即，所以，
又因?yàn)?，所以，所以，所以?br /> (2)
在中，由余弦定理可得，
解得舍去，
在中，，
由正弦定理可得，
即，
解得，
所以．
27．(1)見(jiàn)詳解；
(2)4.

【分析】根據(jù)所給條件構(gòu)造命題，用正弦定理或余弦定理證明；
用正弦定理及面積公式求解.
(1)
“由①②③”
證明：因?yàn)?，由正弦定理：?br /> 所以，；
因?yàn)?，，所以?br /> 由余弦定理得：
“由②③①”
因?yàn)?，由余弦定理得?br /> 因?yàn)?，由正弦定理：?br /> 所以，，所以，
“由①③②”
因?yàn)?，由余弦定理得?br /> 又，，所以，
所以三角形為等腰直角三角形，
故,
(2)

由已知設(shè)，則，，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，根據(jù)正弦定理得：，
則，，

???????.
28．（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．
【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；
（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；
若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；
若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.
【詳解】（1），則由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，
與矛盾，故這樣的不存在；
若選擇②：由（1）可得，
設(shè)的外接圓半徑為，
則由正弦定理可得，
，
則周長(zhǎng)，
解得，則，
由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：
；
若選擇③：由（1）可得，即，
則，解得，
則由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：
.
29．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.
（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.
【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，
得，
因?yàn)?，所以，即?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> （2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理
因?yàn)?，如圖，在中，，①

在中，．②
由①②得，整理得．
又因?yàn)?，所以，解得或?br /> 當(dāng)時(shí)，（舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以．
[方法二]：等面積法和三角形相似
如圖，已知，則，
即，

而，即，
故有，從而．
由，即，即，即，
故，即，
又，所以，
則．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合
由（1）知，再由得．
在中，由正弦定理得．
又，所以，化簡(jiǎn)得．
在中，由正弦定理知，又由，所以．
在中，由余弦定理，得．
故．
[方法四]：構(gòu)造輔助線(xiàn)利用相似的性質(zhì)
如圖，作，交于點(diǎn)E，則．

由，得．
在中，．
在中．
因?yàn)椋?br /> 所以，
整理得．
又因?yàn)?，所以?br /> 即或．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因?yàn)?，所以?br /> 以向量為基底，有．
所以，
即，
又因?yàn)?，所以．?br /> 由余弦定理得，
所以④
聯(lián)立③④，得．
所以或．
下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線(xiàn)為y軸，
長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則．

由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
設(shè)，則．⑤
由知，，
即．⑥
聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，
代入⑥式得，
由余弦定理得．
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題的常用思路；
方法四：構(gòu)造輔助線(xiàn)作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；
方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.
30．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)條件由降冪公式結(jié)合正弦定理可得，即，再由角的范圍可得出答案.
（2）由由正弦定理有，再根據(jù)（1），可得，然后由為銳角三角形求出角的范圍，即可求出答案.
【詳解】解：（1），
，
，即
，所以
由，，
，.
（2）由正弦定理知：
，
，，




.
由于為銳角三角形，
，
，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，
，
.
所以周長(zhǎng)的取值范圍：
【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理進(jìn)行邊化角，求解三角形的內(nèi)角，和利用正弦定理求三角形周長(zhǎng)的范圍，屬于中檔題.
31．???? ????
【分析】（1）由正弦定理、余弦定理化簡(jiǎn)后求角B的值，再將化簡(jiǎn)為三角函數(shù)求最大值即可；
（2）由余弦定理化簡(jiǎn)后結(jié)合輔助角公式求最值即可
【詳解】（1）由余弦定理知：
又由正弦定理化簡(jiǎn)得：，即，即，又，
化簡(jiǎn)得，則



又，，故當(dāng)時(shí)，取最大值為.
（2）由題意得，
在與中，分別有，
又，化簡(jiǎn)得
整理得：
令，結(jié)合輔助角公式有，所以的最大值為
故答案為：；
32．???? ????
【分析】（1）由得到，再利用正弦定理和三角恒等變換化簡(jiǎn)得解；
（2）設(shè),根據(jù)已知得到，再利用重要不等式得到，即得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?br /> 所以，
所以,
由正弦定理得,
所以，
所以，
因?yàn)?，所?
所以.
（2）設(shè),

因?yàn)椋?br /> 所以，
由得
所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）
所以面積的最大值.
故答案為： ；.

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