?2022年中考數(shù)學(xué)試題匯編：二次函數(shù)（解答題）

1．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．
（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
2．（2022?盤錦）精準(zhǔn)扶貧工作已經(jīng)進(jìn)入攻堅(jiān)階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
x（天）
1
2
3
…
x
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…
　 　
設(shè)第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如上圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤(rùn)是w元．（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）
（1）將表格中的最后一列補(bǔ)充完整；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求銷售草莓的第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

3．（2022?營(yíng)口）某文具店最近有A，B兩款紀(jì)念冊(cè)比較暢銷．該店購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本共需156元，購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32元/本時(shí)，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為22元/本時(shí)，每天的銷售量為80本，B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
售價(jià)（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天銷售量（本）
……
80
78
76
74
……
（1）求A，B兩款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元；
（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，同時(shí)提高每本B款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，且這兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)m元；
①直接寫出B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為多少元時(shí)，該店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
4．（2022?貴陽(yáng)）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB＝6，且圖象過（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四點(diǎn)，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；
（3）點(diǎn)M（m，n）是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣2≤m≤1時(shí)，n的取值范圍是﹣1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

5．（2022?營(yíng)口）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為為物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，作PE⊥x軸，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，設(shè)△PDF的面積為S1，△BEF的面積為S2，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線BC垂直平分線段PN？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．


6．（2022?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC＝∠BCO；
（3）如圖②，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1＝2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點(diǎn)N．如果在y1的對(duì)稱軸和y1上分別取點(diǎn)P，Q，使以MN為一邊，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


7．（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，9），點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD＝4，點(diǎn)P是線段OB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥DP，BE交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線解析式；
（2）若＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F為第一象限拋物線上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)∠FPD＝∠DPO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

8．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
9．（2022?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)E沿EF向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（3）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)G是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸下方拋物線圖象上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與線段GA、GB相交于點(diǎn)H、K，求證：GH+GK為定值．

10．（2022?銅仁市）為實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”計(jì)劃，某村產(chǎn)業(yè)合作社種植了“千畝桃園”．2022年該村桃子豐收，銷售前對(duì)本地市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)批發(fā)價(jià)為4千元/噸時(shí)，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據(jù)測(cè)算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場(chǎng)，薄利多銷，該村產(chǎn)業(yè)合作社決定，批發(fā)價(jià)每噸不低于4千元，不高于5.5千元．請(qǐng)解答以下問題：
（1）求每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)批發(fā)價(jià)定為多少時(shí)，每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
11．（2022?遼寧）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批山野菜，市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
每千克售價(jià)x（元）
……
20
22
24
……
日銷售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？
12．（2022?百色）已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．


13．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）當(dāng)c＝2，m＝n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；
（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．
14．（2022?北京）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)．運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
水平距離x/m
0
2
5
8
11
14
豎直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d2，則d1　 　d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
15．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，連接BD，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點(diǎn)M、N，當(dāng)△PMC中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OBC度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．


16．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的點(diǎn)，連接PA，PC，△BAF的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，當(dāng)S2＝S1時(shí)．求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）如圖②，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時(shí)（AE與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


17．（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．


18．（2022?常州）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的自變量x的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的表達(dá)式；
（2）將二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像向右平移k（k＞0）個(gè)單位，得到二次函數(shù)y＝mx2+nx+q的圖像，使得當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4＜x＜5時(shí)，y隨x增大而減小．請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的二次函數(shù)y＝mx2+nx+q的表達(dá)式y(tǒng)＝　 　，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 　 ??；
（3）A、B、C是二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像上互不重合的三點(diǎn)．已知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是m、m+1，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸對(duì)稱，求∠ACB的度數(shù)．
19．（2022?遼寧）某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

20．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且＝時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．


21．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會(huì)在北京成功舉辦，我國(guó)選手在跳臺(tái)滑雪項(xiàng)目中奪得金牌．在該項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員首先沿著跳臺(tái)助滑道飛速下滑，然后在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止．本項(xiàng)目主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿態(tài)，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究：
如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點(diǎn)A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運(yùn)動(dòng)員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過程中，運(yùn)動(dòng)員到x軸的距離y（m）與水平方向移動(dòng)的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在飛行過程中，其水平方向移動(dòng)的距離x（m）與飛行時(shí)間t（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．
①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？


22．（2022?恩施州）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+c與y軸交于點(diǎn)P（0，4）．
（1）直接寫出拋物線的解析式．
（2）如圖，將拋物線y＝﹣x2+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說明理由．
（3）直線BC與拋物線y＝﹣x2+c交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）若將拋物線y＝﹣x2+c進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出拋物線y＝﹣x2+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．


23．（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．


24．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y＝bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線y＝2x2+3x+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y＝3x2+2x+1．已知拋物線C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2．
（1）寫出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＞0，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N．
①當(dāng)MN＝6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)a﹣4≤x≤a﹣2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2a，求a的值．
25．（2022?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，求四邊形BOCP的面積；
（3）點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄摇鰽PQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
（4）如圖2，作CG⊥CP，CG交x軸于點(diǎn)G（n，0），點(diǎn)H在射線CP上，且CH＝CG，過GH的中點(diǎn)K作KI∥y軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接IH，以IH為邊作出如圖所示正方形HIMN，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

26．（2022?包頭）由于精準(zhǔn)扶貧的措施科學(xué)得當(dāng)，貧困戶小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天全部銷售完．小穎對(duì)銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該草莓上市第x天（x取整數(shù)）時(shí)，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝，草莓價(jià)格m（單位：元/千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求第14天小穎家草莓的日銷售量；
（2）求當(dāng)4≤x≤12時(shí)，草莓價(jià)格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？

27．（2022?大慶）某果園有果樹60棵，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量．如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵果樹所受光照就會(huì)減少，每棵果樹的平均產(chǎn)量隨之降低．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，增種10棵果樹時(shí)，果園內(nèi)的每棵果樹平均產(chǎn)量為75kg．在確保每棵果樹平均產(chǎn)量不低于40kg的前提下，設(shè)增種果樹x（x＞0且x為整數(shù)）棵，該果園每棵果樹平均產(chǎn)量為ykg，它們之間的函數(shù)關(guān)系滿足如圖所示的圖象．
（1）圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是 　 　，每增種1棵果樹時(shí)，每棵果樹平均產(chǎn)量減少 　 　kg；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)增種果樹多少棵時(shí)，果園的總產(chǎn)量w（kg）最大？最大產(chǎn)量是多少？

28．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣4分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，6），將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求BP+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

29．（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍．
（3）若此拋物線在點(diǎn)P左側(cè)部分（包括點(diǎn)P）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2﹣m．
①求m的值．
②以PA為邊作等腰直角三角形PAQ，當(dāng)點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

30．（2022?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，直線AM與y軸交于點(diǎn)G．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖1，N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接OM，記△AOG，△MOG的面積分別為S1，S2．當(dāng)S1＝2S2，且直線CN∥AM時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱；
（3）如圖2，直線BM與y軸交于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

31．（2022?綏化）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過點(diǎn)C（6，0），過點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線作正方形EGFH．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

32．（2022?大慶）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，將二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象中y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．
（1）求b的值；
（2）①當(dāng)m＜0時(shí)，圖C與x軸交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)P．當(dāng)△MNP為直角三角形時(shí)，求m的值；
②在①的條件下，當(dāng)圖象C中﹣4≤y＜0時(shí)，結(jié)合圖象求x的取值范圍；
（3）已知兩點(diǎn)A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當(dāng)線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．


33．（2022?長(zhǎng)沙）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)t﹣≤x≤t+時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)h＝，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．
（1）①若函數(shù)y＝4044x，當(dāng)t＝1時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；
②若函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；
（2）若函數(shù)y＝（x≥1），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；
（3）若函數(shù)y＝﹣x2+4x+k，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
34．（2022?賀州）2022年在中國(guó)舉辦的冬奧會(huì)和殘奧會(huì)令世界矚目，冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價(jià)是48元時(shí)，每天可售出200套；若每套售價(jià)提高2元，則每天少賣4套．
（1）設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價(jià)定為x元時(shí)，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求每套售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售套件所獲利潤(rùn)W最大，最大利潤(rùn)是多少元？
35．（2022?威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．

36．（2022?湖北）某超市銷售一種進(jìn)價(jià)為18元/千克的商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）有如下表所示的關(guān)系：
銷售單價(jià)x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
銷售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在如圖中描點(diǎn)（x，y），并用平滑曲線連接這些點(diǎn)，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該超市每天銷售這種商品的利潤(rùn)為w（元）（不計(jì)其它成本）．
①求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出獲得最大利潤(rùn)時(shí)，銷售單價(jià)為多少；
②超市本著“盡量讓顧客享受實(shí)惠”的銷售原則，求w＝240（元）時(shí)的銷售單價(jià)．


37．（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AC的解析式；
（2）當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點(diǎn)始終在直線AC上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．

38．（2022?無錫）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．
（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

39．（2022?廣西）打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗．某特產(chǎn)公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價(jià)為50元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該種油茶的月銷售利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)．

40．（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段OC的中點(diǎn)，則△POD能否是等邊三角形？請(qǐng)說明理由；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．


41．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

42．（2022?荊州）某企業(yè)投入60萬(wàn)元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24﹣x，第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件．
（1）求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計(jì)入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；
②若第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過13萬(wàn)件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元？
43．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．

44．（2022?湘潭）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21m長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長(zhǎng)；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？


45．（2022?隨州）2022年的冬奧會(huì)在北京舉行，其中冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場(chǎng)面．某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個(gè)“冰墩墩”后很快就被搶購(gòu)一空，該店決定讓當(dāng)天未購(gòu)買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購(gòu)買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個(gè)（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計(jì)，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個(gè)）和需求量y2（單位：個(gè)）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會(huì)購(gòu)買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供應(yīng)量y1（個(gè)）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（個(gè)）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購(gòu)買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個(gè)）
（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個(gè)“冰墩墩”售價(jià)為100元，求第4天與第12天的銷售額．
46．（2022?湖北）為增強(qiáng)民眾生活幸福感，市政府大力推進(jìn)老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)新建一小型活動(dòng)廣場(chǎng)，計(jì)劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種花卉種植費(fèi)用y（元/m2）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉種植費(fèi)用為15元/m2．
（1）當(dāng)x≤100時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)甲種花卉種植面積不少于30m2，且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時(shí)．
①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費(fèi)用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入資金的限制，種植總費(fèi)用不超過6000元，請(qǐng)直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍．

參考答案與試題解析
1．（2022?青島）李大爺每天到批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)某種水果進(jìn)行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購(gòu)買，一箱起售，每人一天購(gòu)買不超過10箱；當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元．根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗(yàn)，這種水果售價(jià)為12元/千克時(shí)，每天可銷售1箱；售價(jià)每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱．
（1）請(qǐng)求出這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若每天購(gòu)進(jìn)的這種水果需當(dāng)天全部售完，請(qǐng)你計(jì)算，李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）根據(jù)當(dāng)購(gòu)買1箱時(shí)，批發(fā)價(jià)為8.2元/千克，每多購(gòu)買1箱，批發(fā)價(jià)每千克降低0.2元得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元，由總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷量得w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3（x﹣）2+，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)140元．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y＝8.2﹣0.2（x﹣1）＝﹣0.2x+8.4，
答：這種水果批發(fā)價(jià)y（元/千克）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.2x+8.4；
（2）設(shè)李大爺每天所獲利潤(rùn)是w元，
由題意得：w＝[12﹣0.5（x﹣1）﹣（﹣.02x+8.4）]×10x＝﹣3x2+41x＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，x為正整數(shù)，且|6﹣|＞|7﹣|，
∴x＝7時(shí)，w取最大值，最大值為﹣3×（7﹣）2+＝140（元），
答：李大爺每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)這種水果7箱，才能使每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)140元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的根據(jù)是理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式，能利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題．
2．（2022?盤錦）精準(zhǔn)扶貧工作已經(jīng)進(jìn)入攻堅(jiān)階段，貧苦戶李大叔在政府的幫助下，建起塑料大棚，種植優(yōu)質(zhì)草莓，今年二月份正式上市銷售．在30天的試銷中，每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
x（天）
1
2
3
…
x
每天的銷售量（千克）
10
12
14
…
　2x+8　
設(shè)第x天的售價(jià)為y元/千克，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系滿足如上圖像：已知種植銷售草莓的成本為5元/千克，每天的利潤(rùn)是w元．（利潤(rùn)＝銷售收入﹣成本）
（1）將表格中的最后一列補(bǔ)充完整；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求銷售草莓的第幾天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）設(shè)每天的銷售量為z，則用待定系數(shù)法可求出每天的銷售量與銷售天數(shù)x的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式填表即可；
（2）根據(jù)圖象寫出分段函數(shù)即可；
（3）根據(jù)函數(shù)關(guān)系列出x和w之間的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）設(shè)每天的銷量為z，
∵每天的銷售量與銷售天數(shù)x滿足一次函數(shù)關(guān)系，
∴z＝sx+t，
∵當(dāng)x＝1時(shí)，z＝10，x＝2時(shí)z＝12，
∴，
解得，
即z＝2x+8，
故答案為：2x+8；
（2）由函數(shù)圖象知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，y與x成一次函數(shù)，且函數(shù)圖象過（10，14），（20，9），
設(shè)y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+19（0＜x≤20），
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，y＝9，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝；
（3）由題意知，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，
w＝（2x+8）（﹣x+19）＝﹣x2+34x+152＝﹣（x﹣17）2+1041，
∴此時(shí)當(dāng)x＝17時(shí)，w有最大值為1041，
當(dāng)20＜x≤30時(shí)，
w＝（2x+8）×9＝18x+72，
∴此時(shí)當(dāng)x＝30時(shí)，w有最大值為612，
綜上所述，銷售草莓的第17天時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1041元．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
3．（2022?營(yíng)口）某文具店最近有A，B兩款紀(jì)念冊(cè)比較暢銷．該店購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本共需156元，購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32元/本時(shí)，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為22元/本時(shí)，每天的銷售量為80本，B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
售價(jià)（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天銷售量（本）
……
80
78
76
74
……
（1）求A，B兩款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元；
（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，同時(shí)提高每本B款紀(jì)念冊(cè)的利潤(rùn)，且這兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)m元；
①直接寫出B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為多少元時(shí)，該店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為a元，B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為b元，根據(jù)購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)5本和B款紀(jì)念冊(cè)4本共需156元，購(gòu)進(jìn)A款紀(jì)念冊(cè)3本和B款紀(jì)念冊(cè)5本共需130元得，可解得A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為20元，B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為14元；
（2）①根據(jù)兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變，可得B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為（80﹣2m）本；
②設(shè)B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y＝kx+b'，待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+124，即可得B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為（80﹣2m）本時(shí)，每本售價(jià)是（22+m）元，設(shè)該店每天所獲利潤(rùn)是w元，則w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為a元，B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為b元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：A款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為20元，B款紀(jì)念冊(cè)每本的進(jìn)價(jià)為14元；
（2）①根據(jù)題意，A款紀(jì)念冊(cè)每本降價(jià)m元，可多售出2m本A款紀(jì)念冊(cè)，
∵兩款紀(jì)念冊(cè)每天銷售總數(shù)不變，
∴B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為（80﹣2m）本；
②設(shè)B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量與售價(jià)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y＝kx+b'，
根據(jù)表格可得：，
解得，
∴y＝﹣2x+124，
當(dāng)y＝80﹣2m時(shí)，x＝22+m，
即B款紀(jì)念冊(cè)每天的銷售量為（80﹣2m）本時(shí)，每本售價(jià)是（22+m）元，
設(shè)該店每天所獲利潤(rùn)是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6時(shí)，w取最大值，最大值為1264元，
此時(shí)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：當(dāng)A款紀(jì)念冊(cè)售價(jià)為26元時(shí)，該店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1264元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，列出方程組和函數(shù)關(guān)系式．
4．（2022?貴陽(yáng)）已知二次函數(shù)y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含a，b的代數(shù)式表示）；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，若二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，AB＝6，且圖象過（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四點(diǎn)，判斷c，d，e，f的大小，并說明理由；
（3）點(diǎn)M（m，n）是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)﹣2≤m≤1時(shí)，n的取值范圍是﹣1≤n≤1，求二次函數(shù)的表達(dá)式．

【分析】（1）將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．
（2）分類討論a＞0，a＜0，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸及拋物線開口方向求解．
（3）分類討論a＞0，a＜0，由拋物線開口向上可得m＝﹣2時(shí)，n＝﹣1，m＝1時(shí)，n＝1，由拋物線開口向下可得m＝﹣2時(shí)，n＝1，m＝1時(shí)，n＝﹣1，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣3）﹣（﹣2），
∴d＞c＞e＝f．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣3）﹣（﹣2），
∴d＜c＜e＝f．
（3）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上，x＞﹣2時(shí)，y隨x增大而增大，
∴m＝﹣2時(shí)，n＝﹣1，m＝1時(shí)，n＝1，
∴，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下，x＞﹣2時(shí)，y隨x增大而減小，
∴m＝﹣2時(shí)，n＝1，m＝1時(shí)，n＝﹣1，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+．
綜上所述，y＝x2+x﹣或y＝﹣x2﹣x+．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過分類討論求解．
5．（2022?營(yíng)口）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為為物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，作PE⊥x軸，垂足為E，交AB于點(diǎn)F，設(shè)△PDF的面積為S1，△BEF的面積為S2，當(dāng)＝時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線BC垂直平分線段PN？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．


【分析】（1）將A，B的坐標(biāo)分別代入拋物線和直線AB的解析式，組成方程組，解之即可；
（2）如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G，易證△PDF∽△BOG，所以PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝3：4：5，所以PD＝PF，DF＝PF，則S1＝?PD?DF＝PF2，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），所以F（m，﹣m+3），E（m，0），則PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，F(xiàn)E＝﹣m+3，由三角形的面積分別表達(dá)S1和S2，利用給出比例建立方程即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的平行線PH，過點(diǎn)B作x軸的平行線交PH于點(diǎn)H，可證明△PHB≌△NKB（AAS），進(jìn)而可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3，代入即可得出PH的長(zhǎng)，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)N作x軸的平行線NM，過點(diǎn)B作x軸的垂線BM交NM于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．同理可得∴△PQB≌△NMB（AAS），求出NM的長(zhǎng)和BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（，）和點(diǎn)B（4，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b′，
∴，
解得．
∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+3．
（2）如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)G，
∴G（0，3），
∴OG＝3，OB＝4，AB＝5，
∵PD⊥AB，PE⊥OB，
∴∠PDF＝∠BEF＝∠GOB＝90°，
∵∠P+∠PFD＝∠BFE+∠OBE＝90°，∠PFE＝∠BFE，
∴∠P＝∠OBE，
∴△PDF∽△BOG，
∴PD：DF：PF＝OB：OG：AB＝3：4：5，
∴PD＝PF，DF＝PF，
∴S1＝?PD?DF＝PF2，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+4）（0＜m＜4），
∴F（m，﹣m+3），E（m，0），
∴PF＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+3）＝﹣m2+m+1，BE＝4﹣m，F(xiàn)E＝﹣m+3，
∴S1＝（﹣m2+m+1）2＝（m﹣4）2（2m+1）2，
S2＝?BE?EF＝（4﹣m）（﹣m+3）＝（m﹣4）2，
∵＝，
∴[（m﹣4）2（2m+1）2]：[（m﹣4）2]＝，解得m＝3或m＝﹣4（舍），
∴P（3，）．
（3）存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3﹣）或（1，3+）．理由如下：
由拋物線的解析式可知，C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°．
如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)P作x軸的平行線PH，過點(diǎn)B作x軸的平行線交PH于點(diǎn)H，

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBH＝45°，
∴∠PBH＝∠OBN，
∵∠H＝∠BKN＝90°，
∴△PHB≌△NKB（AAS），
∴HB＝BK，PH＝NK，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴BK＝3，
∴BH＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+或x＝1﹣（舍），
∴PH＝4﹣（1+）＝3﹣，
∴NK＝3﹣，
∴N（1，3﹣）；
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)N作x軸的平行線NM，過點(diǎn)B作x軸的垂線BM交NM于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q．

∵BC垂直平分PN，
∴BN＝BP，∠PBC＝∠NBC，
∵∠OBC＝∠CBM＝45°，
∴∠PBQ＝∠MBN，
∵∠M＝∠PQB＝90°，
∴△PQB≌△NMB（AAS），
∴QB＝MB，PQ＝NM，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，
∴MN＝3，
∴PQ＝3，
令﹣x2+x+4＝3，
解得x＝1+（舍）或x＝1﹣，
∴BQ＝4﹣（1﹣）＝3+，
∴BM＝3+，
∴N（1，3+）．
綜上，存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3﹣）或（1，3+）．

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，第（3）問解題關(guān)鍵是將垂直平分的條件轉(zhuǎn)化為三角形的全等，得出線段之間的關(guān)系．
6．（2022?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC＝∠BCO；
（3）如圖②，延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)M，平移二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，使頂點(diǎn)D沿著射線DM方向平移到點(diǎn)D1且CD1＝2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點(diǎn)N．如果在y1的對(duì)稱軸和y1上分別取點(diǎn)P，Q，使以MN為一邊，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸和點(diǎn)C坐標(biāo)分別確定b和c的值，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）根據(jù)點(diǎn)A，D，C坐標(biāo)可得出AD，AC，CD的長(zhǎng)，從而推出三角形ADC為直角三角形，進(jìn)而得出∠DAC和∠BCO的正切值相等，從而得出結(jié)論；
（3）先得出y1的頂點(diǎn)，進(jìn)而得出先拋物線的表達(dá)式，從而求得M和N的坐標(biāo)，點(diǎn)M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分為?MNQP和?MNPQ，根據(jù)M，N和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可以得出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得結(jié)果．
【解答】（1）解：由題意得，
，
∴，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）證明：∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣1﹣2×（﹣1）+3＝4，
∴D（﹣1，4），
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴AD2＝25，
∵C（0，3），
∴CD2＝2，AC2＝18，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠DAC＝＝＝，
∵∠BOC＝90°，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠DAC＝∠BCO；
（3）解：如圖，

作DE⊥y軸于E，作D1F⊥y軸于F，
∴DE∥FD1，
∴△DEC∽△D1EF，
∴＝，
∴FD1＝2DE＝2，CF＝CE＝2，
∴D1（2，1），
∴y1的關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣2）2+1，
由﹣（x﹣2）2+1＝0得，
x＝3或x＝1，
∴M（3，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴N（0，﹣3），
設(shè)P（2，m），
當(dāng)?MNQP時(shí)，
∴MN∥PQ，PQ＝MN，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣（﹣1﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q（﹣1，8），
當(dāng)?MNPQ時(shí)，
同理可得：點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為：5，
當(dāng)x＝5時(shí)，y＝﹣（5﹣2）2+1＝﹣8，
∴Q′（5，﹣8），
綜上所述：點(diǎn)Q（﹣1，﹣8）或（5，﹣8）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求二次函數(shù)的表達(dá)式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和分類等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．
7．（2022?盤錦）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，9），點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD＝4，點(diǎn)P是線段OB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BE⊥DP，BE交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求拋物線解析式；
（2）若＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F為第一象限拋物線上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)∠FPD＝∠DPO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【分析】（1）將A（﹣3，0），C（0，9）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，建立方程組，求解即可；
（2）易證△DPO∽△BPE，所以＝＝＝，設(shè)OP＝t（0＜t＜6），所以BP＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝，PE2＝，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易證△DPO≌△DPG（AAS），所以O(shè)D＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一線三等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，設(shè)PN＝m，則MG＝2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四邊形的性質(zhì)可得8﹣4m＝2+m，解得m＝，可得G（，），由待定系數(shù)法可求得直線PF的解析式為：y＝x﹣．聯(lián)立直線PF的解析式和拋物線的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將A（﹣3，0），C（0，9）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得．
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+9．
（2）∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+9，
∴B（6，0）．
∵BE⊥DP，
∴∠E＝∠DOP＝90°，
∵∠DPO＝∠BPE，
∴△DPO∽△BPE，
∴＝＝＝，
設(shè)OP＝t（0＜t＜6），
∴BP＝6﹣t，
∴BE2＝，PE2＝，
在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，
∴+＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，
∴P（2，0）；
（3）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

∴∠DOP＝∠DGP＝90°，
∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，
∴△DPO≌△DPG（AAS），
∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，
∵GN⊥x軸，DM⊥GN，
∴∠M＝∠GNP＝90°，
∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，
∴∠MDG＝∠PGN，
∴△MDG∽△NGP，
∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，
設(shè)PN＝m，則MG＝2m，
∴GN＝4﹣2m，
∴DM＝8﹣4m，
∴8﹣4m＝2+m，解得m＝，
∴ON＝2+＝，GN＝4﹣2×＝，
∴G（，），
設(shè)直線PF的解析式為：y＝kx+b′，
∴，
解得，
∴直線PF的解析式為：y＝x﹣．
令x﹣＝﹣x2+x+9，解得x＝5或x＝﹣（舍），
∴F（5，4）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，第（2）問關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方表達(dá)出BE2和PE2；第（3）問關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，建立方程．
8．（2022?青島）已知二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3（m為常數(shù)，m＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判斷二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣3的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由．
【分析】（1）將（2，4）代入解析式求解．
（2）由判別式Δ的符號(hào)可判斷拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【解答】解：（1）將（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函數(shù)圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
9．（2022?張家界）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象與x軸交于A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若四邊形BCEF為矩形，CE＝3．點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)C沿CE向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)E沿EF向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)隨之停止．當(dāng)以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（3）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)P，點(diǎn)G是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸下方拋物線圖象上的動(dòng)點(diǎn)．若過點(diǎn)Q的直線l：y＝kx+m（|k|）與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，且分別與線段GA、GB相交于點(diǎn)H、K，求證：GH+GK為定值．

【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式可設(shè)為：y＝ax2+bx+3，將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3，解方程可得a和b的值，再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)t秒后點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)距離為EN＝2t．分兩種情形，當(dāng)△EMN∽△OBC時(shí)，得，解得t＝；當(dāng)△EMN∽△OCB時(shí)，得，解得t＝；
（3）首先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AG和BG的解析式，再根據(jù)直線l：y＝kx+m與拋物線圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式，可得Δ＝0，再求出點(diǎn)H和k的橫坐標(biāo)，從而解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝ax2+bx+3，
將A（1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：，
又∵＝，＝＝，
∴頂點(diǎn)為D；
（2）依題意，t秒后點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)距離為CM＝t，則ME＝3﹣t，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)距離為EN＝2t．
①當(dāng)△EMN∽△OBC時(shí)，
∴，
解得t＝；
②當(dāng)△EMN∽△OCB時(shí)，
∴，
解得t＝；
綜上得，當(dāng)或時(shí)，以M、E、N為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似；
（3）∵點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，
∴，
∵直線l：y＝kx+m與拋物線圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴Δ＝0，
即：，
解得：，
利用待定系數(shù)法可得直線GA的解析式為：，直線GB的解析式為：，
聯(lián)立，結(jié)合已知，
解得：xH＝，
同理可得：xK＝，
則：GH＝＝，GK＝＝×，
∴GH+GK＝+×＝，
∴GH+GK的值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式等知識(shí)，聯(lián)立兩函數(shù)關(guān)系求出點(diǎn)H和K的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．
10．（2022?銅仁市）為實(shí)施“鄉(xiāng)村振興”計(jì)劃，某村產(chǎn)業(yè)合作社種植了“千畝桃園”．2022年該村桃子豐收，銷售前對(duì)本地市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)批發(fā)價(jià)為4千元/噸時(shí)，每天可售出12噸，每噸漲1千元，每天銷量將減少2噸，據(jù)測(cè)算，每噸平均投入成本2千元，為了搶占市場(chǎng)，薄利多銷，該村產(chǎn)業(yè)合作社決定，批發(fā)價(jià)每噸不低于4千元，不高于5.5千元．請(qǐng)解答以下問題：
（1）求每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)批發(fā)價(jià)定為多少時(shí)，每天所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；
（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)＝銷售量×（批發(fā)價(jià)﹣成本價(jià)），列出銷售利潤(rùn)w（千元）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)的增減性求得最大利潤(rùn)．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得y＝12﹣2（x﹣4）＝﹣2x+20（4≤x≤5.5），
所以每天銷量y（噸）與批發(fā)價(jià)x（千元/噸）之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+20，
自變量x的取值范圍是4≤x≤5.5；
（2）設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為W千元，根據(jù)題意得w＝（﹣2x+20）（x﹣2）＝﹣2x2+24x﹣40＝﹣2（x﹣6）2+32，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＜6，W隨x的增大而增大．
∵4≤x≤5.5，
∴當(dāng)x＝5.5時(shí)，w有最大值，最大值為﹣2×（5.5﹣6）2+32＝31.5，
∴將批發(fā)價(jià)定為5.5元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是31.5千元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．
11．（2022?遼寧）某蔬菜批發(fā)商以每千克18元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批山野菜，市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，山野菜的日銷售量y（千克）與每千克售價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：
每千克售價(jià)x（元）
……
20
22
24
……
日銷售量y（千克）
……
66
60
54
……
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為多少元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？
【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由表中數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)每日總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由表中數(shù)據(jù)得：，
解得：，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣3x+126；
（2）設(shè)批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)為w元，
由題意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市場(chǎng)監(jiān)督部門規(guī)定其售價(jià)每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＜30時(shí)，w隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝28時(shí)，w最大，最大值為420，
∴當(dāng)每千克山野菜的售價(jià)定為28元時(shí)，批發(fā)商每日銷售這批山野菜所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為420元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系寫出函數(shù)解析式．
12．（2022?百色）已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求證：∠BOF＝∠BDF；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．


【分析】（1）把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，即可得解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，再由BF＝BF，得出△BOF≌△BDF，最后利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（3）分兩種情況討論解答，當(dāng)M在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，先求出∠M，再利用解直角三角形得出結(jié)果，當(dāng)M在線段BD上時(shí)，得出∠BOM＝30°，類別①解答即可．
【解答】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入
得：，解得，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）證明：∵正方形OBDC，
∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，
∵BF＝BF，
∴△BOF≌△BDF，
∴∠BOF＝∠BDF；
（3）解：∵拋物線交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，
∴令y＝3，則3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，
∴E（2，3），
①如圖，

當(dāng)M在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠BDF為銳角，
∴∠FDM為鈍角，
∵△MDF為等腰三角形，
∴DF＝DM，
∴∠M＝∠DFM，
∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，
∵BM∥OC，
∴∠M＝∠MOC，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，
∴∠M＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；
②如圖，

當(dāng)M在線段BD上時(shí)，∠DMF為鈍角，
∵△MDF為等腰三角形，
∴MF＝DM，
∴∠BDF＝∠MFD，
∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，
由（2）得∠BOF＝∠BDF，
∴∠BMO＝2∠BOM，
∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝30°，
在Rt△BOM中，
BM＝，
∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，
綜上所述，ME的值為：3﹣2或2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
13．（2022?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為x＝t．
（1）當(dāng)c＝2，m＝n時(shí)，求拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及t的值；
（2）點(diǎn)（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)（1，m），N（3，n）代入拋物線解析式，再根據(jù)m＝n得出b＝﹣4a，再求對(duì)稱軸即可；
（2）再根據(jù)m＜n＜c，可確定出對(duì)稱軸的取值范圍，進(jìn)而可確定x0的取值范圍．
【解答】解：（1）將點(diǎn)（1，m），N（3，n）代入拋物線解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
當(dāng)t＝時(shí)，x0＝2；
當(dāng)t＝2時(shí)，x0＝3．
∴x0的取值范圍2＜x0＜3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解．
14．（2022?北京）單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)．運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．
（1）第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
水平距離x/m
0
2
5
8
11
14
豎直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．記該運(yùn)動(dòng)員第一次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d1，第二次訓(xùn)練的著陸點(diǎn)的水平距離為d2，則d1?。肌2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出h、k的值，運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值；將表格中除頂點(diǎn)坐標(biāo)之外的一組數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式即可求出a的值即可得出函數(shù)解析式；
（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用t表示出d1和d2，然后進(jìn)行比較即可．
【解答】解：（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即該運(yùn)動(dòng)員豎直高度的最大值為23.20m，
根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則第一次訓(xùn)練時(shí)，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+或x＝8﹣，
∴根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離d1＝8+，
第二次訓(xùn)練時(shí)，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+或x＝9﹣，
∴根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時(shí)著陸點(diǎn)的水平距離d2＝9+，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴＜，
∴d1＜d2，
故答案為：＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，用t表示出d1和d2是解題的關(guān)鍵．
15．（2022?呼和浩特）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，2），與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，連接AC、BC．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖1，若點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，連接BD，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，分別交BC、x軸于點(diǎn)M、N，當(dāng)△PMC中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OBC度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．


【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，令y＝0得A（﹣1，0）；
（2）由A（﹣1，0），C（0，2），知線段AC的中點(diǎn)D（﹣，1），設(shè)E（0，t），根據(jù)∠BED＝90°，得[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，即可解得E的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，2）；
（3）分當(dāng)∠PCM＝2∠OBC時(shí)，∠CMP＝2∠OBC時(shí)，當(dāng)∠CPM＝2∠OBC時(shí)三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形，勾股定理等性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)B（4，0）和點(diǎn)C（0，2）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中，
則，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，
在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0得﹣x2+x+2＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0）；
（2）存在y軸上一點(diǎn)E，使得△BDE是以BD為斜邊的直角三角形，理由如下：
如圖：

∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，A（﹣1，0），C（0，2），
∴D（﹣，1），
設(shè)E（0，t），
又B（4，0），
∵∠BED＝90°，
∴BE2+DE2＝BD2，
即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（﹣﹣0）2+（1﹣t）2]＝（4+）2+（0﹣1）2，
化簡(jiǎn)得：t2﹣t﹣2＝0，
解得：t1＝﹣1，t2＝2，
∴E的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，2）；
（3）∵B（4，0）、C（0，2），
∴設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+2（k≠0），
把點(diǎn)B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0，
解得：k＝﹣，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+m+2），則M（m，﹣m+2），
①當(dāng)∠PCM＝2∠OBC時(shí)，
過點(diǎn)C作CF⊥PM于點(diǎn)F，如圖，

∵CF⊥PM，PM∥y軸，
∴CF∥OB，
∴∠FCM＝∠OBC，F(xiàn)（m，2），
又∵∠PCM＝2∠OBC，
∴∠PCF＝FCM＝∠OBC，
∴F是線段PM的中點(diǎn)，
∴＝2，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m＝2或m＝0，
∵點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴m＝2；
②∠CMP＝2∠OBC時(shí)，
∵∠CMP＝∠BMN，
∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM，
∵PN⊥x軸，
∴∠BMN+∠NBM＝90°，
即3∠NBM＝90°，
∴∠NBM＝30°，
∴OC＝BC，
∵BC＝＝＝2≠4，
∴此種情況不存在；
③當(dāng)∠CPM＝2∠OBC時(shí)，
∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC，
∴∠PCM＝∠CMP，
∴PC＝PM，
∴（m﹣0）2+（﹣+m+2﹣2）2＝[（﹣+m+2）﹣（﹣m+2）]2，
整理得：m2+m4﹣m3+m2＝m4﹣2m3+4m2，
解得：m＝；
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
16．（2022?遼寧）拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對(duì)稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的點(diǎn)，連接PA，PC，△BAF的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，當(dāng)S2＝S1時(shí)．求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）如圖②，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時(shí)（AE與CD不是對(duì)應(yīng)邊），請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．


【分析】（1）將A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，即可求解；
（2）過點(diǎn)P作x軸垂線交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則N（m，m﹣3），S2＝×OA×PM＝m2+m，S1＝×BF×AD＝4，由題意可求m的值；
（3）設(shè)Q（x，y），分四種情況討論：①當(dāng)△CDF∽△QAE時(shí)，AQ＝5，EQ＝5，可求Q（﹣7，5）；②當(dāng)△CDF∽△AQE時(shí)，AQ＝5，QE＝10，解得Q（﹣12，5）；③當(dāng)△CDF∽△EQA時(shí)，EQ＝5，AQ＝10，可求得Q（3，﹣10）；④當(dāng)△CDF∽△QEA時(shí)，EQ＝5，AQ＝5，解得Q（3，﹣5）．
【解答】解：（1）將A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）將A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），
過點(diǎn)P作x軸垂線交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，
設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則N（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或；
（3）∵C（0，﹣3），D（1，0），F(xiàn)（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
設(shè)Q（x，y），
①當(dāng)△CDF∽△QAE時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②當(dāng)△CDF∽△AQE時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③當(dāng)△CDF∽△EQA時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④當(dāng)△CDF∽△QEA時(shí)，＝＝，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
綜上所述：Q點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
17．（2022?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．
（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．


【分析】（1）把點(diǎn)B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，解方程組，可得結(jié)論；
（2）存在．如圖1中，設(shè)D（t，t2+t﹣4），連接OD．構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決問題；
（3）如圖2中，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4），分三種情形：∠PAB＝90°，∠PBA＝90°，∠APB＝90°，分別求解可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣4），點(diǎn)C（2，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+x﹣4；

（2）存在．
理由：如圖1中，設(shè)D（t，t2+t﹣4），連接OD．

令y＝0，則x2+x﹣4＝0，
解得x＝﹣4或2，
∴A（﹣4，0），C（2，0），
∵B（0，﹣4），
∴OA＝OB＝4，
∵S△ABD＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴t＝﹣2時(shí)，△ABD的面積最大，最大值為4，此時(shí)D（﹣2，﹣4）；

（3）如圖2中，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BM⊥拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．則N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；

∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
當(dāng)∠P1AB＝90°時(shí)，△ANP1是等腰直角三角形，
∴AN＝NP1＝3，
∴P1（﹣1，3），
當(dāng)∠ABP2＝90°時(shí)，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），
當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，設(shè)P（﹣1，n），設(shè)AN的中點(diǎn)為J，連接PJ，則J（﹣2，﹣2），
∴NJ＝AB＝2，
∴12+（n+2）2＝（2）2，
解得n＝﹣2或﹣﹣2，
∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
18．（2022?常州）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的自變量x的部分取值和對(duì)應(yīng)函數(shù)值y如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
﹣5
﹣12
…
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的表達(dá)式；
（2）將二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像向右平移k（k＞0）個(gè)單位，得到二次函數(shù)y＝mx2+nx+q的圖像，使得當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4＜x＜5時(shí)，y隨x增大而減小．請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的二次函數(shù)y＝mx2+nx+q的表達(dá)式y(tǒng)＝　y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一）　，實(shí)數(shù)k的取值范圍是 　4≤k≤5?。?br /> （3）A、B、C是二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖像上互不重合的三點(diǎn)．已知點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是m、m+1，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸對(duì)稱，求∠ACB的度數(shù)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）將二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖像向右平移k（k＞0）個(gè)單位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的圖象，新圖象的對(duì)稱軸為直線x＝k﹣1，根據(jù)當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4＜x＜5時(shí)，y隨x增大而減小，且拋物線開口向下，知3≤k﹣1≤4，得4≤k≤5，即可得到答案；
（3）求出A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），過B作BH⊥AC于H，可得BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，故△BHC是等腰直角三角形，∠ACB＝45°．
【解答】解：（1）將（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖：

∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴將二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖像向右平移k（k＞0）個(gè)單位得y＝﹣（x﹣k+1）2+4的圖象，
∴新圖象的對(duì)稱軸為直線x＝k﹣1，
∵當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)4＜x＜5時(shí)，y隨x增大而減小，且拋物線開口向下，
∴3≤k﹣1≤4，
解得4≤k≤5，
∴符合條件的二次函數(shù)y＝mx2+nx+q的表達(dá)式可以是y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案為：y＝﹣x2+6x﹣5（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）如圖：

∵點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是m、m+1，
∴yA＝﹣m2﹣2m+3，yB＝﹣（m+1）2﹣2（m+1）+3＝﹣m2﹣4m，
∴A（m，﹣m2﹣2m+3），B（m+1，m2﹣m），
∵點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸對(duì)稱，而拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴＝﹣1，AC∥x軸，
∴xC＝﹣2﹣m，
∴C（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
過B作BH⊥AC于H，
∴BH＝|﹣m2﹣4m﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|﹣2m﹣3|，CH＝|（﹣2﹣m）﹣（m+1）|＝|﹣2m3|，
∴BH＝CH，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴∠HCB＝45°，即∠ACB＝45°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，拋物線的平移變換，等腰直角三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
19．（2022?遼寧）某超市以每件13元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，銷售時(shí)該商品的銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于18元．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

【分析】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+500；
（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤(rùn)為w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴當(dāng)x＜19時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴當(dāng)x＝18時(shí)，w有最大值，最大值為700，
∴售價(jià)定為18元/件時(shí)，每天最大利潤(rùn)為700元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式．
20．（2022?遼寧）如圖，拋物線y＝ax2﹣3x+c與x軸交于A（﹣4，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)D為x軸上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，射線OD交直線AC于點(diǎn)E，將射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線OP，OP交直線AC于點(diǎn)F，連接DF．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在第二象限且＝時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)△ODF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．


【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB交于G，交AC于點(diǎn)H，設(shè)D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），由DH∥OC，可得＝＝，求出D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）設(shè)F（t，t+4），當(dāng)∠FDO＝45°時(shí)，過點(diǎn)D作MN⊥y軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM⊥MN交于點(diǎn)M，證明△MDF≌△NOD（AAS），可得D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，求出D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）或（，2）；當(dāng)∠DFO＝90°時(shí)，過點(diǎn)F作KL⊥x軸交于L點(diǎn)，過點(diǎn)D作DK⊥KL交于點(diǎn)K，證明△KDF≌△LFO（AAS），得到D點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，求得D（0，4）或（﹣3，4）．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）過點(diǎn)D作DG⊥AB交于G，交AC于點(diǎn)H，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+4，
設(shè)D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），
∴DH＝﹣n2﹣4n，
∵DH∥OC，
∴＝＝，
∵OC＝4，
∴DH＝3，
∴﹣n2﹣4n＝3，
解得n＝﹣1或n＝﹣3，
∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；
（3）設(shè)F（t，t+4），
當(dāng)∠FDO＝45°時(shí)，過點(diǎn)D作MN⊥y軸交于點(diǎn)N，過點(diǎn)F作FM⊥MN交于點(diǎn)M，
∵∠DOF＝45°，
∴DF＝DO，
∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，
∴∠NDO＝∠MFD，
∴△MDF≌△NOD（AAS），
∴DM＝ON，MF＝DN，
∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），
∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
∴﹣x2﹣3x+4＝2，
解得x＝或x＝，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）或（，2）；
當(dāng)∠DFO＝90°時(shí)，過點(diǎn)F作KL⊥x軸交于L點(diǎn)，過點(diǎn)D作DK⊥KL交于點(diǎn)K，
∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，
∴∠LFO＝∠KDF，
∵DF＝FO，
∴△KDF≌△LFO（AAS），
∴KD＝FL，KF＝LO，
∴KL＝t+4﹣t＝4，
∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
∴﹣x2﹣3x+4＝4，
解得x＝0或x＝﹣3，
∴D（0，4）或（﹣3，4）；
綜上所述：D點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．



【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．
21．（2022?臨沂）第二十四屆冬奧會(huì)在北京成功舉辦，我國(guó)選手在跳臺(tái)滑雪項(xiàng)目中奪得金牌．在該項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員首先沿著跳臺(tái)助滑道飛速下滑，然后在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止．本項(xiàng)目主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿態(tài)，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入研究：
如圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過起跳點(diǎn)A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．著陸坡AC的坡角為30°，OA＝65m，某運(yùn)動(dòng)員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，AB＝100m．在空中飛行過程中，運(yùn)動(dòng)員到x軸的距離y（m）與水平方向移動(dòng)的距離x（m）具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為y＝﹣x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員在飛行過程中，其水平方向移動(dòng)的距離x（m）與飛行時(shí)間t（s）具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)騰空時(shí)，t＝0，x＝0；空中飛行5s后著陸．
①求x關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)t為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是多少？


【分析】（1）根據(jù)題意，可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式，即可得到b、c的值；
（2）①根據(jù)題意，可以得到x關(guān)于t的函數(shù)圖象經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)，然后根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到x關(guān)于t的函數(shù)的解析式；
②先求出直線AB的解析式，再根據(jù)題意，可以表示出h，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得當(dāng)h為何值時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，并求出這個(gè)最大值．
【解答】解：（1）作BE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵OA＝65m，著陸坡AC的坡角為30°，AB＝100m，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，65），AE＝50m，BE＝50m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（50，15），
∵點(diǎn)A（0，65），點(diǎn)B（50，15）在二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象上，
∴，
解得，
即b的值是，c的值是65；
（2）①設(shè)x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝kt+m，
因?yàn)辄c(diǎn)（0，0），（5，50）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即x關(guān)于t的函數(shù)解析式是x＝10t；
②設(shè)直線AB的解析式為y＝px+q，
∵點(diǎn)A（0，65），點(diǎn)B（50，15）在該直線上，
∴，
解得，
即直線AB的解析式為y＝﹣x+65，
則h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，
∴當(dāng)x＝﹣＝25時(shí)，h取得最值，此時(shí)h＝，
∵25＜50，
∴x＝25時(shí)，h取得最值，符合題意，
將x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，
解得t＝2.5，
即當(dāng)t為2.5時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離著陸坡的豎直距離h最大，最大值是m．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．
22．（2022?恩施州）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+c與y軸交于點(diǎn)P（0，4）．
（1）直接寫出拋物線的解析式．
（2）如圖，將拋物線y＝﹣x2+c向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，記平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q，平移后的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．判斷以B、C、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是否為直角三角形，并說明理由．
（3）直線BC與拋物線y＝﹣x2+c交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右側(cè)），請(qǐng)?zhí)骄吭趚軸上是否存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（4）若將拋物線y＝﹣x2+c進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠揭?，?dāng)平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出拋物線y＝﹣x2+c平移的最短距離并求出此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．


【分析】（1）把點(diǎn)P（0，4）代入y＝﹣x2+c，即可求得答案；
（2）根據(jù)題意平移后的新拋物線y＝﹣（x+1）2+4，平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q（﹣1，4），再求出C（0，3），B（﹣3，0），A（1，0），如圖1，連接BQ，CQ，PQ，可推出：△CPQ是等腰直角三角形，△BOC是等腰直角三角形，即可證得△BCQ是直角三角形．
（3）設(shè)T（x，0），且x＞0，則BT＝x+3，利用待定系數(shù)法得出直線BC的解析式為y＝x+3，聯(lián)立方程組求得：M（﹣，），N（，），進(jìn)而可得BN＝，再分兩種情況：①當(dāng)△NBT∽△CBA時(shí)，則＝，②當(dāng)△NBT∽△ABC時(shí)，則＝，分別建立方程求解即可得出答案．
（4）由于直線AB與y軸的夾角為45°，當(dāng)拋物線沿著垂直直線AB的方向平移到只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，平移距離最小，此時(shí)向右和向下平移距離相等，設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P′（t，4﹣t），可得y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，聯(lián)立得x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，運(yùn)用根的判別式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+c與y軸交于點(diǎn)P（0，4），
∴c＝4，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4；
（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：
將拋物線y＝﹣x2+4向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得新拋物線y＝﹣（x+1）2+4，
∴平移后的拋物線頂點(diǎn)為Q（﹣1，4），
令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0），A（1，0），
如圖1，連接BQ，CQ，PQ，
∵P（0，4），Q（﹣1，4），
∴PQ⊥y軸，PQ＝1，
∵CP＝4﹣3＝1，
∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，
∴△CPQ是等腰直角三角形，
∴∠PCQ＝45°，
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCQ是直角三角形．
（3）在x軸上存在點(diǎn)T，使得以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．
∵△ABC是銳角三角形，∠ABC＝45°，
∴以B、N、T三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，必須∠NBT＝∠ABC＝45°，
即點(diǎn)T在y軸的右側(cè)，
設(shè)T（x，0），且x＞0，則BT＝x+3，
∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），
∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
則，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝x+3，
由，
解得：，，
∴M（﹣，），N（，），
∴BN＝×＝，
①當(dāng)△NBT∽△CBA時(shí)，則＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
②當(dāng)△NBT∽△ABC時(shí)，則＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴T（，0）；
綜上所述，點(diǎn)T的坐標(biāo)T（，0）或（，0）．
（4）拋物線y＝﹣x2+4的頂點(diǎn)為P（0，4），
∵直線BC的解析式為y＝x+3，
∴直線AB與y軸的夾角為45°，當(dāng)拋物線沿著垂直直線AB的方向平移到只有1個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，平移距離最小，此時(shí)向右和向下平移距離相等，
設(shè)平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P′（t，4﹣t），
則平移后的拋物線為y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，
由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，
整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，
∵平移后的拋物線與直線BC最多只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，
解得：t＝，
∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)為P′（，），平移的最短距離為．



【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線的平移變換，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式的應(yīng)用等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．
23．（2022?內(nèi)江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．


【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可解決問題；
（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，可用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，從而可以用m的代數(shù)式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出關(guān)于m的二次函數(shù)，運(yùn)用二次函數(shù)的最值即可解決問題；
（3）根據(jù)S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，交直線AC于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，如圖．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+t，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝x+2．
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)G的橫坐標(biāo)也為m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離取得最大值．
此時(shí)yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2）；

（3）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
則BE：AE＝1：5或5：1
則AE＝5或1，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣3，0），
將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
聯(lián)立方程組或，
解得：x＝6或﹣（不合題意值已舍去），
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)、圖象面積計(jì)算等，解決問題的關(guān)鍵是將面積比轉(zhuǎn)化為線段比．
24．（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y＝bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線y＝2x2+3x+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y＝3x2+2x+1．已知拋物線C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2．
（1）寫出C2的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＞0，過x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N．
①當(dāng)MN＝6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)a﹣4≤x≤a﹣2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2a，求a的值．
【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則可表達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)MN的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②分情況討論，當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時(shí)，當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時(shí)，當(dāng)a﹣4≤a﹣2≤﹣2時(shí)，分別得出C2的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出a的值．
【解答】解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∵過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于點(diǎn)M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵M(jìn)N＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式為：y＝a（x+2）2﹣3，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣3，
當(dāng)x＝a﹣4時(shí)，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
當(dāng)x＝a﹣2時(shí)，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，
Ⅰ、當(dāng)a﹣4≤﹣2≤a﹣2時(shí)，0＜a≤2，
且當(dāng)0＜a≤1時(shí)，函數(shù)的最大值為a（a﹣2）2﹣3；函數(shù)的最小值為﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，函數(shù)的最大值為a3﹣3；函數(shù)的最小值為﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、當(dāng)﹣2≤a﹣4≤a﹣2時(shí)，a≥2，
函數(shù)的最大值為a3﹣3，函數(shù)的最小值為a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
Ⅲ、當(dāng)a﹣4≤a﹣2≤﹣2時(shí)，a≤0，不符合題意，舍去；
綜上，a的值為2﹣或．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出C2的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
25．（2022?海南）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，3），并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)P（x，y）在第一象限的拋物線上，AP交直線BC于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）時(shí)，求四邊形BOCP的面積；
（3）點(diǎn)Q在拋物線上，當(dāng)?shù)闹底畲笄摇鰽PQ是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；
（4）如圖2，作CG⊥CP，CG交x軸于點(diǎn)G（n，0），點(diǎn)H在射線CP上，且CH＝CG，過GH的中點(diǎn)K作KI∥y軸，交拋物線于點(diǎn)I，連接IH，以IH為邊作出如圖所示正方形HIMN，當(dāng)頂點(diǎn)M恰好落在y軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（2）可推出△PCB是直角三角形，進(jìn)而求出△BOC和△PBC的面積之和，從而求得四邊形BOCP的面積；
（3）作PE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)△PDE∽△ADB，求得的函數(shù)解析式，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分為點(diǎn)P和點(diǎn)A和點(diǎn)Q分別為直角頂點(diǎn)，構(gòu)造“一線三直角”，進(jìn)一步求得結(jié)果；
（4）作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根據(jù)△GLC≌△CRH可表示出H點(diǎn)坐標(biāo)，從而表示出點(diǎn)K坐標(biāo)，進(jìn)而表示出I坐標(biāo)，根據(jù)MT＝IW，構(gòu)建方程求得n的值．
【解答】解：（1）由題意得，
，
∴，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2﹣3，
∴B（3，0），
∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，
∴PC2+BC2＝PB2，
∴∠PCB＝90°，
∴S△PBC＝＝＝3，
∵S△BOC＝＝＝，
∴S四邊形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；
（3）如圖1，作PE∥AB交BC的延長(zhǎng)線于E，

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，
x＝m2﹣2m，
∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，
∵PE∥AB，
∴△PDE∽△ADB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴當(dāng)m＝時(shí)，（）最大＝，
當(dāng)m＝時(shí)，y＝﹣（）2+2×+3＝，
∴P（，），
設(shè)Q（n，﹣n2+2n+3），
如圖2，當(dāng)∠PAQ＝90°時(shí)，過點(diǎn)A作y軸平行線AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，則△AFP∽△GQA，

∴＝，
∴＝，
∴n＝，
如圖3，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，過QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，

∴＝，
∴＝，
可得n1＝1，n2＝，
如圖4，當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，作PT⊥AB于T，作OR⊥PT于R，

同理可得：＝，
∴n＝，
綜上所述：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：或1或或；
（4）如圖5，作GL∥y軸，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于點(diǎn)W，則△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．

∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，
∴G（n，0），H（3，3+n），
∴K（，），
∴I（，﹣（）2+n+3+3），
∵TM＝IW，
∴＝（）2+n+6﹣（3+n），
∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，
∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），
∴G（﹣4+，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“一線三直角”模型及需要較強(qiáng)計(jì)算能力．
26．（2022?包頭）由于精準(zhǔn)扶貧的措施科學(xué)得當(dāng)，貧困戶小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天全部銷售完．小穎對(duì)銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，在該草莓上市第x天（x取整數(shù)）時(shí)，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝，草莓價(jià)格m（單位：元/千克）與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求第14天小穎家草莓的日銷售量；
（2）求當(dāng)4≤x≤12時(shí)，草莓價(jià)格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）試比較第8天與第10天的銷售金額哪天多？

【分析】（1）當(dāng)10≤x≤16時(shí)，y＝﹣20x+320，把x＝14代入，求出其解即可；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得草莓價(jià)格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用銷售金額＝銷售量×草莓價(jià)格，比較第8天與第10天的銷售金額，即可得答案．
【解答】解：（1）∵當(dāng)10≤x≤16時(shí)，y＝﹣20x+320，
∴當(dāng)x＝14時(shí)，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小穎家草莓的日銷售量是40千克．
（2）當(dāng)4≤x≤12時(shí)，設(shè)草莓價(jià)格m與x之間的函數(shù)關(guān)系式為m＝kx+b，
∵點(diǎn)（4，24），（12，16）在m＝kx+b的圖象上，
∴，
解得：，
∴函數(shù)解析式為m＝﹣x+28．
（3）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，y＝12x，
∴當(dāng)x＝8時(shí)，y＝12×8＝96，
當(dāng)x＝10時(shí)，y＝12×10＝120；
當(dāng)4≤x≤12時(shí)，m＝﹣x+28，
∴當(dāng)x＝8時(shí)，m＝﹣8+28＝20，
當(dāng)x＝10時(shí)，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的銷售金額為：96×20＝1920（元），
第10天的銷售金額為：120×18＝2160（元），
∵2160＞1920，
∴第10天的銷售金額多．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．
27．（2022?大慶）某果園有果樹60棵，現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些果樹提高果園產(chǎn)量．如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵果樹所受光照就會(huì)減少，每棵果樹的平均產(chǎn)量隨之降低．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，增種10棵果樹時(shí)，果園內(nèi)的每棵果樹平均產(chǎn)量為75kg．在確保每棵果樹平均產(chǎn)量不低于40kg的前提下，設(shè)增種果樹x（x＞0且x為整數(shù)）棵，該果園每棵果樹平均產(chǎn)量為ykg，它們之間的函數(shù)關(guān)系滿足如圖所示的圖象．
（1）圖中點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是 　增種果樹28棵，每棵果樹平均產(chǎn)量為66kg　，每增種1棵果樹時(shí)，每棵果樹平均產(chǎn)量減少 　　kg；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)增種果樹多少棵時(shí)，果園的總產(chǎn)量w（kg）最大？最大產(chǎn)量是多少？

【分析】（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義，列算式求出每增種1棵果樹時(shí)，每棵果樹平均產(chǎn)量減少多少kg；
（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出自變量x的取值范圍；
（3）根據(jù)題意寫出二次函數(shù)解析式，根據(jù)其性質(zhì)，求出當(dāng)增種果樹多少棵時(shí)，果園的總產(chǎn)量w（kg）最大，及最大產(chǎn)量是多少．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)P所表示的實(shí)際意義是增種果樹28棵，每棵果樹平均產(chǎn)量為66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增種1棵果樹時(shí)，每棵果樹平均產(chǎn)量減少kg，
故答案為：增種果樹28棵，每棵果樹平均產(chǎn)量為66kg，kg；
（2）
設(shè)在10棵的基礎(chǔ)上增種m棵，
根據(jù)題意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣x+80；
自變量x的取值范圍：0≤x≤80；
（3）設(shè)增種果樹a棵，
W＝（60+a）（﹣0.5a+80）
＝﹣0.5a2+50a+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴a＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴當(dāng)增種果樹50棵時(shí)，果園的總產(chǎn)量w（kg）最大，最大產(chǎn)量是6050kg．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大產(chǎn)量是解題關(guān)鍵．
28．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣4分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線y＝x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，6），將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求BP+EP取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)直線解析式可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，解方程即可；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得E（6，3），當(dāng)x＝6時(shí)，y＝＝3，可知點(diǎn)E在拋物線上；
②過點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，sin∠ABO＝，則HP＝BP，得BP+EP＝HP+PE，可知HP+PE的最小值為EH的長(zhǎng)，從而解決問題．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x﹣4分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∵拋物線y＝x2+bx+c恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣4；
（2）①∵將△ACO繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF，
∴∠OCF＝90°，CF＝CO＝6，EF＝AO＝3，EF∥y軸，
∴E（6，3），
當(dāng)x＝6時(shí)，y＝＝3，
∴點(diǎn)E在拋物線上；
②過點(diǎn)E作EH⊥AB，交y軸于P，垂足為H，

∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵sin∠ABO＝，
∴HP＝BP，
∴BP+EP＝HP+PE，
∴HP+PE的最小值為EH的長(zhǎng)，
作EG⊥y軸于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠EPG＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴PG＝，
∴OP＝﹣3＝，
∴P（0，﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩點(diǎn)之間、線段最短等知識(shí)，利用三角函數(shù)將BP轉(zhuǎn)化為HP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
29．（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，3）．點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為m．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍．
（3）若此拋物線在點(diǎn)P左側(cè)部分（包括點(diǎn)P）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2﹣m．
①求m的值．
②以PA為邊作等腰直角三角形PAQ，當(dāng)點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【分析】（1）通過待定系數(shù)法求解．
（2）令y＝0，求出拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象求解．
（3）①分類討論點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點(diǎn)為最低點(diǎn)和點(diǎn)P為最低點(diǎn)時(shí)m的值．
②根據(jù)m的值，作出等腰直角三角形求解．
【解答】解：（1）將（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴y＝x2﹣4x+3．
（2）令x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（3，0），
∵拋物線開口向上，
∴m＜1或m＞3時(shí)，點(diǎn)P在x軸上方．
（3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），對(duì)稱軸為直線x＝2，
當(dāng)m＞2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，
∴﹣1＝2﹣m，
解得m＝3，
當(dāng)m≤2時(shí)，點(diǎn)P為最低點(diǎn)，
將x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣4m+3＝2﹣m，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴m＝3或m＝．
②當(dāng)m＝3時(shí)，點(diǎn)P在x軸上，AP＝2，
∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，1）符合題意．

當(dāng)m＝時(shí)，如圖，∠QPA＝90°過點(diǎn)P作y軸平行線，交x軸于點(diǎn)F，作QE⊥PF于點(diǎn)E，

∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°，
∴∠QPE＝∠PAF，
又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA，
∴△QEP≌△PFA（AAS），
∴QE＝PA，即2﹣m＝m2﹣4m+3，
解得m1＝（舍），m2＝．
∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣，
∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，）．
綜上所述，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（2，﹣1）或（2，1）或（2，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．
30．（2022?包頭）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，直線AM與y軸交于點(diǎn)G．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖1，N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接OM，記△AOG，△MOG的面積分別為S1，S2．當(dāng)S1＝2S2，且直線CN∥AM時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱；
（3）如圖2，直線BM與y軸交于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（2）過點(diǎn)M作MD⊥y軸，垂足為D，根據(jù)面積關(guān)系得出OA＝2MD，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m2+4），求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式，根據(jù)C點(diǎn)坐標(biāo)求出直線CN的解析式，確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)M作ME⊥x軸，垂足為E，令M（m，﹣m2+4），用m的代數(shù)式表示出OE和ME，利用三角函數(shù)得出OH和OG的代數(shù)式，根據(jù)2OH﹣OG＝7，得出關(guān)于m的方程，求出m的值即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+c（a≠0）與x軸交于（2，0），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），
∴，
解得，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2+4；
（2）證明：過點(diǎn)M作MD⊥y軸，垂足為D，

當(dāng)△AOG與△MOG都以O(shè)G為底時(shí)，
∵S1＝2S2，
∴OA＝2MD，
當(dāng)y＝0時(shí)，則﹣x2+4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，﹣m2+4），
∵點(diǎn)M在第一象限，
∴m＝1，
∴﹣m2+4＝3，
即M（1，3），
設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AM的解析式為y＝x+2，
∵CN∥AM，
∴設(shè)直線CN的解析式為y＝x+t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直線CN的解析式為y＝x+4，將其代入y＝﹣x2+4中，
得x+4＝﹣x2+4，
解得x＝0或﹣1，
∵N點(diǎn)在第二象限，
∴N（﹣1，3），
∵M(jìn)（1，3），
∴點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱；
（3）過點(diǎn)M作ME⊥x軸，垂足為E，令M（m，﹣m2+4），

∴OE＝m，ME＝﹣m2+4，
∵B（2，0），
∴OB＝2，BE＝2﹣m，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴，
∴OH＝＝＝2（2+m）＝2m+4，
∵OA＝2，
∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴，
∴OG＝＝＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7，
解得m＝，
當(dāng)m＝時(shí)，﹣m2+4＝，
∴M（，），
∴存在點(diǎn)M（，），使得2OH﹣OG＝7．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
31．（2022?綏化）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過點(diǎn)C（6，0），過點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線于點(diǎn)B，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線作正方形EGFH．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），列出交點(diǎn)式，再將點(diǎn)A（0，﹣4）可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)可得出△ABD是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)和正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)H，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)可得出直線BC的解析式，將點(diǎn)G代入直線BC的解析式即可；
（3）若存在，則△BGC是直角三角形，則需要分類討論，當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，分別求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），
∴拋物線的解析式為：y＝a（x+2）（x﹣6），
將點(diǎn)A（0，﹣4）解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝．
∴拋物線的解析式為：y＝（x+2）（x﹣6）＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AB⊥y軸，A（0，﹣4），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，﹣4）．
∵D（4，0），
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝m，
∴AF＝EF＝m，
∴E（m，﹣4+m），F(xiàn)（m，﹣4）．
∵四邊形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分線，點(diǎn)H是AE的中點(diǎn)．
∴H（m，﹣4+m），G（m，﹣4+m）．
∵B（4，﹣4），C（6，0），
∴直線BC的解析式為：y＝2x﹣12．
當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，有2×m﹣12＝﹣4+m．
解得m＝．
∴G（，﹣）．
（3）存在，理由如下：
∵B（4，﹣4），C（6，0），G（m，﹣4+m）．
∴BG2＝（4﹣m）2+（m）2，
BC2＝（4﹣6）2+（﹣4）2＝20，
CG2＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2．
若以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，則△BGC是直角三角形，
∴分以下三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+BC2＝CG2，
∴（4﹣m）2+（m）2+20＝（6﹣m）2+（﹣4+m）2，
解得m＝，
∴G（，﹣）；
②當(dāng)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，BC2+CG2＝BG2，
∴20+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝（4﹣m）2+（m）2，
解得m＝，
∴G（，）；
③當(dāng)點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)時(shí)，BG2+CG2＝BC2，
∴（4﹣m）2+（m）2+（6﹣m）2+（﹣4+m）2＝20，
解得m＝或2，
∴G（3，﹣3）或（，）；
綜上，存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣）或（，）或（3，﹣3）或（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，分類討論等知識(shí)，解題關(guān)鍵是由點(diǎn)E的坐標(biāo)得出點(diǎn)H，F(xiàn)，G的坐標(biāo)．本題第（3）問當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，也可通過一次函數(shù)和幾何結(jié)合求解．
32．（2022?大慶）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，將二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象中y軸左側(cè)部分沿x軸翻折，保留其他部分得到新的圖象C．
（1）求b的值；
（2）①當(dāng)m＜0時(shí)，圖C與x軸交于點(diǎn)M，N（M在N的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)P．當(dāng)△MNP為直角三角形時(shí)，求m的值；
②在①的條件下，當(dāng)圖象C中﹣4≤y＜0時(shí)，結(jié)合圖象求x的取值范圍；
（3）已知兩點(diǎn)A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），當(dāng)線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出m的取值范圍．


【分析】（1）由二次函數(shù)的對(duì)稱軸直接可求b的值；
（2）①求出M（2﹣，0），N（2+，0），再求出MN＝2，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，列出方程即可求解；
②求出拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（1，﹣4），（3，﹣4），再求出y＝x2﹣4x﹣1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0）當(dāng)﹣x2+4x+1＝﹣4時(shí)，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（﹣1，﹣4），結(jié)合圖像可得﹣1≤x＜2﹣或2﹣＜x≤1或3≤x＜2+時(shí)，﹣4≤y＜0；
（3）通過畫函數(shù)的圖象，分類討論求解即可．
【解答】解：（1）∵已知二次函數(shù)y＝x2+bx+m圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如圖1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M(jìn)在N的左側(cè)，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵△MNP為直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴拋物線y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
當(dāng)﹣x2+4x+1＝﹣4時(shí)，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴拋物線y＝﹣x2+4x+1（x＜0）與直線y＝﹣4的交點(diǎn)為（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或2﹣＜x≤1或3≤x＜2+時(shí)，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線解析式為y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如圖2，當(dāng)＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），當(dāng)x＝5時(shí)，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）與線段AB有一個(gè)交點(diǎn)，
∴m＝﹣4時(shí)，當(dāng)線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
如圖3，當(dāng)y＝x2﹣4x+m（x≥0）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，m＝﹣1，
此時(shí)圖象C與線段AB有三個(gè)公共點(diǎn)，
∴﹣4≤m＜﹣1時(shí)，線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
如圖4，當(dāng)y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣1）時(shí)，m＝1，
此時(shí)圖象C與線段AB有三個(gè)公共點(diǎn)，
如圖5，當(dāng)y＝x2﹣4x+m（x≥0）的頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此時(shí)圖象C與線段AB有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴1＜m＜3時(shí)，線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；
綜上所述：﹣4≤m＜﹣1或1＜m＜3時(shí)，線段AB與圖象C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．


















，





【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形翻折的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
33．（2022?長(zhǎng)沙）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)t﹣≤x≤t+時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)h＝，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．
（1）①若函數(shù)y＝4044x，當(dāng)t＝1時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；
②若函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；
（2）若函數(shù)y＝（x≥1），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；
（3）若函數(shù)y＝﹣x2+4x+k，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）①由題意求出M＝6066，N＝2022，再由定義可求h的值；
②分兩種情況討論：②當(dāng)k＞0時(shí)，M＝kt+k+b，N＝kt﹣k+b，h＝k；當(dāng)k＜0時(shí)，M＝kt﹣k+b，有N＝kt+k+b，h＝﹣k；
（2）由題意t﹣≥1，M＝，N＝，則h＝，所以h有最大值；
（3）分四種情況討論：①當(dāng)2≤t﹣時(shí)，M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝t﹣2；②當(dāng)t+≤2時(shí)，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，h＝2﹣t，；③當(dāng)t﹣≤2≤t，即2≤t≤，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2；④當(dāng)t＜2≤t+，N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，h＝（t﹣）2，畫出h的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得＝4+k，解得k＝﹣．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴≤x≤，
∵函數(shù)y＝4044x，
∴函數(shù)的最大值M＝6066，函數(shù)的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，
∴h＝k；
當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，
∴h＝﹣k；
綜上所述：h＝±k；
（2）t﹣≥1，即t≥，
函數(shù)y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，
∴h＝，
當(dāng)t＝時(shí)，h有最大值；
（3）存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝2，y的最大值為4+k，
①當(dāng)2≤t﹣時(shí)，即t≥，
此時(shí)M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此時(shí)h的最小值為；
②當(dāng)t+≤2時(shí)，即t≤，
此時(shí)N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此時(shí)h的最小值為；
③當(dāng)t﹣≤2≤t，即2≤t≤，
此時(shí)N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
④當(dāng)t＜2≤t+，即≤t＜2，
此時(shí)N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
h的函數(shù)圖象如圖所示：h的最小值為，
由題意可得＝4+k，
解得k＝﹣；
綜上所述：k的值為﹣．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，根據(jù)定義結(jié)合所學(xué)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合解題，分類討論是解題的關(guān)鍵．
34．（2022?賀州）2022年在中國(guó)舉辦的冬奧會(huì)和殘奧會(huì)令世界矚目，冬奧會(huì)和殘奧會(huì)的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻戶曉，成為熱銷產(chǎn)品．某商家以每套34元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批冰墩墩和雪容融套件．若該產(chǎn)品每套的售價(jià)是48元時(shí)，每天可售出200套；若每套售價(jià)提高2元，則每天少賣4套．
（1）設(shè)冰墩墩和雪容融套件每套售價(jià)定為x元時(shí)，求該商品銷售量y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求每套售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷售套件所獲利潤(rùn)W最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【分析】（1）根據(jù)題意，得y＝200﹣×4（x﹣48），化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296），化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣2x+296；
（2）根據(jù)題意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴拋物線開口向下，W有最大值，
當(dāng)x＝91時(shí)，W最大值＝6498，
答：每套售價(jià)定為：91元時(shí)，每天銷售套件所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6498元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．最大銷售利潤(rùn)的問題常利函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值（或最小值）．
35．（2022?威海）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長(zhǎng)25m，木柵欄長(zhǎng)47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場(chǎng)面積的最大值．

【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，然后根據(jù)矩形面積列函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值．
【解答】解：設(shè)矩形雞場(chǎng)與墻垂直的一邊長(zhǎng)為xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為（47﹣2x+1）m，由題意可得：
y＝x（47﹣2x+1），
即y＝﹣2（x﹣12）2+288，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝12時(shí)，y有最大值為288，
當(dāng)x＝12時(shí)，47﹣x﹣（x﹣1）＝24＜25（符合題意），
∴雞場(chǎng)的最大面積為288m2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
36．（2022?湖北）某超市銷售一種進(jìn)價(jià)為18元/千克的商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）有如下表所示的關(guān)系：
銷售單價(jià)x（元/千克）
…
20
22.5
25
37.5
40
…
銷售量y（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在如圖中描點(diǎn)（x，y），并用平滑曲線連接這些點(diǎn)，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)該超市每天銷售這種商品的利潤(rùn)為w（元）（不計(jì)其它成本）．
①求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出獲得最大利潤(rùn)時(shí)，銷售單價(jià)為多少；
②超市本著“盡量讓顧客享受實(shí)惠”的銷售原則，求w＝240（元）時(shí)的銷售單價(jià)．


【分析】（1）描點(diǎn)，用平滑曲線連接這些點(diǎn)即可得出函數(shù)圖象是一次函數(shù)，待定系數(shù)法求解可得；
（2）①根據(jù)“總利潤(rùn)＝每千克利潤(rùn)×銷售量”可得函數(shù)解析式，將其配方成頂點(diǎn)式即可得最值情況；
②根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖，

設(shè)y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)x＝34時(shí)，w有最大值，
即超市每天銷售這種商品獲得最大利潤(rùn)時(shí)，銷售單價(jià)為34元；
②當(dāng)w＝240時(shí)，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本著“盡量讓顧客享受實(shí)惠”的銷售原則，
∴x＝30．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．
37．（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C，線段CB∥x軸，交該拋物線于另一點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)及直線AC的解析式；
（2）當(dāng)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí)，此函數(shù)的最大值為p，最小值為q，且p﹣q＝2，求m的值；
（3）平移拋物線y＝x2﹣2x﹣3，使其頂點(diǎn)始終在直線AC上移動(dòng)，當(dāng)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為n，請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．

【分析】（1）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可；
（2）分四種情況討論：①當(dāng)m＞1時(shí)，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，解得m＝（舍）；②當(dāng)m+2＜1，即m＜﹣1，p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，解得m＝﹣（舍）；③當(dāng)m≤1≤m+1，即0≤m≤1，p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；④當(dāng)m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)拋物線向左平移h個(gè)單位，則向上平移h個(gè)單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，求出直線BA的解析式為y＝x﹣5，聯(lián)立方程組，由Δ＝0時(shí)，解得h＝，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)為（，﹣），此時(shí)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)拋物線向右平移k個(gè)單位，則向下平移k個(gè)單位，平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7），此時(shí)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4）時(shí)，平移后的拋物線與射線BA有兩個(gè)公共點(diǎn)，由此可求解．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)A（1，﹣4），
令x＝0，則y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵CB∥x軸，
∴B（2，﹣3），
設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，
，
解得，
∴y＝﹣x﹣3；
（2）∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝1，
①當(dāng)m＞1時(shí)，
x＝m時(shí)，q＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時(shí)，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3﹣m2+2m+3＝2，
解得m＝（舍）；
②當(dāng)m+2＜1，即m＜﹣1，
x＝m時(shí)，p＝m2﹣2m﹣3，
x＝m+2時(shí)，q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m+2）2+2（m+2）+3＝2，
解得m＝﹣（舍）；
③當(dāng)m≤1≤m+1，即0≤m≤1，
x＝1時(shí)，q＝﹣4，
x＝m+2時(shí)，p＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3，
∴p﹣q＝（m+2）2﹣2（m+2）﹣3+4＝2，
解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍）；
④當(dāng)m+1＜1≤m+2，即﹣1≤m＜0，
x＝1時(shí)，q＝﹣4，
x＝m時(shí)，p＝m2﹣2m﹣3，
∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3+4＝2，
解得m＝+1（舍）或m＝﹣+1，
綜上所述：m的值﹣1或+1；
（3）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
①如圖1，當(dāng)拋物線向左平移h個(gè)單位，則向上平移h個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，
設(shè)直線BA的解析式為y＝k'x+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣5，
聯(lián)立方程組，
整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，
當(dāng)Δ＝0時(shí)，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，
解得h＝，
此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)為（，﹣），此時(shí)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)；
②如圖2，當(dāng)拋物線向右平移k個(gè)單位，則向下平移k個(gè)單位，
∴平移后的拋物線解析式為y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，
解得k＝0（舍）或k＝3，
此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣7），此時(shí)平移后的拋物線與射線BA只有一個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4）時(shí)，平移后的拋物線與射線BA有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴綜上所述：1＜n≤4或n＝．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
38．（2022?無錫）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．
（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？

【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x） m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2m；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，根據(jù)墻的長(zhǎng)度為10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．
【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6時(shí)，3x＝18＞10不符合題意，舍去，
∴x＝2，
答：此時(shí)x的值為2m；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，
∵墻的長(zhǎng)度為10，
∴0＜x≤，
根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：當(dāng)x＝時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為m2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．
39．（2022?廣西）打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗．某特產(chǎn)公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價(jià)為50元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該種油茶的月銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該種油茶的月銷售利潤(rùn)最大？求出最大利潤(rùn)．

【分析】（1）可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖象可得x的取值范圍即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)＝銷售量×單件的利潤(rùn)，然后將（1）中的函數(shù)式代入其中，求出利潤(rùn)和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤(rùn)．
【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx+b，由題意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
當(dāng)y＝0時(shí)，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小數(shù)位數(shù)只有一位且小數(shù)部分為偶數(shù)的數(shù)）；
（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵拋物線開口向下，
∴50＜x＜100，
∴當(dāng)x＝75時(shí)，w有最大值，是3125，
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為75元時(shí)，該種油茶的月銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3125元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，在本題中，還需注意的是自變量的取值范圍．
40．（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段OC的中點(diǎn)，則△POD能否是等邊三角形？請(qǐng)說明理由；
（3）過點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．


【分析】（1）把點(diǎn)B（2，0）代入y＝﹣2x2+bx+c中，再由對(duì)稱軸是直線x＝列方程，兩個(gè)方程組成方程組可解答；
（2）當(dāng)△POD是等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P在OD的垂直平分線上，所以作OD的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，計(jì)算OD≠PD，可知△POD不可能是等邊三角形；
（3）分種情況：①當(dāng)PC∥x軸時(shí)，△CPM∽△BHM時(shí)，根據(jù)PH的長(zhǎng)列方程可解答；②②如圖3，△PCM∽△BHM，過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，證明△PEC∽△COB，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+2x+4；
（2）△POD不可能是等邊三角形，理由如下：
如圖1，取OD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EP∥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，連接PD，PO，

∵C（0，4），D是OD的中點(diǎn)，
∴E（0，1），
當(dāng)y＝1時(shí)，﹣2x2+2x+4＝1，
2x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍），
∴P（，1），
∴OD≠PD，
∴△POD不可能是等邊三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣2t2+2t+4），則OH＝t，BH＝2﹣t，
分兩種情況：
①如圖2，△CMP∽△BMH，

∴∠PCM＝∠OBC，∠BHM＝∠CPM＝90°，
∴tan∠OBC＝tan∠PCM，
∴＝＝＝＝2，
∴PM＝2PC＝2t，MH＝2BH＝2（2﹣t），
∵PH＝PM+MH，
∴2t+2（2﹣t）＝﹣2t2+2t+4，
解得：t1＝0，t2＝1，
∴P（1，4）；
②如圖3，△PCM∽△BHM，則∠PCM＝∠BHM＝90°，

過點(diǎn)P作PE⊥y軸于E，
∴∠PEC＝∠BOC＝∠PCM＝90°，
∴∠PCE+∠EPC＝∠PCE+∠BCO＝90°，
∴∠BCO＝∠EPC，
∴△PEC∽△COB，
∴＝，
∴＝，
解得：t1＝0（舍），t2＝，
∴P（，）；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法，等邊三角形的判定，相似三角形性質(zhì)和判定，三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類討論的思想解決以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似的情況．
41．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

【分析】（1）根據(jù)A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）過Q作QE⊥x軸于E，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，易證△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出QE的長(zhǎng)，又因?yàn)镾△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，進(jìn)而得到△CPQ面積和m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積最大值．
【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；

（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，

設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA?CF﹣PA?QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當(dāng)m＝﹣1時(shí) S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中某些特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．此題綜合性較強(qiáng)，中等難度，是一道很好的試題．
42．（2022?荊州）某企業(yè)投入60萬(wàn)元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24﹣x，第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件．
（1）求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計(jì)入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．
①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；
②若第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過13萬(wàn)件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元？
【分析】（1）根據(jù)總利潤(rùn)＝每件利潤(rùn)×銷售量﹣投資成本，列出式子即可；
（2）①構(gòu)建方程即可求出該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；
②根據(jù)題意求出自變量的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問題；
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：w＝（x﹣8）（24﹣x）﹣60＝﹣x2+32x﹣252；
（2）①∵該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，
∴4＝﹣x2+32x﹣252，
解得：x＝16，
答：該產(chǎn)品第一年的售價(jià)是16元．
②∵第二年產(chǎn)品售價(jià)不超過第一年的售價(jià)，銷售量不超過13萬(wàn)件，
∴，
解得11≤x≤16，
設(shè)第二年利潤(rùn)是w'萬(wàn)元，
w'＝（x﹣6）（24﹣x）﹣4＝﹣x2+30x﹣148，
∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝15，又11≤x≤16，
∴x＝11時(shí)，w'有最小值，最小值為（11﹣6）×（24﹣11）﹣4＝61（萬(wàn)元），
答：第二年的利潤(rùn)至少為61萬(wàn)元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程或函數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．
43．（2022?河南）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求拋物線的表達(dá)式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m．身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．

【分析】（1）由拋物線頂點(diǎn)（5，3.2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；
（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得她與爸爸的水平距離為2m或6m．
【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)為（5，3.2），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，
答：拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；
（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，﹣x2+x+＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴她與爸爸的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，與爸爸的水平距離是2m或6m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
44．（2022?湘潭）為落實(shí)國(guó)家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長(zhǎng)12m）和21m長(zhǎng)的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動(dòng)實(shí)踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（除圍墻外，實(shí)線部分為籬笆墻，且不浪費(fèi)籬笆墻），請(qǐng)根據(jù)設(shè)計(jì)方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長(zhǎng)度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個(gè)寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長(zhǎng)；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請(qǐng)問BC應(yīng)設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)？此時(shí)最大面積為多少？


【分析】（1）設(shè)水池的長(zhǎng)為am，根據(jù)Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形面積減水池面積等于種植面積列方程求解即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)BC長(zhǎng)為xm，則CD長(zhǎng)度為21﹣3x，得出面積關(guān)于x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），
設(shè)水池的長(zhǎng)為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的長(zhǎng)為8m、DG的長(zhǎng)為4m；
（2）設(shè)BC長(zhǎng)為xm，則CD長(zhǎng)度為21﹣3x，
∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝時(shí)，總種植面積有最大值為m2，
即BC應(yīng)設(shè)計(jì)為m總種植面積最大，此時(shí)最大面積為m2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解題的關(guān)鍵．
45．（2022?隨州）2022年的冬奧會(huì)在北京舉行，其中冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場(chǎng)面．某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個(gè)“冰墩墩”后很快就被搶購(gòu)一空，該店決定讓當(dāng)天未購(gòu)買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購(gòu)買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個(gè)（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計(jì)，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個(gè)）和需求量y2（單位：個(gè)）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會(huì)購(gòu)買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供應(yīng)量y1（個(gè)）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（個(gè)）
220
229
…
245
…
220
…
164
（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購(gòu)買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個(gè)）
（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個(gè)“冰墩墩”售價(jià)為100元，求第4天與第12天的銷售額．
【分析】（1）由已知直接可得y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，設(shè)y2＝ax2+bx+c，用待定系數(shù)法可得y2＝﹣x2+12x+209；
（2）求出前9天的總供應(yīng)量為（1350+36m）個(gè)，前10天的供應(yīng)量為（1500+45m）個(gè)，根據(jù)前9天的總需求量為2136個(gè)，前10天的總需求量為2136+229＝2365（個(gè)），可得，而m為正整數(shù)，即可解得m的值為20或21；
（3）m最小值為20，從而第4天的銷售量即供應(yīng)量為y1＝210，銷售額為21000元，第12天的銷售量即需求量為y2＝209，銷售額為20900元．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
設(shè)y2＝ax2+bx+c，將（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的總供應(yīng)量為150+（150+m）+（150+2m）+......+（150+8m）＝（1350+36m）個(gè)，
前10天的供應(yīng)量為1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）個(gè)，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的總需求量為2136個(gè)，
∴前10天的總需求量為2136+229＝2365（個(gè)），
∵前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m為正整數(shù)，
∴m的值為20或21；
（3）由（2）知，m最小值為20，
∴第4天的銷售量即供應(yīng)量為y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的銷售額為210×100＝21000（元），
而第12天的銷售量即需求量為y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的銷售額為209×100＝20900（元），
答：第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和不等式組解決問題．
46．（2022?湖北）為增強(qiáng)民眾生活幸福感，市政府大力推進(jìn)老舊小區(qū)改造工程．和諧小區(qū)新建一小型活動(dòng)廣場(chǎng)，計(jì)劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種花卉種植費(fèi)用y（元/m2）與種植面積x（m2）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，乙種花卉種植費(fèi)用為15元/m2．
（1）當(dāng)x≤100時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當(dāng)甲種花卉種植面積不少于30m2，且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時(shí)．
①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費(fèi)用w（元）最少？最少是多少元？
②受投入資金的限制，種植總費(fèi)用不超過6000元，請(qǐng)直接寫出甲種花卉種植面積x的取值范圍．

【分析】（1）分段利用圖象的特點(diǎn)，利用待定系數(shù)法，即可求出答案；
（2）先求出x的范圍；
①分兩段建立w與x的函數(shù)關(guān)系，即可求出各自的w的最小值，最后比較，即可求出答案案；
②分兩段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）當(dāng)0＜x≤40時(shí)，y＝30；
當(dāng)40＜x≤100時(shí)，
設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，
∵線段過點(diǎn)（40，30），（100，15），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+40，
即y＝；

（2）∵甲種花卉種植面積不少于30m2，
∴x≥30，
∵乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍，
∴360﹣x≥3x，
∴x≤90，
即30≤x≤90；
①當(dāng)30≤x≤40時(shí)，
由（1）知，y＝30，
∵乙種花卉種植費(fèi)用為15元/m2．
∴w＝y(tǒng)x+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400，
當(dāng)x＝30時(shí)，wmin＝5850；
當(dāng)40＜x≤90時(shí)，
由（1）知，y＝﹣x+40，
∴w＝y(tǒng)x+15（360﹣x）＝﹣（x﹣50）2+6025，
∴當(dāng)x＝90時(shí)，wmin＝﹣（90﹣50）2+6025＝5625，
∵5850＞5625，
∴種植甲種花卉90m2，乙種花卉270m2時(shí)，種植的總費(fèi)用最少，最少為5625元；

②當(dāng)30≤x≤40時(shí)，
由①知，w＝15x+5400，
∵種植總費(fèi)用不超過6000元，
∴15x+5400≤6000，
∴x≤40，
即滿足條件的x的范圍為30≤x≤40，
當(dāng)40＜x≤90時(shí)，
由①知，w＝﹣（x﹣50）2+6025，
∵種植總費(fèi)用不超過6000元，
∴﹣（x﹣50）2+6025≤6000，
∴x≤40（不符合題意，舍去）或x≥60，
即滿足條件的x的范圍為60≤x≤90，
綜上，滿足條件的x的范圍為30≤x≤40或60≤x≤90．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)極值的確定，用分段討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．

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