?2021年中考數(shù)學(xué)真題匯編——二次函數(shù) 解答題
一．解答題（共33小題）
1．（2021?云南）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y隨x的增大而減?。O(shè)r是拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)（交點(diǎn)也稱公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求證：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下結(jié)論：m＜1，m＝1，m＞1，你認(rèn)為哪個(gè)正確？請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的那個(gè)結(jié)論．
2．（2021?溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．
3．（2021?樂山）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

4．（2021?紹興）小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑AB＝4，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯腳高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x軸上．
（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）；
（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯體A′CB′所在拋物線形狀不變，杯口直徑A′B′∥AB，杯腳高CO不變，杯深CD′與杯高OD′之比為0.6，求A′B′的長(zhǎng)．

5．（2021?樂山）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在1≤x≤3時(shí)，y的最大值為1，求a的值；
（3）將線段AB向右平移2個(gè)單位得到線段A′B′．若線段A′B′與拋物線y＝ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
6．（2021?泰安）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；
（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由．

7．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1）．點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AB，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∠ABC＝∠OAP，且點(diǎn)C位于x軸上方，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，∠ABC＝90°，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

8．（2021?金華）某游樂場(chǎng)的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會(huì)碰到水柱？請(qǐng)通過計(jì)算說明．

9．（2021?嘉興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．
10．（2021?涼山州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

11．（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
12．（2021?安徽）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點(diǎn)A、B，與拋物線y＝3（x﹣1）2交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．
13．（2021?連云港）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

14．（2021?麗水）如圖，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）連結(jié)AB，交拋物線L的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②將拋物線L向左平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L1．過點(diǎn)M作MN∥y軸，交拋物線L1于點(diǎn)N．P是拋物線L1上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為﹣1，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于點(diǎn)E，點(diǎn)E在拋物線L對(duì)稱軸的右側(cè)．若PE+MN＝10，求m的值．

15．（2021?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式和m的值；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；
（3）直線y＝1上有M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當(dāng)它移動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)會(huì)達(dá)到最小，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果保留根號(hào)）．

16．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值；
（3）把拋物線y＝x2+bx+c平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P．M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來．

17．（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如下表所示：
購(gòu)票方式
甲
乙
丙
可游玩景點(diǎn)
A
B
A和B
門票價(jià)格
100元/人
80元/人
160元/人
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．
①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
18．（2021?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)．
（1）求證：∠ACB＝90°；
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
①求DE+BF的最大值；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

19．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求△PAD面積的最大值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線y1，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y1的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．

20．（2021?湖州）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y＝2x2+mx與x軸交于另一點(diǎn)A（2，0）．
（1）求m的值和拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線AM的解析式．

21．（2021?自貢）如圖，拋物線y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；
（2）若點(diǎn)D為△ABC的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為：4，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一點(diǎn)P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

22．（2021?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且∠BAO＝∠DAO，求證：OB＝OD；
（3）在（2）的條件下，若直線AD與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E，連接BE，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

23．（2021?日照）已知：拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上任意一點(diǎn)，連PC、PB、PO，PO交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求此時(shí)k的值．
（3）如圖2，點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
①求△BDQ的周長(zhǎng)及tan∠BDQ的值；
②點(diǎn)M是y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且滿足tan∠BMQ＝（t為大于0的常數(shù)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

24．（2021?盤錦）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣2與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為 　 ??；
（2）如圖1，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，PF的延長(zhǎng)線交OB于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N，若＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SE＝SG，且tan∠SEG＝時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

25．（2021?鞍山）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）和二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（4，3）和點(diǎn)B，過點(diǎn)A作OA的垂線交x軸于點(diǎn)C．D是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、O、B不重合），E是射線AC上一點(diǎn)，且AE＝OD，連接DE，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以DE、DF為鄰邊作?DEGF．
（1）填空：k＝　 　，b＝　 ?。?br /> （2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是t（t＞0），連接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）過點(diǎn)F作AB的垂線交線段DE于點(diǎn)P若S△DFP＝S?DEGF，求OD的長(zhǎng)．

27．（2021?婁底）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）點(diǎn)P（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q．
①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)m的值；
②是否存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．

28．（2021?山西）綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．
（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．
①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM的長(zhǎng)．

29．（2021?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB，AC，BC，其中AC與x軸交于點(diǎn)E，且tan∠OBC＝2．
（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，0）為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與△ABC的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將△BMN沿直線MN翻折得到△B′MN，設(shè)四邊形B′NBM的面積為S，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，若S＝3S△ACB′，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m值．

30．（2021?濱州）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y＝x2相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長(zhǎng)．

31．（2021?阜新）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），過點(diǎn)B的直線y＝x﹣2交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B，C重合），求△PBC面積的最大值；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，將線段OM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N恰好落在直線BC上？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

32．（2021?綏化）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），點(diǎn)B（1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD．直線y＝經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BDN是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F為線段AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段OA上的一點(diǎn)，連接FG，并延長(zhǎng)FG與線段BD交于點(diǎn)H（點(diǎn)H在第一象限），當(dāng)∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

33．（2021?深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價(jià)x（萬元）與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：
x（萬元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？

2021年中考數(shù)學(xué)真題匯編——二次函數(shù) 解答題
參考答案與試題解析
一．解答題（共33小題）
1．（2021?云南）已知拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y隨x的增大而減?。O(shè)r是拋物線y＝﹣2x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)（交點(diǎn)也稱公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)，m＝．
（1）求b、c的值；
（2）求證：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下結(jié)論：m＜1，m＝1，m＞1，你認(rèn)為哪個(gè)正確？請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的那個(gè)結(jié)論．
【分析】（1）當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y隨x的增大而減小，可得對(duì)稱軸為直線x＝﹣4，且拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），列出方程組即可得答案；
（2）由r是拋物線y＝﹣2x2﹣16x﹣2與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得r2+8r+1＝0，r2+1＝﹣8r，兩邊平方得（r2+1）2＝（﹣8r）2，r4+2r2+1＝64r2，即可得結(jié)果r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正確，可用比差法證明，由（2）可得r4﹣62r2+1＝0，即r7﹣62r5+r3＝0，而m﹣1＝﹣1＝，再由r2+8r+1＝0，判斷r＜0，r9+60r5﹣1＜0，故＞0，從而m＞1．
【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣2），當(dāng)x＜﹣4時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞﹣4時(shí)，y隨x的增大而減小，即對(duì)稱軸為直線x＝﹣4，
∴，解得；
（2）證明：由題意，拋物線的解析式為y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是拋物線y＝﹣2x2﹣16x﹣2與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正確，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣1＝﹣1
＝
＝
＝，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴＞0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、增減性、與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用比差法時(shí)，判斷r和r9+60r5﹣1的符號(hào)．
2．（2021?溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）將點(diǎn)（﹣2，0）代入求解．
（2）分別求出點(diǎn)A,B坐標(biāo)，根據(jù)圖象開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．
【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，
解得a＝1，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣8，
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9,
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9）．
（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，
∴m＝16，
把y＝7代入函數(shù)解析式得7＝x2﹣2x﹣8，
解得n＝5或n＝﹣3，
∵n為正數(shù)，
∴n＝5，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，16），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，7）．
∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9），
∴拋物線頂點(diǎn)在AB下方，
∴﹣4＜xP＜5,﹣9≤yP＜16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．
3．（2021?樂山）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m的部分圖象如圖所示，求一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．

【分析】（1）由Δ＞0即可列不等式得到答案；
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+x﹣m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＞0，即1+4m＞0，
∴m＞﹣；
（2）二次函數(shù)y＝x2+x﹣m圖象的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
∴拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣對(duì)稱，
由圖可知拋物線與x軸一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
∴另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣2，0），
∴一元二次方程x2+x﹣m＝0的解為x1＝1，x2＝﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程及二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的對(duì)稱性．
4．（2021?紹興）小聰設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標(biāo)系中畫出截面示意圖，如圖1，杯體ACB是拋物線的一部分，拋物線的頂點(diǎn)C在y軸上，杯口直徑AB＝4，且點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，杯腳高CO＝4，杯高DO＝8，杯底MN在x軸上．
（1）求杯體ACB所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍）；
（2）為使獎(jiǎng)杯更加美觀，小敏提出了改進(jìn)方案，如圖2，杯體A′CB′所在拋物線形狀不變，杯口直徑A′B′∥AB，杯腳高CO不變，杯深CD′與杯高OD′之比為0.6，求A′B′的長(zhǎng)．

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，由題意設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝ax2+4，進(jìn)而求得答案；
（2）由題意知：＝0.6，進(jìn)而求得OD′＝10，再由題意得拋物線y＝x2+4過B′(x1,10),A′(x2,10),從而列方程求出x1 和x2，進(jìn)而求得A′B′的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵CO＝4，
∴頂點(diǎn)C(0，4)，
∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+4，
∵AB＝4，
∴AD＝DB＝2，
∵DO＝8，
∴A(﹣2，8)，B(2，8)，
將B(2，8)代入y＝ax2+4，
得：8＝a×22+4，
解得：a＝1，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+4；
（2）由題意得：＝0.6，CO＝4,
∴＝0.6，
∴CD′＝6，
∴OD′＝OC+CD′＝4+6＝10，
又∵杯體A′CB′所在拋物線形狀不變，杯口直徑A′B′∥AB，
∴設(shè)B′(x1，10)，A′(x2，10),
∴當(dāng)y＝10時(shí)，10＝x2+4，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴A′B′＝2，
∴杯口直徑A′B′的長(zhǎng)為2．
【點(diǎn)評(píng)】本題是關(guān)于二次函數(shù)應(yīng)用題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
5．（2021?樂山）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，），B（2，﹣）．
（1）求b的值（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c在1≤x≤3時(shí)，y的最大值為1，求a的值；
（3）將線段AB向右平移2個(gè)單位得到線段A′B′．若線段A′B′與拋物線y＝ax2+bx+c+4a﹣1僅有一個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．
【分析】（1）把A，B代入拋物線的解析式，構(gòu)建方程組，可得結(jié)論．
（2）由題意，x＝1或x＝3時(shí)，y取得最大值1，由此構(gòu)建方程求解即可．
（3）把問題轉(zhuǎn)化為不等式組，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，經(jīng)過點(diǎn)A（0，），B（2，﹣），
∴，
∴b＝﹣2a﹣1（a＞0）．

（2）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣（2a+1）x+，a＞0，在1≤x≤3時(shí)，y的最大值為1，
∴x＝1時(shí)，y＝1或x＝3時(shí)，y＝1，
∴1＝a﹣（2a+1）+或1＝9a﹣3（2a+1）+，
解得a＝﹣（舍棄）或a＝．
∴a＝．

（3）∵線段AB向右平移2個(gè)單位得到線段A′B′，
∴A′（2，），B′（4，﹣），
∴直線A′B′的解析式為y＝﹣x+，
∵拋物線y＝ax2﹣（2a+1）x++4a在2≤x≤4的范圍內(nèi)僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴即方程ax2﹣（2a+1）x++4a＝﹣x+在2≤x≤4的范圍內(nèi)僅有一個(gè)根，
整理得ax2﹣2ax+4a﹣3＝0在2≤x≤4的范圍內(nèi)只有一個(gè)解，
即拋物線y＝ax2﹣2ax+4a﹣3在2≤x≤4的范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

觀察圖像可知，x＝2時(shí)，y≤0，x＝4時(shí)，y≥0，
∴，
解得，≤a≤，
∴≤a≤．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，二次函數(shù)的最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式組解決，屬于中考?jí)狠S題．
6．（2021?泰安）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BP、AC，交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線BP的表達(dá)式；
（3）請(qǐng)判斷：是否有最大值，如有請(qǐng)求出有最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如沒有請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝a，則CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，運(yùn)用勾股定理可求得a＝，得出E（0，），再利用待定系數(shù)法即可求出答案；
（3）設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M，利用待定系數(shù)法求出直線AC表達(dá)式，再利用BM∥PN，可得△PNQ∽△BMQ，進(jìn)而得出＝＝，設(shè)P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），則N（a0，a0+4），從而得到＝，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如圖，設(shè)BP與y軸交于點(diǎn)E，
∵PD∥y軸，
∴∠DPB＝∠OEB，
∵∠DPB＝2∠BCO，
∴∠OEB＝2∠BCO，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴BE＝CE，
令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），OC＝4，
設(shè)OE＝a，則CE＝4﹣a，
∴BE＝4﹣a，
在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，
∴（4﹣a）2＝a2+12，
解得：a＝，
∴E（0，），
設(shè)BE所在直線表達(dá)式為y＝kx+e（k≠0），
∴，
解得：，
∴直線BP的表達(dá)式為y＝﹣x+；
（3）有最大值．
如圖，設(shè)PD與AC交于點(diǎn)N，
過點(diǎn)B作y軸的平行線與AC相交于點(diǎn)M，
設(shè)直線AC表達(dá)式為y＝mx+n，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴，
解得：，
∴直線AC表達(dá)式為y＝x+4，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），
∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴＝＝，
設(shè)P（a0，﹣a02﹣3a0+4）（﹣4＜a0＜0），則N（a0，a0+4），
∴＝＝＝，
∴當(dāng)a0＝﹣2時(shí)，有最大值，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，6）．

【點(diǎn)評(píng)】本題是與二次函數(shù)有關(guān)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等，屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
7．（2021?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣h）2+k與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1）．點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，AB，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)C．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∠ABC＝∠OAP，且點(diǎn)C位于x軸上方，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，∠ABC＝90°，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

【分析】（1）由拋物線y＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1），可得h＝2，k＝﹣1，又y＝a（x﹣2）2﹣1的圖象過（0，0），即可解得a＝，從而得到拋物線表達(dá)為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣x；
（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x，可得B（0，0）或B（8，8），分兩種情況分別求C，①當(dāng)B（0，0）時(shí)，過B作BC∥AP交拋物線于C，此時(shí)∠ABC＝∠OAP，先求出直線AP解析式為y＝x﹣2，再求得直線BC解析式為y＝x，由得C（6，3）；②當(dāng)B（8，8）時(shí)，過P作PQ⊥x軸于Q，過B作BH⊥x軸于H，作H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，作直線BM交拋物線于C，由tan∠OAP＝＝，tan∠ABH＝＝，可知∠OAP＝∠ABH，而H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，有∠ABH＝∠ABM，故∠ABM＝∠OAP，C是滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M（x，y），根據(jù)AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，可得，解得M（，），從而求得直線BM解析式為y＝x+2，再解得C（﹣1，）；
（3）設(shè)BC交y軸于M，過B作BH⊥x軸于H，過M作MN⊥BH于N，證明△ABH∽△BMN，可得＝，即＝，BN＝＝4，故M（0，t2﹣t+4），設(shè)直線BM解析式為y＝ex+t2﹣t+4，將B（t，t2﹣t）代入得e＝﹣，可得直線BM解析式為y＝﹣x+t2﹣t+4，由得，解得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣t﹣+4；當(dāng)t＜0時(shí)，xC＝﹣t﹣+4＝（﹣）2+12，可知＝時(shí)，xC最小值是12，故當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是xC≥12．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣1），
∴h＝2，k＝﹣1，即拋物線y＝a（x﹣h）2+k為y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵拋物線y＝a（x﹣h）2+k經(jīng)過O，即y＝a（x﹣2）2﹣1的圖象過（0，0），
∴0＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝，
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)為y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣x；
（2）在y＝x2﹣x中，令y＝x得x＝x2﹣x，
解得x＝0或x＝8，
∴B（0，0）或B（8，8），
①當(dāng)B（0，0）時(shí)，過B作BC∥AP交拋物線于C，此時(shí)∠ABC＝∠OAP，如圖：

在y＝x2﹣x中，令y＝0，得x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
設(shè)直線AP解析式為y＝kx+b，將A（4，0）、P（2，﹣1）代入得：
，解得，
∴直線AP解析式為y＝x﹣2，
∵BC∥AP，
∴設(shè)直線BC解析式為y＝x+b'，將B（0，0）代入得b'＝0，
∴直線BC解析式為y＝x，
由得（此時(shí)為點(diǎn)O，舍去）或，
∴C（6，3）；
②當(dāng)B（8，8）時(shí)，過P作PQ⊥x軸于Q，過B作BH⊥x軸于H，作H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，作直線BM交拋物線于C，連接AM，如圖：

∵P（2，﹣1），A（4，0），
∴PQ＝1，AQ＝2，
Rt△APQ中，tan∠OAP＝＝，
∵B（8，8），A（4，0），
∴AH＝4，BH＝8，
Rt△ABH中，tan∠ABH＝＝，
∴∠OAP＝∠ABH，
∵H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，
∴∠ABH＝∠ABM，
∴∠ABM＝∠OAP，即C是滿足條件的點(diǎn)，
設(shè)M（x，y），
∵H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，
∴AM＝AH＝4，BM＝BH＝8，
∴，
兩式相減變形可得x＝8﹣2y，代入即可解得（此時(shí)為H，舍去）或，
∴M（，），
設(shè)直線BM解析式為y＝cx+d，將M（，），B（8，8）代入得；
，解得，
∴直線BM解析式為y＝x+2，
解得或（此時(shí)為B，舍去），
∴C（﹣1，），
綜上所述，C坐標(biāo)為（6，3）或（﹣1，）；
（3）設(shè)BC交y軸于M，過B作BH⊥x軸于H，過M作MN⊥BH于N，如圖：

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，
∴B（t，t2﹣t），又A（4，0），
∴AH＝|t﹣4|，BH＝|t2﹣t|，OH＝|t|＝MN，
∵∠ABC＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠ABH＝∠BAH，
且∠N＝∠AHB＝90°，
∴△ABH∽△BMN，
∴＝，即＝
∴BN＝＝4，
∴NH＝t2﹣t+4，
∴M（0，t2﹣t+4），
設(shè)直線BM解析式為y＝ex+t2﹣t+4，
將B（t，t2﹣t）代入得t2﹣t＝et+t2﹣t+4，
∴e＝﹣，
∴直線BC解析式為y＝﹣x+t2﹣t+4，
由得，
解得x1＝t（B的橫坐標(biāo)），x2＝﹣＝﹣t﹣+4，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣t﹣+4；
當(dāng)t＜0時(shí)，
xC＝﹣t﹣+4
＝（）2+（）2+4
＝（﹣）2+12，
∴＝時(shí)，xC最小值是12，此時(shí)t＝﹣4，
∴當(dāng)t＜0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是xC≥12．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及解析式、銳角三角函數(shù)、對(duì)稱變換、兩條直線平行、兩條直線互相垂直、解含參數(shù)的方程等，綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、應(yīng)用各種綜合知識(shí)，用含字母的式子表示線段長(zhǎng)度及函數(shù)解析式．
8．（2021?金華）某游樂場(chǎng)的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．
（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會(huì)碰到水柱？請(qǐng)通過計(jì)算說明．

【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OD的長(zhǎng)度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同,可得出OC的長(zhǎng)，結(jié)合CD＝OC+OD即可求出落水點(diǎn)C，D之間的距離;
（3）代入x＝10求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上，將與1.8比較后即可得出頂部F不會(huì)碰到水柱．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣（0﹣5）2+6＝，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），
∴雕塑高m．
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（11，0），
∴OD＝11m．
∵從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同,
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（3）當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，
∴點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上．
又∵≈1.83＞1.8，
∴頂部F不會(huì)碰到水柱．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出拋物線上橫坐標(biāo)為10的點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．（2021?嘉興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，函數(shù)的最大值為m，最小值為n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得；
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三種情況討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到最大值m和最小值n，進(jìn)而根據(jù)m﹣n＝3得到關(guān)于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴拋物線開口向下，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4），
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝4，
∵當(dāng)1≤x≤3時(shí)，y隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小值＝0，
∵當(dāng)3＜x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，y最小值＝3．
∴當(dāng)1≤x≤4時(shí)，函數(shù)的最大值為4，最小值為0；
（3）當(dāng)t≤x≤t+3時(shí)，對(duì)t進(jìn)行分類討論，
①當(dāng)t+3＜3時(shí)，即t＜0，y隨著x的增大而增大，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
當(dāng)x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合題意，舍去），
②當(dāng)0≤t＜3時(shí)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在取值范圍內(nèi)，
∴m＝4，
i）當(dāng)0≤t≤時(shí)，在x＝t時(shí)，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合題意，舍去）；
ii）當(dāng)＜t＜3時(shí)，在x＝t+3時(shí)，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合題意，舍去），
③當(dāng)t≥3時(shí)，y隨著x的增大而減小，
當(dāng)x＝t時(shí)，m＝﹣t2+6t﹣5，
當(dāng)x＝t+3時(shí)，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合題意，舍去），
綜上所述，t＝3﹣或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，分類討論是解題的關(guān)鍵．
10．（2021?涼山州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出OA、OC，得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出答案；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PK∥y軸交BC于點(diǎn)K，利用待定系數(shù)法求出設(shè)直線BC解析式，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則K（t，t+3），根據(jù)S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四邊形PBAC＝﹣（t+）2+，運(yùn)用二次函數(shù)求最值方法即可得出答案；
（3）如圖2，分兩種情況：點(diǎn)Q在x軸上方或點(diǎn)Q在x軸下方．①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，根據(jù)P與Q縱坐標(biāo)相等，建立方程求解即可；②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，根據(jù)P與Q縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+（3OA）2＝（）2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A（1，0），C（0，3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），將C（0，3）代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PK∥y軸交BC于點(diǎn)K，
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+n，將B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝x+3，
設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK?（t+3）+PK?（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6，
∴S四邊形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，四邊形PBAC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；
（3）存在．如圖2，分兩種情況：點(diǎn)Q在x軸上方或點(diǎn)Q在x軸下方．
①當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方時(shí)，P與Q縱坐標(biāo)相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方時(shí)，P與Q縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），
綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．


【點(diǎn)評(píng)】本題是有關(guān)二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形面積和四邊形面積，平行四邊形性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題，綜合性強(qiáng)，難度大，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用方程思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想思考解決問題是解題關(guān)鍵．
11．（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【分析】（1）設(shè)銷售單價(jià)提高x元，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）設(shè)銷售利潤(rùn)為M元，求得函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：（1）設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元，
由題意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要盡可能減少庫(kù)存，
∴x2＝18不合題意，應(yīng)舍去．
∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元，
答：T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；
（2）設(shè)利潤(rùn)為M元，由題意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴當(dāng)x＝10時(shí)，M最大值 ＝4000元，
∴銷售單價(jià)：40+10＝50（元），
答：當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)定為50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用利潤(rùn)＝單件利潤(rùn)×銷售量列出二次函數(shù)解析式．
12．（2021?安徽）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝1．
（1）求a的值；
（2）若點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點(diǎn)A、B，與拋物線y＝3（x﹣1）2交于點(diǎn)C，D，求線段AB與線段CD的長(zhǎng)度之比．
【分析】（1）根據(jù)公式，對(duì)稱軸為直線x＝﹣，代入數(shù)據(jù)即可；
（2）結(jié)合函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得結(jié)論；
（3）分別聯(lián)立直線y＝m與兩拋物線的解析式，表示出A，B，C，D的坐標(biāo)，再表示出線段AB和線段CD的長(zhǎng)度，即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對(duì)稱軸為直線：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，值越大，
∴y1＞y2．
（3）聯(lián)立y＝m（m＞0）與y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），
∴AB＝2，
聯(lián)立y＝m（m＞0）與y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴CD＝2×＝，
∴＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題等，題目難度適中，數(shù)形結(jié)合思想及求二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)需要聯(lián)立方程是解題基礎(chǔ)．
13．（2021?連云港）如圖，拋物線y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知B（3，0）．
（1）求m的值和直線BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PBC＝S△ABC，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若∠ACQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

【分析】（1）把點(diǎn)B坐標(biāo)直接代入拋物線的表達(dá)式，可求m的值，進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)直線BC的表達(dá)式，把點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式即可；
（2）過點(diǎn)A作直線BC的平行線AP1，聯(lián)立直線AP1與拋物線表達(dá)式可求出P1的坐標(biāo)；設(shè)出直線AP1與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長(zhǎng)度，可得到直線P2P3，聯(lián)立直線表達(dá)式與拋物線表達(dá)式，可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）取點(diǎn)Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過點(diǎn)A作AD⊥CQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，可得△CDE≌△DAF，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將B（3，0）代入y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9），化簡(jiǎn)得，m2+m＝0，
則m＝0（舍）或m＝﹣1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3．
∴C（0，﹣3），
設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，
將B（3，0），C（0，﹣3）代入表達(dá)式，可得，
，解得，，
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣3．
（2）如圖，過點(diǎn)A作AP1∥BC，設(shè)直線AP1交y軸于點(diǎn)G，將直線BC向下平移GC個(gè)單位，得到直線P2P3．

由（1）得直線BC的表達(dá)式為y＝x﹣3，A（1，0），
∴直線AG的表達(dá)式為y＝x﹣1，
聯(lián)立，解得，或，
∴P1（2，1）或（1，0），
由直線AG的表達(dá)式可得G（0，﹣1），
∴GC＝2，CH＝2，
∴直線P2P3的表達(dá)式為：y＝x﹣5，
聯(lián)立，
解得，，或，，
∴P2（，），P3（，）；
綜上可得，符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1），（1，0），（，），（，）；
（3）如圖，取點(diǎn)Q使∠ACQ＝45°，作直線CQ，過點(diǎn)A作AD⊥CQ于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥DF于點(diǎn)E，

則△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∴△CDE≌△DAF（AAS），
∴AF＝DE，CE＝DF．
設(shè)DE＝AF＝a，則CE＝DF＝a+1，
由OC＝3，則DF＝3﹣a，
∴a+1＝3﹣a，解得a＝1．
∴D（2，﹣2），又C（0，﹣3），
∴直線CD對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為y＝x﹣3，
設(shè)Q（n，n﹣3），代人y＝﹣x2+4x﹣3，
∴n﹣3＝﹣n2+4n﹣3，整理得n2﹣n＝0．
又n≠0，則n＝．
∴Q（，﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查三角形的面積問題，角度的存在性等，在求解過程中，結(jié)合背景圖形，作出正確的輔助線是解題的基礎(chǔ)．
14．（2021?麗水）如圖，已知拋物線L：y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣5），B（5，0）．
（1）求b，c的值；
（2）連結(jié)AB，交拋物線L的對(duì)稱軸于點(diǎn)M．
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②將拋物線L向左平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L1．過點(diǎn)M作MN∥y軸，交拋物線L1于點(diǎn)N．P是拋物線L1上一點(diǎn)，橫坐標(biāo)為﹣1，過點(diǎn)P作PE∥x軸，交拋物線L于點(diǎn)E，點(diǎn)E在拋物線L對(duì)稱軸的右側(cè)．若PE+MN＝10，求m的值．

【分析】（1）用待定系數(shù)法可求出答案；
（2）①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n（k≠0），由A點(diǎn)及B點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AB的解析式，由（1）得，拋物線L的對(duì)稱軸是直線x＝2，則可求出答案；
②由題意可得點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，m2﹣9），P點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，m2﹣6m），分三種情況，（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M及下方，即0＜m＜時(shí)，（Ⅱ）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P及右側(cè)，（Ⅲ）如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)，由平移的性質(zhì)求出PE及MN的長(zhǎng)，根據(jù)PE+MN＝10列出方程可得出答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣5）和點(diǎn)B（5，0），
∴，
解得：，
∴b，c的值分別為﹣4，﹣5．
（2）①設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+n（k≠0），
把A（0，﹣5），B（5，0）的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得，
解得，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣5．
由（1）得，拋物線L的對(duì)稱軸是直線x＝2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x﹣5＝﹣3，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（2，﹣3）；
②設(shè)拋物線L1的表達(dá)式為y＝（x﹣2+m）2﹣9，
∵M(jìn)N∥y軸，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)是（2，m2﹣9），
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣1，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，m2﹣6m），
設(shè)PE交拋物線L1于另一點(diǎn)Q，
∵拋物線L1的對(duì)稱軸是直線x＝2﹣m，PE∥x軸，
∴根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（5﹣2m，m2﹣6m），
（Ⅰ）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M及下方，即0＜m＜時(shí)，

∴PQ＝5﹣2m﹣（﹣1）＝6﹣2m，MN＝﹣3﹣（m2﹣9）＝6﹣m2，
由平移的性質(zhì)得，QE＝m，
∴PE＝6﹣2m+m＝6﹣m，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+6﹣m2＝10，
解得，m1＝﹣2（舍去），m2＝1，
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M及上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P及右側(cè)，

即＜m＜3時(shí)，
PE＝6﹣m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴6﹣m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝（舍去）．
（Ⅲ）如圖3，當(dāng)點(diǎn)N在M上方，點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)，

即m＞3時(shí)，PE＝m，MN＝m2﹣6，
∵PE+MN＝10，
∴m+m2﹣6＝10，
解得，m1＝（舍去），m2＝，
綜合以上可得m的值是1或．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法，兩點(diǎn)的距離，平移的性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握方程的思想方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2021?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A和B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，﹣3），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式和m的值；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得以D、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；
（3）直線y＝1上有M、N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），且MN＝2，若將線段MN在直線y＝1上平移，當(dāng)它移動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)會(huì)達(dá)到最小，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值（結(jié)果保留根號(hào)）．

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），再利用待定系數(shù)法可得結(jié)論．
（2）構(gòu)建方程組求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，分兩種情形：過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P．可證△EDP∽△ADO，推出P（0，12）．過點(diǎn)E作EP′⊥DE交y軸于P′，同法可證，△P′DE∽△ADO，求出PP′可得結(jié)論．
（3）因?yàn)镋，F(xiàn)為定點(diǎn)，推出線段EF的長(zhǎng)為定值，推出當(dāng)EM+FN的和最小時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)最小，如圖2中，畫出直線y＝1，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到F′，作點(diǎn)E關(guān)于直線y＝1的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′與直線y＝1交于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN∥E′F′交直線y＝1于點(diǎn)N，由作圖可知，EM＝E′M，F(xiàn)N＝F′M，推出EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此時(shí)EM+FN的值最小，利用勾股定理求出E′F′，EF即可解決問題．
【解答】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1，與x軸的交點(diǎn)為A，B（﹣3，0），
∴A（1，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，﹣3）代入得到，a＝1，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3．
∵直線y＝﹣2x+m經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），
∴0＝﹣2+m，
∴m＝2．

（2）如圖1中，

∵直線AF的解析式為y＝﹣2x+2，直線交y軸于D，與拋物線交于點(diǎn)E，
∴D（0，2），
由，解得即點(diǎn)A，或，
∴E（﹣5，12），
過點(diǎn)E作EP⊥y軸于P．
∵∠EPD＝∠AOD＝90°，∠EDP＝∠ODA，
∴△EDP∽△ADO，
∴P（0，12）．
過點(diǎn)E作EP′⊥DE交y軸于P′，
同法可證，△P′DE∽△ADO，
∴∠P′＝∠DAO，
∴tan∠P′＝tan∠DAO，
∴＝，
∴＝，
∴PP′＝2.5，
∴P′（0，14.5），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，12）或（0，14.5）．

（3）∵E，F(xiàn)為定點(diǎn)，
∴線段EF的長(zhǎng)為定值，
∴當(dāng)EM+FN的和最小時(shí)，四邊形MEFN的周長(zhǎng)最小，
如圖2中，畫出直線y＝1，將點(diǎn)F向左平移2個(gè)單位得到F′，
作點(diǎn)E關(guān)于直線y＝1的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′與直線y＝1交于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN∥E′F′交直線y＝1于點(diǎn)N，

由作圖可知，EM＝E′M，F(xiàn)N＝F′M，
∵E′，M，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，
∴EM+FN＝E′M+F′M＝E′F′，此時(shí)EM+FN的值最小，
∵點(diǎn)F為直線y＝﹣2x+2與x＝﹣1的交點(diǎn)，
∴F（﹣1，4），
∴F′（﹣3，4），
∵E（﹣5，12），
∴E′（﹣5，﹣10），
如圖，延長(zhǎng)FF′交線段EE′于W，
∵FF′∥直線y＝1，
∴FW⊥EE′，
在Rt△WEF中，EF＝＝＝4，
在Rt△E′F′W中，E′F′＝＝＝10，
∴四邊形MEFN的周長(zhǎng)的最小值＝ME+FN+EF+MN＝E′F′+EF+MN＝10+4+2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決最短問題，屬于中考?jí)狠S題．
16．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PE∥x軸，交AB于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PDE周長(zhǎng)的最大值；
（3）把拋物線y＝x2+bx+c平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)為（2）中求得的點(diǎn)P．M是新拋物線上一點(diǎn)，N是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直接寫出所有使得以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)M的坐標(biāo)的過程寫出來．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法將A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝x2+bx+c，即可求得答案；
（2）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出AB的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，根據(jù)點(diǎn)E在直線y＝x﹣1上，PE∥x軸，可得出PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根據(jù)△PDE∽△AOC，即可得到△PDE的周長(zhǎng)l＝﹣（t﹣2）2++8，運(yùn)用二次函數(shù)最值方法即可求出答案；
（3）分兩種情況：①若AB是平行四邊形的對(duì)角線，②若AB是平行四邊形的邊，分別進(jìn)行討論即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣1；
（2）如圖1，設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x﹣1，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
設(shè)P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，
∵點(diǎn)E在直線y＝x﹣1上，PE∥x軸，
∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，
∴x＝2t2﹣7t，
∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC＝∠PDE＝90°，
又∵PE∥x軸，
∴∠OCA＝∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周長(zhǎng)為3+，
令△PDE的周長(zhǎng)為l，則＝，
∴l(xiāng)＝?[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴當(dāng)t＝2時(shí)，△PDE周長(zhǎng)取得最大值，最大值為+8．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）．
（3）如圖2，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由題意可知，平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣4x，對(duì)稱軸為直線x＝2，
①若AB是平行四邊形的對(duì)角線，
當(dāng)MN與AB互相平分時(shí)，四邊形ANBM是平行四邊形，
即MN經(jīng)過AB的中點(diǎn)C（2，0），
∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣4），
②若AB是平行四邊形的邊，
Ⅰ．當(dāng)MN∥AB且MN＝AB時(shí)，四邊形ABNM是平行四邊形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2﹣4＝﹣2，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，12）；
Ⅱ．當(dāng)NM∥AB且NM＝AB時(shí)，四邊形ABMN是平行四邊形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2+4＝6，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，12）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．


【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)有關(guān)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)，平行四邊形性質(zhì)等，熟練掌握待定系數(shù)法、二次函數(shù)圖象和性質(zhì)及平行四邊形性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想是解題關(guān)鍵．
17．（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如下表所示：
購(gòu)票方式
甲
乙
丙
可游玩景點(diǎn)
A
B
A和B
門票價(jià)格
100元/人
80元/人
160元/人
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門票的游客改為購(gòu)買丙種門票．
①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
【分析】（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)增長(zhǎng)率問題應(yīng)用題列出方程，解之即可；
（2）①根據(jù)題意丙種門票價(jià)格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）計(jì)算，即可求景區(qū)六月份的門票總收入；
②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意可得W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），化簡(jiǎn)得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為x，
由題意，得4（1+x）2＝5.76，
解這個(gè)方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)率為20%；
（2）①由題意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬元）．
答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．
②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，
由題意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化簡(jiǎn)，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴當(dāng)m＝24時(shí)，W取最大值，為817.6萬元．
答：當(dāng)丙種門票價(jià)格下降24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．
18．（2021?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)．
（1）求證：∠ACB＝90°；
（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．
①求DE+BF的最大值；
②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

【分析】（1）由拋物線y＝﹣x2+x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)，求出A，B，C坐標(biāo)和△ABC三邊長(zhǎng)，用勾股定理逆定理判斷△ABC是直角三角形即可
（2）①由B（8，0），C（0，4）可得直線BC解析式為y＝﹣x+4，設(shè)第一象限D(zhuǎn)（m，+m+4），則E（m，﹣m+4），可得DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）＝﹣（m﹣2）2+9，即可得DE+BF的最大值是9；
②由∠CAB+∠CBA＝90°，F(xiàn)EB+∠CBA＝90°，得∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，而OA＝2，AG＝，用含m的代數(shù)式表示DE＝﹣m2+2m，CE＝，分情況列出方程即可得m的值，從而得到答案．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，將B（8，0），C（0，4）代入可得：，
解得，
∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)第一象限D(zhuǎn)（m，+m+4），則E（m，﹣m+4），
∴DE＝（+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣m2+m+8
＝﹣（m﹣2）2+9，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x軸于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
（一）當(dāng)A與E對(duì)應(yīng)時(shí)，
以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，
而G為AC中點(diǎn)，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝，
由①知：DE＝﹣m2+2m，E（m，﹣m+4），
∴CE＝＝，
當(dāng)＝時(shí)，＝，解得m＝4或m＝0（此時(shí)D與C重合，舍去）
∴D（4，6），
當(dāng)＝時(shí)，＝，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3，），
∵在Rt△AOC中，G是AC中點(diǎn)，
∴OG＝AG，
∴∠GAO＝∠GOA，即∠CAB＝∠GOA，
∴∠DEC＝∠GOA，
（二）當(dāng)O與E對(duì)應(yīng)時(shí)，
以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，只需＝或＝，
∵OG＝AG，
∴＝與＝答案相同，同理＝與或＝答案相同，
綜上所述，以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOG相似，則D的坐標(biāo)為（4，6）或（3，）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段和的最大值、相似三角形判定等，解題的關(guān)鍵是分類列方程．
19．（2021?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線l為該拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，求△PAD面積的最大值．
（3）在（2）的條件下，將拋物線y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射線AD平移4個(gè)單位，得到新的拋物線y1，點(diǎn)E為點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y1的對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)，在y1上確定一點(diǎn)G，使得以點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．

【分析】（1）直接代入點(diǎn)A，B坐標(biāo)即可；
（2）作PE∥y軸交直線AD于H，通過鉛垂高表示出△APD的面積即可求出最大面積；
（3）通過平移距離為4，轉(zhuǎn)化為向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得出平移后的拋物線關(guān)系式和E的坐標(biāo)，從而平行四邊形中，已知線段DE，分DE為邊還是對(duì)角線，通過點(diǎn)的平移得出G的橫坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得
，
∴，
∴y＝x2﹣3x﹣4，
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣4，
∴點(diǎn)C（0，﹣4），
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱，且對(duì)稱軸為直線x＝，
∴D（3，﹣4），
∵A（﹣1，0），
∴直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x﹣1，
設(shè)P（m，m2﹣3m﹣4），
作PE∥y軸交直線AD于H，
∴H（m，﹣m﹣1），
∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）
＝﹣m2+2m+3，
∴S△APD＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，
當(dāng)m＝﹣＝1時(shí)，S△APD最大為8，

（3）∵直線AD與x軸正方向夾角為45°，
∴沿AD方向平移，實(shí)際可看成向右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，
∵P（1，﹣6），
∴E（5，﹣10），
拋物線y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，
∴拋物線y1的對(duì)稱軸為：直線x＝，
當(dāng)DE為平行四邊形的邊時(shí)：
若D平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，則G的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴，
若E平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，則G的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，
∴，
若DE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，
若E平移到對(duì)稱軸上F點(diǎn)，則G平移到D點(diǎn)，
∴G的橫坐標(biāo)為，
代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，
∴

∴G（）或G（）或G（），
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，鉛垂高求三角形的面積，以及平移的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定，解決問題的關(guān)鍵是沿AD平移轉(zhuǎn)化為右平移4個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，屬于中考?jí)狠S題．
20．（2021?湖州）如圖，已知經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y＝2x2+mx與x軸交于另一點(diǎn)A（2，0）．
（1）求m的值和拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求直線AM的解析式．

【分析】（1）將A（2，0）代入拋物線解析式即可求出m的值，然后將關(guān)系式化為頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A，M的坐標(biāo)代入即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝2x2+mx與x軸交于另一點(diǎn)A（2，0），
∴2×22+2m＝0，
∴m＝﹣4，
∴y＝2x2﹣4x
＝2（x﹣1）2﹣2，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，﹣2），
（2）設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），
∵圖象過A（2，0），M（1，﹣2），
∴，
解得，
∴直線AM的解析式為y＝2x﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式，以及二次函數(shù)頂點(diǎn)式的轉(zhuǎn)化，屬于?？碱}型．
21．（2021?自貢）如圖，拋物線y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；
（2）若點(diǎn)D為△ABC的外心，且△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比為：4，求此拋物線的解析式；
（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一點(diǎn)P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）直接利用拋物線的解析式求出A，B，C的坐標(biāo)即可解決問題．
（2）證明△DBC∽△OAC，推出＝，由此構(gòu)建方程，即可解決問題．
（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x＝的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′．證明∠ABD＝∠CAC′，推出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C′重合時(shí)滿足條件．作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E（0，﹣1），則∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直線AE交拋物線于P′，點(diǎn)P′滿足條件，構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）定義拋物線y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y(tǒng)＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．

（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵點(diǎn)D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2，
∴拋物線的解析式為y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．

（3）作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x＝的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′．

∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴PC∥AB，
∵BC，AC′關(guān)于直線x＝對(duì)稱，
∴CB＝AC′，
∴四邊形ABCP是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C′重合時(shí)滿足條件，
∴P（1，﹣2）．
作點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)E（0，﹣1），則∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直線AE交拋物線于P′，點(diǎn)P′滿足條件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直線AE的解析式為y＝x﹣1，
由，解得（即點(diǎn)A）或，
∴P′（﹣，﹣），
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明△BDC是等腰直角三角形，學(xué)會(huì)添加輔助線，尋找特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
22．（2021?西寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且∠BAO＝∠DAO，求證：OB＝OD；
（3）在（2）的條件下，若直線AD與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E，連接BE，在第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形BEAP的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）由直線求得A，B，再由待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；
（2）證明出△BOA≌△DOA即可；
（3）根據(jù)△BPA面積最大時(shí)，四邊形BEAP的面積最大，先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+t+3），表示出S△ABP＝（t﹣3）2+，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形BEAP面積的最大值．
【解答】解：（1）令y＝0，則﹣x+3＝0，解得x＝6，
令x＝0，則y＝3，
∴A（6，0），B（0，3），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，
把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝x2+x+3；

（2）證明：∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，
∴∠BOA＝∠DOA＝90°，
在△BOA和△DOA中，
，
∴△BOA≌△DOA （ASA），
∴OB＝OD，

（3）存在，理由如下：
如圖，過點(diǎn)E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，
∵y＝x2+x+3＝（x﹣2）2+4，
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2，
∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，即EM＝2，
∵B（0，3），
∴OB＝OD＝3，
∴BD＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ABE＝S△ABD﹣S△DBE＝×6×6﹣×6×2＝12，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+t+3），
連接PA，PB，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)H1，交直線AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)B作H2⊥PN于點(diǎn)H2，
∴N（t，﹣t+3），
∴PN＝t2+t+3﹣（﹣t+3）＝t2+t，
∵AH1+BH2＝OA＝6，S△ABP＝S△NBP+S△ANP＝PN?BH2+PN?AH1＝PN?OA，
∴S△ABP＝×6（t2+t）＝（t﹣3）2+，
∵＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值，
∴當(dāng)t＝3時(shí)，△BPA面積的最大值是，此時(shí)四邊形BEAP的面積最大，
∴四邊形BEAP的面積最大值為+12＝，
∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是（3，）時(shí)，四邊形BEAP面積的最大值是．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、配方求三角形面積最大值，解決此題的關(guān)鍵是設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+t+3），表示出S△ABP＝（t﹣3）2+．
23．（2021?日照）已知：拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上任意一點(diǎn)，連PC、PB、PO，PO交直線BC于點(diǎn)E，設(shè)＝k，求當(dāng)k取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求此時(shí)k的值．
（3）如圖2，點(diǎn)Q為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
①求△BDQ的周長(zhǎng)及tan∠BDQ的值；
②點(diǎn)M是y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且滿足tan∠BMQ＝（t為大于0的常數(shù)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線BC于點(diǎn)H，則△PEH∽△OEC，進(jìn)而可得k＝PH，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y＝﹣x+3，設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），從而得出k＝（t﹣）2+，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；
（3）①如圖2，過點(diǎn)Q作QT⊥BD于點(diǎn)T，則∠BTQ＝∠DTQ＝90°，利用配方法求得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，得出Q（1，0），運(yùn)用勾股定理即可求得△BDQ的周長(zhǎng)＝BQ+DQ+BD＝2++3；再證明△BQT是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)求得QT，DT，即可求得答案；
②設(shè)M（0，﹣m），則OM＝m，根據(jù)QT2+MT2＝MQ2，求得QT、MT，再利用cos∠QBT＝cos∠MBO，求得BT，根據(jù)BT+MT＝BM，可得+＝，化簡(jiǎn)得m2﹣2tm+3＝0，解方程即可求得答案．
另解：如圖4，取線段BQ的中點(diǎn)E，作EO′⊥BQ，使EO′＝t，且點(diǎn)O′在x軸下方，則O′（2，﹣t），連接O′B，O′Q，以O(shè)′為圓心，O′B為半徑作⊙O′，交y軸于點(diǎn)M，設(shè)M（0，m），根據(jù)O′M＝O′B，可得（2﹣0）2+（﹣t﹣m）2＝12+t2，解方程即可求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴設(shè)y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PH∥y軸交直線BC于點(diǎn)H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)P（t，﹣t2+2t+3），則H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴當(dāng)t＝時(shí)，k取得最大值，此時(shí)，P（，）；
（3）①如圖2，過點(diǎn)Q作QT⊥BD于點(diǎn)T，則∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周長(zhǎng)＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ?cos∠DBO＝2?cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②設(shè)M（0，﹣m），則OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t?QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t?QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
當(dāng)Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥時(shí)，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
另解：如圖4，取線段BQ的中點(diǎn)E，作EO′⊥BQ，使EO′＝t，且點(diǎn)O′在x軸下方，
∴O′（2，﹣t），
連接O′B，O′Q，以O(shè)′為圓心，O′B為半徑作⊙O′，交y軸于點(diǎn)M，
則tan∠BO′E＝＝，
∵EB＝EQ，∠O′EB＝∠O′EQ＝90°，O′E＝O′E，
∴△O′EB≌△O′EQ（SAS），
∴∠QO′E＝∠BO′E，
∴∠BMQ＝∠BO′Q＝∠BO′E，
∴tan∠BMQ＝tan∠BO′E＝，
設(shè)M（0，m），
∵O′M＝O′B，
∴（2﹣0）2+（﹣t﹣m）2＝12+t2，
∴m2+2tm+3＝0，
解得：m＝＝﹣t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．




【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，兩點(diǎn)間距離公式，三角函數(shù)，等腰直角三角形性質(zhì)及判定，軸對(duì)稱性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用勾股定理和三角函數(shù)定義解題．
24．（2021?盤錦）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x﹣2與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．
（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)為 ?。?，2）?。?br /> （2）如圖1，點(diǎn)P為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，PF的延長(zhǎng)線交OB于點(diǎn)Q，PM⊥BC于點(diǎn)M，QN⊥BC于點(diǎn)N，若＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)S為第一象限拋物線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)S在射線DE上方，動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線DE方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SE＝SG，且tan∠SEG＝時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．

【分析】（1）先求出B（6，0），C（0，6），再求出直線BC的解析式為y＝﹣x+6，聯(lián)立即可求F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥x軸交于點(diǎn)H，證明△PMF∽△QNF，得＝，再由FH∥PG，得＝，可求PG＝，即為P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則可求P（1，）或P（3，）；
（3）過點(diǎn)S作SK⊥EG于點(diǎn)K，SH⊥x軸于點(diǎn)H，交EG于點(diǎn)L，證明△ODE是等腰直角三角形，△EHL為等腰直角三角形，則有LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，EL＝t，EH＝LH＝t，OH＝t+2，SH＝3t，求出S（t+2，3t），求出t＝2，則可得點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s．
【解答】解：（1）在拋物線y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，則﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，則y＝6，
∴C（0，6），
在直線y＝x﹣2，令y＝0，則x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，則y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
聯(lián)立，
解得，
∴F（4，2），
故答案為（4，2）；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作FH⊥x軸交于點(diǎn)H，

∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如圖2，過點(diǎn)S作SK⊥EG于點(diǎn)K，SH⊥x軸于點(diǎn)H，交EG于點(diǎn)L，

由題意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL為等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，靈活運(yùn)用平移、三角形相似是解題的關(guān)鍵．
25．（2021?鞍山）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，當(dāng)S1＝S2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上（位于第一象限內(nèi)），且∠BMQ＝45°，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；
（2）利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根據(jù)△PDF與△AEF的面積相等，可得△AEF≌△PDF，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；
（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M（1，t），過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），
∴將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得：，
解得：，
∴拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如圖，∵D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D（1，﹣4），
∵AE∥PD交直線l：y＝x+2于點(diǎn)E，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0≤m≤3），
∴△AEF∽△PDF，設(shè)E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），
又∵△PDF的面積為S1，△AEF的面積為S2，S1＝S2，
∴△AEF≌△PDF，
∴AF＝PF，EF＝DF，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，
又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，
解得：m1＝0（與“AE∥PD”不符，應(yīng)舍去），m2＝，
∴t2＝，
∴P（，﹣），E（，）；
（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，
以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△O′OB，
則O′（，），OO′＝O′B＝，
以O(shè)′為圓心，OO′為半徑作⊙O′，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M（1，t），
過點(diǎn)O′作O′H⊥y軸于點(diǎn)H，則∠O′HM＝90°，
∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，
∴MH＝＝＝，
∴t＝+＝，
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，
連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作⊙O交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M，
∵OB＝OC＝3，
∴⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，
連接OM，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，
則OM＝OB＝3，OE＝1，
∵∠MEO＝90°，
∴ME＝＝＝2，
∴t＝2，
綜上所述，2≤t≤．



【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等，通過作輔助圓，利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半解決問題，是解題關(guān)鍵．
26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）和二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A（4，3）和點(diǎn)B，過點(diǎn)A作OA的垂線交x軸于點(diǎn)C．D是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、O、B不重合），E是射線AC上一點(diǎn)，且AE＝OD，連接DE，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以DE、DF為鄰邊作?DEGF．
（1）填空：k＝　　，b＝　1??；
（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是t（t＞0），連接EF．若∠FGE＝∠DFE，求t的值；
（3）過點(diǎn)F作AB的垂線交線段DE于點(diǎn)P若S△DFP＝S?DEGF，求OD的長(zhǎng)．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得結(jié)論．
（2）如圖1中，過點(diǎn)E作EP⊥DF于P，連接EF．證明EF＝ED，推出PF＝PD，求出點(diǎn)D，F(xiàn)的坐標(biāo)，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，構(gòu)建方程可得結(jié)論．
（3）如圖2中，首先判斷點(diǎn)D只能在第一象限，設(shè)PF交AB于J，再證明DP＝2PE，推出DJ＝2JA，用t表示出OD，DJ，JA的長(zhǎng)，構(gòu)建方程，即可解決問題．
【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）經(jīng)過A（4，3），
∴3＝4k，
∴k＝，
∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，3），
∴3＝﹣×42+4b+3，
∴b＝1，
故答案為：，1．

（2）如圖1中，過點(diǎn)E作EP⊥DF于P，連接EF．

∵四邊形DEGF是平行四邊形，
∴∠G＝∠EDF
∵∠EGF＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∵EP⊥DF，
∴PD＝PF，
∵D（t，t），
∴OD＝AE＝t，
∵AC⊥AB，
∴∠OAC＝90°，
∴tan∠AOC＝，
∵OA＝＝5，
∴AC＝OA?tan∠AOC＝，OC＝AC×＝，
∴EC＝AC﹣AE＝﹣t，
∵tan∠ACO＝，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為3﹣t，
∵F（t，﹣t2+t+3），PF＝PD，
∴＝3﹣t，
解得t＝或（舍棄）．
∴滿足條件的t的值為．

（3）如圖2中，因?yàn)辄c(diǎn)D在線段AB上，S△DFP＝S?DEGF，所以DP＝2PE，觀察圖象可知，點(diǎn)D只能在第一象限，

設(shè)PF交AB于J，
∵AC⊥AB，PF⊥AB，
∴PJ∥AE，
∴DJ：AJ＝DP：PE＝2，
∵D（t，t），F(xiàn)（t，﹣t2+t+3），
∴OD＝t，DF＝﹣t2+t+3﹣t＝﹣t2+t+3，
∴DJ＝DF＝﹣t2+t+，AJ＝DJ＝﹣t2+t+，
∵OA＝5，
∴t﹣t2+t+﹣t2+t+＝5，
整理得9t2﹣59t+92＝0，
解得t＝或4（4不合題意舍棄），
∴OD＝t＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
27．（2021?婁底）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求b、c的值；
（2）點(diǎn)P（m，n）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q．
①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，求當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)m的值；
②是否存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．

【分析】（1）由交點(diǎn)式結(jié)合點(diǎn)A、B坐標(biāo)求出解析式，從而得到b、c；
（2）①設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，把PQ線段用含有m的式子表示，借助二次函數(shù)求出P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)的m的值；
②利用平行四邊形的判定定理“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”和菱形的判定定理“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)求解．
【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
∴b＝﹣2，c＝﹣3．
（2）①∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線上y＝x2﹣2x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），
∴PQ＝m﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m+3＝﹣（m﹣）2+，
∵過P作x軸的垂線交直線l：y＝x于點(diǎn)Q，
∴Q（m，m），
設(shè)點(diǎn)P到直線y＝x的距離為h，
∵直線y＝x是一三象限的角平分線，
∴PQ＝h，
∴當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)，PQ取得最大值，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PQ有最大值，
∴當(dāng)P點(diǎn)到直線l：y＝x的距離最大時(shí)，m的值為．
②∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，
∴x＝0時(shí)，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵OC∥PQ，且以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，
∴PQ＝OC，
又∵OC＝3，PQ＝|﹣m2+3m+3|，
∴3＝|﹣m2+3m+3|，
解得：m1＝0，m2＝3，m3＝，m4＝，
當(dāng)m1＝0時(shí)，PQ與OC重合，菱形不成立，舍去；
當(dāng)m2＝3時(shí)，P（3，0），Q（3，3），
此時(shí)，四邊形OCPQ是平行四邊形，OQ＝，
∴OQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；
當(dāng)m3＝時(shí)，Q（，），
此時(shí)，四邊形OCQP是平行四邊形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；
當(dāng)m4＝時(shí)，Q（，），
此時(shí)，四邊形OCQP是平行四邊形，CQ＝，
∴CQ≠OC，平行四邊形OCPQ不是菱形，舍去；
綜上所述：不存在m，使得以點(diǎn)O、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，線段長(zhǎng)度的最大值求解，和菱形存在性問題．在求線段的最大值時(shí)需要先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出線段的長(zhǎng)度，最后結(jié)合二次函數(shù)求出最大值；在探究菱形存在性問題時(shí)，需要根據(jù)菱形的判定定理“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進(jìn)行探究．
28．（2021?山西）綜合與探究
如圖，拋物線y＝x2+2x﹣6與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．
（1）求A、B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)并直接寫出直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式．
（2）點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的平行線l，交線段AC于點(diǎn)D．
①試探究：在直線l上是否存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；
②設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線l交于點(diǎn)M，與直線AC交于點(diǎn)N．當(dāng)S△DMN＝S△AOC時(shí)，請(qǐng)直接寫出DM的長(zhǎng)．

【分析】（1）解方程x2+2x﹣6＝0，可求得A、B的坐標(biāo)，令x＝0，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得直線AC，BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）①設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，可得BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，分兩種情況畫出圖形，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解；
②設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，由直線l∥BC可設(shè)直線BC的解析式為y＝3k+b，由點(diǎn)D的坐標(biāo)可得b＝﹣4m﹣6，則M（﹣2，﹣4m﹣12），根據(jù)AC的函數(shù)表達(dá)式可得N（﹣2，﹣4），求出MN，根據(jù)S△DMN＝S△AOC可求得m，求出點(diǎn)D，點(diǎn)M的坐標(biāo)，即可得DM的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣6＝0，
解得x1＝﹣6，x2＝2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），
∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣6，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6；
（2）①存在：設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴當(dāng)DE＝BC時(shí)，以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
分兩種情況：
如圖，當(dāng)BD＝BC時(shí)，四邊形BDEC為菱形，

∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，﹣2），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）；
如圖，當(dāng)CD＝CB時(shí)，四邊形CBED為菱形，

∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，2﹣6），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2﹣2，2）；
綜上，存在點(diǎn)E，使得以點(diǎn)D，C，B，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，

∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，
∵直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x﹣6，直線l∥BC，
∴設(shè)直線l的解析式為y＝3x+b，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)（m，﹣m﹣6），
∴b＝﹣4m﹣6，
∴M（﹣2，﹣4m﹣12），
∵拋物線的對(duì)稱軸與直線AC交于點(diǎn)N．
∴N（﹣2，﹣4），
∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，
∵S△DMN＝S△AOC，
∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，
整理得：m2+4m﹣5＝0，
解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣5，﹣1），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，8），
∴DM＝＝3，
答：DM的長(zhǎng)為3．
【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，三角形的面積；解題的關(guān)鍵是會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會(huì)利用勾股定理表示線段之間的關(guān)系；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
29．（2021?營(yíng)口）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接AB，AC，BC，其中AC與x軸交于點(diǎn)E，且tan∠OBC＝2．
（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（m，0）為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與△ABC的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將△BMN沿直線MN翻折得到△B′MN，設(shè)四邊形B′NBM的面積為S，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，若S＝3S△ACB′，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的m值．

【分析】（1）如圖1中，設(shè)BC交y軸于D．利用待定系數(shù)法求出b，c，解直角三角形求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，求出直線BD的解析式，構(gòu)建方程組確定點(diǎn)C的坐標(biāo)即可．
（2）分兩種情形：當(dāng)0＜m＜2時(shí)，當(dāng)﹣＜m≤0時(shí)，分別求出MN，根據(jù)S＝?BB′?MN，構(gòu)建關(guān)系式即可．
（3）分兩種情形：根據(jù)S＝3S△ACB′，構(gòu)建方程求出m即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝3x2+bx+c過點(diǎn)A（0，﹣2），B（2，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝3x2﹣5x﹣2，
如圖1中，設(shè)BC交y軸于D．
∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，
∴OD＝4，
∴D（0，4），
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，則有，
解得，
∴直線BD的解析式為y＝﹣2x+4，
由，解得（即點(diǎn)B）或，
∴C（﹣1，6）．

（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），
∴直線AB的解析式為y＝x﹣2，直線AC的解析式為y＝﹣8x﹣2，
∴E（﹣，0），
當(dāng)0＜m＜2時(shí)，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，
∴S＝?BB′?MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．
當(dāng)﹣＜m≤0時(shí)，如圖2中，∵P（m，0），
∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），
∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，
∴S＝?BB′?MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．
綜上所述，S＝．


（3）∵直線AC交x軸于E（﹣，0），B′（2m﹣2，0），
當(dāng)﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝或（都不符合題意舍棄），
當(dāng)3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，
解得m＝1或11（舍棄）或﹣2+或﹣2﹣（舍棄），
綜上所述，滿足條件的m的值為1或﹣2+．


【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出直線BC與y軸的交點(diǎn)，確定直線BC的解析式，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．
30．（2021?濱州）如下列圖形所示，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，在其繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y＝x2相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（1）如圖1，若點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，求線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖3，若線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（4）若線段AB中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為6，求線段AB的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，可以先求的點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，平行線分線段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，可以求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)的方法可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)與點(diǎn)P坐標(biāo)的關(guān)系，從而可以得到y(tǒng)與x的關(guān)系；
（4）將y＝6代入（3）中的函數(shù)關(guān)系式，可以求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的平方，然后根據(jù)勾股定理可以得到OP的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到線段AB的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵點(diǎn)A、B在拋物線y＝x2上，點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3、，
∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝×（﹣3）2＝×9＝，當(dāng)x＝時(shí)，y＝×（）2＝×＝，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，），
作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，如右圖1所示，
則AC∥BD∥PE，
∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，
∴PA＝PB，
由平行線分線段成比例，可得EC＝ED，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
則x﹣（﹣3）＝﹣x，
∴x＝＝﹣，
同理可得，y＝＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，）；
（2）∵點(diǎn)B在拋物線y＝x2上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為：y＝×42＝8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，8），
∴OD＝4，DB＝8，
作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如右圖2所示，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），
∴CO＝﹣a，AC＝a2，
∴，
解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，），
∴中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：＝，縱坐標(biāo)為＝，
∴線段AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
（3）作AC⊥x軸于點(diǎn)C，作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如右圖3所示，
由（2）知，△AOC∽△OBD，
∴，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，b2），
∴，
解得，ab＝﹣4，
∵點(diǎn)P（x，y）是線段AB的中點(diǎn)，
∴x＝，y＝＝＝，
∴a+b＝2x，
∴y＝＝x2+2，
即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝x2+2；
（4）當(dāng)y＝6時(shí)，6＝x2+2，
∴x2＝4，
∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，點(diǎn)P時(shí)斜邊AB的中點(diǎn)，
∴AB＝2OP＝4，
即線段AB的長(zhǎng)是4．



【點(diǎn)評(píng)】這是一道二次函數(shù)綜合題目．主要考查平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
31．（2021?阜新）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），過點(diǎn)B的直線y＝x﹣2交拋物線于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)B，C重合），求△PBC面積的最大值；
（3）若點(diǎn)M在拋物線上，將線段OM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)N恰好落在直線BC上？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，連接PB，PC，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)E （m，），可得出PE＝﹣m2+m+1，再通過解方程組求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣），利用三角形面積公式和二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；
（3）設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y軸于點(diǎn)G，NH⊥x軸于H，證明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM＝NH，OG＝OH，建立方程組求解即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴該拋物線表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如圖1，過點(diǎn)P作PD∥y軸，交x軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，作CF⊥PD于點(diǎn)F，連接PB，PC，
設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），則點(diǎn)E （m，），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
聯(lián)立方程組：，
解得：，，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，0），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，﹣），
∴BD+CF＝3+，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC
＝PE?BD+PE?CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）?
＝（）2+，（其中＜m＜3），
∵，
∴這個(gè)二次函數(shù)有最大值．
當(dāng)m＝時(shí)，S△PBC的最大值為．
（3）如圖2，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y軸于點(diǎn)G，NH⊥x軸于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵線段OM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM與△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
M1（0，﹣3），M2 ，
如圖3，設(shè)M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x軸于點(diǎn)G，NH⊥x軸于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵線段OM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，得到線段ON，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∵∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM與△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：t1＝，t2＝，
∴M3，M4（，）；
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（0，﹣3），M2 ，M3，M4（，）．




【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、幾何圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)及一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及二次函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
32．（2021?綏化）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣5，0），點(diǎn)B（1，0）（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD．直線y＝經(jīng)過點(diǎn)A，且與y軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△BDN是以DN為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F為線段AE上的一點(diǎn)，點(diǎn)G為線段OA上的一點(diǎn)，連接FG，并延長(zhǎng)FG與線段BD交于點(diǎn)H（點(diǎn)H在第一象限），當(dāng)∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）分兩種情況：①當(dāng)DN＝DB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可求得答案，②當(dāng)DN＝BN時(shí)，方法一：N在BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點(diǎn)Q，BD與y軸交點(diǎn)為K，利用三角函數(shù)得出sin∠IQB＝＝，運(yùn)用待定系數(shù)法求得yQI＝，通過解方程組即可求得答案；方法二：過點(diǎn)N作DS⊥NT交NT于點(diǎn)S，設(shè)N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式即可求出答案；
（3）在AE上取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點(diǎn)的右側(cè)作FG＝MF，過點(diǎn)F作FP垂直于x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)H作HR垂直于x軸于點(diǎn)R，證明△FPG∽△HRG，設(shè)F（m，﹣﹣），則OP＝﹣m，PF＝m+，運(yùn)用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）將A（﹣5，0），B（1，0）代入拋物線y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵D（﹣2，9），B（1，0），點(diǎn)N是拋物線上的一點(diǎn)且△BDN是以DN為腰的等腰三角形，
∴此題有兩種情形：
①當(dāng)DN＝DB時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得：A與N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：當(dāng)DN＝BN時(shí)（如圖1），N在BD的垂直平分線上，
BD的垂直平分線交BD于I，交x軸于點(diǎn)Q，BD與y軸交點(diǎn)為K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB＝，
∴sin∠IQB＝＝，
∵I是BD的中點(diǎn)，BD＝3，
∴BI＝，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（，）
設(shè)yQI＝kx+b，代入得：
，
解得：，
∴yQI＝，
聯(lián)立得：，
解得：x＝，
∴yQI＝，
N2（，），N3（，），
方法二：如圖2，
過點(diǎn)N作DS⊥NT交NT于點(diǎn)S，
設(shè)N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），
∵DN＝DB，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a＝，
把a(bǔ)＝代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（）2﹣4（）+5＝，
∴N2（，），N3（，），
綜上所述，N1（﹣5，0），N2（，），N3（，）；
（3）如圖1，在AE上取一點(diǎn)F，作AF的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，連接MF，則AM＝MF，在AO上M點(diǎn)的右側(cè)作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移動(dòng)F點(diǎn)，當(dāng)HG＝2FG時(shí)，點(diǎn)F為所求．
過點(diǎn)F作FP垂直于x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)H作HR垂直于x軸于點(diǎn)R，
∴△FPG∽△HRG，
∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，
設(shè)F（m，﹣﹣），
則OP＝﹣m，PF＝m+，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM＝PF＝×＝m+，
∴GP＝m+，
∴GR＝2PG＝m+，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×PF＝＝，
∴OR＝，
∴H（，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式為：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m＝﹣，
再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，
∴F（﹣，﹣）．


【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，等腰三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，勾股定理等，熟練掌握待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．
33．（2021?深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價(jià)x（萬元）與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：
x（萬元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少？
【分析】（1）通過表格數(shù)據(jù)可以判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)銷售利潤(rùn)等于單件的利潤(rùn)與銷售件數(shù)的乘積列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)y＝kx+b（k≠0），
則，
解得：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣5x+90；
（2）設(shè)該產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為w，
由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜0，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，w最大，最大值為125（萬元），
答：當(dāng)銷售單價(jià)為13萬元時(shí)，有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為125萬元．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)銷售利潤(rùn)等于單件的利潤(rùn)與銷售件數(shù)的乘積，列出函數(shù)關(guān)系式．

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