?2021-2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
閱讀材料題
1. (2022·湖南省)閱讀下列材料：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：asinA=bsinB．
證明：如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，則：
在Rt△BCD中，CD=asinB
在Rt△ACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
∴asinA=bsinB
根據(jù)上面的材料解決下列問題：
(1)如圖2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證：bsinB=csinC；
(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會(huì)，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求這片區(qū)域的面積．(結(jié)果保留根號(hào)．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)


2. (2022·貴州省黔東南苗族侗族自治州)閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學(xué)問題，一天楊老師給他這樣一個(gè)幾何問題：
如圖1，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)A在DE上．
求證：以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
【探究發(fā)現(xiàn)】(1)小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接DC，根據(jù)已知條件，可以證明DC=AE，∠ADC=120°，從而得出△ADC為鈍角三角形，故以AE、AD、AC為邊的三角形是鈍角三角形．
請(qǐng)你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程．
【拓展遷移】(2)如圖2，四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形，點(diǎn)A在EG上．
①試猜想：以AE、AG、AC為邊的三角形的形狀，并說明理由．
②若AE2+AG2=10，試求出正方形ABCD的面積．


3. (2022·湖南省株洲市)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)．
(1)若a=1，b=3，且該二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(1,1)，求c的值；
(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與x軸相交于不同的兩點(diǎn)A(x1,0)、B(x2,0)，其中x10c>0-b2a0和a0時(shí)，拋物線開口向上．
①當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，有4ac-b20，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)4ac-b24a0，∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)4ac-b24a=0．
∴頂點(diǎn)在x軸上，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(如圖2)．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
③當(dāng)Δ=b2-4ac0，Δ0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x=logaN，比如指數(shù)式24=16可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式4=log216，對(duì)數(shù)式2=log39可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式32=9．
我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：
loga(M?N)=logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)，理由如下：
設(shè)logaM=m，logaN=n，則M=am，N=an，
∴M?N=am?an=am+n，由對(duì)數(shù)的定義得m+n=loga(M?N)．
又∵m+n=logaM+logaN，
∴l(xiāng)oga(M?N)=logaM+logaN.
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問題：
(1)填空：①log232= ______ ，②log327= ______ ，③log71= ______ ；
(2)求證：logaMN=logaM-logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0)；
(3)拓展運(yùn)用：計(jì)算log5125+log56-log530．
11. (2021·寧夏)閱讀理解：
如圖1，AD是△ABC的高，點(diǎn)E、F分別在AB和AC邊上，且EF//BC，可以得到以下結(jié)論：AHAD=EFBC．
拓展應(yīng)用：
(1)如圖2，在△ABC中，BC=3，BC邊上的高為4，在△ABC內(nèi)放一個(gè)正方形EFGM，使其一邊GM在BC上，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，則正方形EFGM的邊長(zhǎng)是多少？
(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個(gè)腰長(zhǎng)為100cm，底邊長(zhǎng)為160cm的等腰三角形展臺(tái)．現(xiàn)需將展臺(tái)用隔板沿平行于底邊，每間隔10cm分隔出一排，再將每一排盡可能多的分隔成若干個(gè)無蓋正方體格子，要求每個(gè)正方體格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒．平面設(shè)計(jì)圖如圖3所示，將底邊BC的長(zhǎng)度看作是0排隔板的長(zhǎng)度．
①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方體間的隔板厚度忽略不計(jì)時(shí)，每排的隔板長(zhǎng)度(單位：厘米)隨著排數(shù)(單位：排)的變化而變化．請(qǐng)完成下表：
排數(shù)/排
0
1
2
3
…
隔板長(zhǎng)度/厘米
160
______
______
______
…
若用n表示排數(shù)，y表示每排的隔板長(zhǎng)度，試求出y與n的關(guān)系式；
②在①的條件下，請(qǐng)直接寫出該展臺(tái)最多可以擺放多少瓶葡萄酒？


12. (2021·貴州省安順市)(1)閱讀理解
我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．
根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；
(2)問題解決
勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形.若AC=12，BC=5，求EF的值；
(3)拓展探究
如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形.設(shè)大正方形N的邊長(zhǎng)為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d．
已知∠1=∠2=∠3=α，當(dāng)角α(0°20.2×3.2=1.6；12+18>212×18=12．
猜想：如果a>0，b>0，那么存在a+b≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)．
猜想證明
∵(a-b)2≥0，
∴①當(dāng)且僅當(dāng)a-b=0，即a=b時(shí)，a-2ab+b=0，∴a+b=2ab；
②當(dāng)a-b≠0，即a≠b時(shí)，a-2ab+b>0，∴a+b>2ab．
綜合上述可得：若a>0，b>0，則a+b≥2ab成立(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立)．
猜想運(yùn)用
對(duì)于函數(shù)y=x+1x(x>0)，當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
變式探究
對(duì)于函數(shù)y=1x-3+x(x>3)，當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y的值最??？最小值是多少？
拓展應(yīng)用
疫情期間，為了解決疑似人員的臨時(shí)隔離問題.高速公路檢測(cè)站入口處，檢測(cè)人員利用檢測(cè)站的一面墻(墻的長(zhǎng)度不限)，用63米長(zhǎng)的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長(zhǎng)方形隔離房，如圖.設(shè)每間離房的面積為S(米?2).問：每間隔離房的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，可使每間隔離房的面積S最大？最大面積是多少？

14. (2021·內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市)閱讀理解：
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x1,y1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若M、N為某矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為M、N的“相關(guān)矩形”.如圖1中的矩形為點(diǎn)M、N的“相關(guān)矩形”．
(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)．
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,4)，則點(diǎn)A、B的“相關(guān)矩形”的周長(zhǎng)為______ ；
②若點(diǎn)C在直線x=4上，且點(diǎn)A、C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的解析式；
(2)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,-4)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6,-2)若使函數(shù)y=kx的圖象與點(diǎn)P、Q的“相關(guān)矩形”有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出k的取值．


15. (2021·山西省)(1)計(jì)算：(-1)4×|-8|+(-2)3×(12)2．
(2)下面是小明同學(xué)解不等式的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．
2x-13>3x-22-1．
解：2(2x-1)>3(3x-2)-6……第一步
4x-2>9x-6-6……第二步
4x-9x>-6-6+2……第三步
-5x>-10……第四步
x>2……第五步
任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)______ (運(yùn)算律)進(jìn)行變形的；
②第______ 步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是______ ；
任務(wù)二：請(qǐng)直接寫出該不等式的正確解集．
16. (2021·湖南省張家界市)閱讀下面的材料：
如果函數(shù)y=f(x)滿足：對(duì)于自變量x取值范圍內(nèi)的任意x1，x2，
(1)若x10．
則f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2).
∵x10，x2>0，
∴x1+x2>0，x1-x2

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