?專題52 中考數(shù)學(xué)最值問題

在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。┲邓龅臄?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要分為幾何最值和代數(shù)最值兩大部分。
一、解決幾何最值問題的要領(lǐng)
（1）兩點之間線段最短；
（2）直線外一點與直線上所有點的連線段中，垂線段最短；
（3）三角形兩邊之和大于第三邊或三角形兩邊之差小于第三邊（重合時取到最值）。
二、解決代數(shù)最值問題的方法要領(lǐng)
1.二次函數(shù)的最值公式
二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)且）其性質(zhì)中有
①若當(dāng)時，y有最小值。；
②若當(dāng)時，y有最大值。。
2.一次函數(shù)的增減性.一次函數(shù)的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（?。┲担坏?dāng)時，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（小）值。
3. 判別式法.根據(jù)題意構(gòu)造一個關(guān)于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實數(shù)，推得，進(jìn)而求出y的取值范圍，并由此得出y的最值。
4.構(gòu)造函數(shù)法.“最值”問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。
5. 利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì).在實數(shù)范圍內(nèi)，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即的最小值為k。
6. 零點區(qū)間討論法.用“零點區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對值符號，然后求出y在各個區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個定義域上的最大值。
7. 利用不等式與判別式求解.在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。
8. “夾逼法”求最值.在解某些數(shù)學(xué)問題時，通過轉(zhuǎn)化、變形和估計，將有關(guān)的量限制在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為“夾逼法”。

【例題1】（2020?黑龍江）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD方向平移，得到△EFG，連接EC、GC．求EC+GC的最小值為　 　．

【答案】．
【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝1，∠ABD＝30°，根據(jù)平移的性質(zhì)得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四邊形EGCD是平行四邊形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點E在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關(guān)于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于AE，解直角三角形即可得到結(jié)論．
∵在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四邊形EGCD是平行四邊形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，
∵點E在過點A且平行于BD的定直線上，
∴作點D關(guān)于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于E，
則CM的長度即為EC+DE的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MHAD，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2CD．

【對點練習(xí)】（2020?內(nèi)江）如圖，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若點M、N分別是線段DB、AB上的兩個動點，則AM+MN的最小值為　 ?。?br />
【答案】15．
【解析】作點A關(guān)于BD的對稱點A′，連接MA′，BA′，過點A′H⊥AB于H．首先證明△ABA′是等邊三角形，求出A′H，根據(jù)垂線段最短解決問題即可．
解：作點A關(guān)于BD的對稱點A′，連接MA′，BA′，過點A′H⊥AB于H．

∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，
∴∠ABA′＝60°，
∴△ABA′是等邊三角形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，
在Rt△ABD中，AB10，
∵A′H⊥AB，
∴AH＝HB＝5，
∴A′HAH＝15，
∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，
∴AM+MN≤15，
∴AM+MN的最小值為15．
【例題2】（2020?襄陽）受新冠肺炎疫情影響，一水果種植專業(yè)戶有大量成熟水果無法出售．“一方有難，八方支援”某水果經(jīng)銷商主動從該種植專業(yè)戶購進(jìn)甲，乙兩種水果進(jìn)行銷售．專業(yè)戶為了感謝經(jīng)銷商的援助，對甲種水果的出售價格根據(jù)購買量給予優(yōu)惠，對乙種水果按25元/千克的價格出售．設(shè)經(jīng)銷商購進(jìn)甲種水果x千克，付款y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）直接寫出當(dāng)0≤x≤50和x＞50時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若經(jīng)銷商計劃一次性購進(jìn)甲，乙兩種水果共100千克，且甲種水果不少于40千克，但又不超過60千克．如何分配甲，乙兩種水果的購進(jìn)量，才能使經(jīng)銷商付款總金額w（元）最少？
（3）若甲，乙兩種水果的銷售價格分別為40元/千克和36元/千克．經(jīng)銷商按（2）中甲，乙兩種水果購進(jìn)量的分配比例購進(jìn)兩種水果共a千克，且銷售完a千克水果獲得的利潤不少于1650元，求a的最小值．

【分析】（1）由圖可知y與x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，待定系數(shù)法求解析式即可．
（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果為a千克，則購進(jìn)乙種水果（100﹣a）千克，根據(jù)實際意義可以確定a的范圍，結(jié)合付款總金額（元）與種水果的購進(jìn)量之間的函數(shù)關(guān)系可以分類討論最少費用為多少．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論列不等式解答即可．
【解析】（1）當(dāng)0≤x≤50是，設(shè)y＝kx，根據(jù)題意得50k＝1500，
解得k＝30；
∴y＝30x；
當(dāng)x＞50時，設(shè)y＝k1x+b，
根據(jù)題意得，
，解得，
∴y＝24x+3000．
∴y，
（2）設(shè)購進(jìn)甲種水果為a千克，則購進(jìn)乙種水果（100﹣a）千克，
∴40≤a≤60，
當(dāng)40≤a≤50時，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．
當(dāng)a＝40 時．wmin＝2700 元，
當(dāng)50＜a≤60時，w2＝24a+25（100﹣a）＝﹣a+2500．
當(dāng)a＝60時，wmin＝2440 元，
∵2440＜2700，
∴當(dāng)a＝60時，總費用最少，最少總費用為2440 元．
此時乙種水果100﹣60＝40（千克）．
答：購進(jìn)甲種水果為60千克，購進(jìn)乙種水果40千克，才能使經(jīng)銷商付款總金額w（元）最少．
（3）由題意得：（40﹣24）a+（36﹣25）1650，
解得，
∵a為正整數(shù)，
∴a≥118，
∴a的最小值為118．
【對點練習(xí)】（2020海南模擬）某水果店在兩周內(nèi)，將標(biāo)價為10元/斤的某種水果，經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤，并且兩次降價的百分率相同．
（1）求該種水果每次降價的百分率；
（2）從第一次降價的第1天算起，第x天(x為正數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關(guān)信息如表所示.已知該種水果的進(jìn)價為4.1元/斤，設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元)，求y與x(1≤x＜15)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出第幾天時銷售利潤最大？
時間(天)
1≤x＜9
9≤x＜15
x≥15
售價(元/斤)
第1次降價后的價格
第2次降價后的價格

銷量(斤)
80－3x
120－x
儲存和損耗費用(元)
40＋3x
3x2－64x＋400
（3）在（2）的條件下，若要使第15天的利潤比（2）中最大利潤最多少127.5元，則第
15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元？
【答案】看解析。
【解析】（1）設(shè)該種水果每次降價的百分率為x，則第一次降價后的價格為10(1－x)，第二次降價后的價格為10(1－x)2，進(jìn)而可得方程；（2）分兩種情況考慮，先利用“利潤＝(售價－進(jìn)價)×銷量－儲存和損耗費用”，再分別求利潤的最大值，比較大小確定結(jié)論；（3）設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上降a元，利用不等關(guān)系“（2）中最大利潤－[(8.1－a－4.1)×銷量－儲存和損耗費用]≤127.5”求解．
解答：（1）設(shè)該種水果每次降價的百分率為x，依題意得：
10(1－x)2＝8.1．
解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合題意，舍去)
答：該種水果每次降價的百分率為10%．
（2） 第一次降價后的銷售價格為：10×(1－10%)＝9(元/斤)，
當(dāng)1≤x＜9時，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；
當(dāng)9≤x＜15時，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，
綜上，y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝
當(dāng)1≤x＜9時，y＝－17.7x＋352，∴當(dāng)x＝1時，y最大＝334.3(元)；
當(dāng)9≤x＜15時，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴當(dāng)x＝10時，y最大＝380(元)；
∵334.3＜380，∴在第10天時銷售利潤最大．
（3）設(shè)第15天在第14天的價格上最多可降a元，依題意得：
380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，
解得：a≤0.5，
則第15天在第14天的價格上最多可降0.5元．
所以當(dāng)時，最大利潤為1950元。
【例題3】（2020?樂山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x與雙曲線y交于A、B兩點，P是以點C（2，2）為圓心，半徑長1的圓上一動點，連結(jié)AP，Q為AP的中點．若線段OQ長度的最大值為2，則k的值為（　?。?br />
A． B． C．﹣2 D．
【答案】A
【分析】確定OQ是△ABP的中位線，OQ的最大值為2，故BP的最大值為4，則BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，則（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，即可求解．
【解析】點O是AB的中點，則OQ是△ABP的中位線，
當(dāng)B、C、P三點共線時，PB最大，則OQBP最大，
而OQ的最大值為2，故BP的最大值為4，
則BC＝BP﹣PC＝4﹣1＝3，
設(shè)點B（m，﹣m），則（m﹣2）2+（﹣m﹣2）2＝32，
解得：m2，
∴k＝m（﹣m）
【對點練習(xí)】（云南）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點B為弧AN的中點，點P是直徑MN上的一個動點，則PA+PB的最小值為　 ?。?br />
【答案】2．
【解析】過A作關(guān)于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對稱的性質(zhì)可知=，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．過A作關(guān)于直線MN的對稱點A′，連接A′B，由軸對稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，

連接OB，OA′，AA′，
∵AA′關(guān)于直線MN對稱，∴=，
∵∠AMN=40°，
∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
過O作OQ⊥A′B于Q，
在Rt△A′OQ中，OA′=2，
∴A′B=2A′Q=2，
即PA+PB的最小值2．
【例題4】（2020?衡陽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過點（﹣1，0），（2，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求當(dāng)﹣2≤x≤1時，y的最大值與最小值的差；
（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點的橫坐標(biāo)分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．

【答案】見解析。
【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，0）和（2，0）兩點，組成方程組再解即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象即可得出當(dāng)x＝﹣2，函數(shù)有最大值4；當(dāng)x是函數(shù)有最小值，進(jìn)而求得它們的差；
（3）由題意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因為a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m．
【解析】（1）由二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過（﹣1，0）和（2，0）兩點，
∴，解得，
∴此二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2；
（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x，
∴在﹣2≤x≤1范圍內(nèi)，當(dāng)x＝﹣2，函數(shù)有最大值為：y＝4+2﹣2＝4；
當(dāng)x是函數(shù)有最小值：y2，
∴的最大值與最小值的差為：4﹣（）；
（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m與二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2圖象交點的橫坐標(biāo)為a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得
x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
當(dāng)x＝3時，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m
∴m的取值范圍為m．

【對點練習(xí)】（海南）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為C，頂點為D，連結(jié)CD．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點P為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t．
①當(dāng)點P在直線BC的下方運動時，求△PBC的面積的最大值；
②該拋物線上是否存在點P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】見解析。
【解析】（1）將點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
（2）①S△PBC＝PG（xC﹣xB），即可求解；②分點P在直線BC下方、上方兩種情況，分別求解即可．
解：（1）將點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，則x＝﹣1或﹣5，
即點C（﹣1，0）；
（2）①如圖1，過點P作y軸的平行線交BC于點G，

將點B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：
直線BC的表達(dá)式為：y＝x+1…②，
設(shè)點G（t，t+1），則點P（t，t2+6t+5），
S△PBC＝PG（xC﹣xB）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，
∵＜0，∴S△PBC有最大值，當(dāng)t＝﹣時，其最大值為；
②設(shè)直線BP與CD交于點H，

當(dāng)點P在直線BC下方時，
∵∠PBC＝∠BCD，∴點H在BC的中垂線上，
線段BC的中點坐標(biāo)為（﹣，﹣），
過該點與BC垂直的直線的k值為﹣1，
設(shè)BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x+m，將點（﹣，﹣）代入上式并解得：
直線BC中垂線的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣4…③，
同理直線CD的表達(dá)式為：y＝2x+2…④，
聯(lián)立③④并解得：x＝﹣2，即點H（﹣2，﹣2），
同理可得直線BH的表達(dá)式為：y＝x﹣1…⑤，
聯(lián)立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），
故點P（﹣，﹣）；
當(dāng)點P（P′）在直線BC上方時，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
則直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+s，將點B坐標(biāo)代入上式并解得：s＝5，
即直線BP′的表達(dá)式為：y＝2x+5…⑥，
聯(lián)立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），
故點P（0，5）；
故點P的坐標(biāo)為P（﹣，﹣）或（0，5）．
【點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計算等，其中（2），要主要分類求解，避免遺漏．
【例題5】（2020無錫模擬）如圖，線段AB的長為4，C為AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE長的最小值是　 ?。?br />
【答案】4
【解析】設(shè)AC=x，BC=4﹣x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出CD=x，CD′=（4﹣x），
根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解．
解：設(shè)AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均為等腰直角三角形，
∴CD=x，CD′=（4﹣x），
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，
∵根據(jù)二次函數(shù)的最值，
∴當(dāng)x取2時，DE取最小值，最小值為：4．
【點撥】本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值．
【對點練習(xí)】（年黑龍江大慶）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°．AB＝8cm，AC＝6cm，若動點D從B出發(fā)，沿線段BA運動到點A為止（不考慮D與B，A重合的情況），運動速度為2cm/s，過點D作DE∥BC交AC于點E，連接BE，設(shè)動點D運動的時間為x（s），AE的長為y（cm）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？

【答案】見解析。
【解析】本題主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．
（1）由平行線得△ABC∽△ADE，根據(jù)相似形的性質(zhì)得關(guān)系式.
動點D運動x秒后，BD＝2x．
又∵AB＝8，∴AD＝8﹣2x．
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝（0＜x＜4）．
（2）由S＝?BD?AE；得到函數(shù)解析式，然后運用函數(shù)性質(zhì)求解．
S△BDE＝＝＝（0＜x＜4）．
當(dāng)時，S△BDE最大，最大值為6cm2．
【點撥】本題主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數(shù)的最值問題，找到等量比是解題的關(guān)鍵．

一、填空題
1．（2020?揚州）如圖，在?ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，點E為邊AB上的一個動點，連接ED并延長至點F，使得DFDE，以EC、EF為鄰邊構(gòu)造?EFGC，連接EG，則EG的最小值為　 　．

【答案】9．
【解析】根據(jù)題意和平行四邊形的性質(zhì)，可以得到BD和EF的比值，再根據(jù)三角形相似和最短距離，即可得到EG的最小值，本題得以解決．
作CH⊥AB于點H，
∵在?ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，
∴CH＝4，
∵四邊形ECGF是平行四邊形，
∴EF∥CG，
∴△EOD∽△GOC，
∴，
∵DFDE，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)EO取得最小值時，EG即可取得最小值，
當(dāng)EO⊥CD時，EO取得最小值，
∴CH＝EO，
∴EO＝4，
∴GO＝5，
∴EG的最小值是，

2．（2020?涼山州）如圖，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一點，且EB＝3，F(xiàn)是BC上一動點，若將△EBF沿EF對折后，點B落在點P處，則點P到點D的最短距離為　 ?。?br />
【答案】10．
【解析】先根據(jù)勾股定理計算ED的長，當(dāng)E、P、D共線時，DP最小，即最短距離是此時PD的長．
如圖，連接PD，DE，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE13，
由折疊得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴當(dāng)E、P、D共線時，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10
3．（2020?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（1，1），B（3，3）是第一象限角平分線上的兩點，點C的縱坐標(biāo)為1，且CA＝CB，在y軸上取一點D，連接AC，BC，AD，BD，使得四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值為　 ?。?br />
【答案】4+2．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝45°，得到∠C＝90°，求得AC＝BC＝2，作B關(guān)于y軸的對稱點E，連接AE交y軸于D，則此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+AE，過E作EF⊥AC交CA的延長線于F，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
解：∵點A（1，1），點C的縱坐標(biāo)為1，
∴AC∥x軸，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（3，3）
∴C（3，1），
∴AC＝BC＝2，
作B關(guān)于y軸的對稱點E，
連接AE交y軸于D，
則此時，四邊形ACBD的周長最小，這個最小周長的值＝AC+BC+AE，
過E作EF⊥AC交CA的延長線于F，
則EF＝BC＝2，AF＝6﹣2＝4，
∴AE2，
∴最小周長的值＝AC+BC+AE＝4+2

4．如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是　 ?。?br />
【答案】3
【解析】利用菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)得出P與D重合時PE+PF的最小值，進(jìn)而求出即可．
由題意可得出：當(dāng)P與D重合時，E點在AD上，F(xiàn)在BD上，此時PE+PF最小，
連接BD，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，則△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，
∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．

【點撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及相切兩圓的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出P點位置是解題關(guān)鍵．　
5.（2020四川綿陽模擬）不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為________。
【答案】5
【解析】設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h
因為，所以
又因為，代入
得，所以
又因為，代入
得，所以
所以3

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