?2020-2022年中考數(shù)學真題分類匯編
幾何題翻折類
一、選擇題
1. (2022·浙江省湖州市)如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB=6，BC=8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF.將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF.則下列結論不正確的是(????)

A. BD=10 B. HG=2 C. EG//FH D. GF⊥BC
2. (2022·西藏)如圖，在菱形紙片ABCD中，E是BC邊上一點，將△ABE沿直線AE翻折，使點B落在B'上，連接DB'.已知∠C=120°，∠BAE=50°，則∠AB'D的度數(shù)為(????)


A. 50° B. 60° C. 80° D. 90°
3. (2022·四川省達州市)如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD=3BF，BE=4，則AD的長為(????)


A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
4. (2022·江蘇省連云港市)如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學得出以下結論：①GF//EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG.其中正確的是(????)
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③④
5. (2022·黑龍江省牡丹江市)下列圖形是黃金矩形的折疊過程：
第一步，如圖(1)，在一張矩形紙片一端折出一個正方形，然后把紙片展平；

第二步，如圖(2)，把正方形折成兩個相等的矩形再把紙片展平；
第三步，折出內(nèi)側矩形的對角線AB，并把AB折到圖(3)中所示的AD處；
第四步，如圖(4)，展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．

則下列線段的比中：①CDDE，②DEAD，③DEND，④ACAD，比值為5-12的是(????)
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③
6. (2022·臺灣省)如圖1為一張正三角形紙片ABC，其中D點在AB上，E點在BC上．今以DE為折線將B點往右折后，BD、BE分別與AC相交于F點、G點，如圖2所示．若AD=10，AF=16，DF=14，BF=8，則CG的長度為多少？(????)

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
7. (2021·四川省涼山彝族自治州)如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，將△ADE沿DE翻折，使點A與點B重合，則CE的長為(????)
A. 198
B. 2
C. 254
D. 74
8. (2021·四川省遂寧市)如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點E為BC上一點，把△CDE沿DE翻折，點C恰好落在AB邊上的F處，則CE的長是(????)


A. 1 B. 43 C. 32 D. 53
9. (2021·浙江省麗水市)如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點D，E分別在AB，AC上，連結DE，將△ADE沿DE翻折，使點A的對應點F落在BC的延長線上，若FD平分∠EFB，則AD的長為(????)


A. 259 B. 258 C. 157 D. 207
10. (2020·重慶A卷)如圖，三角形紙片ABC，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著AD翻折，得到△AED，DE與AC交于點G，連接BE交AD于點F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面積為2，則點F到BC的距離為(????)


A. 55 B. 255 C. 455 D. 433
11. (2020·重慶市B卷)如圖，在△ABC中，AC=22，∠ABC=45°，∠BAC=15°，將△ACB沿直線AC翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得△ACD.過點A作AE，使∠DAE=∠DAC，與CD的延長線交于點E，連接BE，則線段BE的長為(????)
A. 6 B. 3 C. 23 D. 4
12. (2020·江蘇省無錫市)如圖，在四邊形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90°，AB=3，BC=3，把Rt△ABC沿著AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED=32，則線段DE的長度(????)
A. 63 B. 73 C. 32 D. 275
13. (2020·四川省資陽市)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E是CD邊上的一點，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，連接BF，使tan∠ABF=2，則DE的長是(????)
A. 1
B. 65
C. 43
D. 53

二、填空題
14. (2022·遼寧省盤錦市)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=3，點E為邊BC上一點，將△DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F，過點F作DE的平行線交AD于點G，交直線BC于點H.若點G是邊AD的三等分點，則FG的長是______．

15. (2022·江蘇省蘇州市)如圖，在矩形ABCD中，ABBC=23.動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN.動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v145°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH=∠QKH=45°，
如圖3-2中，過點H作HL⊥PK于點L，設PQ交KH題意點J，設HL=LK=2，PL=3，PH=7，KH=22，
∵S△PHK=12?PK?HL=12?KH?PJ，
∴PQ=2PJ=2×2(2+3)22=22+6
∴PQBC=22+627=214+4214．
?
29.13?m2n?3135?
30.(1)證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
(2)解：延長BH，AD交于Q，如圖：

設FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC-HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，F(xiàn)G=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736-73，
∴DQ=887，
設AE=EF=m，則DE=8-m，
∴EQ=DE+DQ=8-m+887=1447-m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴EQBG=EFFG，即1447-m254=m74，
解得m=92，
∴AE的長為92；
(3)解：(Ⅰ)當DE=13DC=2時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于H，如圖：

設DQ=x，QE=y，則AQ=6-x，
∵CP//DQ，
∴△CPE∽△QDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是△AQF的角平分線，
∴AQAF=QEEF，即6-x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE-DH=2-12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1-12x)2+(32x)2=y2②，
聯(lián)立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
(Ⅱ)當CE=13DC=2時，延長FE交AD延長線于Q'，過D作DN⊥AB交BA延長線于N，如圖：

同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
綜上所述，CP的長為32或65．?
31.233?
32.(1)解：如圖1，連接CP，
由旋轉知，CF=CG，∠FCG=90°，
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵點P是FG的中點，
∴CP⊥FG，
∵點D是BC的中點，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB=AC=22，
∴BC=2AB=4，
∴DP=2；

(2)證明：如圖2，
過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，
∴∠AEH=90°，
由旋轉知，EG=EF，∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠AEH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠H=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AE=HE，
∴△EGA≌△EFH(SAS)，
∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，
∴∠EAG=∠BAD=45°，
∵∠AMF=180°-∠BAD-∠AFM=135°-∠AFM，
∵∠AFM=∠EFH，
∴∠AMF=135°-∠EFH，
∵∠HEF=180°-∠EFH-∠H=135°-∠EFH，
∴∠AMF=∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵∠AGN=∠AEG，
∴∠AGN=∠HEF，
∴∠AGN=∠AMF，
∵GN=MF，
∴△AGN≌△AMF(AAS)，
∴AG=AM，
∵AG=FH，
∴AM=FH，
∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；

(3)解：∵點E是AC的中點，
∴AE=12AC=2，
根據(jù)勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，
由折疊直，BE=B'E=10，
∴點B'是以點E為圓心，10為半徑的圓上，
由旋轉知，EF=EG，
∴點G是以點E為圓心，EG為半徑的圓上，
∴B'G的最小值為B'E-EG，
要B'G最小，則EG最大，即EF最大，
∵點F在AD上，
∴點在點A或點D時，EF最大，最大值為2，
∴線段B'G的長度的最小值10-2．?
33.解：(1)∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
根據(jù)翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DA//CB，
∴∠ECA=∠CAD，
∴∠EAC=∠CAD，
∴∠DAF=∠BAE，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=90°，
設CE=AE=x，則BE=4-x，
在△BAE中，根據(jù)勾股定理可得：
BA2+BE2=AE2，
即：(22)2+(4-x)2=?x2，
解得：x=3，
在Rt△EAF中，EF=AF2+AE2=17．
(2)過點F作FG⊥BC交BC于點G，
設CG=x，則GB=3-x，
∵FC=4，F(xiàn)E=17，
∴FG2=FC2-CG2=FE2-EG2，
即：16-x2=17-(3-x)2，
解得：x=43，
∴FG=FC2-CG2=823，
∴sin∠CEF=FGEF=83451．?
34.解：(1)∵∠B=40°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=50°，
∵AE平分∠BAC，P與E重合，
∴D在AB邊上，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=(180°-∠BAC)÷2=65°，
∴α=∠ACB-∠ACD=25°；
答：α的度數(shù)為25°；
(2)①當點P在線段BE上時，如圖：

∵將△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC+∠BAD=∠B+∠BCD，∠BAD=β，∠B=40°，
∴(90°-α)+β=40°+α，
∴2α-β=50°，
②如圖2，當點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，如圖：

∵將△APC沿AP翻折得△APD，
∴AC=AD，
∵∠BCD=α，∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACD=90°-α，
又∵∠ADC=∠AFC+∠BCD，∠AFC=∠ABC+∠BAD，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD+∠BCD=40°+β+α，
∴90°-α=40°+α+β，
∴2α+β=50°；
綜上所述，當點P在線段BE上時，2α-β=50°；當點P在線段CE上時，2α+β=50°．?
35.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵將△ABE沿AE翻折后，點B恰好落在對角線AC的中點F上，
∴∠AFE=∠B=90°，AF=CF，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠CFE=180°-∠AFE=90°，
在△AEF和△CEF中，
AF=CF∠AFE=∠CFEEF=EF，
∴△AEF≌△CEF(SAS)．
(2)由(1)知，△AEF≌△CEF，
∴∠EAF=∠ECF，
由折疊性質得，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAE=∠EAF=∠ECF，
∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠BCA=90°，
∴3∠BAE=90°，
∴∠BAE=30°，
在Rt△ABE中，AB=3，∠B=90°，
∴AE=ABcos30°=332=2．?
36.解：(1)如圖1，設DE與CF交于點G，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC(AAS)，
∴DE=CF，
∴DECF=1；
(2)如圖2，設DB與CE交于點G，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=47，
故答案為：47．
(3)證明：如圖3，過點C作CH⊥AF交AF的延長線于點H，

∵CG⊥EG，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCH為矩形，
∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE?AB=CF?AD；
(4)①如圖4，過點C作CG⊥AD于點G，連接AC交BD于點H，CG與DE相交于點O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，
∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，
∴AB=3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，
∴AHDH=13，
設AH=a，則DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+(3a)2=92，
∴a=91010(負值舍去)，
∴AH=91010，DH=271010，
∴AC=2AH=9510，
∵S△ADC=12AC?DH=12AD?CG，
∴12×9510×271010=12×9CG，
∴CG=275，
∴DECF=ADCG=9275=53；
②∵AC=9510，CG=275，∠AGC=90°，
∴AG=AC2-CG2=(9510)2-(275)2=95，
由①得：△DEA∽△CFG，
∴CFDE=FGAE，
又∵DECF=53，AE=1，
∴FG=35，
∴AF=AG-FG=95-35=65，
∴BF=AB2+AF2=32+(65)2=3529．?
37.(1)如圖1，
①證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠GAH=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠AGH+∠DGC=90°，
∴∠DCG=∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF=∠EAF，
∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，
∵CD=AB=2，AD=4，
∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，
∴DG=12CD=12×2=1，
∴GA=4-1=3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDGA，
∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．
(2)不全等，理由如下：
∵AD=4，CD=2，
∴AC=42+22=25，
∵∠GCF=90°，
∴CGAC=tan∠DAC=12，
∴CG=12AC=12×25=5，
∴AG=(25)2+(5)2=5，
∴EA=12AG=52，
∴EF=EA?tan∠DAC=52×12=54，
∴AF=(52)2+(54)2=554，
∴CF=25-554=354，
∵∠GCF=∠AEF=90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF與△AEF不全等．?
38.(1)解：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，
∴∠EAF=12(∠BAC+∠DAC)=45°，
∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴BE=DF，AE=AF，
∵CB=CD，
∴CE=CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案為：45；△AEF，△EFC，△ABC，△ADC(任寫2個即可)．

(2)解：結論：PQ=BP+DQ．
理由：如圖2中，延長CB到T，使得BT=DQ．

∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，
∴△ADQ≌△ABT(SAS)，
∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，
∴△PAT≌△PAQ(SAS)，
∴PQ=PT，
∵PT=PB+BT=PB+DQ，
∴PQ=BP+DQ．
故答案為：PQ=BP+DQ．

(3)解：如圖3中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AC=2AB，
∵∠BAC=∠PAQ=45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案為：2．

(4)證明：如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉90°得到△ABR，連接RM．

∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∵∠DAN=∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR=45°，
∴∠MAR=∠MAN=45°，
∵AR=AN，AM=AM，
∴△AMR≌△AMN(SAS)，
∴RM=MN，
∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，
∴∠RBM=90°，
∴RM2=BR2+BM2，
∵DN=BR，MN=RM，
∴BM2+DN2=MN2?
39.證明(1)∵四邊形EOGF是矩形，
∴EO//GF，GO//EF，
∵GE//DC，
∴四邊形GEFD是平行四邊形，四邊形GECF是平行四邊形，
∴GE=DF，GE=CF，
∴DF=FC；
(2)①如圖1，由折疊的性質知，∠GDH=∠MDH，DH⊥GM，
∵GE//CD，
∴∠DGM=∠BDC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，∠COD=90°，
∵∠ADB=∠GDH，
∴∠DGM=∠GDH，
∵DH⊥GM，
∴∠DGM=45°，
∴∠OEG=45°，
∴OE=OG，
∵四邊形EOGF是矩形，
∴四邊形EOGF是正方形；

②如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB，

∵GE//CD，
∴∠DGE=∠CDB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB，
∴∠GDM=2∠ABD，
∵tan∠ABO=m(m為定值)，
∴點M始終在固定射線DM上并隨k的增大向上運動，
∵當且僅當k>2時，M點在矩形EOGF的外部，
∴k=2時，M點在矩形EOGF上，即點M在EF上，
設OB=b，則，OA=OC=mb，DG=DM=kb=2b，OG=(k+1)b=3b，OE=m(k+1)b=3mb，GH=HM=mkb=2mb，
∴FH=OE-GH=m(k+1)b-mkb=mb，
過點D作DN⊥EF于點N，
∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN，
∴∠FHM=∠DMN，
∵∠F=∠DNM=90°，
∴△MFH∽△DNM，
∴FHMN=MHDM，
∴mbMN=2mb2b，
∴MN=b，
∵DM2=DN2+MN2，
∴(2b)2=(3mb)2+b2，
解得，m=33，或m=-33(舍)，
故m=33．?
40.解：(1)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF?DF=AB?DE，
∵AF?DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC-DE=5-2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2-DE2=32-22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)過點N作NG⊥BF于點G，

∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
設AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
設FG=y，則AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.
∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．?
41.(1)證明：如圖，連接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°，

又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵AD=DE，DF=DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL)，
∴AF=EF；
(2)解：DEEF的值不變；
如圖，過點E作EM⊥AD于點M，過點E作EN⊥AB于點N，

∴四邊形ANEM是矩形，
∴EN=AM，
∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①，
∵∠DEF=∠MEN=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
又∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△FNE，
∴DEEF=EMEN②，
由①②可得DEEF=DCAD，
∵AD與DC的長度不變，
∴DEEF的長度不變；
(3)連接GH交EF于點I，

∵點F是AB的中點，
∴AF=3，
在Rt△ADF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7，
由(2)知DEEF=DCAD=232=3，
∴DE=3EF，
在Rt△DEF中，EF=72，DE=212，
又∵AB//DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴DGGF=DCAF=2，
∴GFDF=13，
由折疊的性質可知GI=IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH//DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴GIDE=FIEF=GFDF=13，
∴EI=23EF=73，GI=IH=216，
又∵GH//DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴KIEK=IHDE=13，
∴KI=14EI=712，
∴HK=IH2+KI2=9112．?
42.(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由翻折可知，∠D=∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

(2)設EC=x，
由翻折可知，AD=AF=4，
∴BF=AF2-AB2=16-12=2，
∴CF=BC-BF=2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴232=2x，
∴x=233，
∴EC=233．

(3)∵△ABF∽△FCE，
∴AFEF=ABCF，
∴tanα+tanβ=BFAB+EFAF=BFAB+CFAB=BF+CFAB=BCAB，
設AB=CD=a，BC=AD=b，DE=x，
∴AE=DE+2CE=x+2(a-x)=2a-x，
∵AD=AF=b，DE=EF=x，∠B=∠C=∠D=90°，
∴BF=b2-a2，CF=x2-(a-x)2=2ax-a2，
∵AD2+DE2=AE2，
∴b2+x2=(2a-x)2，
∴a2-ax=14b2，
∵△ABF∽△FCE，
∴ABCF=BFEC，
∴ax2-(a-x)2=b2-a2a-x，
∴a2-ax=b2-a2?2ax-a2，
∴14b2=b2-a2?a2-12b2，
整理得，16a4-24a2b2+9b4=0，
∴(4a2-3b2)2=0，
∴ba=233，
∴tanα+tanβ=BCAB=233．?

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