?專題15 圖形的旋轉、翻折（對稱）與平移
一、單選題
1．（2022·廣東）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把點的橫坐標加2，縱坐標不變，得到，就是平移后的對應點的坐標．
【詳解】
解：點向右平移2個單位長度后得到的點的坐標為．
故選A．
【點睛】
本題考查了坐標與圖形變化﹣平移．掌握平移的規(guī)律是解答本題的關鍵．
2．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，點A（3，1），B（1，2），將△ABC向左平移2個單位，再向上平移1個單位，則點B的對應點B′的坐標為（???????）

A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3）
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)圖形的平移性質求解．
【詳解】
解：根據(jù)圖形平移的性質，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；
故選：D．
【點睛】
本題主要考查圖形平移的點坐標求解，掌握圖形平移的性質是解題的關鍵．
3．（2020·山東菏澤）在平面直角坐標系中，將點向右平移個單位得到點，則點關于軸的對稱點的坐標為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根據(jù)點向右平移個單位點的坐標特征：橫坐標加3，縱坐標不變，得到點的坐標，再根據(jù)關于軸的對稱點的坐標特征：橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，得到對稱點的坐標即可．
【詳解】
解：∵將點向右平移個單位，
∴點的坐標為：(0，2)，
∴點關于軸的對稱點的坐標為：(0，-2)．
故選：A．
【點睛】
本題考查平移時點的坐標特征及關于軸的對稱點的坐標特征，熟練掌握對應的坐標特征是解題的關鍵．
4．（2020·四川自貢）在平面直角坐標系中，將點向下平移3個單位長度，所得點的坐標是（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)點的平移規(guī)律為上加下減，左減右加即可求解．
【詳解】
解：點的平移規(guī)律為上加下減，左減右加，可得橫坐標不變，縱坐標減3，1-3=-2，
故答案為D．
【點睛】
本題考查點的坐標平移規(guī)律，根據(jù)“上加下減，左減右加”即可求解．
5．（2021·四川雅安）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點G．若．．則的值為（???????）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平移的性質可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性質及已知條件即可求得△CEG的面積．
【詳解】
由平移的性質可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故選：B．
【點睛】
本題考查了平移的性質及相似三角形的判定與性質，相似三角形的性質是本題的關鍵．
6．（2021·浙江麗水）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標分別是 (?1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y軸右側的一盞燈籠，使得y軸兩側的燈籠對稱，則平移的方法可以是（???????）

A．將B向左平移4.5個單位 B．將C向左平移4個單位
C．將D向左平移5.5個單位 D．將C向左平移3.5個單位
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用利用關于y軸對稱點的性質得出答案．
【詳解】
解：∵點A (?1，b) 關于y軸對稱點為B (1，b)，
C (2，b)關于y軸對稱點為(-2，b)，
需要將點D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5個單位，
故選：C．
【點睛】
本題主要考查了關于y軸對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的關系是解題關鍵．
7．（2022·四川南充）如圖，將直角三角板繞頂點A順時針旋轉到，點恰好落在的延長線上，，則為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出的度數(shù)，由旋轉可知，在根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)即可．
【詳解】
∵，
∴，
∵由旋轉可知，
∴，
故答案選：B．
【點睛】
本題考查直角三角形的性質以及圖形的旋轉的性質，找出旋轉前后的對應角是解答本題的關鍵．
8．（2022·山東青島）如圖，將先向右平移3個單位，再繞原點O旋轉，得到，則點A的對應點的坐標是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先畫出平移后的圖形，再利用旋轉的性質畫出旋轉后的圖形即可求解．
【詳解】
解：先畫出△ABC平移后的△DEF，再利用旋轉得到△A'B'C'，
由圖像可知A'（-1，-3），
故選：C．


【點睛】
本題考查了圖形的平移和旋轉，解題關鍵是掌握繞原點旋轉的圖形的坐標特點，即對應點的橫縱坐標都互為相反數(shù)．
9．（2022·內蒙古呼和浩特）如圖，中，，將繞點順時針旋轉得到，使點的對應點恰好落在邊上，、交于點．若，則的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內角和可求得∠B，進而可求得∠E，則可求得答案．
【詳解】
解：∵將繞點順時針旋轉得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故選：C．
【點睛】
本題考查了旋轉變換、三角形內角和、等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質．
10．（2022·四川內江）如圖，在平面直角坐標系中，點B、C、E在y軸上，點C的坐標為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經過某些變換得到的，則正確的變換是（　?。?br />
A．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位
【答案】D
【解析】
【分析】
觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應先旋轉然后平移即可．
【詳解】
解：根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點C順時針旋轉90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．
故選：D．
【點睛】
本題考查的是坐標與圖形變化，旋轉和平移的知識，掌握旋轉和平移的概念和性質是解題的關鍵．
11．（2022·黑龍江綏化）如圖，線段在平面直角坐標系內，A點坐標為，線段繞原點O逆時針旋轉90°，得到線段，則點的坐標為（???????）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如圖，逆時針旋轉90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，證明，根據(jù)A點坐標為，寫出，，則，，即可寫出點A的坐標．
【詳解】
解：如圖，逆時針旋轉90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，


∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵A點坐標為，
∴，，
∴，，
∴，
故選：A．
【點睛】
本題考查旋轉的性質，證明是解答本題的關鍵．
12．（2021·四川廣安）如圖，將繞點逆時針旋轉得到，若且于點，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由旋轉的性質可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性質可得∠DAC=20°，即可求解．
【詳解】
解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故選C．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是本題的關鍵．
13．（2020·湖北黃石）在平面直角坐標系中，點G的坐標是，連接，將線段繞原點O旋轉，得到對應線段，則點的坐標為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得兩個點關于原點對稱，即可得到結果．
【詳解】
根據(jù)題意可得，與G關于原點對稱，
∵點G的坐標是，
∴點的坐標為．
故選A．
【點睛】
本題主要考察了平行直角坐標系中點的對稱變換，準確理解公式是解題的關鍵．
14．（2020·四川攀枝花）如圖，直徑的半圓，繞點順時針旋轉，此時點到了點，則圖中陰影部分的面積是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由半圓A′B面積+扇形ABA′的面積-空白處半圓AB的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】
解：∵半圓AB，繞B點順時針旋轉30°，
∴S陰影=S半圓A′B+S扇形ABA′-S半圓AB
= S扇形ABA′
=
=3π
故選D．
【點睛】
本題考查了扇形面積的計算以及旋轉的性質，熟記扇形面積公式和旋轉前后不變的邊是解題的關鍵．
15．（2022·天津）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結論一定正確的是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質，對每個選項逐一判斷即可．
【詳解】
解：∵將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故選項A不符合題意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB與CN不一定平行，故選項B不符合題意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且頂角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故選項C符合題意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC與MN不一定垂直，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質．旋轉變換是全等變換，利用旋轉不變性是解題的關鍵．
16．（2022·江蘇揚州）如圖，在中，，將以點為中心逆時針旋轉得到，點在邊上，交于點．下列結論：①；②平分；③，其中所有正確結論的序號是（???????）


A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質可得對應角相等，對應邊相等，進而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】
解：∵將以點為中心逆時針旋轉得到，
∴，
，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，
平分，故②正確；
，
，
，
，
，
，
故③正確
故選D
【點睛】
本題考查了性質的性質，等邊對等角，相似三角形的性質判定與性質，全等三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
17．（2021·黑龍江牡丹江）如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點O旋轉90°，則旋轉后點A的對應點A′的坐標是（???????）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出點A的坐標，再根據(jù)旋轉變換中，坐標的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉后的位置，根據(jù)旋轉的性質確定對應點A′的坐標．
【詳解】
過點A作于點C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴?。?br /> ∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴點A的坐標是．
根據(jù)題意畫出圖形旋轉后的位置，如圖，
∴將△AOB繞原點O順時針旋轉90°時，點A的對應點A′的坐標為；
將△AOB繞原點O逆時針旋轉90°時，點A的對應點A′′的坐標為．

故選：C．
【點睛】
本題考查了解直角三角形、旋轉中點的坐標變換特征及旋轉的性質．（a，b）繞原點順時針旋轉90°得到的坐標為（b，-a），繞原點逆時針旋轉90°得到的坐標為（－b，a）．
18．（2021·廣東廣州）如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉得到，使點落在AB邊上，連結，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出，并利用旋轉性質得出，，，則可求得，再根據(jù)勾股定理求出，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結果．
【詳解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵繞點A逆時針旋轉得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故選：C．
【點睛】
本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉的性質求解是解題的關鍵．
19．（2021·河南）如圖，的頂點，，點在軸的正半軸上，延長交軸于點．將繞點順時針旋轉得到，當點的對應點落在上時，的延長線恰好經過點，則點的坐標為（???????）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接,由題意可證明，利用相似三角形線段成比例即可求得OC的長，即得點的坐標．
【詳解】
如圖，連接，因為軸，
繞點順時針旋轉得到，
所以，






,



故答案為B．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，找到是解題的關鍵．
20．（2020·海南）如圖，在中，將繞點逆時針旋轉得到，使點落在邊上，連接，則的長度是（???）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由旋轉的性質可知，，進而得出為等邊三角形，進而求出．
【詳解】
解：∵
由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋轉的性質可知：，且，
∴為等邊三角形，
∴．
故選：B．
【點睛】
本題考查了直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉的性質等，熟練掌握其性質是解決此類題的關鍵．
21．（2020·山東菏澤）如圖，將繞點順時針旋轉角，得到，若點恰好在的延長線上，則等于（???????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質和四邊形的內角和是360o即可求解．
【詳解】
由旋轉的性質得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180o，
∴∠ADE+∠ABE=180o，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360o，∠BAD=
∴∠BED=180o-，
故選：D．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質、四邊形的內角和是360o，熟練掌握旋轉的性質是解答的關鍵．
22．（2020·山東聊城）如圖，在中，，，將繞點旋轉得到，使點的對應點落在上，在上取點，使，那么點到的距離等于（???????）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質和30°角的直角三角形的性質可得的長，進而可得的長，過點D作DM⊥BC于點M，過點作于點E，于點F，如圖，則四邊形是矩形，解Rt△可得的長，即為FM的長，根據(jù)三角形的內角和易得，然后解Rt△可求出DF的長，進一步即可求出結果．
【詳解】
解：在中，∵，，
∴AC=2AB=4，
∵將繞點旋轉得到，使點的對應點落在上，
∴，
∴，
過點D作DM⊥BC于點M，過點作于點E，于點F，交AC于點N，如圖，則四邊形是矩形，
∴，
在Rt△中，，∴FM=1，
∵，
∴，
在Rt△中，，
∴，
即點到的距離等于．
故選：D．

【點睛】
本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質以及旋轉的性質等知識，正確作出輔助線、熟練掌握解直角三角形的知識是解題的關鍵．
23．（2020·山東棗莊）如圖，平面直角坐標系中，點在第一象限，點在軸的正半軸上，，，將繞點逆時針旋轉，點的對應點的坐標是（???）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如圖，作軸于．解直角三角形求出，即可．
【詳解】
解：如圖，作軸于．

由題意：，，
，
，，
，
，
故選：B．
【點睛】
本題考查坐標與圖形變化——旋轉，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．
二、填空題
24．（2022·山東臨沂）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B的坐標分別是，．平移得到，若點的對應點的坐標為，則點的對應點的坐標是_____________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點A坐標及其對應點的坐標的變化規(guī)律可得平移后對應點的橫坐標減小1，縱坐標減小2，即可得到答案．
【詳解】
平移得到，點的對應點的坐標為，
向左平移了1個單位長度，向下平移了2個單位長度，
即平移后對應點的橫坐標減小1，縱坐標減小2，
的對應點的坐標是，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了平移坐標的變化規(guī)律，即左減右加，上加下減，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
25．（2021·遼寧鞍山）如圖，△ABC沿BC所在直線向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝8，則BE＝___．

【答案】3
【解析】
【分析】
利用平移的性質解決問題即可．
【詳解】
解：由平移的性質可知，BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴平移的距離為3，
故答案為：3．
【點睛】
本題考查平移的性質，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質，屬于中考?？碱}型．
26．（2021·湖南湘潭）在平面直角坐標系中，把點向右平移5個單位得到點，則點的坐標為____．
【答案】
【解析】
【分析】
把點向右平移5個單位，縱坐標不變，橫坐標增加5，據(jù)此解題．
【詳解】
解：把點向右平移5個單位得到點，則點的坐標為，即，
故答案為：．
【點睛】
本題考查平面直角坐標系與點的坐標，涉及平移等知識，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．
27．（2021·吉林長春）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OA在y軸上，，點B在第一象限．標記點B的位置后，將沿x軸正方向平移至的位置，使經過點B，再標記點的位置，繼續(xù)平移至的位置，使經過點，此時點的坐標為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件結合等腰直角三角形的性質先求出點B ，點，即可得出點向右每次平移個單位長度，而為點B向右平移2個單位后的點，根據(jù)點平移規(guī)律即可得到答案
【詳解】
如圖過點B作，

為等腰直角三角形，斜邊在軸上，
，

向右平移至，點B在上，同理可得點的坐標為
每次向右平移1個單位，即點向右每次平移個單位，
為點B向右平移2個單位后的點
點的坐標為
故答案為：
【點睛】
本題考查了等腰直角三角形的性質，以及坐標與圖像變換—平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖像上某點的平移相同，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減，縱坐標上移加，下移減．
28．（2021·湖南懷化）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，將先向右平移3個單位長度得到，再繞順時針方向旋轉得到，則的坐標是____________．

【答案】（2，2）．
【解析】
【分析】
直接利用平移的性質和旋轉的性質得出對應點位置，然后作圖，進而得出答案．
【詳解】
解：如圖示：，為所求，

根據(jù)圖像可知，的坐標是（2，2），
故答案是：（2，2）．
【點睛】
本題主要考查了平移作圖和旋轉作圖，熟悉相關性質是解題關鍵．
29．（2022·山東濰坊）如圖，在直角坐標系中，邊長為2個單位長度的正方形繞原點O逆時針旋轉，再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點的坐標為___________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OB，由題意可得∠=75°，可得出∠=30°，可求出的坐標，即可得出點的坐標．
【詳解】
解：如圖：連接OB，，作⊥y軸

∵是正方形，OA=2
∴∠COB=45°，OB=
∵繞原點O逆時針旋轉
∴∠=75°
∴∠=30°
∵=OB=
∴，
∴
∵沿y軸方向向上平移1個單位長度
∴
故答案為：
【點睛】
本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉，坐標與圖形變化﹣平移，熟練掌握網格結構，準確確定出對應點的位置是解題的關鍵．
30．（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點P、Q分別是AB、A1C1的中點，PQ的最小值等于_____．

【答案】
【解析】
【分析】
取的中點，的中點，連接，，，，根據(jù)平移的性質和三角形的三邊關系即可得到結論．
【詳解】
解：取的中點，的中點，連接，，，，

將平移5個單位長度得到△，
，，
點、分別是、的中點，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了平移的性質，三角形的三邊關系，熟練掌握平移的性質是解題的關鍵．
31．（2020·廣東廣州）如圖，點A的坐標為，點在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為9，則點的坐標為_______．

【答案】(4，3)
【解析】
【分析】
過點A作AH⊥x軸于點H，得到AH=3，根據(jù)平移的性質證明四邊形ABDC是平行四邊形，得到AC=BD，根據(jù)平行四邊形的面積是9得到，求出BD即可得到答案.
【詳解】
過點A作AH⊥x軸于點H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案為：(4，3).

【點睛】
此題考查平移的性質，平行四邊形的判定及性質，直角坐標系中點到坐標軸的距離與點坐標的關系.
32．（2020·湖南湘西）在平面直角坐標系中，O為原點，點，點B在y軸的正半軸上，．矩形的頂點D，E，C分別在上，．將矩形沿x軸向右平移，當矩形與重疊部分的面積為時，則矩形向右平移的距離為___________．

【答案】2
【解析】
【分析】
先求出點B的坐標（0， ），得到直線AB的解析式為： ，根據(jù)點D的坐標求出OC的長度，利用矩形與重疊部分的面積為列出關系式求出，再利用一次函數(shù)關系式求出=4，即可得到平移的距離.
【詳解】
∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0， ），
∴直線AB的解析式為： ，
當x=2時，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四邊形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
設矩形沿x軸向右平移后得到矩形， 交AB于點G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形與重疊部分的面積為，
∴五邊形的面積為,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距離=，
故答案為：2.

【點睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)，求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質，圖形平移的性質，是一道綜合多個知識點的綜合題型，且較為基礎的題型.
33．（2022·湖南永州）如圖，圖中網格由邊長為1的小正方形組成，點為網格線的交點.若線段繞原點順時針旋轉90°后，端點的坐標變?yōu)開_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意作出旋轉后的圖形，然后讀出坐標系中點的坐標即可．
【詳解】
解：線段OA繞原點O順時針旋轉90°后的位置如圖所示，


∴旋轉后的點A的坐標為（2，-2），
故答案為：（2，-2）．
【點睛】
題目主要考查圖形的旋轉，點的坐標，理解題意，作出旋轉后的圖形讀出點的坐標是解題關鍵．
34．（2021·湖北隨州）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉角（）得到，并使點落在邊上，則點所經過的路徑長為______．（結果保留）

【答案】．
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB=2，根據(jù)旋轉的性質得到旋轉角為∠=60°，再由弧長計算公式，計算出結果．
【詳解】
解：∵，，，
∴AB=2AC，
設AC=x，則AB=2x，由勾股定理得：
，
解得：x=1，
則：AC=1，AB=2，
∵將繞點逆時針旋轉角（）得到，且點落在邊上，
∴旋轉角為60°，
∴∠=60°，
∴點所經過的路徑長為： ，
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了勾股定理、旋轉的性質和弧長的計算公式，解題關鍵在于找到旋轉角，根據(jù)弧長公式進行計算．
35．（2020·廣西）以原點為中心，把逆時針旋轉90°得到點，則點的坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標系，根據(jù)旋轉的性質得出N點坐標，由此即可得出答案．
【詳解】
解：如圖：

由旋轉的性質可得：M點橫坐標等于N點縱坐標的值，
M點縱坐標的值等于N點橫坐標的絕對值，
又∵M（3，4），
∴N（-4，3），
故答案為：（-4，3）．
【點睛】
此題考查有關點的坐標旋轉的性質 ，結合坐標軸和旋轉的特點確定坐標即可．
36．（2022·廣西賀州）如圖，在平面直角坐標系中，為等腰三角形，，點B到x軸的距離為4，若將繞點O逆時針旋轉，得到，則點的坐標為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
過B作于，過作軸于，構建，即可得出答案．
【詳解】
過B作于，過作軸于，


∴，
∴，
由旋轉可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質以及如何構造全等三角形求得線段的長度，準確構造全等三角形求得線段長度是解題的關鍵．
37．（2022·湖北隨州）如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，連接EF．如圖2，將△AEF繞點A逆時針旋轉角，使，連接BE并延長交DF于點H，則∠BHD的度數(shù)為______，DH的長為______．

【答案】???? 90°##90度???? ##
【解析】
【分析】
設EF交AD于點M，BH交AD于點N，先證明△ADF∽△ABE，可得∠ADF=∠ABE，可得∠BHD=∠BAD=90°；然后過點E作EG⊥AB于點G，可得四邊形AMEG是矩形，從而得到EG=AM，AG=ME，∠ABE=∠MEN，然后求出，再利用銳角三角函數(shù)可得，從而得到，進而得到，可得到，從而得到，進而得到DN=2，即可求解．
【詳解】
解：如圖，設EF交AD于點M，BH交AD于點N，

根據(jù)題意得：∠BAE=∠DAF，∠EAF=90°，，
∴，
在矩形ABCD中，，，∠BAD=90°，
∴，
∴△ADF∽△ABE，
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠ANB=∠DNH，
∴∠BHD=∠BAD=90°；
如圖，過點E作EG⊥AB于點G，
∴∠AGE=∠AME=∠BAD=90°，
∴四邊形AMEG是矩形，
∴EG=AM，AG=ME，ME∥AB，
∴∠ABE=∠MEN，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵∠ADF=∠ABE，
∴，
即DH=2HN，
∵，
解得：或（舍去）．
故答案為：90°，
【點睛】
本題主要考查了圖形的旋轉，解直角三角形，矩形的性質和判定，相似三角形的判定和性質，熟練掌握直角三角形的性質，矩形的性質和判定，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．
38．（2021·四川巴中）如圖，把邊長為3的正方形OABC繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE與BC交于點P，ED的延長線交AB于點Q，交OA的延長線于點M．若BQ：AQ＝3：1，則AM＝__________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OQ，OP，利用HL證明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA=DQ，同理可證：CP=DP，設CP=x，則BP=3-x，PQ=x+，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程求出x=，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【詳解】
解：連接OQ，OP，

∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA=OD，∠OAQ=∠ODQ=90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA=DQ，
同理可證：CP=DP，
∵BQ：AQ=3：1，AB=3，
∴BQ=，AQ=，
設CP=x，則BP=3-x，PQ=x+，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
(3-x)2+()2=(x+)2，
解得x=，
∴BP=，
∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴，
∴，
∴AM=．
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質等知識，利用全等證明QA=DQ，CP=DP是解題的關鍵．
39．（2021·湖南益陽）如圖，中，，將繞A點順時針方向旋轉角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．

【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)旋轉的性質可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質即可得．
【詳解】
解：在中，，
，
由旋轉的性質得：，
，
在和中，，
，
，
即與的面積之比等于，
故答案為：．
【點睛】
本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．
40．（2020·四川眉山）如圖，在中，，．將繞點按順時針方向旋轉至的位置，點恰好落在邊的中點處，則的長為________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，判斷出ABC斜邊BC的長度，根據(jù)勾股定理算出AC的長度，且，所以為等邊三角形，可得旋轉角為60°，同理，，故也是等邊三角形，的長度即為AC的長度．
【詳解】
解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，將其進行順時針旋轉，落在BC的中點處，
∵是由ABC旋轉得到，∴，而，
根據(jù)勾股定理：，
又∵，且，∴為等邊三角形，
∴旋轉角，
∴，且，故也是等邊三角形，
∴，
故答案為：．
【點睛】
本題主要考查了旋轉性質的應用以及勾股定理的計算，解題的關鍵在于通過題中所給的條件，判斷出圖形旋轉的度數(shù)，知道圖形旋轉的角度后，有關線段的長度也可求得．
41．（2020·山東煙臺）如圖，已知點A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，連接AB，CD，將線段AB繞著某一點旋轉一定角度，使其與線段CD重合（點A與點C重合，點B與點D重合），則這個旋轉中心的坐標為_____．

【答案】(4，2)
【解析】
【分析】
畫出平面直角坐標系，作出新的AC，BD的垂直平分線的交點P，點P即為旋轉中心．
【詳解】
解：平面直角坐標系如圖所示，旋轉中心是P點，P（4，2），

故答案為：（4，2）．
【點睛】
本題考查坐標與圖形變化﹣旋轉，解題的關鍵是理解對應點連線段的垂直平分線的交點即為旋轉中心．
42．（2020·甘肅天水）如圖，在邊長為6的正方形內作，交于點，交于點，連接，將繞點順時針旋轉得到，若，則的長為__________．

【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉的性質可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根據(jù)正方形的性質和等量代換可得∠GAE=∠FAE，進而可根據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，設BE=x，則CE與EF可用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得關于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】
解：∵將△繞點順時針旋轉得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
設BE=x，則CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案為：2．
【點睛】
本題考查了旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定和性質以及勾股定理等知識，屬于常考題型，熟練掌握上述基本知識、靈活應用方程思想是解題的關鍵．
三、解答題
43．（2022·安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的頂點均為格點（網格線的交點）．

(1)將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
(2)以邊AC的中點O為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉180°，得到，請畫出．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平移的方式確定出點A1，B1，C1的位置，再順次連接即可得到；
（2）根據(jù)旋轉可得出確定出點A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到．
(1)
如圖，即為所作；

(2)
如圖，即為所作；

【點睛】
本題考查作圖-旋轉變換與平移變換，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
44．（2022·黑龍江牡丹江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC與△DEF關于點O成中心對稱，△ABC與△DEF的頂點均在格點上，請按要求完成下列各題．


（1）在圖中畫出點O的位置；
（2）將△ABC 先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（3）在網格中畫出格點M，使A1M平分∠B1A1C1
【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；
【解析】
【分析】
（1）連接對應點B、F，對應點C、E，其交點即為旋轉中心的位置；
（2）利用網格結構找出平移后的點的位置，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)網格結構的特點作出即可．
【詳解】
解：（1）如圖所示，連接BF，CE交于點O，點O即為所求．
（2）如圖所示，△A1B1C1為所求；
（3）如圖所示，點M即為所求．


理由：連接，
根據(jù)題意得：，
∴四邊形菱形，
∴A1M平分∠B1A1C1．
45．（2021·黑龍江哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為個單位長度，的頂點和線段的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中將向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度后得到；（點的對應點是點，點的對應點是點，點的對應點是點），請畫出；
（2）在方格紙中畫出以為斜邊的等腰直角三角形（點在小正方形的頂點上）．連接，請直接寫出線段的長．

【答案】（1）圖見詳解；（2）圖見詳解，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題中所給的平移方式可直接進行作圖即可；
（2）由等腰直角三角形的性質可直接進行作圖，然后結合圖形及勾股定理得出的長．
【詳解】
解：（1）由題意可得如圖所示：

（2）由題意可得如圖所示：

由圖可得：．
【點睛】
本題主要考查平移、等腰直角三角形的性質及勾股定理，熟練掌握平移、等腰直角三角形的性質及勾股定理是解題的關鍵．
46．（2021·安徽）圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網格中，的頂點均在格點（網格線的交點）上．
（1）將向右平移5個單位得到，畫出；
（2）將（1）中的繞點C1逆時針旋轉得到，畫出．

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析．
【解析】
【分析】
（1）利用點平移的規(guī)律找出、、，然后描點即可；
（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出點，即可．
【詳解】
解：（1）如下圖所示，為所求；
（2）如下圖所示，為所求；


【點睛】
本題考查了平移作圖和旋轉作圖，熟悉相關性質是解題的關鍵．
47．（2022·湖南）如圖所示的方格紙格長為一個單位長度）中，的頂點坐標分別為，，．

(1)將沿軸向左平移5個單位，畫出平移后的△（不寫作法，但要標出頂點字母）；
(2)將繞點順時針旋轉，畫出旋轉后的△（不寫作法，但要標出頂點字母）；
(3)在（2）的條件下，求點繞點旋轉到點所經過的路徑長（結果保留．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用平移變換的性質分別作出， ，的對應點，，即可；
（2）利用旋轉變換的性質分別作出， ，的對應點，，即可；
（3）利用弧長公式求解即可．
(1)
解：如圖，即為所求；

(2)
解：如圖，(即△A2OB2）即為所求；

(3)
解：在中，，
．
【點睛】
本題考查作圖旋轉變換，平移變換，勾股定理、弧長公式等知識，解題的關鍵是掌握平移變換，旋轉變換的性質．
48．（2022·黑龍江）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．


(1)將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點的坐標；
(2)畫出繞點順時針旋轉90°后得到，并寫出點的坐標；
(3)在（2）的條件下，求點旋轉到點的過程中所經過的路徑長（結果保留）．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)點旋轉到點所經過的路徑長為
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題目中的平移方式進行平移，然后讀出點的坐標即可；
（2）先找出旋轉后的對應點，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)旋轉可得點旋轉到點為弧長，利用勾股定理確定圓弧半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可．
(1)
解：如圖所示△A1B1C1即為所求，


；
(2)
如圖所示△A2B2C2即為所求，；
(3)
∵
∴點旋轉到點所經過的路徑長為．
【點睛】
題目主要考查坐標與圖形，圖形的平移，旋轉，勾股定理及弧長公式等，數(shù)量掌握運用這些知識點是解題關鍵．
49．（2020·四川巴中）如圖所示，在邊長為1cm的小正方形組成的網格中．

（1）將沿y軸正方向向上平移5個單位長度后，得到，請作出，并求出的長度；
（2）再將繞坐標原點O順時針旋轉180°，得到，請作出，并直接寫出點的坐標；
（3）在（1）（2）的條件下，求線段AB在變換過程中掃過圖形的面積和．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析，B2(4，﹣4)；（3）
【解析】
【分析】
（1）分別將點A、B、C向上平移5個單位得到對應點，再順次連接可得；
（2）分別將點A、B、C繞點O順時針旋轉180°得到對應點，再順次連接可得；
（3）平行四邊形的面積加上大半圓的面積與小半圓面積的差即可求得．
【詳解】
解：（1）如圖所示，即為所求，；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，B2（4，﹣4）；

（3）在（1）（2）的條件下，線段AB在變換過程中掃過圖形的面積和為：

【點睛】
本題考查了作圖-平移變換、旋轉變換，解題的關鍵是熟練掌握平移變換和旋轉變換的定義和性質．
50．（2022·江蘇常州）如圖，點在射線上，．如果繞點按逆時針方向旋轉到，那么點的位置可以用表示．

(1)按上述表示方法，若，，則點的位置可以表示為______；
(2)在（1）的條件下，已知點的位置用表示，連接、．求證：．
【答案】(1)(3,37°)
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點的位置定義，即可得出答案；
（2）畫出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質，得出結論．
(1)
解：由題意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案為：(3,37°)；
(2)
證明：如圖，

∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【點睛】
本題考查全等三角形的判定與性質，新定義，旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
51．（2021·黑龍江）如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標系內，的三個頂點坐標分別為．


（1）畫出關于x軸對稱的，并寫出點的坐標；
（2）畫出繞點O順時針旋轉后得到的，并寫出點的坐標；
（3）在（2）的條件下，求點A旋轉到點所經過的路徑長（結果保留）．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析，；（3）
【解析】
【分析】
（1）分別作出點A、B關于x軸的對稱點，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點的坐標；
（2）根據(jù)旋轉的性質分別作出點A、B繞點O旋轉90°的點，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點的坐標；
（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OA的長，然后根據(jù)弧長計算公式進行求解．
【詳解】
解：（1）如圖所示：即為所求，
∴由圖象可得；
（2）如圖所示：即為所求，
∴由圖象可得；
（3）由（2）的圖象可得：點A旋轉到點所經過的路徑為圓弧，
∵，
∴點A旋轉到點所經過的路徑長為．

【點睛】
本題主要考查旋轉的性質、坐標與軸對稱及弧長計算公式，熟練掌握旋轉的性質、坐標與軸對稱及弧長計算公式是解題的關鍵．
52．（2021·青海西寧）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A，軸于點B，延長AB至點C，連接．若，．

（1）求的長和反比例函數(shù)的解析式；
（2）將繞點旋轉90°，請直接寫出旋轉后點A的對應點A'的坐標．
【答案】（1），；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由三角函數(shù)值，即可求出OB=2，然后求出點A的坐標，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，可分為：順時針旋轉90度和逆時針旋轉90度，兩種情況進行分析，即可得到答案．
【詳解】
解：（1） ∵軸于點B
∴
在中，，
∴，
∴點A的橫坐標為2
又∵點A在正比例函數(shù)的圖象上
∴，
∴
把代入，得
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是 ；
（2）根據(jù)題意，
∵點A為（2，1），
∵將繞點旋轉90°，
則分為：順時針旋轉90度和逆時針旋轉90度，如圖：

∴或．
【點睛】
本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，以及三角函數(shù)，旋轉的性質，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的畫出圖像進行分析．
53．（2021·江蘇淮安）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點A、B、C都在格點上（兩條網格線的交點叫格點）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．
（1）將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B1，點C的對應點為C1，畫出△AB1C1；
（2）連接CC1，△ACC1的面積為 　?。?br /> （3）在線段CC1上畫一點D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析
【解析】
【分析】
（1）將A、B、C三點分別繞點A按順時針方向旋轉90°畫出依次連接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面積公式即可得到答案；
（3）利用相似構造△CFD∽△C1ED即可．
【詳解】
解：（1）如圖：圖中△AB1C1即為要求所作三角形；
（2）∵AC＝＝，由旋轉知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面積為×AC×AC1＝，
故答案為：；
（3）連接EF交CC1于D，即為所求點D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面積＝△ACC1面積的．

【點睛】
本題考查了網格作圖，旋轉的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是構造△CFD∽△C1ED得到CD＝CC1．
54．（2021·遼寧阜新）下面是小明關于“對稱與旋轉的關系”的探究過程，請你補充完整．


（1）三角形在平面直角坐標系中的位置如圖1所示，簡稱G，G關于y軸的對稱圖形為，關于軸的對稱圖形為．則將圖形繞____點順時針旋轉____度，可以得到圖形．
（2）在圖2中分別畫出G關于 y軸和直線的對稱圖形，．將圖形繞____點（用坐標表示）順時針旋轉______度，可以得到圖形．
（3）綜上，如圖3，直線和所夾銳角為，如果圖形G關于直線的對稱圖形為，關于直線的對稱圖形為，那么將圖形繞____點（用坐標表示）順時針旋轉_____度（用表示），可以得到圖形．
【答案】（1）O，180；（2）圖見解析，，90；（3），
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圖形可以直接得到答案；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形，利用圖形旋轉的性質得到結論；
（3）從（1）（2）問的結論中得到解題的規(guī)律，求出兩個函數(shù)的交點坐標，即可得出答案．
【詳解】
解：（1）由圖象可得，圖形與圖形關于原點成中心對稱，
則將圖形繞O點順時針旋轉180度，可以得到圖形；
故答案為：O，180；
（2），如圖；

由圖形可得，將圖形繞點（用坐標表示）順時針旋轉90度，可以得到圖形，
故答案為：，90；
（3）∵當G關于y軸的對稱圖形為，關于軸的對稱圖形為時，與關于原點（0,0）對稱，即圖形繞O點順時針旋轉180度，可以得到圖形；
當G關于 y軸和直線的對稱圖形，時，圖形繞點（用坐標表示）順時針旋轉90度，可以得到圖形，點（0,1）為直線與 y軸的交點，90度角為直線與 y軸夾角的兩倍；
又∵直線和的交點為，夾角為，
∴當直線和所夾銳角為，圖形G關于直線的對稱圖形為，關于直線的對稱圖形為，那么將圖形繞點（用坐標表示）順時針旋轉度（用表示），可以得到圖形．
故答案為：，．
【點睛】
本題主要考查了圖形的對稱性與旋轉的性質，關鍵在于根據(jù)題意正確的畫出圖形，得出規(guī)律．
55．（2021·貴州畢節(jié)）如圖1，在中，，，D為內一點，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點F．
（1）求證：，；
（2）如圖2．連接AF，DC，已知，判斷AF與DC的位置關系，并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【解析】
【分析】
（1）首先根據(jù)旋轉的性質，判斷出∠DAE=90°，AD=AE，進而判斷出∠BAD=∠CAE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD=CE．再證明，即可證明；
（2）由得 ，再證明A，D，F(xiàn)，E在以DE為直徑的圓上，即可證明，從而可證明AF//CD．
【詳解】
解（1）由旋轉的性質，可得∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠CAE+∠DAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵
∴，即
∴
∴
∴，即;
（2），理由如下：
∵
∴
由（1）知，
∴A，D，F(xiàn)，E在以DE為直徑的圓上，如圖，

∵AD=AE
∴弧AD=弧AE，
∴
∴
∴；
【點睛】
此題主要考查了旋轉的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①對應點到旋轉中心的距離相等．②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．③旋轉前、后的圖形全等．另外此題還考查了全等三角形的判定和性質的應用，以及四點共圓的知識，要熟練掌握．
56．（2021·內蒙古通遼）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如圖1，連接，，求證：；
（2）將繞點O順時針旋轉．
①如圖2，當點M恰好在邊上時，求證：；
②當點A，M，N在同一條直線上時，若，，請直接寫出線段的長．

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或
【解析】
【分析】
(1)證明△AMO≌△BNO即可；
(2)①連接BN，證明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，進而得到∠MBN=90°，且△OMN為等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可證明；
②分兩種情況分別畫出圖形即可求解．
【詳解】
解：(1)∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又，
,
∴，
∴，
∴；
(2)①連接BN，如下圖所示：

∴，
，
且，
∴，
∴，，
∴，
且為等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理可知：
，且
∴；
②分類討論：
情況一：如下圖2所示，設AO與NB交于點C，過O點作OH⊥AM于H點，

,為等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
情況二：如下圖3所示，過O點作OH⊥AM于H點，

,為等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
故或．
【點睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．
57．（2021·湖南衡陽）如圖，點E為正方形外一點，，將繞A點逆時針方向旋轉得到的延長線交于H點．

（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；
（2）已知，求的長．
【答案】（1）正方形，理由見解析；（2）17
【解析】
【分析】
（1）由旋轉的性質可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；
（2）連接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的長．
【詳解】
解：（1）四邊形是正方形，理由如下：
根據(jù)旋轉：
∵四邊形是正方形
∴∠DAB=90°

∴∠FAE＝∠DAB=90°
∴
∴四邊形是矩形，
又∵
∴矩形是正方形．
（2）連接


∵，
在中，
∵四邊形是正方形
∴
在中，，又，
∴．
故答案是17．
【點睛】
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質，旋轉的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．
58．（2021·北京）如圖，在中，為的中點，點在上，以點為中心，將線段順時針旋轉得到線段，連接．

（1）比較與的大小；用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明；
（2）過點作的垂線，交于點，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．
【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．
【解析】
【分析】
（1）由題意及旋轉的性質易得，，然后可證，進而問題可求解；
（2）過點E作EH⊥AB，垂足為點Q，交AB于點H，由（1）可得，，易證，進而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質可求證．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，
∴，
由旋轉的性質可得，
∵，
∴，
∴，
∵點M為BC的中點，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：，理由如下：
過點E作EH⊥AB，垂足為點Q，交AB于點H，如圖所示：

∴，
由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
本題主要考查全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性質、旋轉的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定及等腰三角形的性質、旋轉的性質是解題的關鍵．
59．（2021·浙江嘉興）小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉，得到矩形
[探究1]如圖1，當時，點恰好在延長線上．若，求BC的長．


[探究2]如圖2，連結，過點作交于點．線段與相等嗎？請說明理由．


[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖3），，存在一定的數(shù)量關系，并加以證明．

【答案】[探究1]；[探究2]，證明見解析；[探究3]，證明見解析
【解析】
【分析】
[探究1] 設，根據(jù)旋轉和矩形的性質得出，從而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；
[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再結合已知條件得出，即可得出；
[探究3] 連結，先利用SSS得出，從而證得，再利用兩角對應相等得出，得出即可得出結論．
【詳解】
[探究1]如圖1，

設．
∵矩形繞點順時針旋轉得到矩形，
∴點，，在同一直線上．
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵點在延長線上，
∴，
∴，∴．
解得，（不合題意，舍去）
∴．
[探究2] ．
證明：如圖2，連結．

∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴．
[探究3]關系式為．
證明：如圖3，連結．

∵，，，
∴．
∴，
∵，
，
∴，
∴．
在與中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴．
【點睛】
本題考查了矩形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程等，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題．
60．（2021·四川阿壩）如圖，中，，將繞點C順時針旋轉得到，點D落在線段AB上，連接BE．

（1）求證：DC平分；
（2）試判斷BE與AB的位置關系，并說明理由：
（3）若，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）BE⊥AB，理由見解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；
（2）根據(jù)旋轉的性質得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；
（3）設BD=BE=a，根據(jù)勾股定理計算出AB=DE=，表達出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．
【詳解】
解：（1）由旋轉可知：AC=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；
（2）BE⊥AB，
理由：由旋轉可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴BE⊥AB；
（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，
∴設BD=BE=a，則，
又∵AB=DE，
∴AB=，則AD=，
由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴tan∠ABC=．
【點睛】
本題考查了旋轉的綜合應用以及相似三角形的性質與判定、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質，并熟記銳角三角函數(shù)的定義．
61．（2020·湖南邵陽）已知：如圖①，將一塊45°角的直角三角板與正方形的一角重合，連接，點M是的中點，連接．

（1）請你猜想與的數(shù)量關系是__________．
（2）如圖②，把正方形繞著點D順時針旋轉角（）．
①與的數(shù)量關系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（溫馨提示：延長到點N，使，連接）
②求證：；
③若旋轉角，且，求的值．（可不寫過程，直接寫出結果）
【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由見解析②見解析③
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意合理猜想即可；
（2）①延長到點N，使，連接，先證明△MNC≌△MDE，再證明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根據(jù)全等三角形的性質和直角的換算即可求解；
③依題意可得∠AFD=∠EDM=30°，可設AG=k,得到DG,AD,FG,ED的長，故可求解．
【詳解】
（1）猜想與的數(shù)量關系是AF=2DM，
故答案為：AF=2DM；
（2）①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延長到點N，使，連接，
∵M是CE中點，
∴CM=EM
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE
∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB=∠EDA
∴△ADF≌△DCN
∴AF=DN
∴AF=2DM
②∵△ADF≌△DCN
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°
∴∠FAD+∠NDA=90°
∴AF⊥DM

③∵，
∴∠EDC=90°-45°=45°
∵，
∴∠EDM=∠EDC=30°，
∴∠AFD=30°
過A點作AG⊥FD的延長線于G點，∴∠ADG=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形，
設AG=k,則DG=k，AD=AG÷sin45°=k，
FG=AG÷tan30°=k，
∴FD=ED=k-k
故=．

【點睛】
此題主要考查四邊形綜合，解題的關鍵是熟知正方形的性質、旋轉的特點、全等三角形的判定與性質及三角函數(shù)的運用．
62．（2020·江蘇常州）如圖1，點B在線段上，Rt△≌Rt△，，，．
???????
（1）點F到直線的距離是_________；
（2）固定△，將△繞點C按順時針方向旋轉30°，使得與重合，并停止旋轉．
①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段經旋轉運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）該圖形的面積為_________；
②如圖2，在旋轉過程中，線段與交于點O，當時，求的長．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形的性質和全等三角形的性質可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質可得點F到直線的距離即為EF的長，于是可得答案；
（2）①易知E點和F點的運動軌跡是分別以CF和CE為半徑、圓心角為30°的圓弧，據(jù)此即可畫出旋轉后的平面圖形；在圖3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的長，然后根據(jù)S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出陰影面積；
②作EH⊥CF于點H，如圖4，先解Rt△EFH求出FH和EH的長，進而可得CH的長，設OH=x，則CO和OE2都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△BOC中根據(jù)勾股定理即可得出關于x的方程，解方程即可求出x的值，進一步即可求出結果．
【詳解】
解：（1）∵，，∴∠ACB=60°，
∵Rt△≌Rt△，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分線，
∴點F到直線的距離=EF=1；
故答案為：1；
（2）①線段經旋轉運動所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示：

在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE=，
由旋轉的性質可得：CF=CA=2，CE=CG=，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG=；
故答案為：；
②作EH⊥CF于點H，如圖4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
∴，
∴CH=，
設OH=x，則，，
∵OB=OE，∴，
在Rt△BOC中，∵，∴，
解得：，
∴．

【點睛】
本題考查了旋轉的性質和旋轉作圖、全等三角形的性質、角平分線的性質、扇形面積公式、勾股定理和解直角三角形等知識，涉及的知識點多，綜合性較強，熟練掌握上述知識、靈活應用整體思想和方程思想是解題的關鍵．
63．（2020·福建）如圖，由繞點按逆時針方向旋轉得到，且點的對應點恰好落在的延長線上，，相交于點．

（1）求的度數(shù)；
（2）是延長線上的點，且．
①判斷和的數(shù)量關系，并證明；
②求證：．
【答案】（1）90°；（2）①，證明詳見解析；②詳見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)旋轉的性質，得出，進而得出,求出結果；
（2）①由旋轉的性質得出，，進而得出，再根據(jù)已知條件得出，最后得出結論即可；
②過點作交于點，得出，由全等得出，，最后得出結果．
【詳解】
解：（1）由旋轉的性質可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
證明：由旋轉的性質可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②過點作交于點，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【點睛】
本題考查了旋轉的性質、三角形內角與外角的關系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、平行線分線段成比例等基礎知識，解題的關鍵是熟練運用這些性質．
64．（2020·甘肅金昌）如圖，點，分別在正方形的邊，上，且，把繞點順時針旋轉得到．
（1）求證：≌．
（2）若，，求正方形的邊長．

【答案】（1）證明見解析；（2）正方形的邊長為6．
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)旋轉的性質可得，再根據(jù)正方形的性質、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
（2）設正方形的邊長為x，從而可得，再根據(jù)旋轉的性質可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】
（1）由旋轉的性質得：
四邊形ABCD是正方形
，即
，即


在和中，
；
（2）設正方形的邊長為x，則


由旋轉的性質得：

由（1）已證：

又四邊形ABCD是正方形

則在中，，即
解得或（不符題意，舍去）
故正方形的邊長為6．
【點睛】
本題考查了正方形的性質、旋轉的性質、三角形全等的判定定理與性質、勾股定理等知識點，較難的是題（2），熟練掌握旋轉的性質與正方形的性質是解題關鍵．

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