?2022年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編
幾何證明壓軸題圓類

1. (2022·內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市)
如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若DE=5，cos∠ABD=45，求OE的長．

2. (2022·青海省西寧市)
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點E，交BC于點F，連接DF，OE交于點M．
(1)求證：四邊形EMFC是矩形；
(2)若AE=5，⊙O的半徑為2，求FM的長．




3. (2022·四川省綿陽市)
如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點，D為劣弧BC的中點，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P，與AB的延長線交于點F，AD與BC交于點E．
(1)求證：BC//PF；
(2)若⊙O的半徑為5，DE=1，求AE的長度；
(3)在(2)的條件下，求△DCP的面積．

4. (2022·青海省)
如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線EF，交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．
(1)求證：AF⊥EF；
(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的長．






5. (2022·甘肅省)
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB，CD是⊙O的直徑，E是DB延長線上一點，且∠DEC=∠ABC．
(1)求證：CE是⊙O的切線；
(2)若DE=45，AC=2BC，求線段CE的長．

6. (2022·廣西壯族自治區(qū)柳州市)
如圖，已知AB是⊙O的直徑，點E是⊙O上異于A，B的點，點F是EB的中點，連接AE，AF，BF，過點F作FC⊥AE交AE的延長線于點C，交AB的延長線于點D，∠ADC的平分線DG交AF于點G，交FB于點H．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直徑．






7. (2022·廣西壯族自治區(qū)河池市)
如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，∠ABE的平分線交⊙O于點C，過點C的直線交BA的延長線于點P，交BE的延長線于點D.且∠PCA=∠CBD．
(1)求證：PC為⊙O的切線；
(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半徑及BE的長．

8. (2022·黑龍江省大慶市)
如圖，已知BC是△ABC外接圓⊙O的直徑，BC=16.點D為⊙O外的一點，∠ACD=∠B.點E為AC中點，弦FG過點E，EF=2EG，連接OE．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)求證：(OC+OE)(OC-OE)=EG?EF；
(3)當(dāng)FG/?/BC時，求弦FG的長．








9. (2022·黑龍江省綏化市)
如圖所示，在⊙O的內(nèi)接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB⊥MN于點P，交⊙O于另一點B，C是AM上的一個動點(不與A，M重合)，射線MC交線段BA的延長線于點D，分別連接AC和BC，BC交MN于點E．
(1)求證：△CMA∽△CBD．
(2)若MN=10，MC=NC，求BC的長．
(3)在點C運動過程中，當(dāng)tan∠MDB=34時，求MENE的值．

10. (2022·黑龍江省哈爾濱市)
已知CH是⊙O的直輕，點A、點B是⊙O上的兩個點，連接OA，OB，點D，點E分別是半徑OA，OB的中點，連接CD，CE，BH，且∠AOC=2∠CHB．
(1)如圖1，求證：∠ODC=∠OEC；
(2)如圖2，延長CE交BH于點F，若CD⊥OA，求證：FC=FH；
(3)如圖3，在(2)的條件下，點G是BH一點，連接AG，BG，HG，OF，若AG：BG=5：3，HG=2，求OF的長．

11. (2022·廣西壯族自治區(qū)桂林市)
如圖，AB是⊙O的直徑，點C是圓上的一點，CD⊥AD于點D，AD交⊙O于點F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點F作FG⊥AB于點G交AC于點H．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)延長AB和DC交于點E，若AE=4BE，求cos∠DAB的值；
(3)在(2)的條件下，求FHAF的值．

12. (2022·湖北省宜昌市)
已知，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，以BC為直徑的⊙O與AB交于點H，將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，連接BE．
(1)如圖1，DE與⊙O相切于點G．
①求證：BE=EG；
②求BE?CD的值；
(2)如圖2，延長HO與⊙O交于點K，將△DEF沿DE折疊，點F的對稱點F'恰好落在射線BK上．
①求證：HK//EF'；
②若KF'=3，求AC的長．



13. (2022·江蘇省蘇州市)
如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB的中點，CD與AB交于點E.F是AB延長線上的一點，且CF=EF．
(1)求證：CF為⊙O的切線；
(2)連接BD，取BD的中點G，連接AG.若CF=4，BF=2，求AG的長．


14. (2022·浙江省寧波市)
如圖1，⊙O為銳角三角形ABC的外接圓，點D在BC上，AD交BC于點E，點F在AE上，滿足∠AFB-∠BFD=∠ACB，F(xiàn)G/?/AC交BC于點G，BE=FG，連結(jié)BD，DG.設(shè)∠ACB=α．
(1)用含α的代數(shù)式表示∠BFD．
(2)求證：△BDE≌△FDG．
(3)如圖2，AD為⊙O的直徑．
①當(dāng)AB的長為2時，求AC的長．
②當(dāng)OF：OE=4：11時，求cosα的值．



15. (2022·浙江省溫州市)
如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點，CD切半圓于點D，BE⊥CD，交CD延長線于點E，交半圓于點F，已知BC=5，BE=3，點P，Q分別在線段AB，BE上(不與端點重合)，且滿足APBQ=54.設(shè)BQ=x，CP=y．
(1)求半圓O的半徑．
(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．
(3)如圖2，過點P作PR⊥CE于點R，連結(jié)PQ，RQ．
①當(dāng)△PQR為直角三角形時，求x的值．
②作點F關(guān)于QR的對稱點F'，當(dāng)點F'落在BC上時，求CF'BF'的值．


16. (2022·云南省)
如圖，四邊形ABCD的外接圓是以BD為直徑的⊙O.P是⊙O的劣弧BC上的任意一點．連接PA、PC、PD，延長BC至E，使BD2=BC?BE．
(1)試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若四邊形ABCD是正方形，連接AC.當(dāng)P與C重合時，或當(dāng)P與B重合時，把PA+PCPD轉(zhuǎn)化為正方形ABCD的有關(guān)線段長的比，可得PA+PCPD=2.當(dāng)P既不與C重合也不與B重合時，PA+PCPD=2是否成立？請證明你的結(jié)論．

17. (2022·四川省達州市)
如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O為AB邊上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O與BC相切于點D，分別交AB，AC邊于點E，F(xiàn)．
(1)求證：AD平分∠BAC；
(2)若BD=3，tan∠CAD=12，求⊙O的半徑．

18. (2022·浙江省舟山市)
如圖1，在正方形ABCD中，點F，H分別在邊AD，AB上，連結(jié)AC，F(xiàn)H交于點E，已知CF=CH．
(1)線段AC與FH垂直嗎？請說明理由．
(2)如圖2，過點A，H，F(xiàn)的圓交CF于點P，連結(jié)PH交AC于點K.求證：KHCH=AKAC．
(3)如圖3，在(2)的條件下，當(dāng)點K是線段AC的中點時，求CPPF的值．







19. (2022·四川省涼山彝族自治州)
如圖，已知半徑為5的⊙M經(jīng)過x軸上一點C，與y軸交于A、B兩點，連接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO=6．
(1)判斷⊙M與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求AB的長；
(3)連接BM并延長交⊙M于點D，連接CD，求直線CD的解析式．

20. (2022·四川省成都市)
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點D，在CD上取一點E，使BE=CD，連接DE，作射線CE交AB邊于點F．
(1)求證：∠A=∠ACF；
(2)若AC=8，cos∠ACF=45，求BF及DE的長．








21. (2022·四川省德陽市)
如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是點H，過點C作直線分別與AB，AD的延長線交于點E，F(xiàn)，且∠ECD=2∠BAD．
(1)求證：CF是⊙O的切線；
(2)如果AB=10，CD=6，
①求AE的長；
②求△AEF的面積．

22. (2022·四川省瀘州市)
如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E，過點D作⊙O的切線交CO的延長線于點F．
(1)求證：FD//AB；
(2)若AC=25，BC=5，求FD的長．







23. (2022·浙江省麗水市)
如圖，以AB為直徑的⊙O與AH相切于點A，點C在AB左側(cè)圓弧上，弦CD⊥AB交⊙O于點D，連結(jié)AC，AD.點A關(guān)于CD的對稱點為E，直線CE交⊙O于點F，交AH于點G．
(1)求證：∠CAG=∠AGC；
(2)當(dāng)點E在AB上，連結(jié)AF交CD于點P，若EFCE=25，求DPCP的值；
(3)當(dāng)點E在射線AB上，AB=2，以點A，C，O，F(xiàn)為頂點的四邊形中有一組對邊平行時，求AE的長．

24. (2022·湖南省湘西土家族苗族自治州)
如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于點E，O為AC上一點，經(jīng)過點A、E的⊙O分別交AB、AC于點D、F，連接OD交AE于點M．
(1)求證：BC是⊙O的切線．
(2)若CF=2，sinC=35，求AE的長．






25. (2022·四川省南充市)
如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD=∠BAC，連接OD交BC于點E．
(1)求證：CD是⊙O的切線．
(2)若CE=OA，sin∠BAC=45，求tan∠CEO的值．

26. (2022·四川省遂寧市)
如圖⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．
(1)求證：PD是⊙O的切線；
(2)求證：△ABD∽△DCP；
(3)若AB=6，AC=8，求點O到AD的距離．


參考答案
1.(1)證明：如圖，


連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=EC=12BC，
在△DOE和△BOE中，
OD=OBDE=BEOE=OE，
∴△DOE≌△BOE(SSS)，
∴∠ODE=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；
(2)解：∵∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠CBD=90°，
由(1)知：∠BDC=90°，BC=2DE，
∴∠C+∠DBC=90°，BC=2DE=10，
∴∠C=∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC=BCcosC=1045=252，
∵OA=OB，BE=CE，
∴OE=12AC=254．?
2.(1)證明：∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BFD=90°，
∴∠CFD=90°．
∵⊙O與AC相切于點E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC=∠OEA=90°．
又∵∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴四邊形EMFC是矩形．
(2)解：在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=5，OE=2，
∴OA=AE2+OE2=(5)2+22=3，
∴AB=OA+OB=3+2=5．
∵∠AEO=∠C=90°，
∴OE/?/BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴ACAE=ABAO，即AC5=53，
∴AC=553，
∴CE=AC-AE=553-5=253．
又∵四邊形EMFC是矩形，
∴FM=CE=253．?
3.(1)證明：連接OD，如圖，

∵D為劣弧BC的中點，
∴CD=BD，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切線，
∴OD⊥PF，
∴BC//PF；
(2)連接OD，BD，如圖，

設(shè)AE=x，則AD=1+x．
∵D為劣弧BC的中點，
∴CD=BD，
∴CD=BD，∠DCB=∠CAD．
∵∠CDE=∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CDDE=ADCD，
∴CD2=DE?AD=1×(1+x)=1+x．
∴BD2=1+x．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD2+BD2=AB2．
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=25．
∴(1+x)2+(1+x)=(25)2，
解得：x=3或x=-6(不合題意，舍去)，
∴AE=3．
(3)連接OD，BD，設(shè)OD與BC交于點H，如圖，

由(2)知：AE=3，AD=AE+DE=4，DB=1+3=2，
∵∠ADB=90°，
∴cos∠DAB=ADAB=425=255．
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∴cos∠ADO=cos∠DAB=255．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH，cos∠ADO=DHDE，
∴DH=DE×255=255．
∴OH=OD-DH=5-255=355．
∴BH=OB2-OH2=455，
∴CH=BH=455．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
由(1)知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四邊形CHDP為矩形，
∴∠P=90°，CP=DH=255，DP=CH=455，
∴△DCP的面積=12×CP?DP=45．?
4.(1)證明：連接OD，如圖：

∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD=∠OAD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠FAD=∠ODA，
∴OD/?/AF，
∵EF是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
(2)解：連接CO并延長交⊙O于K，連接DK，DC，如圖：

∵CK是⊙O的直徑，
∴∠CDK=90°，
∴∠K+∠DCK=90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF=90°，即∠ODC+∠CDF=90°，
∵OC=OD，
∴∠DCK=∠ODC，
∴∠K=∠CDF，
∵CD=CD，
∴∠FAD=∠K，
∴∠FAD=∠CDF，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴FAFD=FDFC，
∵CF=1，AC=2，
∴FA=CF+AC=3，
∴1+2FD=FD1，
解得FD=3，
在Rt△AFD中，tan∠FAD=FDFA=33，
∴∠FAD=30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE=2∠FAD=60°，
∴AE=AFcos60°=312=6，
∵AB=4，
∴BE=AE-AB=6-4=2，
答：BE的長為2．?
5.(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BC=BC，
∴∠A=∠D，
又∵∠DEC=∠ABC，
∴∠D+∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CD⊥CE，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CE是⊙O的切線；
(2)解：由(1)知，CD⊥CE，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵∠A=∠D，AC=2BC，
∴tanA=tanD，
即BCAC=CECD=12，
∴CD=2CE，
在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=45，
∴(2CE)2+CE2=(45)2，
解得CE=4，
即線段CE的長為4．?
6.(1)證明：連接OF．
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵EF=FB，
∴∠CAF=∠FAB，
∴∠CAF=∠AFO，
∴OF//AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半徑，
∴CD是⊙O的切線．

(2)解：∵AB是直徑，
∴∠AFB=90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFB=∠AFB=90°，
∴∠AFO=∠DFB，
∵∠OAF=∠OFA，
∴∠DFB=∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG=∠FDG，
∵∠FGH=∠OAF+∠ADG，∠FHG=∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH=∠FHG=45°，
∴sin∠FHG=22；

(3)解：過點H作HM⊥DF于點M，HN⊥AD于點N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM=HN，
∵S△DHFS△DHB=FHHB=12?DF?HM12?DB?HN=DFDB，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH=42，
∴FH=FG=4，
∴DFDB=42=2，
設(shè)DB=k，DF=2k，
∵∠FDB=∠ABF，∠DFB=∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2=DB?DA，
∴AD=4k，
∵GD平分∠ADF，
∴FGAG=DFAD=12，
∴AG=8，
∵∠AFB=90°，AF=12，F(xiàn)B=6，
∴AB=AF2+BF2=122+62=65，
∴⊙O的直徑為65．?
7.(1)證明：連接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC=∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠PCA=∠CBD，
∴∠PCA=∠OCB，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半徑，
∴PC是⊙O的切線；

(2)解：連接AE，設(shè)OB=OC=r，
∵PC=22OB，
∴PC=22r，
∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，
∵PB=12，
∴4r=12，
∴r=3，
由(1)可知，∠OCB=∠CBD，
∴OC/?/BD，
∴OCBD=OPPB，∠D=∠PCO=90°，
∴3BD=912，
∴BD=4，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠D=90°，
∴AE/?/PD，
∴BEBD=BABP，
∴BE4=912，
∴BE=3．?
8.(1)證明：∵BC是△ABC外接圓⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
(2)證明：連接AF，CG，如圖：

∵AG=AG，
∴∠AFE=∠GCE，
∵∠AEF=∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴AEEG=EFCE，
∴AE?CE=EG?EF，
∵E為AC的中點，
∴AE=CE，OE⊥AC，
∴CE2=OC2-OE2，AE?CE=CE?CE=CE2=EG?EF，
∴OC2-OE2=EG?EF，
∴(OC+OE)(OC-OE)=EG?EF；
(3)解：過O作ON⊥FG于N，延長EG交CD于M，如圖：

∵∠OCD=∠ONM=90°，F(xiàn)G/?/BC，
∴四邊形MNOC是矩形，
∴MN=OC=12BC=8，
∵ON⊥FG，
∴FN=GN，
∵EF=2EG，
∴FG=3EG，
∴NG=32EG，
∴NE=12EG，
∴EM=MN-NE=8-12EG，
由(2)知CE2=EG?EF=2EG2，
∴CM2=CE2-EM2=2EG2-(8-12EG)2=ON2，
而ON2=OE2-NE2=(OC2-CE2)-NE2，
∴2EG2-(8-12EG)2=(82-2EG2)-(12EG)2，
解得EG=33-1(負(fù)值已舍去)，
∴FG=3EG=333-3．?
9.(1)證明：連接BM，如圖：

∵四邊形ABMC是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠DCA=∠ABM，
∵∠MAN=90°，
∴MN為⊙O的直徑，
∵AB⊥MN，
∴AM=BM，
∴∠ABM=∠BAM，
∴∠DCA=∠BAM，
∵BM=BM，
∴∠BAM=∠BCM，
∴∠DCA=∠BCM，
∴∠DCB=∠ACM，
∵AC=AC，
∴∠DBC=∠AMC，
∴△CMA∽△CBD；
(2)解：連接OC，如圖：

由AM=2MN，設(shè)AN=x，則AM=2x，
∵MN為直徑，
∴∠NAM=90°，
∴x2+(2x)2=102，
解得x=25，
∴AN=25，AM=45，
∵AB⊥MN，
∴2S△AMN=AN?AM=MN?AP，
∴AP=BP=AN?AMMN=25×4510=4，
∴PM=AM2-AP2=8，
∵MC=NC，
∴OC⊥MN，
∵OC=OM，
∴∠CMO=45°，
∴△PDM是等腰直角三角形，CM=2OM=52，
∴PD=PM=8，
∴BD=PD+BP=12，
由(1)知△CMA∽△CBD，
∴BCCM=BDAM，即BC52=1245，
∴BC=310；
(3)解：連接CN交AM于K，連接KE，如圖：

∵MN是⊙O直徑，
∴∠MCN=90°=∠DPM，
∴∠CNM=90°-∠CMP=∠D，
∵tan∠MDB=34，
∴tan∠CNM=34，
∵AB⊥MN，
∴AN=BN，
∴∠KCE=∠KME，
∴C、K、E、M四點共圓，
∵∠NCM=90°，
∴∠KEM=90°=∠KEN，
而tan∠CNM=34，
∴KENE=34，
設(shè)KE=3m，則NE=4m，
∵tan∠KME=KEEM=ANAM=12，
∴EM=6m，
∴MENE=6m4m=32．?
10.(1)證明：如圖1，∵點D，點E分別是半徑OA，OB的中點，
∴OD=12OA，OE=12OB，
∵OA=OB，
∴OE=OD，
∵∠AOC=2∠CHB，∠BOC=2∠CHB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OC=OC，
∴△OCD≌△OCE(SAS)，
∴∠ODC=∠OEC；
(2)證明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO=90°，
由(1)知：∠ODC=∠OEC=90°，
∴sin∠OCE=OEOC=12，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=60°，
∵∠H=12∠COE=30°，
∴∠H=∠OCE，
∴FC=FH；
(3)解：∵CO=OH，F(xiàn)C=FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH=90°，
如圖，連接AH，
∵∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠AOH=∠BOH=120°，
∴AH=BH，∠AGH=60°，
∵AG：BG=5：3，
∴設(shè)AG=5x，BG=3x，
在AG上取點M，使得AM=BG，連接MH，過點H作HN⊥CM于N，

∵∠HAM=∠HBG，
∴△HAM≌△HBG(SAS)，
∴MH=GH，
∴△MHG是等邊三角形，
∴MG=HG=2，
∵AG=AM+MG，
∴5x=3x+2，
∴x=1，
∴AG=5，BG=AM=3，
∴MN=12GM=12×2=1，HN=3，
∴AN=MN+AM=4，
∴HB=HA=NA2+HN2=42+(3)2=19，
∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，
∴∠OFH=60°，
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=30°，
∴∠FOB=∠OBF=30°，
∴OF=BF，
在Rt△OFH中，∠OHF=30°，
∴HF=2OF，
∴HB=BF+HF=3OF=19，
∴OF=193．?
11.(1)證明：如圖1，連接OC，

∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD/?/OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線；
(2)解：∵AE=4BE，OA=OB，
設(shè)BE=x，則AB=3x，
∴OC=OB=1.5x，
∵AD/?/OC，
∴∠COE=∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COE=OCOE=1.5x2.5x=35；
(3)解：由(2)知：OE=2.5x，OC=1.5x，
∴EC=OE2-OC2=(2.5x)2-(1.5x)2=2x，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG+∠FAG=90°，
∵∠COE+∠E=90°，∠COE=∠DAB，
∴∠E=∠AFH，
∵∠FAH=∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12．?
12.(1)①證明：∵將△ABC沿射線AC平移得到△DEF，
∴BE//CF，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE=∠ACB=90°，
連接OG，OE，

∵DE與⊙O相切于點G，
∴∠OGE=90°，
∴∠OBE=∠OGE=90°，
∵OB=OG，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△GOE(HL)，
∴BE=GE；

②解：過點D作DM⊥BE于M，

∴∠DMB=90°，
由(1)知∠CBE=∠BCF=90°，
∴四邊形BCDM是矩形，
∴CD=BM，DM=BC，
由(1)可知BE=GE，
同理可證CD=DG，
設(shè)BE=x，CD=y，
在Rt△DME中，MD2+EM2=DE2，
∴(x-y)2+62=(x+y)2，
∴xy=9，
即BE?CD=9；

(2)①證明：延長HK交BE于點Q，

設(shè)∠ABC=α，
∵OB=OH，
∴∠BHO=∠OBH=α，
∴∠BOQ=∠BHO+∠OBH=2α，
∴∠BQO=90°-2α，
∵△ABC沿射線AC平移得到△DEF，△DEF沿DE折疊得到△DEF'，
∴∠DEF=∠DEF'=∠ABC=α，
∴∠BEF'=90°-2α，
∴∠BQO=∠BEF'，
∴HK//EF'；
②解：連接FF'，交DE于點N，

∵△DEF沿DE折疊，點F的對稱點為F'，
∴ED⊥FF'，F(xiàn)N=12FF'，
∵HK是⊙O的直徑∵，
∴∠HBK=90°，點F'恰好落在射線BK上，
∴BF'⊥AB，
∵△ABC沿射線AC方向平移得到△DEF，
∴AB/?/DE，BC=EF，
∴點B在FF'的延長線上，
∵BC是⊙O的直徑，
∴HK=EF，
在△HBK和△ENF中，
∠HBK=∠ENF∠BHO=∠NEFHK=EF，
∴△HBK≌△ENF(AAS)，
∴BK=NF，
設(shè)BK=x，則BF=BK+KF'+FF'=x+3+2x=3x+3，
∵OB=OK，
∴∠OBK=∠OKB，
又∵∠HBK=∠BCF=90°，
∴△HBK∽△FCB，
∴BKBC=HKBF，
∴x6=63x+3，
解得：x1=3，x2=-4(不合題意，舍去)，
∴BK=3，
在Rt△HBK中，sin∠BHK=BKKH=36=12，
∴∠BHK=30°，
∴∠ABC=30°，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACBC，
∴AC=6?tan30°=6×33=23，
即AC的長為23．?
13.(1)證明：如圖，連接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE，
∵AB是直徑，D是AB的中點，
∴∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODC=90°，
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°，
∵OD是半徑，
∴CF是⊙O的切線．

(2)解：過點G作GH⊥AB于點H．
設(shè)OA=OD=OC=OB=r，則OF=r+2，
在Rt△COF中，42+r2=(r+2)2，
∴r=3，
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°，
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE，
∴GH//DO，
∴BHBO=BGBD，
∵G為BD的中點，
∴BG=12BD，
∴BH=12BO=32，GH=12OD=32，
∴AH=AB-BH=6-32=92，
∴AG=GH2+AH2=(32)2+(92)2=3102．?
14.解：(1)∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α，①
又∵∠AFB+∠BFD=180°，②
②-①，得2∠BFD=180°-α，
∴∠BFD=90°-α2；
(2)由(1)得∠BFD=90°-α2，
∵∠ADB=∠ACB=α，
∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2，
∴DB=DF，
∵FG/?/AC，
∴∠CAD=∠DFG，
∵∠CAD=∠DBE，
∴∠DFG=∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
DB=DF∠DFG=∠DBEBE=FG，
∴△BDE≌△FDG(SAS)；
(3)①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG=∠BDE=α，
∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α，
∵DE=DG，
∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2，
∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2，
∴AC與AB所對的圓心角度數(shù)之比為3：2，
∴AC與AB的長度之比為3：2，
∵AB=2，
∴AC=3；
②如圖，連接BO，

∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=α，
∴∠BOF=∠OBD+∠ODB=2α，
∵∠BDG=2α，
∴∠BOF=∠BDG，
∵∠BGD=∠BFO=90°-α2，
∴△BDG∽△BOF，
設(shè)△BDG與△BOF的相似比為k，
∴DGOF=BDBO=k，
∵OFOE=411，
∴設(shè)OF=4x，則OE=11x，DE=DG=4kx，
∴OB=OD=OE+DE=11x+4kx，BD=DF=OF+OD=15x+4kx，
∴BDOB=15x+4kx11x+4kx=15+4k11+4k，
由15+4k11+4k=k，得4k2+7k-15=0，
解得k=54或-3(舍去)，
∴OD=11x+4kx=16x，BD=15x+4kx=20x，
∴AD=2OD=32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB=BDAD=20x32x=58，
∴cosα=58．?
15.解：(1)如圖1，連接OD，設(shè)半徑為r，

∵CD切半圓于點D，
∴OD⊥CD，
∵BE⊥CD，
∴OD/?/BE，
∴△COD∽△CBE，
∴ODBE=COCB，
∴r3=5-r5，
解得r=158，
∴半圓O的半徑為158；
(2)由(1)得，CA=CB-AB=5-2×158=54，
∵APBQ=54，BQ=x，
∴AP=54x，
∴CP=AP+AC，
∴y=54x+54；
(3)①顯然∠PRQ

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