?專題15 圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折（對稱）與平移
一、單選題
1．（2022·廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移2個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
把點(diǎn)的橫坐標(biāo)加2，縱坐標(biāo)不變，得到，就是平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】
解：點(diǎn)向右平移2個單位長度后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．掌握平移的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·廣西）如圖，在△ABC中，點(diǎn)A（3，1），B（1，2），將△ABC向左平移2個單位，再向上平移1個單位，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（???????）

A．（3，-3） B．（3，3） C．（－1，1） D．（－1，3）
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)圖形的平移性質(zhì)求解．
【詳解】
解：根據(jù)圖形平移的性質(zhì)，B′（1-2，2+1），即B′（-1，3）；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圖形平移的點(diǎn)坐標(biāo)求解，掌握圖形平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2020·山東菏澤）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向右平移個單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根據(jù)點(diǎn)向右平移個單位點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)加3，縱坐標(biāo)不變，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，得到對稱點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】
解：∵將點(diǎn)向右平移個單位，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0，2)，
∴點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(0，-2)．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查平移時點(diǎn)的坐標(biāo)特征及關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握對應(yīng)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·四川自貢）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向下平移3個單位長度，所得點(diǎn)的坐標(biāo)是（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律為上加下減，左減右加即可求解．
【詳解】
解：點(diǎn)的平移規(guī)律為上加下減，左減右加，可得橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)減3，1-3=-2，
故答案為D．
【點(diǎn)睛】
本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律，根據(jù)“上加下減，左減右加”即可求解．
5．（2021·四川雅安）如圖，將沿邊向右平移得到，交于點(diǎn)G．若．．則的值為（???????）

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD=BE，且AD∥BE，故可得△CEG∽△ADG，由相似三角形的性質(zhì)及已知條件即可求得△CEG的面積．
【詳解】
由平移的性質(zhì)可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
6．（2021·浙江麗水）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是 (?1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對稱，則平移的方法可以是（???????）

A．將B向左平移4.5個單位 B．將C向左平移4個單位
C．將D向左平移5.5個單位 D．將C向左平移3.5個單位
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【詳解】
解：∵點(diǎn)A (?1，b) 關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為B (1，b)，
C (2，b)關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為(-2，b)，
需要將點(diǎn)D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5個單位，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
7．（2022·四川南充）如圖，將直角三角板繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到，點(diǎn)恰好落在的延長線上，，則為（???????）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)可知，在根據(jù)平角的定義求出的度數(shù)即可．
【詳解】
∵，
∴，
∵由旋轉(zhuǎn)可知，
∴，
故答案選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查直角三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)角是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東青島）如圖，將先向右平移3個單位，再繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先畫出平移后的圖形，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形即可求解．
【詳解】
解：先畫出△ABC平移后的△DEF，再利用旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C'，
由圖像可知A'（-1，-3），
故選：C．


【點(diǎn)睛】
本題考查了圖形的平移和旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵是掌握繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)，即對應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
9．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特）如圖，中，，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，、交于點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（用含的代數(shù)式表示）（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內(nèi)角和可求得∠B，進(jìn)而可求得∠E，則可求得答案．
【詳解】
解：∵將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
10．（2022·四川內(nèi)江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C、E在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC經(jīng)過某些變換得到的，則正確的變換是（　?。?br />
A．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
B．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移1個單位
C．△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
D．△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位
【答案】D
【解析】
【分析】
觀察圖形可以看出，Rt△ABC通過變換得到Rt△ODE，應(yīng)先旋轉(zhuǎn)然后平移即可．
【詳解】
解：根據(jù)圖形可以看出，△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移3個單位可以得到△ODE．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化，旋轉(zhuǎn)和平移的知識，掌握旋轉(zhuǎn)和平移的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·黑龍江綏化）如圖，線段在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A點(diǎn)坐標(biāo)為，線段繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如圖，逆時針旋轉(zhuǎn)90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，證明，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)為，寫出，，則，，即可寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【詳解】
解：如圖，逆時針旋轉(zhuǎn)90°作出，過A作軸，垂足為B，過作軸，垂足為，


∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，，
∴，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2021·四川廣安）如圖，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，若且于點(diǎn)，則的度數(shù)為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性質(zhì)可得∠DAC=20°，即可求解．
【詳解】
解：∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
13．（2020·湖北黃石）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)G的坐標(biāo)是，連接，將線段繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，得到對應(yīng)線段，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可得兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到結(jié)果．
【詳解】
根據(jù)題意可得，與G關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵點(diǎn)G的坐標(biāo)是，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考察了平行直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對稱變換，準(zhǔn)確理解公式是解題的關(guān)鍵．
14．（2020·四川攀枝花）如圖，直徑的半圓，繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，此時點(diǎn)到了點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由半圓A′B面積+扇形ABA′的面積-空白處半圓AB的面積即可得出陰影部分的面積．
【詳解】
解：∵半圓AB，繞B點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)30°，
∴S陰影=S半圓A′B+S扇形ABA′-S半圓AB
= S扇形ABA′
=
=3π
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了扇形面積的計算以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟記扇形面積公式和旋轉(zhuǎn)前后不變的邊是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·天津）如圖，在△ABC中，AB=AC，若M是BC邊上任意一點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，連接MN，則下列結(jié)論一定正確的是（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對每個選項逐一判斷即可．
【詳解】
解：∵將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故選項A不符合題意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB與CN不一定平行，故選項B不符合題意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且頂角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故選項C符合題意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC與MN不一定垂直，故選項D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變換是全等變換，利用旋轉(zhuǎn)不變性是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·江蘇揚(yáng)州）如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（???????）


A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進(jìn)而逐項分析判斷即可求解．
【詳解】
解：∵將以點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
，
，
，故①正確；
，
，
，
，
，
平分，故②正確；
，
，
，
，
，
，
故③正確
故選D
【點(diǎn)睛】
本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
17．（2021·黑龍江牡丹江）如圖，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2，將△AOB繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（???????）

A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（﹣2，2）或（2，﹣2） D．（2，﹣2）或（﹣2，2）
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換中，坐標(biāo)的變換特征求解；或根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
【詳解】
過點(diǎn)A作于點(diǎn)C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴　．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2，
∴．
∴．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
根據(jù)題意畫出圖形旋轉(zhuǎn)后的位置，如圖，
∴將△AOB繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為；
將△AOB繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′′的坐標(biāo)為．

故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)中點(diǎn)的坐標(biāo)變換特征及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（a，b）繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（b，-a），繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的坐標(biāo)為（－b，a）．
18．（2021·廣東廣州）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（???????）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由勾股定理求出，并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，，則可求得，再根據(jù)勾股定理求出，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結(jié)果．
【詳解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：．
∵繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，．
∴．
∴在中，由勾股定理得．
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
19．（2021·河南）如圖，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上時，的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接,由題意可證明，利用相似三角形線段成比例即可求得OC的長，即得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】
如圖，連接，因?yàn)檩S，
繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，
所以，






,



故答案為B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，找到是解題的關(guān)鍵．
20．（2020·海南）如圖，在中，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上，連接，則的長度是（???）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得出為等邊三角形，進(jìn)而求出．
【詳解】
解：∵
由直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可知，
∴cm，
又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，且，
∴為等邊三角形，
∴．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．
21．（2020·山東菏澤）如圖，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)角，得到，若點(diǎn)恰好在的延長線上，則等于（???????）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和是360o即可求解．
【詳解】
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠BAD=，∠ABC=∠ADE，
∵∠ABC+∠ABE=180o，
∴∠ADE+∠ABE=180o，
∵∠ABE+∠BED+∠ADE+∠BAD=360o，∠BAD=
∴∠BED=180o-，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和是360o，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
22．（2020·山東聊城）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，在上取點(diǎn)，使，那么點(diǎn)到的距離等于（???????）．

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得的長，進(jìn)而可得的長，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，如圖，則四邊形是矩形，解Rt△可得的長，即為FM的長，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得，然后解Rt△可求出DF的長，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：在中，∵，，
∴AC=2AB=4，
∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在上，
∴，
∴，
過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)N，如圖，則四邊形是矩形，
∴，
在Rt△中，，∴FM=1，
∵，
∴，
在Rt△中，，
∴，
即點(diǎn)到的距離等于．
故選：D．

【點(diǎn)睛】
本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線、熟練掌握解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵．
23．（2020·山東棗莊）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸的正半軸上，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（???）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如圖，作軸于．解直角三角形求出，即可．
【詳解】
解：如圖，作軸于．

由題意：，，
，
，，
，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
二、填空題
24．（2022·山東臨沂）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是，．平移得到，若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)及其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律可得平移后對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)減小2，即可得到答案．
【詳解】
平移得到，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
向左平移了1個單位長度，向下平移了2個單位長度，
即平移后對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減小1，縱坐標(biāo)減小2，
的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移坐標(biāo)的變化規(guī)律，即左減右加，上加下減，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
25．（2021·遼寧鞍山）如圖，△ABC沿BC所在直線向右平移得到△DEF，若EC＝2，BF＝8，則BE＝___．

【答案】3
【解析】
【分析】
利用平移的性質(zhì)解決問題即可．
【詳解】
解：由平移的性質(zhì)可知，BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴平移的距離為3，
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】
本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．
26．（2021·湖南湘潭）在平面直角坐標(biāo)系中，把點(diǎn)向右平移5個單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____．
【答案】
【解析】
【分析】
把點(diǎn)向右平移5個單位，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)增加5，據(jù)此解題．
【詳解】
解：把點(diǎn)向右平移5個單位得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及平移等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
27．（2021·吉林長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OA在y軸上，，點(diǎn)B在第一象限．標(biāo)記點(diǎn)B的位置后，將沿x軸正方向平移至的位置，使經(jīng)過點(diǎn)B，再標(biāo)記點(diǎn)的位置，繼續(xù)平移至的位置，使經(jīng)過點(diǎn)，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)已知條件結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)先求出點(diǎn)B ，點(diǎn)，即可得出點(diǎn)向右每次平移個單位長度，而為點(diǎn)B向右平移2個單位后的點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)平移規(guī)律即可得到答案
【詳解】
如圖過點(diǎn)B作，

為等腰直角三角形，斜邊在軸上，
，

向右平移至，點(diǎn)B在上，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為
每次向右平移1個單位，即點(diǎn)向右每次平移個單位，
為點(diǎn)B向右平移2個單位后的點(diǎn)
點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖像變換—平移，在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖像上某點(diǎn)的平移相同，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減，縱坐標(biāo)上移加，下移減．
28．（2021·湖南懷化）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，將先向右平移3個單位長度得到，再繞順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則的坐標(biāo)是____________．

【答案】（2，2）．
【解析】
【分析】
直接利用平移的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置，然后作圖，進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：如圖示：，為所求，

根據(jù)圖像可知，的坐標(biāo)是（2，2），
故答案是：（2，2）．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
29．（2022·山東濰坊）如圖，在直角坐標(biāo)系中，邊長為2個單位長度的正方形繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OB，由題意可得∠=75°，可得出∠=30°，可求出的坐標(biāo)，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】
解：如圖：連接OB，，作⊥y軸

∵是正方形，OA=2
∴∠COB=45°，OB=
∵繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)
∴∠=75°
∴∠=30°
∵=OB=
∴，
∴
∵沿y軸方向向上平移1個單位長度
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確確定出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
30．（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖，在△ABC中，BC＝3，將△ABC平移5個單位長度得到△A1B1C1，點(diǎn)P、Q分別是AB、A1C1的中點(diǎn)，PQ的最小值等于_____．

【答案】
【解析】
【分析】
取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，

將平移5個單位長度得到△，
，，
點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
，
，
即，
的最小值等于，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平移的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
31．（2020·廣東廣州）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，把沿軸向右平移到，若四邊形的面積為9，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_______．

【答案】(4，3)
【解析】
【分析】
過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，得到AH=3，根據(jù)平移的性質(zhì)證明四邊形ABDC是平行四邊形，得到AC=BD，根據(jù)平行四邊形的面積是9得到，求出BD即可得到答案.
【詳解】
過點(diǎn)A作AH⊥x軸于點(diǎn)H，
∵A（1,3），
∴AH=3，
由平移得AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABDC是平行四邊形，
∴AC=BD，
∵，
∴BD=3，
∴AC=3，
∴C(4，3)，
故答案為：(4，3).

【點(diǎn)睛】
此題考查平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.
32．（2020·湖南湘西）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，．矩形的頂點(diǎn)D，E，C分別在上，．將矩形沿x軸向右平移，當(dāng)矩形與重疊部分的面積為時，則矩形向右平移的距離為___________．

【答案】2
【解析】
【分析】
先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)（0， ），得到直線AB的解析式為： ，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出OC的長度，利用矩形與重疊部分的面積為列出關(guān)系式求出，再利用一次函數(shù)關(guān)系式求出=4，即可得到平移的距離.
【詳解】
∵，
∴OA=6，
在Rt△AOB中，，
∴，
∴B（0， ），
∴直線AB的解析式為： ，
當(dāng)x=2時，y=，
∴E（2，），即DE=，
∵四邊形CODE是矩形，
∴OC=DE=，
設(shè)矩形沿x軸向右平移后得到矩形， 交AB于點(diǎn)G，
∴∥OB，
∴△∽△AOB，
∴∠=∠AOB=30°，
∴∠=∠=30°，
∴,
∵平移后的矩形與重疊部分的面積為，
∴五邊形的面積為,
∴,
∴,
∴,
∴矩形向右平移的距離=，
故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)，求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，圖形平移的性質(zhì)，是一道綜合多個知識點(diǎn)的綜合題型，且較為基礎(chǔ)的題型.
33．（2022·湖南永州）如圖，圖中網(wǎng)格由邊長為1的小正方形組成，點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn).若線段繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，端點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)開_____．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后讀出坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【詳解】
解：線段OA繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后的位置如圖所示，


∴旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-2），
故答案為：（2，-2）．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，理解題意，作出旋轉(zhuǎn)后的圖形讀出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
34．（2021·湖北隨州）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角（）得到，并使點(diǎn)落在邊上，則點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為______．（結(jié)果保留）

【答案】．
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB=2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)角為∠=60°，再由弧長計算公式，計算出結(jié)果．
【詳解】
解：∵，，，
∴AB=2AC，
設(shè)AC=x，則AB=2x，由勾股定理得：
，
解得：x=1，
則：AC=1，AB=2，
∵將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角（）得到，且點(diǎn)落在邊上，
∴旋轉(zhuǎn)角為60°，
∴∠=60°，
∴點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為： ，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和弧長的計算公式，解題關(guān)鍵在于找到旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算．
35．（2020·廣西）以原點(diǎn)為中心，把逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N點(diǎn)坐標(biāo)，由此即可得出答案．
【詳解】
解：如圖：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：M點(diǎn)橫坐標(biāo)等于N點(diǎn)縱坐標(biāo)的值，
M點(diǎn)縱坐標(biāo)的值等于N點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對值，
又∵M(jìn)（3，4），
∴N（-4，3），
故答案為：（-4，3）．
【點(diǎn)睛】
此題考查有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì) ，結(jié)合坐標(biāo)軸和旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)確定坐標(biāo)即可．
36．（2022·廣西賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點(diǎn)B到x軸的距離為4，若將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

【答案】
【解析】
【分析】
過B作于，過作軸于，構(gòu)建，即可得出答案．
【詳解】
過B作于，過作軸于，


∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度，準(zhǔn)確構(gòu)造全等三角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵．
37．（2022·湖北隨州）如圖1，在矩形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接EF．如圖2，將△AEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角，使，連接BE并延長交DF于點(diǎn)H，則∠BHD的度數(shù)為______，DH的長為______．

【答案】???? 90°##90度???? ##
【解析】
【分析】
設(shè)EF交AD于點(diǎn)M，BH交AD于點(diǎn)N，先證明△ADF∽△ABE，可得∠ADF=∠ABE，可得∠BHD=∠BAD=90°；然后過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，可得四邊形AMEG是矩形，從而得到EG=AM，AG=ME，∠ABE=∠MEN，然后求出，再利用銳角三角函數(shù)可得，從而得到，進(jìn)而得到，可得到，從而得到，進(jìn)而得到DN=2，即可求解．
【詳解】
解：如圖，設(shè)EF交AD于點(diǎn)M，BH交AD于點(diǎn)N，

根據(jù)題意得：∠BAE=∠DAF，∠EAF=90°，，
∴，
在矩形ABCD中，，，∠BAD=90°，
∴，
∴△ADF∽△ABE，
∴∠ADF=∠ABE，
∵∠ANB=∠DNH，
∴∠BHD=∠BAD=90°；
如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，
∴∠AGE=∠AME=∠BAD=90°，
∴四邊形AMEG是矩形，
∴EG=AM，AG=ME，ME∥AB，
∴∠ABE=∠MEN，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵∠ADF=∠ABE，
∴，
即DH=2HN，
∵，
解得：或（舍去）．
故答案為：90°，
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
38．（2021·四川巴中）如圖，把邊長為3的正方形OABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，DE與BC交于點(diǎn)P，ED的延長線交AB于點(diǎn)Q，交OA的延長線于點(diǎn)M．若BQ：AQ＝3：1，則AM＝__________．

【答案】
【解析】
【分析】
連接OQ，OP，利用HL證明Rt△OAQ≌Rt△ODQ，得QA=DQ，同理可證：CP=DP，設(shè)CP=x，則BP=3-x，PQ=x+，在Rt△BPQ中，利用勾股定理列出方程求出x=，再利用△AQM∽△BQP可求解．
【詳解】
解：連接OQ，OP，

∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90）得到正方形ODEF，
∴OA=OD，∠OAQ=∠ODQ=90°，
在Rt△OAQ和Rt△ODQ中，
，
∴Rt△OAQ≌Rt△ODQ（HL），
∴QA=DQ，
同理可證：CP=DP，
∵BQ：AQ=3：1，AB=3，
∴BQ=，AQ=，
設(shè)CP=x，則BP=3-x，PQ=x+，
在Rt△BPQ中，由勾股定理得：
(3-x)2+()2=(x+)2，
解得x=，
∴BP=，
∵∠AQM=∠BQP，∠BAM=∠B，
∴△AQM∽△BQP，
∴，
∴，
∴AM=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用全等證明QA=DQ，CP=DP是解題的關(guān)鍵．
39．（2021·湖南益陽）如圖，中，，將繞A點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到，連接，，則與的面積之比等于_______．

【答案】
【解析】
【分析】
先根據(jù)正切三角函數(shù)的定義可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)相似三角形的判定可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】
解：在中，，
，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，
在和中，，
，
，
即與的面積之比等于，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正切三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
40．（2020·四川眉山）如圖，在中，，．將繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，則的長為________．

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，判斷出ABC斜邊BC的長度，根據(jù)勾股定理算出AC的長度，且，所以為等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角為60°，同理，，故也是等邊三角形，的長度即為AC的長度．
【詳解】
解：在ABC中，∠BAC=90°，AB=2，將其進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)，落在BC的中點(diǎn)處，
∵是由ABC旋轉(zhuǎn)得到，∴，而，
根據(jù)勾股定理：，
又∵，且，∴為等邊三角形，
∴旋轉(zhuǎn)角，
∴，且，故也是等邊三角形，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用以及勾股定理的計算，解題的關(guān)鍵在于通過題中所給的條件，判斷出圖形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，知道圖形旋轉(zhuǎn)的角度后，有關(guān)線段的長度也可求得．
41．（2020·山東煙臺）如圖，已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，連接AB，CD，將線段AB繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD重合（點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合），則這個旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為_____．

【答案】(4，2)
【解析】
【分析】
畫出平面直角坐標(biāo)系，作出新的AC，BD的垂直平分線的交點(diǎn)P，點(diǎn)P即為旋轉(zhuǎn)中心．
【詳解】
解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心是P點(diǎn)，P（4，2），

故答案為：（4，2）．
【點(diǎn)睛】
本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．
42．（2020·甘肅天水）如圖，在邊長為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到，若，則的長為__________．

【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)和等量代換可得∠GAE=∠FAE，進(jìn)而可根據(jù)SAS證明△GAE≌△FAE，可得GE=EF，設(shè)BE=x，則CE與EF可用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△CEF中，由勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
【詳解】
解：∵將△繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△，
∴AG=AF，GB=DF，∠BAG=∠DAF，
∵，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAG=45°，即∠GAE=45°，
∴∠GAE=∠FAE，
又AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
設(shè)BE=x，則CE=6－x，EF=GE=DF+BE=3+x，
∵DF=3，∴CF=3，
在Rt△CEF中，由勾股定理，得：，
解得：x=2，即BE=2．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握上述基本知識、靈活應(yīng)用方程思想是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
43．（2022·安徽）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．

(1)將△ABC向上平移6個單位，再向右平移2個單位，得到，請畫出﹔
(2)以邊AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，得到，請畫出．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)平移的方式確定出點(diǎn)A1，B1，C1的位置，再順次連接即可得到；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得出確定出點(diǎn)A2，B2，C2的位置，再順次連接即可得到．
(1)
如圖，即為所作；

(2)
如圖，即為所作；

【點(diǎn)睛】
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換與平移變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
44．（2022·黑龍江牡丹江）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC與△DEF關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，△ABC與△DEF的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請按要求完成下列各題．


（1）在圖中畫出點(diǎn)O的位置；
（2）將△ABC 先向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（3）在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)M，使A1M平分∠B1A1C1
【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；
【解析】
【分析】
（1）連接對應(yīng)點(diǎn)B、F，對應(yīng)點(diǎn)C、E，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心的位置；
（2）利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出平移后的點(diǎn)的位置，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)作出即可．
【詳解】
解：（1）如圖所示，連接BF，CE交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求．
（2）如圖所示，△A1B1C1為所求；
（3）如圖所示，點(diǎn)M即為所求．


理由：連接，
根據(jù)題意得：，
∴四邊形菱形，
∴A1M平分∠B1A1C1．
45．（2021·黑龍江哈爾濱）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為個單位長度，的頂點(diǎn)和線段的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．
（1）在方格紙中將向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度后得到；（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），請畫出；
（2）在方格紙中畫出以為斜邊的等腰直角三角形（點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上）．連接，請直接寫出線段的長．

【答案】（1）圖見詳解；（2）圖見詳解，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題中所給的平移方式可直接進(jìn)行作圖即可；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作圖，然后結(jié)合圖形及勾股定理得出的長．
【詳解】
解：（1）由題意可得如圖所示：

（2）由題意可得如圖所示：

由圖可得：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查平移、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握平移、等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
46．（2021·安徽）圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．
（1）將向右平移5個單位得到，畫出；
（2）將（1）中的繞點(diǎn)C1逆時針旋轉(zhuǎn)得到，畫出．

【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析．
【解析】
【分析】
（1）利用點(diǎn)平移的規(guī)律找出、、，然后描點(diǎn)即可；
（2）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點(diǎn)，即可．
【詳解】
解：（1）如下圖所示，為所求；
（2）如下圖所示，為所求；


【點(diǎn)睛】
本題考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
47．（2022·湖南）如圖所示的方格紙格長為一個單位長度）中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

(1)將沿軸向左平移5個單位，畫出平移后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；
(2)將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出， ，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；
（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出， ，的對應(yīng)點(diǎn)，，即可；
（3）利用弧長公式求解即可．
(1)
解：如圖，即為所求；

(2)
解：如圖，(即△A2OB2）即為所求；

(3)
解：在中，，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，勾股定理、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．
48．（2022·黑龍江）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．


(1)將先向左平移6個單位，再向上平移4個單位，得到，畫出兩次平移后的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)畫出繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．
【答案】(1)見解析；
(2)見解析；
(3)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題目中的平移方式進(jìn)行平移，然后讀出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）先找出旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)為弧長，利用勾股定理確定圓弧半徑，然后根據(jù)弧長公式求解即可．
(1)
解：如圖所示△A1B1C1即為所求，


；
(2)
如圖所示△A2B2C2即為所求，；
(3)
∵
∴點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查坐標(biāo)與圖形，圖形的平移，旋轉(zhuǎn)，勾股定理及弧長公式等，數(shù)量掌握運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
49．（2020·四川巴中）如圖所示，在邊長為1cm的小正方形組成的網(wǎng)格中．

（1）將沿y軸正方向向上平移5個單位長度后，得到，請作出，并求出的長度；
（2）再將繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°，得到，請作出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（1）（2）的條件下，求線段AB在變換過程中掃過圖形的面積和．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析，B2(4，﹣4)；（3）
【解析】
【分析】
（1）分別將點(diǎn)A、B、C向上平移5個單位得到對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得；
（2）分別將點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到對應(yīng)點(diǎn)，再順次連接可得；
（3）平行四邊形的面積加上大半圓的面積與小半圓面積的差即可求得．
【詳解】
解：（1）如圖所示，即為所求，；
（2）如圖，△A2B2C2即為所求，B2（4，﹣4）；

（3）在（1）（2）的條件下，線段AB在變換過程中掃過圖形的面積和為：

【點(diǎn)睛】
本題考查了作圖-平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義和性質(zhì)．
50．（2022·江蘇常州）如圖，點(diǎn)在射線上，．如果繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到，那么點(diǎn)的位置可以用表示．

(1)按上述表示方法，若，，則點(diǎn)的位置可以表示為______；
(2)在（1）的條件下，已知點(diǎn)的位置用表示，連接、．求證：．
【答案】(1)(3,37°)
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)點(diǎn)的位置定義，即可得出答案；
（2）畫出圖形，證明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性質(zhì)，得出結(jié)論．
(1)
解：由題意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案為：(3,37°)；
(2)
證明：如圖，

∵，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【點(diǎn)睛】
本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
51．（2021·黑龍江）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為．


（1）畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）畫出繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）．
【答案】（1）見解析，；（2）見解析，；（3）
【解析】
【分析】
（1）分別作出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，然后依次連接即可，最后通過圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出點(diǎn)A、B繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°的點(diǎn)，然后依次連接，最后根據(jù)圖象可得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由（2）可先根據(jù)勾股定理求出OA的長，然后根據(jù)弧長計算公式進(jìn)行求解．
【詳解】
解：（1）如圖所示：即為所求，
∴由圖象可得；
（2）如圖所示：即為所求，
∴由圖象可得；
（3）由（2）的圖象可得：點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑為圓弧，
∵，
∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長為．

【點(diǎn)睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計算公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與軸對稱及弧長計算公式是解題的關(guān)鍵．
52．（2021·青海西寧）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)B，延長AB至點(diǎn)C，連接．若，．

（1）求的長和反比例函數(shù)的解析式；
（2）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)．
【答案】（1），；（2）或
【解析】
【分析】
（1）由三角函數(shù)值，即可求出OB=2，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，可分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，兩種情況進(jìn)行分析，即可得到答案．
【詳解】
解：（1） ∵軸于點(diǎn)B
∴
在中，，
∴，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2
又∵點(diǎn)A在正比例函數(shù)的圖象上
∴，
∴
把代入，得
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式是 ；
（2）根據(jù)題意，
∵點(diǎn)A為（2，1），
∵將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，
則分為：順時針旋轉(zhuǎn)90度和逆時針旋轉(zhuǎn)90度，如圖：

∴或．
【點(diǎn)睛】
本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合，以及三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的畫出圖像進(jìn)行分析．
53．（2021·江蘇淮安）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）．請僅用無刻度的直尺按下列要求畫圖，并保留畫圖痕跡（不要求寫畫法）．
（1）將△ABC繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B1，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C1，畫出△AB1C1；
（2）連接CC1，△ACC1的面積為 　?。?br /> （3）在線段CC1上畫一點(diǎn)D，使得△ACD的面積是△ACC1面積的．

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析
【解析】
【分析】
（1）將A、B、C三點(diǎn)分別繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°畫出依次連接即可；
（2）勾股定理求出AC，由面積公式即可得到答案；
（3）利用相似構(gòu)造△CFD∽△C1ED即可．
【詳解】
解：（1）如圖：圖中△AB1C1即為要求所作三角形；
（2）∵AC＝＝，由旋轉(zhuǎn)知AC＝AC1，∠CAC1＝90°，
∴△ACC1的面積為×AC×AC1＝，
故答案為：；
（3）連接EF交CC1于D，即為所求點(diǎn)D，理由如下：
∵CF∥C1E，
∴△CFD∽△C1ED，
∴＝，
∴CD＝CC1，
∴△ACD的面積＝△ACC1面積的．

【點(diǎn)睛】
本題考查了網(wǎng)格作圖，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造△CFD∽△C1ED得到CD＝CC1．
54．（2021·遼寧阜新）下面是小明關(guān)于“對稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請你補(bǔ)充完整．


（1）三角形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，簡稱G，G關(guān)于y軸的對稱圖形為，關(guān)于軸的對稱圖形為．則將圖形繞____點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)____度，可以得到圖形．
（2）在圖2中分別畫出G關(guān)于 y軸和直線的對稱圖形，．將圖形繞____點(diǎn)（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn)______度，可以得到圖形．
（3）綜上，如圖3，直線和所夾銳角為，如果圖形G關(guān)于直線的對稱圖形為，關(guān)于直線的對稱圖形為，那么將圖形繞____點(diǎn)（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn)_____度（用表示），可以得到圖形．
【答案】（1）O，180；（2）圖見解析，，90；（3），
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)圖形可以直接得到答案；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形，利用圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到結(jié)論；
（3）從（1）（2）問的結(jié)論中得到解題的規(guī)律，求出兩個函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案．
【詳解】
解：（1）由圖象可得，圖形與圖形關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
則將圖形繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180度，可以得到圖形；
故答案為：O，180；
（2），如圖；

由圖形可得，將圖形繞點(diǎn)（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn)90度，可以得到圖形，
故答案為：，90；
（3）∵當(dāng)G關(guān)于y軸的對稱圖形為，關(guān)于軸的對稱圖形為時，與關(guān)于原點(diǎn)（0,0）對稱，即圖形繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180度，可以得到圖形；
當(dāng)G關(guān)于 y軸和直線的對稱圖形，時，圖形繞點(diǎn)（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn)90度，可以得到圖形，點(diǎn)（0,1）為直線與 y軸的交點(diǎn)，90度角為直線與 y軸夾角的兩倍；
又∵直線和的交點(diǎn)為，夾角為，
∴當(dāng)直線和所夾銳角為，圖形G關(guān)于直線的對稱圖形為，關(guān)于直線的對稱圖形為，那么將圖形繞點(diǎn)（用坐標(biāo)表示）順時針旋轉(zhuǎn)度（用表示），可以得到圖形．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圖形的對稱性與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的畫出圖形，得出規(guī)律．
55．（2021·貴州畢節(jié)）如圖1，在中，，，D為內(nèi)一點(diǎn)，將線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接CE，BD的延長線與CE交于點(diǎn)F．
（1）求證：，；
（2）如圖2．連接AF，DC，已知，判斷AF與DC的位置關(guān)系，并說明理由．

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析
【解析】
【分析】
（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出∠DAE=90°，AD=AE，進(jìn)而判斷出∠BAD=∠CAE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD=CE．再證明，即可證明；
（2）由得 ，再證明A，D，F(xiàn)，E在以DE為直徑的圓上，即可證明，從而可證明AF//CD．
【詳解】
解（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠CAE+∠DAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵
∴，即
∴
∴
∴，即;
（2），理由如下：
∵
∴
由（1）知，
∴A，D，F(xiàn)，E在以DE為直徑的圓上，如圖，

∵AD=AE
∴弧AD=弧AE，
∴
∴
∴；
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．另外此題還考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，以及四點(diǎn)共圓的知識，要熟練掌握．
56．（2021·內(nèi)蒙古通遼）已知和都是等腰直角三角形，．
（1）如圖1，連接，，求證：；
（2）將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在邊上時，求證：；
②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時，若，，請直接寫出線段的長．

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②或
【解析】
【分析】
(1)證明△AMO≌△BNO即可；
(2)①連接BN，證明△AMO≌△BNO，得到∠A=∠OBN=45°，進(jìn)而得到∠MBN=90°，且△OMN為等腰直角三角形，再在△BNM中使用勾股定理即可證明；
②分兩種情況分別畫出圖形即可求解．
【詳解】
解：(1)∵和都是等腰直角三角形，
∴，
又，
,
∴，
∴，
∴；
(2)①連接BN，如下圖所示：

∴，
，
且，
∴，
∴，，
∴，
且為等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理可知：
，且
∴；
②分類討論：
情況一：如下圖2所示，設(shè)AO與NB交于點(diǎn)C，過O點(diǎn)作OH⊥AM于H點(diǎn)，

,為等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
情況二：如下圖3所示，過O點(diǎn)作OH⊥AM于H點(diǎn)，

,為等腰直角三角形，
∴,
在中，,
∴；
故或．
【點(diǎn)睛】
本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
57．（2021·湖南衡陽）如圖，點(diǎn)E為正方形外一點(diǎn)，，將繞A點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的延長線交于H點(diǎn)．

（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；
（2）已知，求的長．
【答案】（1）正方形，理由見解析；（2）17
【解析】
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；
（2）連接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的長．
【詳解】
解：（1）四邊形是正方形，理由如下：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)：
∵四邊形是正方形
∴∠DAB=90°

∴∠FAE＝∠DAB=90°
∴
∴四邊形是矩形，
又∵
∴矩形是正方形．
（2）連接


∵，
在中，
∵四邊形是正方形
∴
在中，，又，
∴．
故答案是17．
【點(diǎn)睛】
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
58．（2021·北京）如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，以點(diǎn)為中心，將線段順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．

（1）比較與的大??；用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】（1），，理由見詳解；（2），理由見詳解．
【解析】
【分析】
（1）由題意及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得，，然后可證，進(jìn)而問題可求解；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，由（1）可得，，易證，進(jìn)而可得，然后可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求證．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴；
（2）證明：，理由如下：
過點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)H，如圖所示：

∴，
由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
59．（2021·浙江嘉興）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形
[探究1]如圖1，當(dāng)時，點(diǎn)恰好在延長線上．若，求BC的長．


[探究2]如圖2，連結(jié)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．線段與相等嗎？請說明理由．


[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點(diǎn)，（如圖3），，存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】[探究1]；[探究2]，證明見解析；[探究3]，證明見解析
【解析】
【分析】
[探究1] 設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出，從而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；
[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再結(jié)合已知條件得出，即可得出；
[探究3] 連結(jié)，先利用SSS得出，從而證得，再利用兩角對應(yīng)相等得出，得出即可得出結(jié)論．
【詳解】
[探究1]如圖1，

設(shè)．
∵矩形繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，
∴點(diǎn)，，在同一直線上．
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵點(diǎn)在延長線上，
∴，
∴，∴．
解得，（不合題意，舍去）
∴．
[探究2] ．
證明：如圖2，連結(jié)．

∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴．
[探究3]關(guān)系式為．
證明：如圖3，連結(jié)．

∵，，，
∴．
∴，
∵，
，
∴，
∴．
在與中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題．
60．（2021·四川阿壩）如圖，中，，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)D落在線段AB上，連接BE．

（1）求證：DC平分；
（2）試判斷BE與AB的位置關(guān)系，并說明理由：
（3）若，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）BE⊥AB，理由見解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ADC即可證明∠ADC=∠CDE；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，從而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；
（3）設(shè)BD=BE=a，根據(jù)勾股定理計算出AB=DE=，表達(dá)出AD，再證明△ACD∽△BCE，得到即可．
【詳解】
解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知：AC=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠ADC，
∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；
（2）BE⊥AB，
理由：由旋轉(zhuǎn)可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，
即∠ABE=90°，
∴BE⊥AB；
（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，
∴設(shè)BD=BE=a，則，
又∵AB=DE，
∴AB=，則AD=，
由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴tan∠ABC=．
【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，并熟記銳角三角函數(shù)的定義．
61．（2020·湖南邵陽）已知：如圖①，將一塊45°角的直角三角板與正方形的一角重合，連接，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．

（1）請你猜想與的數(shù)量關(guān)系是__________．
（2）如圖②，把正方形繞著點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)角（）．
①與的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（溫馨提示：延長到點(diǎn)N，使，連接）
②求證：；
③若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．（可不寫過程，直接寫出結(jié)果）
【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由見解析②見解析③
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意合理猜想即可；
（2）①延長到點(diǎn)N，使，連接，先證明△MNC≌△MDE，再證明△ADF≌△DCN，得到AF=DN，故可得到AF=2DM；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角的換算即可求解；
③依題意可得∠AFD=∠EDM=30°，可設(shè)AG=k,得到DG,AD,FG,ED的長，故可求解．
【詳解】
（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系是AF=2DM，
故答案為：AF=2DM；
（2）①AF=2DM仍然成立，
理由如下：延長到點(diǎn)N，使，連接，
∵M(jìn)是CE中點(diǎn)，
∴CM=EM
又∠CMN=∠EMD，
∴△MNC≌△MDE
∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE
∴CN∥DE，
又AD∥BC
∴∠NCB=∠EDA
∴△ADF≌△DCN
∴AF=DN
∴AF=2DM
②∵△ADF≌△DCN
∴∠NDC=∠FAD，
∵∠CDA=90°，
∴∠NDC+∠NDA=90°
∴∠FAD+∠NDA=90°
∴AF⊥DM

③∵，
∴∠EDC=90°-45°=45°
∵，
∴∠EDM=∠EDC=30°，
∴∠AFD=30°
過A點(diǎn)作AG⊥FD的延長線于G點(diǎn)，∴∠ADG=90°-45°=45°
∴△ADG是等腰直角三角形，
設(shè)AG=k,則DG=k，AD=AG÷sin45°=k，
FG=AG÷tan30°=k，
∴FD=ED=k-k
故=．

【點(diǎn)睛】
此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的運(yùn)用．
62．（2020·江蘇常州）如圖1，點(diǎn)B在線段上，Rt△≌Rt△，，，．
???????
（1）點(diǎn)F到直線的距離是_________；
（2）固定△，將△繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，使得與重合，并停止旋轉(zhuǎn)．
①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）該圖形的面積為_________；
②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段與交于點(diǎn)O，當(dāng)時，求的長．
【答案】（1）1；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)F到直線的距離即為EF的長，于是可得答案；
（2）①易知E點(diǎn)和F點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是分別以CF和CE為半徑、圓心角為30°的圓弧，據(jù)此即可畫出旋轉(zhuǎn)后的平面圖形；在圖3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的長，然后根據(jù)S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出陰影面積；
②作EH⊥CF于點(diǎn)H，如圖4，先解Rt△EFH求出FH和EH的長，進(jìn)而可得CH的長，設(shè)OH=x，則CO和OE2都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△BOC中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）∵，，∴∠ACB=60°，
∵Rt△≌Rt△，
∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，
∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，
∴CF是∠ACB的平分線，
∴點(diǎn)F到直線的距離=EF=1；
故答案為：1；
（2）①線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示：

在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，
∴CF=2，CE=，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CF=CA=2，CE=CG=，∠ACG=∠ECF=30°，
∴S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG=；
故答案為：；
②作EH⊥CF于點(diǎn)H，如圖4，
在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，
∴，
∴CH=，
設(shè)OH=x，則，，
∵OB=OE，∴，
在Rt△BOC中，∵，∴，
解得：，
∴．

【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股定理和解直角三角形等知識，涉及的知識點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用整體思想和方程思想是解題的關(guān)鍵．
63．（2020·福建）如圖，由繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，且點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在的延長線上，，相交于點(diǎn)．

（1）求的度數(shù)；
（2）是延長線上的點(diǎn)，且．
①判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②求證：．
【答案】（1）90°；（2）①，證明詳見解析；②詳見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得出,求出結(jié)果；
（2）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，再根據(jù)已知條件得出，最后得出結(jié)論即可；
②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，得出，由全等得出，，最后得出結(jié)果．
【詳解】
解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）①．
證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
在中，，
∵，，
∴，
即，
∴．
②過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【點(diǎn)睛】
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例等基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些性質(zhì)．
64．（2020·甘肅金昌）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，把繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到．
（1）求證：≌．
（2）若，，求正方形的邊長．

【答案】（1）證明見解析；（2）正方形的邊長為6．
【解析】
【分析】
（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；
（2）設(shè)正方形的邊長為x，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【詳解】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：
四邊形ABCD是正方形
，即
，即


在和中，
；
（2）設(shè)正方形的邊長為x，則


由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

由（1）已證：

又四邊形ABCD是正方形

則在中，，即
解得或（不符題意，舍去）
故正方形的邊長為6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．



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