專題突破練(7)　概率、統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯 解答題1．某蛋糕店制作并銷售一款蛋糕，制作一個(gè)蛋糕成本3元，且以8元的價(jià)格出售，若當(dāng)天賣不完，剩下的無(wú)償捐獻(xiàn)給飼料加工廠．根據(jù)以往100天的資料統(tǒng)計(jì)，得到如下需求量表．該蛋糕店一天制作了這款蛋糕X(X∈N)個(gè)，以x(單位：個(gè)，100≤x≤150，x∈N)表示當(dāng)天的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示當(dāng)天出售這款蛋糕獲得的利潤(rùn)．需求量/個(gè)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]天數(shù)1525302010(1)若x＝135，當(dāng)X＝130時(shí)該蛋糕店獲得的利潤(rùn)為T1，當(dāng)X＝140時(shí)該蛋糕店獲得的利潤(rùn)為T2，試比較T1和T2的大小；(2)當(dāng)X＝130時(shí)，根據(jù)上表，從利潤(rùn)T不少于570元的天數(shù)中，按需求量用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6天．①求此時(shí)利潤(rùn)T關(guān)于市場(chǎng)需求量x的函數(shù)解析式，并求這6天中利潤(rùn)為650元的天數(shù)；②從這6天中抽取3天做進(jìn)一步分析，設(shè)這3天中利潤(rùn)為650元的天數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解　(1)當(dāng)X＝130時(shí)，T1＝130×(8－3)＝650(元)；當(dāng)X＝140時(shí)，T2＝135×5－3×5＝660(元)．所以T2>T1.(2)①當(dāng)X＝130時(shí)，利潤(rùn)T＝令T≥570，得120≤x≤150，所以利潤(rùn)T不少于570元的共有60天，其中有30天的利潤(rùn)為650元．故按需求量用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的6天中，利潤(rùn)為650元的天數(shù)為6×＝3.②由題意可知ξ的所有可能取值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的分布列為ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.2．某地區(qū)開(kāi)展農(nóng)村電商培訓(xùn)活動(dòng)，對(duì)電商團(tuán)隊(duì)、物流企業(yè)、返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)群體、普通農(nóng)戶等進(jìn)行培訓(xùn)．某部門組織A，B兩個(gè)調(diào)查小組在開(kāi)始電商培訓(xùn)活動(dòng)之前先進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，從獲取的有效問(wèn)卷中，針對(duì)25歲至55歲的人群，按比例隨機(jī)抽取400份進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，具體情況如下表：(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從400人中按年齡是否達(dá)到45歲抽出一個(gè)容量為80的樣本．①求這80人中年齡達(dá)到45歲且參加電商培訓(xùn)的人數(shù)；②從所抽取的年齡達(dá)到45歲且參加電商培訓(xùn)的人員中再抽取3人，安排進(jìn)入某公司參觀學(xué)習(xí)，求這3人中來(lái)自A組的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“參加電商培訓(xùn)與年齡達(dá)到m歲有關(guān)”的結(jié)論．請(qǐng)列出2×2列聯(lián)表，用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法，通過(guò)比較χ2的大小，判斷m取35時(shí)和m取45時(shí)犯錯(cuò)誤的概率哪一個(gè)更小．參考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.解　(1)①從400人中抽取80人，其中年齡達(dá)到45歲且參加電商培訓(xùn)的有40×＝8(人)．②易知抽取的年齡達(dá)到45歲且參加電商培訓(xùn)的8人中來(lái)自A組的有4人，所以再次抽取的3人中來(lái)自A組的人數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列為 X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)當(dāng)m＝35時(shí)，整理數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表： 參加電商培訓(xùn)不參加電商培訓(xùn)合計(jì)未達(dá)到35歲9545140達(dá)到35歲105155260合計(jì)200200400所以m＝35時(shí)，χ21＝＝.當(dāng)m＝45時(shí)，整理數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表： 參加電商培訓(xùn)不參加電商培訓(xùn)合計(jì)未達(dá)到45歲160120280達(dá)到45歲4080120合計(jì)200200400所以m＝45時(shí)，χ22＝＝.因?yàn)?/span>χ22＜χ21，所以m取35時(shí)犯錯(cuò)誤的概率更小．3．(2021·河北省張家口市、邢臺(tái)市、衡水市高三摸底聯(lián)考)2020年初，新型冠狀病毒肺炎爆發(fā)時(shí)，我國(guó)政府迅速采取強(qiáng)有力措施抗擊疫情，贏得了國(guó)際社會(huì)的高度評(píng)價(jià)．在這期間，為保證抗疫物資的質(zhì)量，我國(guó)也加大了質(zhì)量檢查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙兩家專門生產(chǎn)消毒液的工廠，質(zhì)檢部門現(xiàn)從這兩家工廠中各隨機(jī)抽取了100瓶消毒液，檢測(cè)其質(zhì)量，得到甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的頻率分布直方圖如圖所示，乙廠所生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的頻數(shù)分布表如表所示(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點(diǎn)值作代表，視頻率為概率)．質(zhì)量指標(biāo)值[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]頻數(shù)2010301525(1)規(guī)定：消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值越高，消毒液的質(zhì)量越好．已求得甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為26，乙廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為26.5，分別求甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)以及乙廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)，并針對(duì)這兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量情況寫出兩條統(tǒng)計(jì)結(jié)論；(2)甲廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值Z近似地服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，并已求得σ＝11.95，該廠決定將消毒液分為A，B，C級(jí)三個(gè)等級(jí)，其中質(zhì)量指標(biāo)值Z不高于2.6的為C級(jí)，高于38.45的為A級(jí)．其余為B級(jí)，請(qǐng)利用該正態(tài)分布模型解決下列問(wèn)題：(ⅰ)甲廠近期生產(chǎn)了10萬(wàn)瓶消毒液，試估計(jì)其中B級(jí)消毒液的總瓶數(shù)；(ⅱ)已知每瓶消毒液的等級(jí)與出廠價(jià)X(單位：元/瓶)的關(guān)系如下表所示：等級(jí)A級(jí)B級(jí)C級(jí)出廠價(jià)X302516假定甲廠半年消毒液的生產(chǎn)量為1000萬(wàn)瓶，且全都能銷售出去．若每瓶消毒液的成本為20元，工廠的總投資為4千萬(wàn)元(含引進(jìn)生產(chǎn)線、興建廠房等一切費(fèi)用在內(nèi))，問(wèn)：甲廠能否在半年之內(nèi)收回投資？試說(shuō)明理由．附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.解　(1)甲廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為甲＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.設(shè)乙廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)為n，則0.2＋0.1＋(n－20)×0.03＝0.5，解得n＝26.統(tǒng)計(jì)結(jié)論：(答案不唯一，任意兩個(gè)即可，其他答案如果敘述正確也可)①兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)相等，從這個(gè)角度看這兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量基本相當(dāng)．②由數(shù)據(jù)波動(dòng)的情況可知，乙廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差，說(shuō)明甲廠生產(chǎn)的消毒液比乙廠生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量更穩(wěn)定．③兩家工廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)相同，但乙廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差大于甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量的方差，所以甲廠生產(chǎn)的消毒液更好．④兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)均等于25.⑤兩家工廠所生產(chǎn)的消毒液的質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)均為26.⑥甲廠生產(chǎn)的消毒液質(zhì)量集中在平均數(shù)附近，乙廠生產(chǎn)的消毒液中質(zhì)量指標(biāo)值特別小和質(zhì)量指標(biāo)值特別大的較多．(2)(ⅰ)P(2.6<Z≤38.45)＝P(μ－2σ<Z≤μ＋σ)＝[P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＋P(μ－σ<Z≤μ＋σ)]≈0.8186.因?yàn)?/span>100000×0.8186＝81860，所以可估計(jì)甲廠所生產(chǎn)的這10萬(wàn)瓶消毒液中B級(jí)消毒液有81860瓶．(ⅱ)設(shè)每瓶消毒液的利潤(rùn)為Y元，則Y的可能取值為10,5，－4，P(Y＝10)＝P(Z>38.45)＝P(Z>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)]≈×(1－0.6827)＝0.15865，由(ⅰ)知P(Y＝5)＝P(2.6<Z≤38.45)≈0.8186，所以P(Y＝－4)≈1－0.8186－0.15865＝0.02275，故Y的分布列為Y105－4P0.158650.81860.02275所以每瓶消毒液的平均利潤(rùn)為E(Y)＝10×0.15865＋5×0.8186－4×0.02275＝5.5885(元)，故生產(chǎn)半年消毒液所獲利潤(rùn)為1×5.5885＝5.5885(千萬(wàn)元)，而5.5885(千萬(wàn)元)>4(千萬(wàn)元)，所以甲廠能在半年之內(nèi)收回投資．4．(2022·湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上第二次月考)一疫苗生產(chǎn)單位通過(guò)驗(yàn)血方法檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，需要檢驗(yàn)血液是否有抗體．現(xiàn)有n(n∈N*)份血液樣本，每份樣本被取到的可能性均等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：(1)逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；(2)混合檢驗(yàn)，將其中k(k∈N*且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果無(wú)抗體，則這k份的血液全無(wú)抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗(yàn)一次就夠了，若檢驗(yàn)結(jié)果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)總次數(shù)為k＋1次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果有無(wú)抗體都是相互獨(dú)立的，且每份樣本有抗體的概率均為p(0<p<1)．(1)假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；(2)現(xiàn)取其中k(k∈N*且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ1；采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為ξ2.若E(ξ1)＝E(ξ2)，求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p＝f(k)，并證明p<1－e.解　(1)設(shè)恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)?zāi)馨延锌贵w血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)為事件A，所以P(A)＝＝，所以恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把有抗體的血液樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率為.(2)由已知得E(ξ1)＝k，ξ2的所有可能取值為1，k＋1.所以P(ξ2＝1)＝(1－p)k，P(ξ2＝k＋1)＝1－(1－p)k，所以E(ξ2)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，若E(ξ1)＝E(ξ2)，則k＝k＋1－k(1－p)k，所以k(1－p)k＝1，(1－p)k＝，所以1－p＝，即p＝1－，所以p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為p＝f(k)＝1－(k≥2且k∈N*)．證明：令t＝(k≥2且k∈N*)，所以ln t＝ln ＝－，令g(x)＝－(x≥2)，g′(x)＝，由g′(x)＝0得x＝e，所以當(dāng)x∈[2，e)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增．所以g(x)min＝g(e)＝－，所以≥－，因?yàn)?/span>k≥2且k∈N*，所以>－，即ln >－，5．隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購(gòu)作為一種新的消費(fèi)方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢(shì)而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可．某網(wǎng)購(gòu)公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x＝1”表示2015年，“x＝2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬(wàn)人)2050100150180(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)到哪一年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人；(2)該公司為了吸引網(wǎng)購(gòu)者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費(fèi)購(gòu)物券”活動(dòng)，網(wǎng)購(gòu)者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)．若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營(yíng)”，則網(wǎng)購(gòu)者可獲得免費(fèi)購(gòu)物券200元．已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標(biāo)有第0格，第1格，第2格，…，第20格．遙控車開(kāi)始在第0格，網(wǎng)購(gòu)者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動(dòng)一次．若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動(dòng)一格(從k到k＋1)；若擲出偶數(shù)，遙控車向前移動(dòng)兩格(從k到k＋2)，直到遙控車移到第19格(勝利大本營(yíng))或第20格(失敗大本營(yíng))時(shí)，游戲結(jié)束．設(shè)遙控車移到第n(1≤n≤19)格的概率為Pn，試證明{Pn－Pn－1}是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值．附：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋中，＝，＝－ .解　(1)＝＝3，＝＝100，xiyi＝1×20＋2×50＋3×100＋4×150＋5×180＝1920，x＝12＋22＋32＋42＋52＝55，故＝＝42，從而＝－＝100－42×3＝－26，所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝42x－26，令42x－26＞300，x∈N*，解得x≥8.故預(yù)測(cè)到2022年該公司的網(wǎng)購(gòu)人數(shù)能超過(guò)300萬(wàn)人．(2)遙控車開(kāi)始在第0格為必然事件，P0＝1，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)，遙控車移到第1格，其概率為，即P1＝.遙控車移到第n(2≤n≤19)格的情況有下列兩種，而且也只有兩種．①遙控車先到第n－2格，又?jǐn)S出偶數(shù)，其概率為Pn－2；②遙控車先到第n－1格，又?jǐn)S出奇數(shù)，其概率為Pn－1，所以Pn＝Pn－2＋Pn－1，所以Pn－Pn－1＝－(Pn－1－Pn－2)，所以當(dāng)1≤n≤19時(shí)，數(shù)列{Pn－Pn－1}是公比為－的等比數(shù)列，所以P1－1＝－，P2－P1＝2，P3－P2＝3，…，Pn－Pn－1＝n，以上各式相加，得Pn－1＝＋2＋3＋…＋n＝，所以Pn＝(n＝0,1,2，…，19)，所以遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”的概率為P19＝×，遙控車最終停在“失敗大本營(yíng)”的概率為P20＝P18＝×，設(shè)網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券的金額為X元，X＝200或500，所以X的期望E(X)＝500××＋200××＝100×≈400(元)，所以網(wǎng)購(gòu)者參與游戲一次獲得免費(fèi)購(gòu)物券金額的期望值約為400元． 

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