1．(2023·齊齊哈爾模擬)為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，堅(jiān)持“五育”并舉，全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽階段比賽的12名隊(duì)員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,4,5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，根據(jù)積分選出最后的冠軍．積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；以3∶2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員積1分．(1)若每名隊(duì)員獲得冠、亞軍的可能性相同，則比賽結(jié)束后，冠、亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)已知第10輪小李對抗小王，設(shè)每局比賽小李取勝的概率均為p(0<p<1)．①記小李以3∶1取勝的概率為f(p)．若當(dāng)p＝p0時，f(p)取最大值，求p0的值；②若以①中p0的值作為p的值，這輪比賽小李所得積分為X，求X的分布列及均值．                    2．(2022·大連模擬)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步．(1)若甲、乙二人同時參與游戲，每人各擲硬幣2次，①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；②記甲、乙二人向前跳的步數(shù)和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為n(n∈N*)的概率記為pn，求pn的最大值．                       3．某盒子內(nèi)裝有60個小球(除顏色之外其他完全相同)，其中有若干個黑球，其他均為白球．為了估計黑球的數(shù)目，設(shè)計如下實(shí)驗(yàn)：從盒子中有放回地抽取4個球，記錄該次所抽取的黑球數(shù)目X，作為一次實(shí)驗(yàn)結(jié)果．進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)共5次，記錄下第i次實(shí)驗(yàn)中實(shí)際抽到黑球的數(shù)目xi.已知從該盒子中任意抽取一個球，抽到黑球的概率為p(0<p<1)．(1)求X的分布列；(2)實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，已知第i次實(shí)驗(yàn)中抽到黑球的數(shù)目xi如表所示.i12345xi23233 設(shè)函數(shù)f(p)＝n P(X＝xi)．①求f(p)的極大值點(diǎn)p0；②據(jù)①估計該盒子中黑球的數(shù)目，并說明理由．                      4．某種病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染．我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者．已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為p(0<p<1)，某位患者在隔離之前，每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0≤X≤a)，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者．(1)求一天內(nèi)被感染的人數(shù)X的概率P(X)與a，p的關(guān)系式和X的均值；(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設(shè)每位患者在被感染后的第2天又有2位密切接觸者，從某一名患者被感染按第1天算起，第n天新增患者的均值記為En(n≥2)．①求數(shù)列{En}的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；②若戴口罩能降低每位密切接觸者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln(1＋p)－p，當(dāng)p′取最大值時，計算此時p′所對應(yīng)的E6′值和此時p對應(yīng)的E6值，并根據(jù)計算結(jié)果說明戴口罩的必要性．(取a＝10)(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln 5≈1.6，ln 3≈1.1，ln 2≈0.7，≈0.3，≈0.7) 

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