5.1.2　瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)第一課時　曲線上一點處的切線、瞬時速度與瞬時加速度課標要求　1.理解瞬時變化率的含義.2.理解切線與割線的關(guān)系.3.會求曲線上某點處的切線斜率、瞬時速度、瞬時加速度.素養(yǎng)要求　根據(jù)對瞬時變化率的理解及求某點處切線的斜率、瞬時(加)速度，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).一、曲線的割線和切線1.思考　如圖，過P作曲線C的割線PQ，當(dāng)點Q沿曲線C逐漸向P靠近時，有何現(xiàn)象出現(xiàn)？提示　割線PQ在點P附近越來越逼近該曲線，當(dāng)點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線l，此時稱這條直線l為曲線在點P處的切線.2.填空　名稱割線切線斜率設(shè)曲線C上一點P(x，f(x))，過點P的一條割線交曲線C于另一點Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，則割線PQ的斜率為kPQ＝當(dāng)點Q沿曲線C向點P運動，并無限逼近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于點P(x，f(x))處的切線的斜率溫馨提醒　一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線，當(dāng)這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變成了這條曲線的切線.3.做一做　已知曲線y＝x2－1上兩點A(2，3)，B(2＋Δx，3＋Δy)，當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率是________；當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率是________.答案　5　4.1解析　當(dāng)Δx＝1時，割線AB的斜率k1＝＝＝5；當(dāng)Δx＝0.1時，割線AB的斜率k2＝＝＝4.1.二、瞬時變化率與瞬時速度、瞬時加速度1.思考　(1)平均速率是平均速度嗎？提示　平均速率不是平均速度.平均速率是物體通過路程與它通過這段路程所用的時間的比值，它是數(shù)量.例如一個物體圍繞一個圓周(半徑為r)運動一周，花的時間是t，平均速率是2πr/t，而平均速度為0.(2)瞬時速率與瞬時速度一樣嗎？提示　瞬時速率，只有大小，沒有方向，而瞬時速度是位移對時間的瞬時變化率，既有大小，又有方向，其大小是瞬時速率，方向是該點在軌跡上運動的切線的方向.2.填空　(1)一般地，如果當(dāng)Δt無限趨近于0時，運動物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t＝t0時的瞬時速度，也就是位移對于時間的瞬時變化率.(2)一般地，如果當(dāng)Δt無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個常數(shù)，那么這個常數(shù)稱為物體在t＝t0時的瞬時加速度，也就是速度對于時間的瞬時變化率.溫馨提醒　瞬時速度與平均速度的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內(nèi)的運動狀態(tài)，與該段時間內(nèi)的某一時刻無關(guān).聯(lián)系：瞬時速度是平均速度的極限值.3.做一做　一個物體的運動方程為S＝1－t＋t2，其中S的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在3 s末的瞬時速度是(　　)A.7 m/s  B.6 m/sC.5 m/s  D.8 m/s答案　C解析　 ∵＝＝5＋Δt，當(dāng)Δt→0時，5＋Δt→5，∴物體在3 s末的瞬時速度為5 m/s.題型一　求曲線上某一點處的切線例1 已知曲線y＝x3上一點P，求：(1)點P處的切線斜率；(2)點P處的切線方程.解　(1)由y＝x3，得＝＝×＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于x2，所以點P處的切線的斜率等于4.(2)在點P處的切線方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.思維升華　(1)解決此類問題的關(guān)鍵是理解割線逼近切線的思想，即求曲線上一點處切線的斜率時，先表示出曲線在該點處的割線的斜率，則當(dāng)Δx無限趨近于0時，可得到割線逼近的切線的斜率.然后利用直線方程的點斜式可求出相應(yīng)的切線方程.(2)注意函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的切線，就是函數(shù)圖象(曲線)上以點(x0，f(x0))為切點的曲線的切線，過點(x0，y0)也能作曲線y＝f(x)的切線，但點(x0，y0)不一定是切點.訓(xùn)練1 利用割線逼近切線的方法分別求曲線y＝2x2在x＝0，x＝－1，x＝2處的切線斜率.解　設(shè)P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))，則割線PQ的斜率kPQ＝＝＝4x0＋2Δx.當(dāng)Δx無限趨近于0時，kPQ無限趨近于4x0，從而曲線y＝f(x)在x＝0，x＝－1，x＝2處的切線斜率分別為0，－4，8.題型二　求瞬時速度例2 一質(zhì)點按S＝2t2＋2t(位移單位：m，時間單位：s)做直線運動.求：(1)該質(zhì)點在前3 s內(nèi)的平均速度；(2)質(zhì)點在2 s到3 s內(nèi)的平均速度；(3)質(zhì)點在3 s時的瞬時速度.解　(1)1＝＝＝8(m/s)，所以該質(zhì)點在前3 s內(nèi)的平均速度為8 m/s.(2)2＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s).所以質(zhì)點在2 s到3 s內(nèi)的平均速度為12 m/s.(3)因為＝＝2Δt＋14，當(dāng)Δt趨于0時，2Δt＋14無限趨近于14，所以質(zhì)點在3 s時的瞬時速度為14 m/s.思維升華　求運動物體瞬時速度的三個步驟(1)求時間改變量Δt和位移改變量ΔS＝S(t0＋Δt)－S(t0).(2)求平均速度＝.(3)求瞬時速度，當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)v即為瞬時速度.訓(xùn)練2 高臺跳水運動員在t秒時距水面高度h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10(單位：米)，則該運動員的初速度為________米/秒.答案　6.5解析　＝＝6.5－4.9Δt.∵當(dāng)Δt無限趨近于0時，－4.9Δt＋6.5無限趨近于6.5，∴該運動員的初速度為6.5米/秒.題型三　求瞬時加速度例3 質(zhì)點運動的速度v(單位：m/s)是時間t(單位：s)的函數(shù)，且v＝v(t)，則當(dāng)Δt無限趨近于0時，表示(　　)A.t＝1 s時的速度 B.t＝1 s時的加速度C.t＝1 s時的位移 D.t＝1 s的平均速度答案　B解析　當(dāng)Δt無限趨近于0時，表示t＝1 s時的加速度.思維升華　瞬時加速度為狀態(tài)量，反映某一時刻物體運動規(guī)律，是表征速度變化快慢的物理量.訓(xùn)練3 有一做直線運動的物體，其速度v(單位：m/s)與時間t(單位：s)的關(guān)系是v＝3t－t2，求此物體在t＝2 s時的瞬時加速度.解　因為v(2＋Δt)－v(2)＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22)＝3Δt－4Δt－(Δt)2＝－Δt－(Δt)2，所以＝－1－Δt，所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，－1－Δt無限趨近于－1.所以該物體在t＝2 s時的瞬時加速度為－1 m/s2.[課堂小結(jié)]1.牢記2個知識點(1)切線與割線的概念.(2)瞬時速度、瞬時加速度.2.理解1個思想理解割線逼近切線的思想.一、基礎(chǔ)達標1.做直線運動的物體，其位移S與時間t的關(guān)系是S＝3t－t2，則物體的初速度是(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　C解析　因為ΔS＝S(0＋Δt)－S(0)＝3Δt－(Δt)2－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，所以＝3－Δt，當(dāng)Δt→0時，→3－0＝3，即v＝3.2.一物體的運動方程為S＝7t2－13t＋8，且在t＝t0時的瞬時速度為1，則t0＝(　　)A.1  B.2  C.3  D.4答案　A解析　因為ΔS＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，所以＝14t0－13＋7Δt，當(dāng)Δt趨近于0時，→14t0－13，所以14t0－13＝1，所以t0＝1.3.一木塊沿一斜面下滑，下滑的水平距離S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝t2，當(dāng)t＝3時，此木塊在水平方向上的瞬時速度為(　　)A.1  B.1.5  C.2  D.3答案　B解析　v＝＝Δt＋，當(dāng)Δt→0時，v→1.5，所以所求瞬時速度為1.5.4.一物體做加速直線運動，假設(shè)t s時的速度為v(t)＝t2＋3，則t＝2時物體的加速度為(　　)A.4  B.3  C.2  D.1答案　A解析　因為＝＝2t＋Δt，所以當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于2t.所以t＝2時物體的加速度為4.5.(多選)甲、乙速度v與時間t的關(guān)系如圖，a(b)是t＝b時的加速度，S(b)是從t＝0到t＝b的路程，則下列說法正確的是(　　)A.a甲(b)>a乙(b)  B.a甲(b)<a乙(b)C.S甲(b)>S乙(b)  D.S甲(b)<S乙(b)答案　BC解析　加速度是速度v對t的函數(shù)圖象的切線斜率，由圖可得在b處，甲的切線斜率小于乙的切線斜率，即甲在b處的加速度小于乙在b處的加速度；由圖知t＝0到t＝b甲的速度總大于等于乙的速度，所以甲從t＝0到t＝b的路程大于乙從t＝0到t＝b的路程.故B，C正確.6.若一質(zhì)點的運動方程為S＝t2＋1，則該質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度是________.答案　2解析　＝＝2＋Δt，當(dāng)Δt→0時，→2，即為所求瞬時速度.7.自由落體運動的物體下降距離h和時間t的關(guān)系式為h＝gt2，若t＝2時的瞬時速度為19.6，則g＝________.答案　9.8解析　＝＝2g＋gΔt.當(dāng)Δt→0時，2g＋gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.8.8.已知曲線y＝x2－2上一點P，則曲線在點P處的切線的傾斜角為________.答案　45°解析　＝＝x＋Δx，當(dāng)Δx無限趨近于0時，無限趨近于x，所以曲線在點P處的切線的斜率為1，傾斜角為45°.9.求曲線f(x)＝3x2－2x在點(1，1)處的切線的方程.解　因為＝＝＝＝3Δx＋4，所以當(dāng)Δx無限趨近于0時，3Δx＋4無限趨近于4，所以曲線f(x)＝3x2－2x在點(1，1)處的切線的斜率為4.所以切線方程為y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.10.如果一個質(zhì)點從固定點A開始運動，時間t(單位：s)的位移(單位：m)函數(shù)為y＝t3＋3，求當(dāng)t＝4 s時的瞬時速度.解　因為質(zhì)點在t＝4 s到(4＋Δt)s的位移改變量Δy＝(Δt＋4)3＋3－(43＋3)＝(Δt)3＋12(Δt)2＋48Δt，所以該時間段內(nèi)的平均速度＝＝＝(Δt)2＋12Δt＋48.所以當(dāng)Δt→0時，→48，所以質(zhì)點在t＝4 s時的瞬時速度為48 m/s.二、能力提升11.(多選)已知某物體的運動方程為S(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，則(　　)A.該物體在1≤t≤3時的平均速度是28B.該物體在t＝4時的瞬時速度是56C.該物體位移的最大值為43D.該物體在t＝5時的瞬時速度是70答案　ABD解析　該物體在1≤t≤3時的平均速度是＝＝28，A正確；＝＝56＋7Δt，當(dāng)Δt→0時，→56，故B正確；物體的最大位移是7×52＋8＝183，C錯誤；＝＝70＋7Δt，當(dāng)Δt→0時，→70，故D正確.12.若小球自由落體的運動方程為S(t)＝gt2(g為重力加速度)，該小球在t＝1到t＝3時的平均速度為，在t＝2時的瞬時速度為v2，則和v2的大小關(guān)系為(　　)A.>v2  B.<v2C.＝v2  D.不能確定答案　C解析　平均速度為＝＝＝2g.＝＝＝gΔt＋2g，∵當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于2g，∴v2＝2g，∴＝v2.13.以初速度v0(v0＞0)垂直上拋的物體，t秒時的高度為S(t)＝v0t－gt2，求物體在時刻t0時的瞬時速度.解　因為ΔS＝v0(t0＋Δt)－g(t0＋Δt)2－＝(v0－gt0)Δt－g(Δt)2，所以＝v0－gt0－gΔt，當(dāng)Δt無限趨近于0時，無限趨近于v0－gt0.故物體在時刻t0時的瞬時速度為v0－gt0.三、創(chuàng)新拓展14.某人拉動一個物體前進，他所做的功W是時間t的函數(shù)W＝W(t)，則當(dāng)Δt無限趨近于0時，表示(　　)A.t＝t0時做的功  B.t＝t0時的速度C.t＝t0時的位移  D.t＝t0時的功率答案　D解析　由題意知當(dāng)Δt無限趨近于0時，表示t＝t0時的功率. 

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