第4章 數(shù)列
4.4　數(shù)學歸納法
課標要求
1.了解數(shù)學歸納法的原理.2.能用數(shù)學歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.
素養(yǎng)要求
通過利用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，發(fā)展學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).
問題導學預習教材必備知識探究
內(nèi)容索引
互動合作研析題型關鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導學預習教材 必備知識探究
1
1.思考　(1)如果你從袋子里拿出5個小球，發(fā)現(xiàn)全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？ 提示　不能.通過考察部分對象，得到一般的結(jié)論的方法，叫不完全歸納法.不完全歸納法得到的結(jié)論不一定正確.例如，在我們數(shù)學上有費馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結(jié)論能否成立，需要驗證.
(2)在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？提示　要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導致后面所有的骨牌都能倒下.像這樣以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的推理方法叫作數(shù)學歸納法.它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個字，但其結(jié)論是正確的.
2.填空　一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題，可按如下兩個步驟進行： (1)證明當n＝n0(n0∈N*)時命題成立； (2)假設當n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝________時命題也成立. 根據(jù)(1)(2)就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立. 上述證明方法叫作數(shù)學歸納法(mathematical induction). 數(shù)學歸納法是證明與________有關的命題的常用方法.
k＋1
正整數(shù)
溫馨提醒　數(shù)學歸納法的兩個步驟分別是數(shù)學歸納法的兩個必要條件，二者缺一不可.步驟(1)是命題論證的基礎，步驟(2)是判斷命題的正確性能否遞推下去的保證，這兩個步驟缺一不可.如果缺少步驟(2)，無法對當n取n0以后的數(shù)時的結(jié)論是否正確作出判斷；如果缺少步驟(1)這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟(2)就沒有意義了.
步驟(2)中，證明“當n＝k＋1時命題成立”的過程中，必須利用歸納假設，即必須用上“假設當n＝k時命題成立”這一條件.
C
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關鍵能力提升
2
題型一　用數(shù)學歸納法證明等式
②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，
即當n＝k＋1時，等式也成立，根據(jù)①和②可知，對任何n∈N*，等式都成立.
用數(shù)學歸納法證明等式的策略應用數(shù)學歸納法證明等式時需要確定兩個式子的結(jié)構(gòu)，即：(1)n＝n0時，等式的結(jié)構(gòu).(2)n＝k到n＝k＋1時，兩個式子的結(jié)構(gòu)：n＝k＋1時的代數(shù)式比n＝k時的代數(shù)式增加(或減少)的項.這時一定要弄清三點：①代數(shù)式從哪一項(哪一個數(shù))開始，即第一項.②代數(shù)式相鄰兩項之間的變化規(guī)律.③代數(shù)式中最后一項(最后一個數(shù))與n的關系.
訓練1 求證：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*).
證明　(1)當n＝1時，左邊12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立.
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，則當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以當n＝k＋1時，等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知，等式對任何n∈N*都成立.
題型二　用數(shù)學歸納法證明不等式
用數(shù)學歸納法證明不等式的四個關鍵：
題型三　用數(shù)學歸納法證明整除、平面幾何等數(shù)學命題
例3 證明：當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
證明　(1)當n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64，能被64整除.
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64，故f(k＋1)也能被64整除.
綜合(1)(2)，知當n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
(1)用數(shù)學歸納法證明整除問題時，一般先從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除，這是用數(shù)學歸納法證明整除問題的一大技巧.(2)用數(shù)學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找增量”，即幾何元素從k(k∈N*)個變成(k＋1)個時，所證的幾何量將增加多少個.解題時可以先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合幾何圖形給予嚴謹?shù)淖C明.
題型四　歸納——猜想——證明
“歸納—猜想—證明”的一般步驟
課堂小結(jié)
1.掌握2個知識點(1)數(shù)學歸納法的基本原理與步驟.(2)數(shù)學歸納法的簡單應用.2.牢記2個方法(1)證明數(shù)學歸納法的步驟.(2)歸納—猜想—證明的思維體系.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達成
3
C
解析　因為題目要求是對n為正偶數(shù)，等式成立，故選C.
D
3.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形對角線的條數(shù)f(n＋1)等于(　　) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2
C
解析　增加一個頂點，就增加(n＋1－3)條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故選C.
4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)
B
5.(多選)已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*).若當n＝1，2，…，1 000時，p(k)成立，且當n＝1 001時也成立，則下列判斷中正確的是(　　) A.p(k)對k＝528成立 B.p(k)對每一個自然數(shù)k都成立 C.p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立 D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立
AD
解析　由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2 002成立，當k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.
7.用數(shù)學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應等于________.
6
解析　由題意，當n＝1時，21

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4.4 數(shù)學歸納法*

版本： 蘇教版 (2019)

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