1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.能根據(jù)幾何條件求出橢圓方程，利用橢圓的方程研究它的性質(zhì)并畫出圖形.
通過研究橢圓的幾何性質(zhì)，提升數(shù)學抽象與數(shù)學運算素養(yǎng).
問題導學預習教材必備知識探究
互動合作研析題型關鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導學預習教材 必備知識探究
一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)
你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？
提示　范圍：－a≤x≤a，－b≤y≤b；對稱性：對稱軸為x軸，y軸，對稱中心為原點；頂點：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).
2.填空　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
溫馨提醒　(1)橢圓的焦點一定在它的長軸上.(2)橢圓上到中心的距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心的距離最大的點是長軸的兩個端點.(3)橢圓上到焦點的距離最大和最小的點分別是長軸的兩個端點，最大值為a＋c，最小值為a－c.
二、離心率1.思考　(1)橢圓的離心率是如何影響橢圓的扁圓程度的？
3.做一做　若一個橢圓的長軸長與焦距的和等于短軸長的2倍，則該橢圓的離心率是(　　)
解析　由題意知，2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互動合作研析題型 關鍵能力提升
例1 求橢圓25x2＋y2＝25的長軸和短軸的長及焦點和頂點坐標.
題型一　橢圓的簡單幾何性質(zhì)
解決此類問題的方法是先將所給方程化為標準方程，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標軸上，再利用a，b，c之間的關系和定義，就可以得到橢圓相應的幾何性質(zhì).
(2)寫出橢圓C2的方程，并研究其性質(zhì).
例2 分別求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：
題型二　由橢圓的幾何性質(zhì)求方程
在求橢圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點所在的坐標軸，從而確定方程的形式；若不能確定焦點所在的坐標軸，則應進行討論，然后列方程(組)確定a，b，這就是我們常用的待定系數(shù)法.
訓練2 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
題型三　求橢圓的離心率
∵b2＝a2－c2，∴(*)式可化簡為3a4－7a2c2＋2c4＝0，
角度2　求離心率的取值范圍
遷移1 本例中，把條件改為“點P與短軸端點重合，且△PF1F2為等腰直角三角形”，求橢圓的離心率.
解　由題意，知c>b，∴c2>b2.又b2＝a2－c2，
1.牢記橢圓的7個性質(zhì)2.掌握研究橢圓的幾何性質(zhì)的2種方法(1)“先定型，再定量”求出橢圓方程，再研究幾何性質(zhì).(2)求離心率的常用方法.3.注意1個易錯點 忽略對焦點在哪條坐標軸上的討論.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達成
A.點(－3，－2)不在橢圓上B.點(3，－2)在橢圓上C.點(－3，2)在橢圓上D.無法判斷點(－3，－2)，(3，－2)，(－3，2)是否在橢圓上
解析　由橢圓的對稱性知點(－3，－2)，(－3，2)，(3，－2)均在橢圓上.
5.橢圓(m＋1)x2＋my2＝1的長軸長是(　　)
∴t＝1，∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16.
9.分別求適合下列條件的橢圓的標準方程：
∴a＝3，c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.
(2)在x軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為6.
如圖所示，△A1FA2為等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2上的中線(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，
10.我國計劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運行軌道是以火星(其半徑R＝34百公里)的中心F為右焦點的橢圓.已知探測器的近火星點(軌道上離火星表面最近的點)A到火星表面的距離為8百公里，遠火星點(軌道上離火星表面最遠的點)B到火星表面的距離為800百公里.求該探測器的運行軌道方程.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.于是b2＝a2－c2＝35 028.
因為2a＝6，所以a＝3，c＝2，所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.
12.如圖，底面直徑為12 cm的圓柱被與底面成30°的平面所截，其截口是一個橢圓，則這個橢圓的長軸長為________，短軸長為________，離心率為________.
13.已知橢圓E的中心為坐標原點O，兩個焦點分別為A(－1，0)，B(1，0)，一個頂點為H(2，0).
解　由題意可得c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.
(2)對于x軸上的點P(t，0)，橢圓E上存在點M，使得MP⊥MH，求實數(shù)t的取值范圍.
∵－2

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3.1 橢圓

版本： 蘇教版 (2019)

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