考點(diǎn)一：拋物線的定義
1．定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡．
2．焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.
3．準(zhǔn)線：定直線l.
考點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
重難點(diǎn)技巧：p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．
【題型歸納】
題型一：拋物線的定義求軌跡方程
1．（2022·全國(guó)·高二）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)到的距離等于，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．橢圓B．雙曲線
C．拋物線D．直線
【答案】C
【分析】由拋物線的定義求解即可.
【詳解】由拋物線的定義（平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線）可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.
故選：C
2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.
【詳解】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D
3．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知圓C與過(guò)點(diǎn)且垂直于x軸的直線僅有1個(gè)公共點(diǎn)，且與圓外切，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)外切關(guān)系結(jié)合拋物線定義，分析得到的軌跡為拋物線，由此求解出拋物線的方程.
【詳解】由題意得，直線，且圓，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
則點(diǎn)到與點(diǎn)到的距離相等，都是，
故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線，故方程為.
故選：A.
題型二：拋物線的最值問(wèn)題
4．（2023秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則到軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用拋物線定義與三角形三邊關(guān)系即可求解.
【詳解】依題意，可得出如下圖形：
拋物線的方程為，
拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，延長(zhǎng)交準(zhǔn)線于點(diǎn)，連結(jié)，
則長(zhǎng)即為點(diǎn)到軸的距離，可得，
根據(jù)拋物線的定義，得，
，
根據(jù)平面幾何知識(shí)，可得，得.
當(dāng)且僅當(dāng)??三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
，
當(dāng)??三點(diǎn)共線時(shí)，的最小值為，
即到軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為.
故選：D.
5．（2022秋·江蘇徐州·高二徐州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，是圓：上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】根據(jù)拋物線定義和三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最小值為；根據(jù)拋物線方程和圓的方程可求得，從而得到所求的最值.
【詳解】
如圖所示，利用拋物線的定義知：
當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，且最小值為
拋物線的準(zhǔn)線方程：，

本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查線段距離之和的最值的求解，涉及到拋物線定義、圓的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠找到取得最值時(shí)的點(diǎn)的位置，從而利用拋物線和圓的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行求解.
6．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為( )
A．4B．5C．6D．2 17
【答案】C
【分析】過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，與準(zhǔn)線交于，則.
【詳解】由題知拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
過(guò)P作準(zhǔn)線的垂線，與準(zhǔn)線交于，則，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)（如圖虛線位置）取最小，此時(shí)
故選：C.
題型三：拋物線焦半徑的公式
7．（2022秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線不過(guò)點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若，，則直線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，由題可得，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用斜率公式即得.
【詳解】由題可得，設(shè)，，
因?yàn)?，?br>∴，
解得，
所以，即，
所以直線的斜率為.
故選：D.
8．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為的重心，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線焦半徑公式和重心的坐標(biāo)表示可直接求得結(jié)果.
【詳解】由拋物線方程知：；
設(shè)，，，
則；
為的重心，，則，
.
故選：C.
9．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的焦點(diǎn)為F，若A、B為拋物線上兩點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M．當(dāng)，時(shí)，拋物線的方程為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)焦半徑公式可得，結(jié)合點(diǎn)斜式與兩直線垂直的關(guān)系可得，進(jìn)而聯(lián)立求解可得.
【詳解】設(shè)，，．①
中垂線方程為，令有，解得．②
由①②解得．
故選：D
題型四：拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程
10．（2022秋·高二單元測(cè)試）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為. 先證明是等邊三角形，再求出，求出的值即得解.
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.
由題得,所以.
因?yàn)?，所以是等邊三角?
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以拋物線的方程是.
故選：C
11．（2022秋·江蘇南京·高二校聯(lián)考期末）如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，準(zhǔn)線與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合三角形相似以及已知條件，求得，則問(wèn)題得解.
【詳解】根據(jù)題意，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，如下所示：
因?yàn)?，?/，，
則，
故可得，又△△，
則，即，解得，
故拋物線方程為：.
故選：.
12．（2022秋·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線y2= 2px（p > 0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l， M是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥l于N.若△MNF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p=（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】如圖所示：準(zhǔn)線l與橫軸的交點(diǎn)為，由拋物線的性質(zhì)可知：，
因?yàn)槿簟鱉NF是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，，
顯然，在直角三角形中，
，
故選：C
題型五：拋物線在生活中的實(shí)際應(yīng)用
13．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）蘇州市“東方之門(mén)”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑（如圖1所示），“門(mén)”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形．圖2是“東方之門(mén)”的示意圖，已知，，點(diǎn)到直線的距離為，則此拋物線頂端到的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求拋物線方程，即可求解到的距離.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，由題意設(shè)，，，則，解得，所以此拋物線頂端到的距離為．
故選:B．
14．（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知一個(gè)拋物線形拱橋在一次暴雨前后的水位之差為，暴雨后的水面寬為，暴雨來(lái)臨之前的水面寬為，則暴雨后的水面離拱頂?shù)木嚯x為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)題意，以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而且，再計(jì)算得，進(jìn)而得答案.
【詳解】如圖，以拋物線頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的方程為，
由已知得且，
所以，解得，
所以，即暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x為
故答案為：
15．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長(zhǎng)度 米．
【答案】3.84./
【分析】建立直角坐標(biāo)系.利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出支柱的長(zhǎng)度.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點(diǎn)在y軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
因?yàn)闃虻目缍让祝案呙?，所?
代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
把點(diǎn)的橫坐標(biāo)-2代入,得，解得：，
支柱的長(zhǎng)度為(米).即支柱的長(zhǎng)度為3.84(米).
故答案為：3.84.
題型六：拋物線的方程綜合問(wèn)題
16．（2023·江蘇·高二）求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程：
(1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在軸的正半軸上；
(2)拋物線的焦點(diǎn)是.
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）首先設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，再根據(jù)題意確定的值，即可求解；
（2）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，并確定的值，即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，而且，
因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為.
（2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有的形式，
而且因此，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，準(zhǔn)線方程為.
17．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為到焦點(diǎn)的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；（2）利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為到準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合，即可求解；
【詳解】（1）如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，由拋物線的定義知點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.
于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在曲線上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到的距離之和最小.
顯然，連接與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，故最小值為＝.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，

此時(shí)，，那么,即最小值為4.
18．（2023秋·江蘇常州·高二江蘇省奔牛高級(jí)中學(xué)?？计谀┲本€經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn).
(1)若直線的斜率為，求線段的長(zhǎng)；
(2)求證：直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.
【答案】(1)；
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.
【分析】（1）由題可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理及拋物線的定義即得；
（2）由題可設(shè)直線方程可得，然后設(shè)直線的方程聯(lián)立拋物線，根據(jù)韋達(dá)定理可得，即得.
【詳解】（1）∵拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
直線的方程為，聯(lián)立方程，可得，
，
由拋物線的定義可知，；
（2）設(shè)直線的方程為：，
令，可得，
設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，化為，
，即，
∴，即直線平行于拋物線的對(duì)稱軸.
【雙基達(dá)標(biāo)】
一、單選題
19．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（ ）.
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線方程及其定義確定焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.
【詳解】由拋物線方程知：，即，
根據(jù)拋物線定義知：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.
故選：B
20．（2023春·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）若拋物線上的一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離即可．
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，
，
或（舍去），
，
到拋物線的準(zhǔn)線的距離，
點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，
點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為．
故選：C.
21．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）青花瓷是中華陶乲燒制工藝的珍品，屬秞下彩瓷.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為，碗口直徑為，碗深.瓷碗的軸截面輪廓可以近似地看成拋物線，碗里有一根長(zhǎng)度為的筷子，筷子過(guò)瓷碗軸截面輪廓曲線的焦點(diǎn)，且兩端在碗的內(nèi)壁上.則筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的方程，代入點(diǎn)，求得拋物線的方程，利用拋物線的定義，即可求解.
【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，
設(shè)拋物線的方程為，其焦點(diǎn)為，
碗口直徑為，碗深，所以拋物線過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，所以拋物線的方程為，
設(shè)，過(guò)中點(diǎn)作軸，
由拋物線的定義可得，解得，
所以，所以筷子的中點(diǎn)離桌面的距離為.
故選：B.

22．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知F為拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)，P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則周長(zhǎng)的最小值是（ ）
A．B．C．9D．
【答案】B
【分析】的周長(zhǎng)最小，即求最小，過(guò)P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為,轉(zhuǎn)化為求最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】
如圖：由已知，準(zhǔn)線方程，在拋物線內(nèi)部，
作準(zhǔn)線于， 準(zhǔn)線于，
所以，
由拋物線定義知，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，
故周長(zhǎng)的最小值是.
故選：B
23．（2022秋·江蘇鹽城·高二校考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，直線交軸于點(diǎn)且，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．6B．5C．3D．
【答案】D
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合相似即可求得，從而得到結(jié)果.
【詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，
由題意可得，即，
因?yàn)椋瑒t
所以，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為
故選:D
24．（2022秋·江蘇常州·高二華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線：上一點(diǎn)到軸的距離是2，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)的縱坐標(biāo)為，即可求出的橫坐標(biāo)，從而得到、的坐標(biāo)，再利用等面積法計(jì)算可得.
【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
又到軸的距離為，不妨令，則，解得，即，
此時(shí)直線為，所以，
所以，設(shè)點(diǎn)到的距離為，
則，即，解得.
故選：D
25．（2022秋·江蘇常州·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)作的垂線，垂足為，若，則到軸的距離為（ ）
A．3B．4C．6D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出的長(zhǎng)度，然后列出方程即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，不妨令在軸上方，準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為,如圖所示
因?yàn)辄c(diǎn)在C上，根據(jù)拋物線的定義可得，且，則,
所以為等腰三角形，且,解得，
在中，,即即，解得，所以到軸的距離為.
故選：A.
26．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程:
(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,且過(guò)點(diǎn);
(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
【答案】(1)或
(2)或或或
【分析】（1）由題意方程可設(shè)為或,將代入求解即可;
（2）根據(jù)拋物線的定義焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,即,寫(xiě)出拋物線方程即可.
【詳解】（1）由題意,方程可設(shè)為或,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入,得或,
∴或,
∴所求的拋物線方程為或.
（2）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,可知,
∴所求拋物線方程為或或或.
27．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為4．
(1)求實(shí)數(shù)p的值；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求出p即可；
（2）設(shè)直線l的方程，聯(lián)立直線l和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的幾何性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由拋物線的幾何性質(zhì)知：P到焦點(diǎn)的距離等于P到準(zhǔn)線的距離， ，解得：；
（2）由（1）知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，
顯然直線l斜率不為0，設(shè)直線l為：，，
聯(lián)立直線與拋物線方程：，得：，
則，，則
所以 ，解得，
所以直線l為：或；
綜上， ，直線l為：或.
【高分突破】
一、單選題
28．（2022秋·江蘇鹽城·高二鹽城市第一中學(xué)校）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，若，則F到l的距離為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出的長(zhǎng)度，然后列出方程即可得到結(jié)果.
【詳解】
如圖，不妨令在軸上方，準(zhǔn)線l與軸交點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在C上，根據(jù)拋物線定義可得，
且，則，所以為等腰三角形，且，
在中，，即
解得，即F到l的距離為.
故選:C.
29．（2022秋·江蘇徐州·高二校考期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】畫(huà)出圖像，利用拋物線的定義求解即可.
【詳解】由題知，準(zhǔn)線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，
由拋物線的定義及已知得，則為等邊三角形，
解法1：因?yàn)檩S，所以直線斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，則.
解法3：過(guò)作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，則.
故選：D.
30．（2022秋·高二單元測(cè)試） 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【分析】求出的長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的定義可得．
【詳解】設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則，，∴，
連接，則，又，所以是正三角形，
∴，準(zhǔn)線的方程是，
∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為3.
故選：A
31．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由拋物線對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，由拋物線的定義得，再由已知條件得直線的傾斜角，斜率，由斜率公式可求得，從而得出點(diǎn)橫坐標(biāo)．
【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
由，可知，
由拋物線的定義，可知，則有，
即，.
由拋物線的方程可知，，
設(shè)，，則有，即，
因?yàn)?，故解得，?br>故選：B．
32．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)，圓，過(guò)圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點(diǎn)P，Q，M，N，則的最小值為（ ）
A．23B．26C．36D．62
【答案】B
【分析】解法一：設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為和，聯(lián)立拋物線方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式結(jié)合基本不等式求解即可；
解法二：根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式求解即可
【詳解】解法一：設(shè)拋物線的方程，則，得，
所以拋物線方程為，焦點(diǎn)，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點(diǎn)，即直線l過(guò)焦點(diǎn)F.
設(shè)直線l的方程為：，設(shè)P、Q坐標(biāo)分別為和，
由聯(lián)立，得，∴，
，∴，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
解法二：，又，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.
故選：B.
二、多選題
33．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分焦點(diǎn)在軸上和軸上兩種情況，利用待定系數(shù)法求解即可.
【詳解】若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，
解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，
解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：BD
34．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F.點(diǎn)M是拋物線上異于O的一動(dòng)點(diǎn)，直線OM交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則O為線段MN的中點(diǎn)B．若，則
C．若，則D．存在點(diǎn)M，使得
【答案】AC
【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)已知條件求得的坐標(biāo)，并由此判斷出正確答案.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
A選項(xiàng)，，所以，
不妨設(shè)，則直線的方程為，
令得，所以，所以是線段的中點(diǎn)，所以A選項(xiàng)正確.
BC選項(xiàng)，，所以，
則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
不妨設(shè)，則直線的方程為，
令得，所以，
所以，
所以，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，設(shè)，則直線的方程為，
由消去得，解得或，
當(dāng)時(shí)，，則，
而，所以，
，所以不存在點(diǎn)M，使得，
即D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC

35．（2022秋·江蘇南京·高二?？茧A段練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．拋物線的方程為
B．存在直線，使得A、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱
C．的最小值為6
D．當(dāng)直線過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，以AF為直徑的圓與y軸相切
【答案】ACD
【分析】根據(jù)得到故,A正確，中點(diǎn)在拋物線上，B 錯(cuò)誤,，C正確，計(jì)算D正確，得到答案.
【詳解】,故，,故,A正確；
設(shè),設(shè)中點(diǎn)，則，相減得到,即,因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以,故,故,點(diǎn)在拋物線上，不成立，故不存在，B錯(cuò)誤；
過(guò)作垂直于準(zhǔn)線于,則，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，故C正確；
如圖所示：為中點(diǎn)，故,故為直徑的圓與軸相切，故D正確；
故選：ACD.
36．（2022秋·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l：y=x-2與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．拋物線C的準(zhǔn)線方程為
B．點(diǎn)F到直線l的距離為
C．∠AOB
D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)拋物線方程求得準(zhǔn)線、焦點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式、向量垂直、弦長(zhǎng)等知識(shí)求得正確答案.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，A選項(xiàng)正確.
直線，即，
到的距離為，B選項(xiàng)正確.
由解得或，
不妨設(shè)，
則，
所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
37．（2022秋·江蘇淮安·高二馬壩高中?？计谥校┮阎獟佄锞€的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上兩動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為1，M是線段AB的中點(diǎn)，是平面內(nèi)一定點(diǎn)，則（ ）
A．
B．若，則M到x軸距離為3
C．若，則
D．的最小值為4
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，結(jié)合拋物線定義，逐項(xiàng)分析計(jì)算即可判斷作答.
【詳解】拋物線上的點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)F距離的最小值為1，則有，解得，A正確；
拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，
對(duì)于B，點(diǎn)，由拋物線的定義知，，
有，所以M到x軸距離，B正確；
對(duì)于C，，由得：，即，
又，即，則，解得，
于是得，C不正確；
對(duì)于D，拋物線中，當(dāng)時(shí)，，因此點(diǎn)在拋物線上方，
過(guò)點(diǎn)P作于，交拋物線于點(diǎn)Q，連QF，過(guò)A作于，連AF，AP，，如圖，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A與Q重合時(shí)取等號(hào)，
所以，D正確.
故選：ABD
三、填空題
38．（2023秋·江蘇南京·高二南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，則的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】將直線方程向左平移1個(gè)單位，可知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，結(jié)合拋物線定義即可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】將化為，
動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大1，
則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為拋物線，
該拋物線以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線，開(kāi)口向右，
設(shè)，
所以，解得，
所以拋物線方程為，
故答案為：.
39．（2023秋·江蘇南京·高二南京師大附中?？计谀┰O(shè)拋物線的焦點(diǎn)，若拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線定義得，由點(diǎn)在拋物線上，代方程即可解決.
【詳解】由題知，拋物線的焦點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為6，
所以，得，
所以拋物線為，
所以，解得，圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)

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