拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 如圖，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，截取一根繩子的長度等于AC的長度，現(xiàn)將繩子的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端用圖釘固定在F處；用一支粉筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺上下滑動(dòng)，這樣粉筆就描出了一條曲線． [問題]　上圖是一條什么曲線，由畫圖過程你能給出此曲線的定義嗎？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識(shí)點(diǎn)一　拋物線的定義 平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線，定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線． 在拋物線定義中，若去掉條件“F不在l上”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？ 提示：不一定是． 知識(shí)點(diǎn)二　拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式 eq \a\vs4\al() 標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn) 焦點(diǎn)在一次項(xiàng)變量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，開口方向由一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)確定．當(dāng)系數(shù)為正時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的正方向；當(dāng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，開口向坐標(biāo)軸的負(fù)方向．　　　　 1．對(duì)拋物線y＝4x2，下列描述正確的是(　　) A．開口向上，焦點(diǎn)為(0，1) B．開口向上，焦點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) C．開口向右，焦點(diǎn)為(1，0) D．開口向右，焦點(diǎn)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))) 答案：B　 2．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　) A．(8，8)　　　　　　 B．(8，－8) C．(8，±8) D．(－8，±8) 答案：C 3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(0，2)的距離和它到直線l：y＝－2的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為________． 答案：x2＝8y [例1]　(鏈接教科書第103頁例1，例2)求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程： (1)拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是3，而且焦點(diǎn)在x軸的正半軸上； (2)拋物線的焦點(diǎn)是F(－3，0)． [解]　(1)根據(jù)題意可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y2＝2px的形式，而且p＝3，因此所求標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x. 準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(3,2). (2)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(－3，0)，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程具有y2＝－2px的形式，而且eq \f(p,2)＝3，因此p＝6，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝－12x. 準(zhǔn)線方程為x＝3. eq \a\vs4\al() 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 [注意]　當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，應(yīng)分類討論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化討論過程．　　　　 [跟蹤訓(xùn)練] 1．拋物線2y2－5x＝0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________，準(zhǔn)線方程為________． 解析：將2y2－5x＝0變形為y2＝eq \f(5,2)x， ∴2p＝eq \f(5,2)，p＝eq \f(5,4)， ∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))， 準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(5,8). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，0))　 x＝－eq \f(5,8) 2．拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點(diǎn)A，|AF|＝5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：設(shè)所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2ax(a≠0)，點(diǎn)A(m，－3)． 由拋物線的定義得|AF|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))＝5， 又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2x或y2＝±18x. [例2]　(1)設(shè)拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為4，則點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離是(　　) A．4　　　　　　　　　 B．5 C．6 D．7 (2)若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2).求點(diǎn)M的軌跡方程． (1)[解析]　拋物線C的準(zhǔn)線方程為x＝－1，設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為F，由拋物線的定義知，|PF|＝d(d為點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離)，又d＝4＋1＝5，所以|PF|＝5. [答案]　B (2)[解]　由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq \f(1,2)， 所以動(dòng)點(diǎn)M到Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離與它到直線l：x＝－eq \f(1,2)的距離相等． 由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線， 其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式， 而eq \f(p,2)＝eq \f(1,2)，所以p＝1，2p＝2， 故點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝2x. [母題探究] 1．(變設(shè)問)若本例(2)中點(diǎn)M所在軌跡上一點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離為2，求點(diǎn)N的坐標(biāo)． 解：設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0，y0)，則|NF|＝2.又點(diǎn)M的軌跡方程為y2＝2x，所以由拋物線的定義得x0＋eq \f(1,2)＝2，解得x0＝eq \f(3,2).因?yàn)閥eq \o\al(2,0)＝2x0，所以y0＝±eq \r(3)，故點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(3)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3))). 2．(變設(shè)問)若本例(2)中增加一點(diǎn)A(3，2)，其他條件不變，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：由于點(diǎn)M在拋物線上，所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2).當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值eq \f(7,2)，這時(shí)M的縱坐標(biāo)為2.可設(shè)M(xM，2)，代入拋物線方程得xM＝2，即M(2，2)． eq \a\vs4\al() 拋物線定義的兩種應(yīng)用 (1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題； (2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí)，往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．　　　　 圓錐曲線的共同特征 比較本章所學(xué)的三種圓錐曲線，可以發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線在定義上非常相似，它們都有兩個(gè)焦點(diǎn)，在對(duì)稱性上，它們都是中心對(duì)稱曲線，都有兩條對(duì)稱軸；但是同為圓錐曲線的拋物線，僅有一個(gè)焦點(diǎn)，不論在定義上還是在對(duì)稱性上，拋物線和橢圓、雙曲線都相差較大．既然橢圓、雙曲線和拋物線本是同根生，都可以用平面截對(duì)頂圓錐面而得到，三者理應(yīng)存在某些共同的性質(zhì)，那么這種共同性質(zhì)究竟是什么呢？ [問題探究] 1．橢圓上的點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c，0)的距離與它到定直線l：x＝eq \f(a2,c)的距離之比是否為定值？ 提示：是定值，證明如下： 如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)為橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)，右焦點(diǎn)F(c，0)． 因?yàn)閥2＝b2－eq \f(b2x2,a2)， 所以|PF|＝eq \r(（x－c）2＋y2)＝eq \r(（x－c）2＋b2－\f(b2,a2)x2). 由a2＝b2＋c2，可得|PF|＝eq \r(\f(c2,a2)x2－2cx＋a2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a)).① 即|PF|＝eq \f(c,a)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c)))，eq \f(|PF|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))))＝eq \f(c,a)＝e. 這就是說橢圓上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)F(c，0)的距離與它到定直線l：x＝eq \f(a2,c)的距離之比是定值e. 2．雙曲線上的點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c，0)的距離與它到定直線l：x＝eq \f(a2,c)的距離之比是否為定值？ 提示：是定值，證明如下： 如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)為雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的任意一點(diǎn)，右焦點(diǎn)F(c，0)． 因?yàn)閥2＝eq \f(b2x2,a2)－b2， 所以|PF|＝eq \r(（x－c）2＋y2)＝eq \r(（x－c）2＋\f(b2,a2)x2－b2). 由c2＝a2＋b2，可得|PF|＝eq \r(\f(c2,a2)x2－2cx＋a2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))\s\up12(2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)x－a))＝eq \f(c,a)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))). 即eq \f(|PF|,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(a2,c))))＝eq \f(c,a)＝e. 這就是說雙曲線上任意一點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)F(c，0)的距離與它到定直線l：x＝eq \f(a2,c)的距離之比是定值e. 由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離與它到定直線x＝－eq \f(p,2)的距離之比為定值1. 通過上述分析，可以得到上述三種圓錐曲線的一個(gè)共同特征： 橢圓、雙曲線和拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e.當(dāng)00)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線．其中，定點(diǎn)F為圓錐曲線的焦點(diǎn)，常數(shù)e是圓錐曲線的離心率，定直線l為圓錐曲線的準(zhǔn)線． [遷移應(yīng)用] 　(2018·全國卷Ⅰ)設(shè)橢圓C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)． (1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程； (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明∠OMA＝∠OMB. 解：(1)由已知得F(1，0)，直線l的方程為x＝1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(2),2)))，又M(2，0)，所以AM的方程為y＝－eq \f(\r(2),2) x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2). (2)證明：由eq \f(x2,2)＋y2＝1結(jié)合圓錐曲線的統(tǒng)一定義可知，M點(diǎn)為橢圓的右準(zhǔn)線x＝2與x軸的交點(diǎn)，如圖所示．當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，∠OMA＝∠OMB＝0°， 當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，過點(diǎn)A，B分別作x＝2的垂線，垂足分別是C，D，則有AC∥BD∥x軸． 由結(jié)論可知eq \f(|AF|,|AC|)＝e，eq \f(|BF|,|BD|)＝e，∴eq \f(|AF|,|AC|)＝eq \f(|BF|,|BD|)即eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|AC|,|BD|)， 又∵AC∥BD∥x軸，∴eq \f(|AF|,|BF|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，∴eq \f(|AC|,|BD|)＝eq \f(|CM|,|DM|)，且∠ACM＝∠BDM＝90°， ∴△ACM∽△BDM，可得∠AMC＝∠BMD， ∴∠OMA＝∠OMB. 1．經(jīng)過點(diǎn)(2，4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝8x　　　　　 B．x2＝y(tǒng) C．y2＝8x或x2＝y(tǒng) D．無法確定 解析：選C　由題設(shè)知拋物線開口向右或開口向上，設(shè)其方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，將(2，4)代入可得p＝4或p＝eq \f(1,2)，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x或x2＝y(tǒng)，故選C. 2．如果拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線是直線x＝－2，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________． 解析：因?yàn)闇?zhǔn)線方程為x＝－2＝－eq \f(p,2)，即p＝4，所以焦點(diǎn)為(2，0)． 答案：(2，0) 3．若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，且點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝eq \f(p,2).設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即eq \f(p,2)－(－9)＝10，解得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0，由點(diǎn)M(－9，y0)在拋物線上，得y0＝±6，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－9，6)或(－9，－6)． 新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.了解拋物線的實(shí)際背景，感受拋物線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用數(shù)學(xué)抽象2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程直觀想象圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程開口方向y2＝2px(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq \f(p,2)向右y2＝－2px(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq \f(p,2)向左x2＝2py(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq \f(p,2)向上x2＝－2py(p>0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq \f(p,2)向下拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程定義法根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件，列出對(duì)應(yīng)方程，化簡方程拋物線定義的應(yīng)用

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

3.3 拋物線

版本： 蘇教版 (2019)

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