第15練　函數(shù)小題綜合練1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(　　)A．y＝x2   B．y＝x＋C．y＝－   D．y＝2x答案　C解析　對(duì)于A，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以y＝x2是偶函數(shù)，不符合題意，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B，f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝x＋是奇函數(shù)，因?yàn)?/span>f(2)＝f ，所以y＝x＋在(0，＋∞)上不單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C，f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以y＝－是奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，y＝2x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)D不正確．2．設(shè)a＝0.20.3，b＝log30.2，c＝30.2，則(　　)A．a<b<c   B．a<c<bC．c<a<b   D．b<a<c答案　D解析　∵0<a＝0.20.3<0.20＝1，b＝log30.2<log31＝0，c＝30.2>30＝1，∴b<a<c.3．設(shè)f(x)＝則f(log23)的值為(　　)A．log23   B．log26C．log23＋3   D．0答案　B解析　∵1<log23<2，∴f(log23)＝f(log23－2)＝log23－2＋3＝log23＋1＝log23＋log22＝log26.4．已知函數(shù)f(x)＝log2x＋3x＋b的零點(diǎn)在區(qū)間上，則b的取值范圍為(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋3x＋b在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)＝log2x＋3x＋b的零點(diǎn)在區(qū)間(0,1]上，當(dāng)x→0時(shí)，log2x＋3x→－∞，此時(shí)f(x)<0.根據(jù)零點(diǎn)存在定理，得f(1)＝log21＋3×1＋b≥0，解得b≥－3.5．函數(shù)f(x)＝ln的圖象大致是(　　)答案　B解析　當(dāng)x＝2時(shí)，x－＝>0，函數(shù)有意義，可排除A；當(dāng)x＝－2時(shí)，x－＝－<0，函數(shù)無意義，可排除D；又∵當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)y＝x－單調(diào)遞增，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f＝ln單調(diào)遞增，可排除C.6．某種產(chǎn)品的有效期y(單位：天)與儲(chǔ)藏的溫度x(單位：℃)滿足關(guān)系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b為常數(shù))，若該產(chǎn)品在0 ℃下的有效期為192天，在33 ℃下的有效期是24天，則該產(chǎn)品在22 ℃下的有效期為(　　)A．45天   B．46天C．47天   D．48天答案　D解析　y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．當(dāng)x＝0時(shí)，eb＝192，當(dāng)x＝33時(shí)，e33k＋b＝24，∴e33k＝＝，∴e11k＝，∴當(dāng)x＝22時(shí)，e22k＋b＝(e11k)2·eb＝2×192＝48.7．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”．若函數(shù)f(x)＝x2－x＋是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為(　　)A．[1，＋∞)   B．[0，]C．[0,1]   D．[1，]答案　D解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－x＋的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，又當(dāng)x≥1時(shí)，＝x－1＋， 令g(x)＝x－1＋(x≥1)，則g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0得1≤x≤，即函數(shù)＝x－1＋在區(qū)間[1，]上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”I為[1，]．8．(2022·南京師大附中模擬)已知3a＝6b＝10，則2，ab，a＋b的大小關(guān)系是(　　)A．ab<a＋b<2B．ab<2<a＋bC．2<a＋b<abD．2<ab<a＋b答案　D解析　∵a＝log310>log39＝2，b＝log610>1，∴ab>2，又＝＋＝lg 3＋lg 6＝lg 18>1，∴a＋b>ab，∴a＋b>ab>2.9．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝|x－a|－a(a>0)，若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x有f(x－2)≤f(x)成立，則正數(shù)a的取值范圍是(　　)A．[1，＋∞)   B.C．(0,1]   D.答案　D解析　∵a>0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝|x－a|－a＝∵f(x)為奇函數(shù)，即可得到如圖所示的圖象．∵對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x有f(x－2)≤f(x)成立，采用數(shù)形結(jié)合的方法把函數(shù)f(x)的圖象向右平移兩個(gè)單位長度得到f(x－2)，并使f(x－2)的圖象始終在f(x)的圖象的下方或部分重合，即2a－(－2a)≤2，即a≤，∵a>0，∴0<a≤.10．已知f(x)是定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)，滿足f(x)＝f，f＝f，當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)＝x2－x，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是(　　)①函數(shù)f是偶函數(shù)；②函數(shù)f的最小正周期為4；③當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)f的最小值為－；④方程f＝log3有10個(gè)根．A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　f(x)是定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)，由f(x＋2)＝f(2－x)，則f(x)＝f(4－x)又f(x)＝f(x－4)，所以f(4－x)＝f(x－4)，即f＝f，所以f＝f， 所以函數(shù)f是偶函數(shù)，故①正確；由f＝f，根據(jù)周期的定義可知函數(shù)的最小正周期為4，故②正確；當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f＝x2－x，函數(shù)的最小值為f ＝－＝－，由f＝f，得x＝2為對(duì)稱軸，所以當(dāng)0≤x≤4時(shí)，函數(shù)f的最小值為－，故③不正確；作出x>0時(shí)y＝f與y＝log3x的圖象，由圖象可知x>0時(shí)，函數(shù)有5個(gè)交點(diǎn)，又y＝f與y＝log3為偶函數(shù)，由對(duì)稱性可知方程f＝log3有10個(gè)根．故④正確．11．若2x＝9，y＝log2，則x＋2y＝______.答案　6解析　∵2x＝9，∴x＝log29.又∵y＝log2，∴x＋2y＝log29＋log2＝log264＝6.12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝則f(20)的值為________．答案　－1解析　當(dāng)x>0時(shí)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝f(x＋1)－f(x)－f(x＋1)＝－f(x)，因此有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)的周期為6，因此f(20)＝f(3×6＋2)＝f(2)＝f(1)－f(0)＝f(0)－f(－1)－f(0)＝－log22＝－1.13．(2022·新鄉(xiāng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，且x1<x2<x3<x4，則x1x2(x3＋x4)＝________.答案　6解析　函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，易知＝3，則x3＋x4＝6.又－log2x1＝log2x2，所以log2(x1x2)＝0，即x1x2＝1，所以x1x2(x3＋x4)＝6.14．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若對(duì)任意的x∈R，f(x2－a)＋f(x)<2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案　解析　令F(x)＝f(x)－1，則F(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，又F(－x)＝f(－x)－1，故F(x)＋F(－x)＝f(x)＋f(－x)－2＝0，所以F(x)為定義在R上的奇函數(shù)，故F(x)在R上為減函數(shù)．由f(x2－a)＋f(x)<2恒成立，得F(x2－a)＋F(x)<0恒成立，即F<－F(x)＝F(－x)恒成立，可得x2－a>－x恒成立，即a<x2＋x＝2－恒成立，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為. 

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