第63練　立體幾何小題綜合練1．已知平面α經(jīng)過(guò)圓柱O1O2的旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)A，B在圓柱O1O2的側(cè)面上，但不在平面α上，則下列4個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是(　　)①一定存在直線l，l?α且l與AB異面；②一定存在直線l，l?α且l⊥AB；③一定存在平面β，AB?β且β⊥α；④一定存在平面β，AB?β且β∥α.A．1  B．2  C．3  D．4答案　C解析　由已知得直線AB與平面α可能平行，也可能相交，所以一定存在直線l，l?α且l與AB異面，故①正確；一定存在直線l，l?α且l⊥AB，故②正確；一定存在平面β，AB?β且β⊥α，故③正確；當(dāng)直線AB與平面α相交時(shí)，不存在平面β，AB?β且β∥α，故④錯(cuò)誤．所以4個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是3.2．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列命題，正確的是(　　)A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若α⊥β，α⊥γ，則β⊥γC．若m⊥α，n∥m，n∥β，則α⊥βD．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥β答案　C解析　A錯(cuò)，因?yàn)闆](méi)說(shuō)明m垂直于兩平面的交線；B錯(cuò)，垂直于同一平面的兩個(gè)平面相交或平行；C正確；D錯(cuò)，因?yàn)?/span>α與β有可能相交．3．如圖是梯形ABCD用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖，已知直觀圖中A1B1＝4，四邊形B1C1D1E1是菱形且∠B1E1D1＝45°，則梯形ABCD的面積等于(　　)A．4   B．5C．8   D．10答案　B解析　由圖可知，A1B1＝4，C1D1＝1，則對(duì)應(yīng)梯形ABCD中，AB＝4，CD＝1，又知與y′軸平行的線段B1C1的長(zhǎng)度為1，則對(duì)應(yīng)梯形ABCD的高為2，所以S梯形ABCD＝＝5.4.如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且AB⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(　　)A．異面   B．平行C．垂直   D．不確定答案　C解析　∵AB⊥α，l?α，∴AB⊥l，又∵BC⊥β，l?β，∴BC⊥l，∵AB∩BC＝B，AB，BC?平面ABC，∴l⊥平面ABC，∴l⊥AC.5．下列敘述不正確的是(　　)A．已知a，b是空間中的兩條直線，若a∩b＝?，則直線a與b平行或異面B．已知l是空間中的一條直線，α是空間中的一個(gè)平面，若l∩α≠?，則l?α或l與α只有一個(gè)公共點(diǎn)C．已知α，β是空間兩個(gè)不同的平面，若α∩β≠?，則α，β必相交于一條直線D．已知直線l與平面α相交，且l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l⊥α答案　D解析　對(duì)于A，根據(jù)空間中直線的位置關(guān)系有相交、平行、異面，由題意可知，a∩b＝?說(shuō)明直線a與b不相交，即直線a與b平行或異面，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系有直線與平面相交、直線與平面平行、直線在平面內(nèi)，因?yàn)?/span>l∩α≠?，所以直線l與平面α不平行，即直線與平面相交或直線在平面內(nèi)，從而得l?α或l與α只有一個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槠矫媾c平面的位置關(guān)系有相交和平行，因?yàn)?/span>α，β是空間兩個(gè)不同的平面，而α∩β≠?，所以平面α與β相交，即α，β必相交于一條直線，故C正確；對(duì)于D，已知直線l與平面α相交，且l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，若這些直線中沒(méi)有相交直線，則l不一定垂直于平面α，故D不正確．6．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，外接球表面積為16π，則正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為(　　)A.   B.C.   D.答案　D解析　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，設(shè)底面外接圓的半徑為r，則2r＝?r＝.外接球的表面積為16π＝4πR2?R＝2，外接球的球心在上、下兩個(gè)底面的外心MN的連線的中點(diǎn)上，記為O點(diǎn)，如圖所示，在△OMB1中，MB1＝r＝，OB1＝R＝2，∵MB＋OM2＝OB，解得OM＝1，MN＝h＝2，故正三棱柱的體積為V＝S△ABCh＝×3×3××2＝.7．已知三棱錐A－BCD的外接球?yàn)榍?/span>O，△BCD是邊長(zhǎng)為3的正三角形，若三棱錐A－BCD體積的最大值為，則球O的體積為(　　)A.π  B.π  C．100π  D．64π答案　A解析　設(shè)三棱錐A－BCD的高為h，當(dāng)球心O在三棱錐A－BCD的高線上時(shí)，三棱錐A－BCD的體積最大，此時(shí)××3×3×h＝，解得h＝9.設(shè)球O的半徑為R，如圖，AM是正三棱錐的高，BM＝××3＝3，OB＝OA＝R，則(9－R)2＋32＝R2，解得R＝5，所以球O的體積為πR3＝π.8.已知圓柱的底面半徑為2，高為3，垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD(如圖)．若底面圓的弦AB所對(duì)的圓心角為，則圓柱被分成兩部分中較大部分的體積為(　　) A．10π＋3   B．10πC.π＋   D．2π－3答案　A解析　設(shè)截面ABCD將圓柱分成的兩部分中較大部分的體積為V1，圓柱的體積為V，DC將圓柱的底面分成的兩部分中，較大部分的底面積為S1，圓柱的底面積為S，則S1＝×π×22＋×2×2×＝＋，V＝π×22×3＝12π，S＝π×22＝4π，依題意可得＝，則V1＝V＝×12π＝10π＋3.9.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，底面△A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　)A．CC1與B1E是異面直線B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1為異面直線，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案　C解析　對(duì)于A，CC1與B1E都在平面CC1B1B內(nèi)，且CC1與B1E是相交直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)AC⊥平面ABB1A1，則AC垂直于平面內(nèi)的任一條直線，即AC⊥AB，這與題設(shè)“底面△A1B1C1是正三角形”矛盾，∴假設(shè)不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，∵點(diǎn)B1?AE，直線B1C1交平面AEB1于點(diǎn)B1，∴AE，B1C1為異面直線；由題意知△ABC是正三角形，又E是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC，又B1C1∥BC，∴AE⊥B1C1，故C正確；對(duì)于D，∵直線AC交平面AB1E于點(diǎn)A，又AC∥A1C1，∴直線A1C1與平面AB1E相交，故D錯(cuò)誤．10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A1，C1不重合)，則下列說(shuō)法不正確的是(　　)A．BD⊥CPB．三棱錐C－BPD的體積為定值C．過(guò)P，C，D1三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大為答案　D解析　由題意知BD⊥平面ACC1A1，CP?平面ACC1A1，所以BD⊥CP，故A正確；由等體積法得VC－BPD＝VP－BCD＝·S△BCD·AA1為定值，故B正確；設(shè)A1C1的中點(diǎn)為M，當(dāng)P∈MC1時(shí)，如圖1所示，圖1此時(shí)截面是△D1QC，當(dāng)P∈MA1時(shí)，如圖2所示，圖2此時(shí)截面是梯形D1QRC，故C正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，連接D1P(圖略)，則D1P為DP在平面A1B1C1D1上的射影，則∠D1PD為DP與平面A1B1C1D1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，PD1＝x，則DP＝，sin∠D1PD＝，當(dāng)x取得最小值時(shí)，sin∠D1PD的值最大，即當(dāng)D1P⊥A1C1時(shí)，x的值最小為，所以sin∠D1PD的值最大為，故D不正確．11.如圖所示，關(guān)于該幾何體的正確說(shuō)法的序號(hào)為________．①這是一個(gè)六面體；②這是一個(gè)四棱臺(tái)；③這是一個(gè)四棱柱；④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．答案　①③④⑤解析　①正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍；②錯(cuò)誤，因?yàn)樗睦馀_(tái)側(cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確；③正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱； ④⑤如圖，都正確．12．如圖，在三棱錐A－BCD的平面展開圖中，四邊形BCED是菱形，BC＝，BF＝2，則三棱錐A－BCD外接球的表面積為______．答案　4π解析　將平面展開圖還原為三棱錐A－BCD，如圖所示，則BC＝BD＝AC＝AD＝，AB＝2，∴BD2＋DA2＝AB2，BC2＋CA2＝AB2，∴BD⊥AD，BC⊥AC.取AB的中點(diǎn)O，連接OD，OC，則OA＝OB＝OC＝OD，∴O為三棱錐A－BCD外接球的球心，半徑R＝1，故三棱錐A－BCD外接球的表面積S＝4πR2＝4π.13．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成的角的余弦值為________．答案　解析　設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，連接EO(圖略)，則∠AEO為AE，SD所成的角或其補(bǔ)角．設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為a，則AE＝a，EO＝a，OA＝a，所以cos∠AEO＝＝＝.14．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝，將△ADC沿對(duì)角線AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐D－ABC，則在翻折的過(guò)程中有下列結(jié)論：①三棱錐D－ABC的體積最大值為；②三棱錐D－ABC的外接球體積不變；③異面直線AB與CD所成角的最大值為90°.其中正確的是________．(填序號(hào))答案　①②③解析　由題意知，矩形ABCD，AB＝1，BC＝，可得AC＝2，在翻折的過(guò)程中，當(dāng)平面ACD⊥平面ACB時(shí)，D到底面的距離最大，且為Rt△ACD斜邊AC邊上的高，且高為，可得三棱錐D－ABC的體積最大值為××1××＝，故①正確；取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OD，可得OA＝OB＝OC＝OD，即O為三棱錐D－ABC的外接球的球心，且半徑為1，體積為π，故②正確；若AB⊥CD，又AB⊥BC，CD∩BC＝C，CD，BC?平面BCD，可得AB⊥平面BCD，即有AB⊥BD，由AB＝1及AD＝可得BD＝，將△ADC沿對(duì)角線AC翻折的過(guò)程中，存在某個(gè)位置使得BD＝成立，故③正確．

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