專題3　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第16練　導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1．(2022·南昌質(zhì)檢)下列求導(dǎo)運(yùn)算不正確的是(　　)A.′＝－tan xB.′＝C.′＝D.′＝－答案　A解析　(tan x)′＝′＝＝，故A錯(cuò)誤；′＝，故B正確；()′＝′＝＝(4x＋2)，故C正確；′＝′＝－＝－，故D正確．2．已知函數(shù)f(x)＝cos x，則f(π)＋f′等于(　　)A．－  B.  C．－  D．－答案　C解析　f(π)＝－，f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，∴f′＝×(－1)＝－，∴f(π)＋f′＝－.3．若函數(shù)f(x)＝(x－2 019)(x－2 020)(x－2 021)(x－2 022)，則f′(2 021)等于(　　)A．－2  B．－1  C．0  D．1答案　A解析　令g(x)＝(x－2 019)(x－2 020)(x－2 022)，則f(x)＝(x－2 021)·g(x)，則f′(x)＝1·g(x)＋(x－2 021)·g′(x)，所以f′(2 021)＝g(2 021)＝2×1×(－1)＝－2.4．已知函數(shù)f(x)＝f′cos x＋sin x，則f 的值為________．答案　1解析　∵f′(x)＝－f′·sin x＋cos x，∴f′＝－f′·sin ＋cos ，解得f′＝－1，故f ＝f′cos ＋sin ＝＋＝1. 考點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義5．曲線f(x)＝x3＋x－2在P0處的切線平行于直線y＝4x－1，則P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)A．(1,0)   B．(2,8)C．(1,0)和(－1，－4)   D．(2,8)和(－1，－4)答案　C解析　依題意，令f′(x)＝3x2＋1＝4，解得x＝±1，f(1)＝0，f(－1)＝－4.故P0點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)和(－1，－4)．6．設(shè)曲線y＝eax－ln(x＋1)在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，則a等于(　　)A．0  B．1  C．2  D．3答案　D解析　y＝eax－ln，y′＝aeax－，當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a－1.又曲線y＝eax－ln在x＝0處的切線方程為2x－y＋1＝0，即y＝2x＋1，從而a－1＝2，即a＝3.7．(2022·新余模擬)直線l是曲線y＝－x3－x的切線，則它的傾斜角α的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.答案　C解析　設(shè)P(x0，y0)是直線l與曲線y＝－x3－x的切點(diǎn)，對y＝－x3－x求導(dǎo)得y′＝－x2－，于是得切線l的斜率tan α＝－x－≤－，當(dāng)且僅當(dāng)x0＝0時(shí)取“＝”，顯然，α為鈍角，又tan α在上單調(diào)遞增，于是得<α≤，所以傾斜角α的取值范圍是.8．函數(shù)f(x)＝aln x－＋x存在與x軸平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，－]B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)答案　C解析　f′(x)＝＋＋1(x>0)，依題意＋＋1＝0有解，即當(dāng)x>0時(shí)，－a＝＋x有解．又當(dāng)x>0時(shí)，＋x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取“＝”．∴－a≥2，∴a≤－2.9．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　)①y＝cos x；②y＝ln x；③y＝ex；④y＝x2.A．①②  B．①④  C．②③  D．②④答案　B解析　由題意知，若y＝f(x)具有T性質(zhì)，則存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1.對于①，因?yàn)?/span>f′(x)＝－sin x，所以存在x1＝，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對于②，因?yàn)?/span>f′(x)＝>0，所以不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對于③，因?yàn)?/span>f′(x)＝ex>0，所以不存在x1，x2，使得f′(x1)f′(x2)＝－1；對于④，因?yàn)?/span>f′(x)＝2x，所以存在x1＝1，x2＝－，使得f′(x1)f′(x2)＝4x1x2＝－1.10．(2021·全國甲卷)曲線y＝在點(diǎn)(－1，－3)處的切線方程為________．答案　5x－y＋2＝0解析　y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切線方程為y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.11．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分的概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)>0，對?x1，x2∈R，且x1≠x2，總有<f ，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A．f(π)<f(e)<f(2)B．f′(π)>f′(e)>f′(2)C．f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)D．f′(1)<f(2)－f(1)<f′(2)答案　C解析　由f′(x)>0，得f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)?/span>π>e>2，所以f(π)>f(e)>f(2)，故A不正確；對?x1，x2∈R，且x1≠x2，總有<f，可得函數(shù)的圖象向上凸，可用如圖的圖象來表示，f′(x)表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著x的增大，f(x)的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以f′(π)<f′(e)<f′(2)，故B不正確；令f(2)－f(1)＝＝kAB，表示點(diǎn)(1，f(1))與點(diǎn)(2，f(2))連線的斜率，由圖可知f′(2)<kAB<f′(1)，所以C正確，D不正確．12．(2021·新高考全國Ⅰ)若過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線，則(　　)A．eb<a   B．ea<bC．0<a<eb   D．0<b<ea答案　D解析　方法一　設(shè)切點(diǎn)(x0，y0)，y0>0，則切線方程為y－b＝(x－a)，由得(1－x0＋a)＝b，則由題意知關(guān)于x0的方程(1－x0＋a)＝b有兩個(gè)不同的解．設(shè)f(x)＝ex(1－x＋a)，則f′(x)＝ex(1－x＋a)－ex＝－ex(x－a)，由f′(x)＝0得x＝a，所以當(dāng)x<a時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>a時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(a)＝ea(1－a＋a)＝ea，當(dāng)x<a時(shí)，a－x>0，所以f(x)>0，當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，函數(shù)f(x)＝ex(1－x＋a)的大致圖象如圖所示，因?yàn)?/span>f(x)的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<b<ea.方法二　(用圖估算法)過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y＝ex的兩條切線 ，則點(diǎn)(a，b)在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0<b<ea.13．(2022·石家莊模擬)曲線C1：y＝x2與曲線C2：y＝aex(a>0)存在公切線，則a的取值范圍是________．答案　解析　設(shè)公切線在y＝x2上的切點(diǎn)為(x1，x)，在y＝aex(a>0)上的切點(diǎn)為(x2，)，函數(shù)y＝x2，y＝aex(a>0)的導(dǎo)函數(shù)分別為y′＝2x，y′＝aex，則公切線的斜率為2x1＝＝，整理得a＝，由a>0可知，x2>1，令f(x)＝，x∈(1，＋∞)，則f′(x)＝＝，f′(x)>0?1<x<2；f′(x)<0?x>2，∴f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞減，f(x)max＝f(2)＝；當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，即0<f(x)≤，∴a∈.14．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－kx＋1.若g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．答案　(0,1)解析　g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程f(x)＝kx－1有四個(gè)不同的根，等價(jià)于y＝f(x)，y＝kx－1的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，作出y＝f(x)，y＝kx－1的圖象，由圖可知當(dāng)k＝0時(shí)，兩圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由x2＋3x＝kx－1，Δ＝0?k＝1或k＝5，當(dāng)k＝5時(shí)顯然不符合題意；當(dāng)k＝1時(shí)，此時(shí)y＝x－1過y＝h(x)＝ln x 上的點(diǎn)(1,0)，h′(x)＝，所以h′(1)＝1，即y＝x－1與y＝ln x相切，可得k＝1時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)0<k<1時(shí)，y＝f(x)，y＝kx－1的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，即g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，所以若g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,1)． 

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