【最新版】高中數(shù)學(xué)高三培優(yōu)小題練第64練　空間向量的概念與運(yùn)算-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第64練　空間向量的概念與運(yùn)算考點(diǎn)一　空間向量的線性運(yùn)算1．若三點(diǎn)A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一條直線上，則(　　)A．a＝3，b＝2 B．a＝6，b＝－1C．a＝3，b＝－3 D．a＝－2，b＝1答案　A解析　∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴，為共線向量，又＝，＝，∴＝＝，解得a＝3，b＝2.2．如圖，已知三棱錐O－ABC，點(diǎn)M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段MN上一點(diǎn)，且MG＝2GN，若記＝a，＝b，＝c，則等于(　　)A.a＋b＋c B.a＋b＋cC.a＋b＋c D.a＋b＋c答案　C解析　∵＝(＋)，＝，∴＝－＝(＋－)，∴＝＋＝＋×(＋－)＝＋＋＝a＋b＋c.3．(2022·天津模擬)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，若＝x＋y＋z，則(x，y，z)等于(　　)A．(1,1,1) B．(1,1，－1)C．(1，－1,1) D．(－1,1,1)答案　D解析　＝＋，又∵＝，＝＝－，∴＝＋－＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝1. 考點(diǎn)二　空間向量基本定理的應(yīng)用4．(2022·泰安模擬)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由＝3－＋λ確定的點(diǎn)M與A，B，C共面，則λ的值為(　　)A．－2 B．－1 C．1 D．2答案　B解析　由點(diǎn)M與A，B，C共面，且＝3－＋λ，可得3－1＋λ＝1，解得λ＝－1.5．一個(gè)向量p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)，則p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(　　)A. B.C. D.答案　B解析　因?yàn)橄蛄?/span>p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(1,2,3)，所以p＝a＋2b＋3c，設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，所以p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，有?故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為.6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4,2)，c＝(－3,5，λ)，若a，b，c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________.答案?。?/span>1解析　由題意可知，存在實(shí)數(shù)m，n滿足c＝ma＋nb，據(jù)此可得方程組解得考點(diǎn)三　空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用7．已知a，b是異面直線，且a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，則實(shí)數(shù)k的值為(　　)A．－6 B．6C．3 D．－3答案　B解析　由m⊥n，得m·n＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.8．已知四邊形ABCD為正方形，GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，FB，BE，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接CH，有下述四個(gè)結(jié)論：①DE⊥BF；②EF與CH所成角為60°；③EC⊥平面DBF；④BF與平面ACFE所成角為45°.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(　　)A．①② B．①②③C．①③④ D．①②③④答案　B解析　由題意得，所得幾何體可以看成一個(gè)正方體，以DA，DC，DG所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝DC＝DG＝2, 則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，G(0,0,2)，E(2,0,2)，F(0,2,2)，B(2,2,0)，H(1,2,1)，①＝(2,0,2)，＝(－2,0,2)，∴·＝－4＋0＋4＝0，∴⊥，∴DE⊥BF，①正確．②＝(－2,2,0)，＝(1,0,1)，設(shè)與所成的角為θ，∴cos θ＝＝，θ∈[0，π]，∴θ＝60°，②正確．③∵＝(－2,2，－2)，＝(2,2,0)，＝(0,2,2)，設(shè)n＝(x，y，z)是平面DBF的一個(gè)法向量，∴∴?取x＝1，∴n＝(1，－1,1)，∵＝－2n，∥n，∴EC⊥平面DBF，③正確．④∵＝(－2,0,2)，易得m＝(1,1,0)是平面ACFE的一個(gè)法向量，設(shè)BF與平面ACFE所成的角為α，∴α∈，∴sin α＝＝＝，∴α＝30°，④不正確，綜上①②③正確．9．已知a＝(5,3,1)，b＝.若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____________．答案　∪解析　因?yàn)?/span>a＝(5,3,1)，b＝，所以a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因?yàn)?/span>a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0且〈a，b〉≠180°，由a·b<0，得3t－<0，所以t<.若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb，即(5,3,1)＝λ，所以解得t＝－.即t<，且t≠－，所以t∈∪.10．設(shè)向量a與b互相垂直，向量c與它們構(gòu)成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________，(2a＋b－3c)2＝________.答案　－62　373解析　(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2a2＋9c·b－6a·c＝3|a||b|cos 90°－2|a|2＋9|c||b|cos 60°－6|a||c|cos 60°＝0－2×52＋9×8×3×－6×5×8×＝－62；(2a＋b－3c)2＝4a2＋b2＋9c2＋4a·b－12a·c－6b·c＝4|a|2＋|b|2＋9|c|2＋4|a||b|cos 90°－12|a||c|cos 60°－6|b||c|cos 60°＝4×52＋32＋9×82＋4×5×3×0－12×5×8×－6×3×8×＝373.11．關(guān)于空間向量，以下說法不正確的是(　　)A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有＝＋＋，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底D．若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角答案　D解析　對(duì)于A，根據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面，所以A正確；對(duì)于B，若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有＝＋＋，因?yàn)?/span>＋＋＝1，可得P，A，B，C四點(diǎn)一定共面，所以B正確；對(duì)于C，由于{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則向量a，b，c不共面，可得向量a，b，c＋a不共面，所以{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底，所以C正確；對(duì)于D，若a·b<0，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉∈，所以D不正確．12．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點(diǎn)，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)＝a，＝b，＝c.若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，則下列說法中不正確的是(　　)A.＝a＋b＋cB．||＝C．直線AB1和直線BC1相互垂直D．直線AB1和直線BC1所成角的余弦值為答案　C解析　對(duì)于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋(－)＝＋＋，又因?yàn)?/span>＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b＋c，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>AB＝AC＝AA1＝1，所以|a|＝|b|＝|c|＝1，因?yàn)?/span>∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因?yàn)?/span>∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝1×1×＝，所以||2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(1＋1＋1＋0＋1＋1)＝，所以||＝，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，＝a＋c，＝c＋b－a，·＝(a＋c)(c＋b－a)＝a·c＋a·b－a2＋c2＋b·c－a·c＝＋0－1＋1＋－＝≠0，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D，||＝＝＝＝，||＝＝＝＝，cos〈，〉＝＝＝＝，故選項(xiàng)D正確．13.如圖，在三棱錐D－ABC中，已知AB＝2，·＝－3，設(shè)AD＝a，BC＝b，CD＝c，則的最小值為________．答案　2解析　設(shè)＝a，＝b，＝c，∵AB＝2，∴(a＋b＋c)2＝4?a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝4，又∵·＝－3，∴(a＋c)·(－b－c)＝－3?a·b＋b·c＋c·a＋c2＝3，∴a2＋b2＋c2＋2(3－c2)＝4?c2＝a2＋b2＋2，∴＝≥＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是2.14．(2022·廣州市協(xié)和中學(xué)模擬)在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，四邊形框架ABCD為正方形，四邊形ABEF為矩形，且BE＝3AB＝3，且它們所在的平面互相垂直，N為對(duì)角線BF上的一個(gè)定點(diǎn)，且2FN＝BN，活動(dòng)彈子M在正方形對(duì)角線AC上移動(dòng)，當(dāng)·取最小值時(shí)，的值為________．答案　解析　因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形，則AB⊥BC，而平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，于是得BC⊥平面ABEF，又四邊形ABEF為矩形，即BE⊥AB，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA，BE，BC分別為x，y，z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則B(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,0,1)，E(0,3,0)，F(1,3,0)，因?yàn)辄c(diǎn)N在BF上，且2FN＝BN，則N，又M在線段AC上移動(dòng)，則有＝t＝(t,0，－t)，t∈[0,1]，于是得點(diǎn)M(t,0,1－t)，＝(－t,3，t－1)，＝，·＝t＋6＋(t－1)2＝2t2－t＋7＝22＋，因此，當(dāng)t＝時(shí)，·取最小值，此時(shí)，＝，所以＝.

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