【最新版】高中數(shù)學(xué)高三培優(yōu)小題練第38練　平面向量的概念及線性運(yùn)算-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)一平面向量的概念
1．有下列命題：①兩個(gè)相等向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；②若|a|＝|b|，則a＝b；③若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是平行四邊形；④若m＝n，n＝k，則m＝k；⑤若a∥b，b∥c，則a∥c；⑥有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中，假命題的個(gè)數(shù)是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析對(duì)于①，兩個(gè)相等向量，它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；
對(duì)于②，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(＝))b))，方向不確定，則a，b不一定相等，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))不一定相等，
∴四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若m＝n，n＝k，則m＝k，④正確；
對(duì)于⑤，若a∥b，b∥c，當(dāng)b＝0時(shí)，a∥c不一定成立，⑤錯(cuò)誤；
對(duì)于⑥，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑥錯(cuò)誤．綜上，②③⑤⑥是假命題，共4個(gè)．
2．設(shè)a，b是非零向量，則“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析依題意知a，b是非零向量，
eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))表示與a同向的單位向量，eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))表示與b同向的單位向量，
當(dāng)a＝2b時(shí)，a，b的方向相同，所以eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))；
當(dāng)eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))時(shí)，a，b的方向相同，但不一定有a＝2b，如a＝3b也符合，
所以“a＝2b”是“eq \f(a,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))＝eq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)))” 成立的充分不必要條件．
3．(2022·大連模擬)已知平面上的非零向量a，b，c，有下列說(shuō)法：
①若a∥b，b∥c，則a∥c；
②若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，則a＝±2b；
③若xa＋yb＝2a＋3b，則x＝2，y＝3；
④若a∥b，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.
其中正確的是( )
A．①②③ B．②④
C．①④ D．①③④
答案 C
解析對(duì)于①，由向量共線定理可知，a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ1，使得a＝λ1b，b∥c，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ2，使得b＝λ2c，由此得出存在唯一的實(shí)數(shù)λ1·λ2，使得a＝λ1·λ2c，即a∥c，則①正確；
對(duì)于②，模長(zhǎng)關(guān)系只能說(shuō)明向量a，b的長(zhǎng)度關(guān)系，與方向無(wú)關(guān)，則②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)a＝b時(shí)，由題意可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))a＝5a，則x＋y＝5，不能說(shuō)明x＝2，y＝3，則③錯(cuò)誤；
由向量共線定理可知，④正確．
考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算
4．在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，則eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(FD,\s\up6(→)) B.eq \(FC,\s\up6(→)) C.eq \(FE,\s\up6(→)) D.eq \(BE,\s\up6(→))
答案 D
解析
如圖所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點(diǎn)，
可得eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→))，則eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(BE,\s\up6(→)).
5．在△ABC中，點(diǎn)G滿足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，若存在點(diǎn)O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，則x＋y等于( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
答案 A
解析 ∵eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,5)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,5)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
可得eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(2,5)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(8,5)eq \(OB,\s\up6(→))，
∵eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，
∴x＝－eq \f(8,5)，y＝－eq \f(2,5)，則x＋y＝－2.
6．如圖所示，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則eq \(DF,\s\up6(→))等于( )
A．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
答案 D
解析利用向量的三角形法則，可得eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))，
∵E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).
考點(diǎn)三共線定理的應(yīng)用
7．非零向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k的值是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．2
答案 C
解析 ∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，向量e1，e2為非零向量且不共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ，使得ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
∴k＝λ，1＝kλ，
解得 k＝±1.
8．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))，則四邊形ABCD一定是( )
A．矩形 B．梯形
C．平行四邊形 D．菱形
答案 B
解析 ∵2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OD,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))，
∴2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→)))＝3(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴2eq \(DA,\s\up6(→))＝3eq \(CB,\s\up6(→))，
∴ 四邊形ABCD一定是梯形．
9．(2022·廈門模擬)若O是平面上的定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，且滿足eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))(λ∈R)，則P點(diǎn)的軌跡一定過(guò)△ABC的( )
A．外心 B．內(nèi)心
C．重心 D．垂心
答案 C
解析因?yàn)閑q \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))(λ∈R)，
所以eq \(CP,\s\up6(→))＝λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))，
所以eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))在△ABC的邊AB的中線所在直線上，
則λ(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))在△ABC的中線所在直線上，
所以P點(diǎn)的軌跡一定過(guò)△ABC的重心．
10．在△ABC中，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，若P是直線BN上的一點(diǎn)，且滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案 B
解析因?yàn)閑q \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(NC,\s\up6(→))，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝5eq \(AN,\s\up6(→))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5\(AN,\s\up6(→))))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AN,\s\up6(→)).
因?yàn)辄c(diǎn)B，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋2＝1，解得m＝－1.
11．設(shè)a，b是非零向量，則“存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，
說(shuō)明向量a，b共線，當(dāng)a，b同向時(shí)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立，
當(dāng)a，b反向時(shí)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))不成立，所以充分性不成立．
當(dāng)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))成立時(shí)，a，b同向，存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb成立，必要性成立，
即“存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb”是“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋b))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))”的必要不充分條件．
12．如圖，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2DC，點(diǎn)P在線段BC上，且BP＝2PC，則( )
A.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
B.eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
D.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))
答案 C
解析因?yàn)閑q \(BC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)).
13．已知△ABC的面積為1，點(diǎn)P滿足3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝4eq \(AP,\s\up6(→))，則△PBC的面積等于______．
答案 eq \f(1,2)
解析
如圖，取BC的中點(diǎn)D，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))．
∵4eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))，即A，P，D共線，
∴S△PBC＝eq \f(1,2)S△ABC＝eq \f(1,2).
14．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB上的點(diǎn)，且CD＝eq \f(3,5)BC，EC＝eq \f(1,2)AC，AF＝eq \f(1,3)AB.設(shè)P為四邊形AEDF內(nèi)一點(diǎn)(P點(diǎn)不在邊界上)，若eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_______．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
解析取BD的中點(diǎn)M，過(guò)M作MH∥DE分別交DF，AC于G，H，如圖．
則由eq \(DP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DM,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))可知，P點(diǎn)在線段GH上運(yùn)動(dòng)(不包括端點(diǎn))．
當(dāng)P與G重合時(shí)，根據(jù)eq \(DP,\s\up6(→))＝teq \(DF,\s\up6(→))＝t(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(DC,\s\up6(→))＋\f(2,3)·2\(CE,\s\up6(→))＋\f(1,3)·\f(5,3)\(CD,\s\up6(→))))
＝teq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)?\(CD,\s\up6(→))＋\(DE,\s\up6(→))?))
＝teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)\(DC,\s\up6(→))＋\f(4,3)\(DE,\s\up6(→))))＝－eq \f(8,9)teq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(4,3)teq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))＋λeq \(DE,\s\up6(→))，可知λ＝eq \f(1,2)，當(dāng)P與H重合時(shí)，由P，C，E共線可知－eq \f(1,3)＋λ＝1，即λ＝eq \f(4,3)，結(jié)合圖形可知λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3))).

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