4.2　直線、射線、線段4.2.3　線段的基本事實及兩點間的距離【知識梳理】(1)兩點的所有連線中,　      　最短. 簡單說成:兩點之間,　        　最短. (2)連接兩點間的線段的　     　,叫做這兩點的距離;兩點間的距離是一個數(shù),它不是圖形. 【基礎(chǔ)強化】知識點1　線段的性質(zhì)1.如圖,鐵路MN兩旁各有兩個工廠A,B.要在鐵路上建一貨站P,使它到兩廠距離之和最短,則這個貨站P應(yīng)建在AB與MN的交點處,這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是(      )A.兩點之間的所有連線中,線段最短    B.射線只有一個端點C.兩直線相交只有一個交點           D.兩點確定一條直線2.如圖，從點A到點B最短的路線是(　　)A．A→G→E→B   B．A→C→E→BC．A→D→G→E→B  D．A→F→E→B3.西成高鐵是中國首條穿越秦嶺的高速鐵路,大大減少了人們從西安到四川成都的時間,實現(xiàn)了人們“早上游大雁塔,晚上逛寬窄巷”的美好愿望.建造直隧道的目的可以用數(shù)學知識解釋為　                      　. 知識點2　兩點的距離4.A,B兩點之間的距離是(      )A.連接A,B兩點的線段     B.連接A,B兩點的直線C.線段AB的長度          D.直線AB的長度5.如圖，AB＝12，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD∶CB＝1∶3，則D，B兩點間的距離為(　　)A．4 B．6 C．8 D．106.【2022南京師大附中月考】如圖,直線上的四個點A,B,C,D分別代表四個小區(qū),其中A小區(qū)和B小區(qū)相距a m(a<200),B小區(qū)和C小區(qū)相距200 m,C小區(qū)和D小區(qū)相距a m,某公司的員工在A小區(qū)有30人,B小區(qū)有5人,C小區(qū)有20人,D小區(qū)有6人,現(xiàn)公司計劃在A,B,C,D四個小區(qū)中選一個作為班車停靠點,為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最小,那么?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在(　　)A.A小區(qū)         B.B小區(qū) C.C小區(qū)       D.D小區(qū)7.已知A,B,C都是直線l上的點,且AB＝7 cm,BC＝5 cm,那么點A與點C之間的距離為　    　. 【知能提升】一、選擇題1.下列說法中正確的是(　　)A．兩點之間直線最短B．畫出A，B兩點間的距離C．連接點A與B的線段，叫AB兩點間的距離D．兩點之間的距離是一個數(shù)，不是指線段本身2.如圖所示，由M到N有①②③④共4條路線，最短的路線選①的理由是(　　)A．因為它是直線B．兩點確定一條直線C．兩點之間的距離D．兩點之間，線段最短3.下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中,不能用“兩點之間,線段最短”來解釋的現(xiàn)象有(      )①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上;②植樹時,只要栽下兩棵樹,就可以把同一行樹栽在同一條直線上;③從A到B架設(shè)電線,總是盡可能沿線段AB架設(shè);④把彎曲的公路改直,就能縮短路程.A.①② B.①③ C.②④ D.③④4.已知線段AB＝8 cm，點P到A，B兩點的距離相等，則PA＋PB的長為(　　)A．等于8 cm B．小于8 cmC．不小于8 cm D．大于8 cm二、填空題5.如圖,已知空間站A與星球B距離為a,信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛,B,C之間的距離為b.數(shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離,那么S的最大值是　　. 三、解答題6.如圖,平面上有A,B,C,D四個村莊,為解決當?shù)厝彼畣栴},政府準備修建一個蓄水池,不考慮其他因素,請你畫出蓄水池P的位置,使它與四個村莊的距離之和最小.  7.如圖，一只壁虎要從圓柱體A點沿著表面爬到B點，因為B點處有它想吃的一只蚊子，而它餓得快不行了，怎樣爬行路線最短？8.知識是用來為人類服務(wù)的,我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面.請你對下面兩個情景做出評判.情景1:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學數(shù)學知識來說明這個問題.情景2:A,B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由.你贊同以上哪種做法?你認為應(yīng)用數(shù)學知識為人類服務(wù)時應(yīng)注意什么?   9.【2022北京西城區(qū)期中】如圖,已知數(shù)軸上三點M,O,N對應(yīng)的數(shù)分別為-1,0,3,點P為數(shù)軸上任意一點,其對應(yīng)的數(shù)為x.(1)MN的長為　　　　. (2)當點P到點M、點N的距離相等時,求x的值.(3)數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點M、點N的距離之和是8?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.(4)如果點P以每秒1個單位長度的速度從點O沿數(shù)軸向左運動,同時點A和點B分別從點M和點N出發(fā)以每秒2個單位長度和每秒3個單位長度的速度也沿數(shù)軸向左運動.當點P到點A、點B的距離相等時,直接寫出t的值.
參考答案【知識梳理】(1)兩點的所有連線中,　   線段     　最短. 簡單說成:兩點之間,　   線段     　最短. (2)連接兩點間的線段的　  長度   　,叫做這兩點的距離;兩點間的距離是一個數(shù),它不是圖形. 【基礎(chǔ)強化】知識點1　線段的性質(zhì)1.如圖,鐵路MN兩旁各有兩個工廠A,B.要在鐵路上建一貨站P,使它到兩廠距離之和最短,則這個貨站P應(yīng)建在AB與MN的交點處,這種做法用幾何知識解釋應(yīng)是(   A   )A.兩點之間的所有連線中,線段最短    B.射線只有一個端點C.兩直線相交只有一個交點           D.兩點確定一條直線2.如圖，從點A到點B最短的路線是(　D　)A．A→G→E→B   B．A→C→E→BC．A→D→G→E→B  D．A→F→E→B3.西成高鐵是中國首條穿越秦嶺的高速鐵路,大大減少了人們從西安到四川成都的時間,實現(xiàn)了人們“早上游大雁塔,晚上逛寬窄巷”的美好愿望.建造直隧道的目的可以用數(shù)學知識解釋為　兩點之間的所有連線中,線段最短　. 知識點2　兩點的距離4.A,B兩點之間的距離是(   C   )A.連接A,B兩點的線段     B.連接A,B兩點的直線C.線段AB的長度          D.直線AB的長度5.如圖，AB＝12，C為AB的中點，點D在線段AC上，且AD∶CB＝1∶3，則D，B兩點間的距離為(　D　)A．4 B．6 C．8 D．106.【2022南京師大附中月考】如圖,直線上的四個點A,B,C,D分別代表四個小區(qū),其中A小區(qū)和B小區(qū)相距a m(a<200),B小區(qū)和C小區(qū)相距200 m,C小區(qū)和D小區(qū)相距a m,某公司的員工在A小區(qū)有30人,B小區(qū)有5人,C小區(qū)有20人,D小區(qū)有6人,現(xiàn)公司計劃在A,B,C,D四個小區(qū)中選一個作為班車?？奎c,為使所有員工步行到?？奎c的路程總和最小,那么?？奎c的位置應(yīng)設(shè)在(　B　)A.A小區(qū)         B.B小區(qū) C.C小區(qū)       D.D小區(qū)【解析】當?？奎c在A小區(qū)時,所有員工步行到?？奎c路程和是5a+20×(200+a)+6(2a+200)=(37a+5 200)(m).當停靠點在B小區(qū)時,所有員工步行到?？奎c路程和是30a+20×200+6(a+200)=(36a+5 200)(m).當停靠點在C小區(qū)時,所有員工步行到?？奎c路程和是30(a+200)+5×200+6a=(36a+7 000)(m).當停靠點在D小區(qū)時,所有員工步行到?？奎c路程和是30×(2a+200)+5(a+200)+20a=(85a+7 000)(m).因為36a+5 200<37a+5 200<36a+7 000<85a+7 000,所以當?？奎c在B小區(qū)時,所有員工步行到停靠點路程和最小,所以?？奎c的位置應(yīng)該在B小區(qū).7.已知A,B,C都是直線l上的點,且AB＝7 cm,BC＝5 cm,那么點A與點C之間的距離為　12 cm或2 cm　. 【知能提升】一、選擇題1.下列說法中正確的是(　D　)A．兩點之間直線最短B．畫出A，B兩點間的距離C．連接點A與B的線段，叫AB兩點間的距離D．兩點之間的距離是一個數(shù)，不是指線段本身2.如圖所示，由M到N有①②③④共4條路線，最短的路線選①的理由是(　D　)A．因為它是直線B．兩點確定一條直線C．兩點之間的距離D．兩點之間，線段最短3.下列生活、生產(chǎn)現(xiàn)象中,不能用“兩點之間,線段最短”來解釋的現(xiàn)象有(   A   )①用兩顆釘子就可以把木條固定在墻上;②植樹時,只要栽下兩棵樹,就可以把同一行樹栽在同一條直線上;③從A到B架設(shè)電線,總是盡可能沿線段AB架設(shè);④把彎曲的公路改直,就能縮短路程.A.①② B.①③ C.②④ D.③④4.已知線段AB＝8 cm，點P到A，B兩點的距離相等，則PA＋PB的長為(　C　)A．等于8 cm B．小于8 cmC．不小于8 cm D．大于8 cm二、填空題5.如圖,已知空間站A與星球B距離為a,信號飛船C在星球B附近沿圓形軌道行駛,B,C之間的距離為b.數(shù)據(jù)S表示飛船C與空間站A的實時距離,那么S的最大值是　a＋b　. 三、解答題6.如圖,平面上有A,B,C,D四個村莊,為解決當?shù)厝彼畣栴},政府準備修建一個蓄水池,不考慮其他因素,請你畫出蓄水池P的位置,使它與四個村莊的距離之和最小.解:連接AC,BD,交點P即為所求位置.7.如圖，一只壁虎要從圓柱體A點沿著表面爬到B點，因為B點處有它想吃的一只蚊子，而它餓得快不行了，怎樣爬行路線最短？解：將圓柱體的側(cè)面展開，如答圖所示，連接AB，則線段AB是壁虎爬行的最短路線．8.知識是用來為人類服務(wù)的,我們應(yīng)該把它們用于有意義的方面.請你對下面兩個情景做出評判.情景1:從教室到圖書館,總有少數(shù)同學不走人行道而橫穿草坪,這是為什么呢?試用所學數(shù)學知識來說明這個問題.情景2:A,B是河流l兩旁的兩個村莊,現(xiàn)要在河邊修一個抽水站向兩村供水,問抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?請在圖中表示出抽水站點P的位置,并說明你的理由.你贊同以上哪種做法?你認為應(yīng)用數(shù)學知識為人類服務(wù)時應(yīng)注意什么?解:情景1:因為兩點之間的所有連線中,線段最短.情景2:連接AB,交直線l于點P,點P即為抽水站的位置.圖略.理由:兩點之間的所有連線中,線段最短.贊同情景2中的做法.應(yīng)用數(shù)學知識為人類服務(wù)時應(yīng)注意不能以破壞環(huán)境為代價.9.【2022北京西城區(qū)期中】如圖,已知數(shù)軸上三點M,O,N對應(yīng)的數(shù)分別為-1,0,3,點P為數(shù)軸上任意一點,其對應(yīng)的數(shù)為x.(1)MN的長為　　　　. (2)當點P到點M、點N的距離相等時,求x的值.(3)數(shù)軸上是否存在點P,使點P到點M、點N的距離之和是8?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.(4)如果點P以每秒1個單位長度的速度從點O沿數(shù)軸向左運動,同時點A和點B分別從點M和點N出發(fā)以每秒2個單位長度和每秒3個單位長度的速度也沿數(shù)軸向左運動.當點P到點A、點B的距離相等時,直接寫出t的值.解:(1)4MN的長為3-(-1)=4.(2)根據(jù)題意,得x-(-1)=3-x,解得x=1.(3)①當點P在點M的左側(cè)時.根據(jù)題意,得-1-x+3-x=8,解得x=-3.②當點P在點M和點N之間時,則x-(-1)+3-x=8,方程無解,即點P不可能在點M和點N之間.③當點P在點N的右側(cè)時,根據(jù)題意,得x-(-1)+x-3=8,解得x=5.所以x的值是-3或5.(4)t的值為或4.設(shè)運動t秒時,點P到點A,點B的距離相等,即PA=PB.根據(jù)題意,得點P對應(yīng)的數(shù)是-t,點A對應(yīng)的數(shù)是-1-2t,點B對應(yīng)的數(shù)是3-3t.①當點A和點B在點P同側(cè)時,點A和點B重合,所以-1-2t=3-3t,解得t=4,符合題意.②當點A和點B在點P異側(cè)時,點A位于點P的左側(cè),點B位于點P的右側(cè)(因為三個點都向左運動,出發(fā)時點A在點P左側(cè),且點A運動的速度大于點P的速度,所以點A永遠位于點P的左側(cè)),則PA=-t-(-1-2t)=t+1,PB=(3-3t)-(-t)=3-2t.所以t+1=3-2t,解得t=,符合題意.綜上所述,t的值為或4.   

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4.2 直線、射線、線段

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