2.6應用一元二次方程第1課時幾何問題及數(shù)字問題與一元二次方程教學目標1．掌握列一元二次方程解決幾何問題、數(shù)學問題，并能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果的合理性；(重點、難點)2．理解將一些實際問題抽象為方程模型的過程，形成良好的思維習慣，學會從數(shù)學的角度提出問題、分析問題，并能運用所學的知識解決問題．課前準備課件等.教學過程一、情景導入要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應如何設(shè)計四周邊襯的寬度(精確到0.1cm)?  二、合作探究探究點一：利用一元二次方程解決幾何問題【類型一】面積問題要對一塊長60米，寬40米的矩形荒地ABCD進行綠化和硬化．設(shè)計方案如圖所示，矩形P，Q為兩塊綠地，其余為硬化路面，P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面寬都相等，并使兩塊綠地面積的和為矩形ABCD面積的，求P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬．解：設(shè)P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為x米．根據(jù)題意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30.檢驗：如果硬化路面寬為30米，則2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合題意，舍去，故x＝10.故P，Q兩塊綠地周圍的硬化路面的寬為10米．易錯提醒：在應用題中，未知數(shù)的允許值往往有一定的限制，因此除了檢驗未知數(shù)的值是否滿足所列方程外，還必須檢驗它在實際問題中是否有意義．在求出方程的解為10或30時，如果不進行驗根，就會誤以為本題有兩個答案，而題目中明確有“荒地ABCD是一塊長60米，寬40米的矩形”這個已知條件，顯然x＝30不符合題意．【類型二】動點問題如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB＝16cm，AD＝6cm，P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向點B運動，一直到達B為止，點Q以2cm/s的速度向D移動，點P停止運動時點Q也停止運動．(1)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33cm2?(2)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離第一次是10cm?解：(1)設(shè)P，Q兩點從出發(fā)開始xs時，四邊形PBCQ的面積為33cm2，根據(jù)題意得PB＝AB－AP＝(16－3x)cm，CQ＝2xcm.故(2x＋16－3x)×6＝33，解得x＝5.故P，Q兩點從出發(fā)開始5s時，四邊形PBCQ的面積為33cm2；(2)設(shè)P，Q兩點從出發(fā)開始xs時，點P和點Q的距離是10cm.如圖，過Q點作QM⊥AB于點M，則BM＝CQ＝2xcm，故PM＝(16－5x)cm.在Rt△PMQ中，PM2＋MQ2＝PQ2，∴(16－5x)2＋62＝102.解得x1＝，x2＝.∵所求的是第一次滿足條件的時間，∴x＝.故P，Q兩點從出發(fā)開始s時，點P和點Q的距離第一次是10cm.方法總結(jié)：解決動態(tài)幾何問題的關(guān)鍵是尋找點運動的過程中變化的量與不變的量，尋找等量關(guān)系列方程．對于動點問題，常先假設(shè)出點的位置，根據(jù)面積或其他關(guān)系列出方程，如果方程的根符合題目的要求，就說明假設(shè)成立，否則，假設(shè)不成立．探究點二：利用一元二次方程解決數(shù)字問題有一個兩位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字的和為14，交換位置后，得到新的兩位數(shù)，比這兩個數(shù)字的積還大38，求這個兩位數(shù)．解析：這是一個數(shù)字排列的問題，題中有兩個等量關(guān)系，由前一個等量關(guān)系知，個位數(shù)字與十位數(shù)字均可用同一個未知數(shù)表示，這樣交換位置后的新兩位數(shù)也可以用上述未知數(shù)表示出來，然后根據(jù)后一個等量關(guān)系可列方程求解．解：設(shè)個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為14－x，兩數(shù)字之積為x(14－x)，兩個數(shù)字交換位置后的新兩位數(shù)為10x＋(14－x)．根據(jù)題意，得10x＋(14－x)－x(14－x)＝38.整理，得x2－5x－24＝0，解得x1＝8，x2＝－3.因為個位數(shù)上的數(shù)字不可能是負數(shù)，所以x＝－3應舍去．當x＝8時，14－x＝6.所以這個兩位數(shù)是68.方法總結(jié)：(1)數(shù)字排列問題常采用間接設(shè)未知數(shù)的方法求解．(2)注意數(shù)字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個，且最高位上的數(shù)字不能為0，而其他如分數(shù)、負數(shù)根不符合實際意義，必須舍去．三、板書設(shè)計幾何問題及數(shù)字問題四、教學反思經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型解決問題的過程，認識方程模型的重要性.通過列方程解應用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.經(jīng)歷探索過程，培養(yǎng)合作學習的意識.體會數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，進一步感知方程的應用價值. 

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6 應用一元二次方程

版本： 北師大版

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