二次函數(shù)的定義：　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù)，a≠0) 的函數(shù)叫做二次函數(shù)
想一想:函數(shù)的自變量x是否可以取任何值呢?
注意:當(dāng)二次函數(shù)表示某個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí),還必須根據(jù)題意確定自變量的取值范圍.
函數(shù)y＝ax2＋bx＋c其中a、b、c是常數(shù)切記：a≠0右邊一個(gè)x的二次多項(xiàng)式（不能是分式或根式）二次函數(shù)的特殊形式：當(dāng)b＝0時(shí)， y＝ax2＋c當(dāng)c＝0時(shí)， y＝ax2＋bx當(dāng)b＝0，c＝0時(shí)， y＝ax2
下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x)
（一）形如y = ax 2　(a≠0) 的二次函數(shù)
（二）形如y = ax 2+k　(a≠0) 的二次函數(shù)
（三）、形如y = a (x - h) 2 ( a≠0 ) 的二次函數(shù)
鞏固練習(xí)1：（1）拋物線y = x 2的開(kāi)口向 ,對(duì)稱軸是 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,圖象過(guò)第 象限 ；
（2)已知y = - nx 2 (n＞0) , 則圖象 ( )（填“可能”或“不可能”）過(guò)點(diǎn)A（-2，3）。
（2）已知（如圖）拋物線y = ax 2+k的圖象，則a 0，k 0；若圖象過(guò)A (0,-2) 和B (2,0) ，則a = ,k = ；函數(shù)關(guān)系式是y = 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函數(shù)
練習(xí)鞏固2:（1）拋物線 y = 2 (x –３ ) 2+1 的開(kāi)口向 , 對(duì)稱軸 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 （2）若拋物線y = a (x+m) 2+n開(kāi)口向下，頂點(diǎn)在第四象限，則a 0, m 0, n 0。
觀察y=x2與y=x2-6x+7的函數(shù)圖象，說(shuō)說(shuō)y=x2-6x+7的圖象是怎樣由y=x2的圖象平移得到的？
平移規(guī)律：h決定左右左正右負(fù)K決定上下上正下負(fù)
1.由y=2x2的圖象向左平移兩個(gè)單位,再向下平 移三個(gè)單位,得到的圖象的函數(shù)解析式為 ________________________
2.由函數(shù)y= -3(x-1)2+2的圖象向右平移4個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,得到的圖象的函數(shù)解析式為_(kāi)____________________________
y=2(x+2)2-3
y= - 3(x-1-4)2+2+3
=-3x2+30x-70
3.拋物線y=ax2向左平移一個(gè)單位,再向下平移8個(gè)單位且y=ax2過(guò)點(diǎn)(1,2).則平移后的解析式為_(kāi)_____________;
y=2(x+1)2-8
4.將拋物線y=x2-6x+4如何移動(dòng)才能得到y(tǒng)=x2.
逆向思考,由y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知:先向左平移3個(gè)單位,再向上平移5個(gè)單位.
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a0； ⑤當(dāng)0＜x1＜x2＜2時(shí)，y1 > y2 你認(rèn)為其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A．2 B．3 C．4 D．5
練一練：已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示, a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0
二次函數(shù)與一元二次方程
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點(diǎn)有三種情況:有兩個(gè)交點(diǎn),有一個(gè)交點(diǎn),沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸有交點(diǎn)時(shí),交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)y=0時(shí)自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
選擇拋物線y=x2-4x+3的對(duì)稱軸是_____________. A 直線x=1 B直線x= -1 C 直線x=2 D直線x= -2(2)拋物線y=3x2-1的________________ A 開(kāi)口向上,有最高點(diǎn) B 開(kāi)口向上,有最低點(diǎn) C 開(kāi)口向下,有最高點(diǎn) D 開(kāi)口向下,有最低點(diǎn)(3)若y=ax2+bx+c(a ? 0)與軸交于點(diǎn)A(2,0), B(4,0), 則對(duì)稱軸是_______ A 直線x=2 B直線x=4 C 直線x=3 D直線x= -3(4)若y=ax2+bx+c(a ? 0)與軸交于點(diǎn)A(2,m), B(4,m), 則對(duì)稱軸是_______ A 直線x=3 B 直線x=4 C 直線x= -3 D直線x=2
2、已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h, k），通常設(shè)拋物線解析式為_(kāi)______________
3、已知拋物線與x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)(x1,0)、 (x2,0),通常設(shè)解析式為_(kāi)____________
1、已知拋物線上的三點(diǎn)，通常設(shè)解析式為_(kāi)_______________
y=ax2+bx+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
求拋物線解析式的三種方法
練習(xí)　根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。
(1)、圖象經(jīng)過(guò)(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三點(diǎn)；
(2)、圖象的頂點(diǎn)(2，3)， 且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，1) ；
(3)、圖象經(jīng)過(guò)(-2，0)， (3，0) ，且最高點(diǎn) 的縱坐標(biāo)是3 。
例1、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點(diǎn)在直線y=x+1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函數(shù)的最大值是2∴拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2又∵拋物線的頂點(diǎn)在直線y=x+1上∴當(dāng)y=2時(shí)，x=1 ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 2）∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-6）∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2∴二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x
綜合創(chuàng)新:1.已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的 形狀相同,頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離 為5,請(qǐng)寫出滿足此條件的拋物線的解析式.
解:?拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀 相同? a=1或-1 又?頂點(diǎn)在直線x=1上,且頂點(diǎn)到x軸的距離為5, ? 頂點(diǎn)為(1,5)或(1,-5) 所以其解析式為: (1) y=(x-1)2+5 (2) y=(x-1)2-5 (3) y=-(x-1)2+5 (4) y=-(x-1)2-5
2.若a+b+c=0,a?0,把拋物線y=ax2+bx+c向下平移4個(gè)單位,再向左平移5個(gè)單位所到的新拋物線的頂點(diǎn)是(-2,0),求原拋物線的解析式.
(1)由a+b+c=0可知,原拋物線的圖象經(jīng)過(guò)(1,0)
(2) 新拋物線向右平移5個(gè)單位, 再向上平移4個(gè)單位即得原拋物線
答案:y=-x2+6x-5
練習(xí)1、已知拋物線y=ax2+bx-1的對(duì)稱軸是x=1 ， 最高點(diǎn)在直線y=2x+4上。 (1) 求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).（2）求拋物線解析式.
（3）求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
解：∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸是x=1 ∴圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1又∵圖象的最高點(diǎn)在直線y=2x+4上∴當(dāng)x=1時(shí)，y=6∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1 ， 6）
例2、已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸正、負(fù)半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求拋物線解析式。
解： ∵點(diǎn)A在正半軸，點(diǎn)B在負(fù)半軸OA=4，∴點(diǎn)A（4，0）OB=1， ∴點(diǎn)B（-1，0）∵ ∠ACB=90°ＯＣ⊥ ＡＢ∴ ∠ CAO=∠BCO ∠CAO+∠OCA=90,∠OCA+∠BCO=90∴∠BOC=∠COA,∴△ＢＯＣ∽△COＡ∴ＯＢ／ＯＣ＝ＯＣ／ＯＡ∴OC=2，點(diǎn)C（0，-2）由題意可設(shè)y＝a（x＋１）（x－４）得：a（０＋１）（０－４）＝－２∴a＝０.５ 　∴ y＝０.５（x＋１）（x－４）
練習(xí)、已知二次函數(shù)y=ax2-5x+c的圖象如圖。
(1)、當(dāng)x為何值時(shí)，y隨x的增大而增大;
(2)、當(dāng)x為何值時(shí)，y

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