第15講拋物線-暑假高一升高二數(shù)學(xué)銜接知識(shí)自學(xué)講義（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第15講拋物線
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的定義
定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．
知識(shí)點(diǎn)詮釋:
（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值
（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上，若F在上，拋物線變?yōu)檫^F且垂直與的一條直線.
（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過這種轉(zhuǎn)化使問題簡(jiǎn)單化.
知識(shí)點(diǎn)二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：
根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式
，，，。
知識(shí)點(diǎn)詮釋：
①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開口向負(fù)方向（向下）
③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍.
④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)。用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.
⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來，不要遺漏某一種情況。
知識(shí)點(diǎn)三：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)
范圍：，，
拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。拋物線是無界曲線。
對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱
拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸。拋物線只有一條對(duì)稱軸。
頂點(diǎn)：坐標(biāo)原點(diǎn)
拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0）。
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對(duì)比
圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程
y2=2px（p＞0）
y2=－2px（p＞0）
x2=2py（p＞0）
x2=－2py（p＞0）
頂點(diǎn)
O（0，0）
范圍
x≥0，
x≤0，
y≥0，
y≤0，
對(duì)稱軸
x軸
y軸
焦點(diǎn)

離心率
e=1
準(zhǔn)線方程

焦半徑

知識(shí)點(diǎn)詮釋：
（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸，一條準(zhǔn)線；
（2）標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時(shí)常常用到，特別是具體的標(biāo)準(zhǔn)方程中應(yīng)找到相當(dāng)于p的值，才易于確定焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
【題型歸納目錄】
題型一：拋物線的定義
題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型三：拋物線的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
題型六：拋物線中的范圍與最值問題
題型七：焦半徑問題
【典型例題】
題型一：拋物線的定義
例1．（滬教版（2020）選修第一冊(cè)領(lǐng)航者第2章2.4拋物線第3課時(shí)拋物線的性質(zhì)（2））若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（???????）
A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.
【詳解】
由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，
即，
即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，
又由點(diǎn)不在直線上，
根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.
故選：D.
例2．（江蘇省揚(yáng)州市儀征中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）對(duì)拋物線，下列描述正確的是（???????）
A．開口向上，焦點(diǎn)為 B．開口向上，焦點(diǎn)為
C．開口向右，焦點(diǎn)為 D．開口向右，焦點(diǎn)為
【答案】A
【解析】
將拋物線方程改寫為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，則可根據(jù)該方程判斷開口方向，以及焦點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
由題知，該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則該拋物線開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：A.
例3．（吉林省四平市第一高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知，則方程與在同一坐標(biāo)系內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形編號(hào)可能是（???????）

A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】B
【解析】
【分析】
結(jié)合橢圓、雙曲線、拋物線的圖像，分別對(duì)①②③④分析m、n的正負(fù)，即可得到答案.
【詳解】
對(duì)于①：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號(hào)，矛盾.故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：由雙曲線的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：異號(hào)，符合要求.故②成立；
對(duì)于③：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號(hào)，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，符合要求.故③成立；
對(duì)于④：由橢圓的圖像可知：；由拋物線的圖像可知：同號(hào)，且拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，矛盾.故④錯(cuò)誤；
故選：B
例4．（四川省南充市閬中市閬中中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文）試題）拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（???????）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線方程求得，由此求得正確答案.
【詳解】
拋物線方程為，
所以，
所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是.
故選：A
例5．（安徽省蚌埠市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)其準(zhǔn)線方程即可求得實(shí)數(shù).
【詳解】
拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
其準(zhǔn)線方程是，而
所以，即，
故答案為：
例6．（第二章平面解析幾何2.7拋物線及其方程2.7.2拋物線的幾何性質(zhì)）如圖，l是平面上一條直線，A在與l垂直的直線m上，且A到l的距離為2，圖中的圓是以A為圓心的一組同心圓，它們的半徑分別為1，2，3，…，除直線m外，圖中的直線都是與直線m垂直的，相鄰兩直線之間的距離為1.在圖中直線與圓的交點(diǎn)中，找出到點(diǎn)A與到直線l距離相等的點(diǎn)，并把這些點(diǎn)用光滑的曲線順次連接起來，觀察所得曲線的形狀.

【答案】圖形見解析，曲線為拋物線；
【解析】
【分析】
依題意畫出圖形，根據(jù)拋物線的定義判斷即可；
【詳解】
解：因?yàn)榻稽c(diǎn)到點(diǎn)和到直線的距離相等且點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得交點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線上；

例7．（3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，試判斷點(diǎn)M的軌跡是什么圖形．
【答案】拋物線
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義判斷．
【詳解】
動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小1，則動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為焦點(diǎn)的拋物線．
例8．（習(xí)題2-3）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖：
(1)準(zhǔn)線方程為；
(2)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；
(3)對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；
(4)對(duì)稱軸是y軸，經(jīng)過點(diǎn)．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程為，得到且焦點(diǎn)在y軸上求解；
（2）根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，得到求解；
（3）根據(jù)對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2，得到求解；
（4）根據(jù)對(duì)稱軸是y軸，設(shè)拋物線方程為，將點(diǎn)代入求解.
(1)
解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，
所以，p=3，
所以拋物線的方程是；其圖象如下：

(2)
因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6，
所以，
所以拋物線的方程是或；其圖象如下：

(3)
因?yàn)閷?duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2
所以，p=4，
所以拋物線的方程是或；其圖象如下：

(4)
因?yàn)閷?duì)稱軸是y軸，
設(shè)拋物線方程為，
因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得，
所以拋物線的方程是，其圖象如下：

例9．（3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出下列拋物線.
（1）；
（2）；
（3）．
通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關(guān)系．
【答案】答案見解析.
【解析】
【分析】
做出拋物線，根據(jù)圖象得出結(jié)論.
【詳解】
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)做出拋物線，如圖，

通過圖象可以看出來，當(dāng)x的系數(shù)為正數(shù)且越大時(shí)，拋物線的開口向右且開口越大.

題型二：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
例10．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（文））焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
分別求得直線與x軸，y軸的交點(diǎn)得到拋物線的焦點(diǎn)即可.
【詳解】
解：直線與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），
當(dāng)以（4，0）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)由（0，-3）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：B
例11．（2022·四川省資中縣球溪高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)a的值（???????）
A． B． C．8 D．-8
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)準(zhǔn)線方程列出方程，求出實(shí)數(shù)a的值.
【詳解】
由題意得：，解得：.
故選：A
例12．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第八中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為3，離心率為，則以雙曲線C的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離求得，結(jié)合離心率求得，從而求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
離心率，
，
所以雙曲線的右頂點(diǎn)為，
對(duì)于拋物線，，
所以拋物線方程為.
故選：C
例13．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的方程為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
作，，根據(jù)拋物線定義和長(zhǎng)度關(guān)系可得，由可構(gòu)造方程求得，根據(jù)比例關(guān)系可求得，即的值，由此可得結(jié)果.
【詳解】
作，，垂足分別為，設(shè)與軸交于點(diǎn)，

由拋物線定義知：，，
設(shè)，則，，，則，
，又，，，
，，即，拋物線方程為：.
故選：C.
例14．（2022·海南華僑中學(xué)高二期中）過點(diǎn)，且焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)拋物線方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出的值，即可得解；
【詳解】
解：依題意設(shè)拋物線方程為，因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，
所以，解得，所以拋物線方程為；
故選：C
例15．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得，則所求距離為.
【詳解】
在拋物線上，，解得：，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
故選：B.
例16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）焦點(diǎn)在x－y－1＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
先根據(jù)拋物線是標(biāo)準(zhǔn)方程可確定焦點(diǎn)的位置，再由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到標(biāo)準(zhǔn)方程．
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)坐標(biāo)即為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),
所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，
當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，
可知，所以其方程為，
當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,
可知其方程中的，
所以其方程為，
故答案為：或．
例17．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)高二期中（理））若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，則的值為_____
【答案】
【解析】
【分析】
先求出雙曲線的半焦距c，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)的值.
【詳解】
解：由得雙曲線，則，所以，拋物線的焦點(diǎn)為，，，
故答案為：4.
例18．（2022·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高二開學(xué)考試）若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，則拋物線方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而列出方程，求出，求出拋物線方程.
【詳解】
的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
解得：，
所以拋物線的方程為
故答案為：
例19．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）準(zhǔn)線方程為的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線準(zhǔn)線方程可知拋物線開口方向和幾何量p，然后可得方程.
【詳解】
由拋物線準(zhǔn)線方程可知，拋物線開口向右，其中，得，
所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
例20．（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，則PF的長(zhǎng)為______．
【答案】5
【解析】
【分析】
把點(diǎn)代入拋物線方程解得，根據(jù)拋物線定義．
【詳解】
的焦點(diǎn)為
點(diǎn)在拋物線上，則，解得
根據(jù)拋物線的定義
故答案為：5．
例21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）求焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
先求出直線與軸以及軸交點(diǎn)，即拋物線的焦點(diǎn)，從而可寫出拋物線方程.
【詳解】
因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)為，與軸交點(diǎn)為，
所以當(dāng)拋物線焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線方程為；
當(dāng)拋物線焦點(diǎn)為時(shí)，拋物線方程為.
故所求方程為或.
例22．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程的拋物線上有一點(diǎn)，點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值．
【答案】
【解析】
【分析】
先由拋物線的定義求出p=4得到標(biāo)準(zhǔn)方程，再將M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程即可求解.
【詳解】
拋物線的準(zhǔn)線方程是.
由拋物線的定義可得：,解得p=4.
所以拋物線方程是.
將M點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得，解得：.
綜上所述：
例23．（2022·江蘇·高二）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，其上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為6．求拋物線的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【答案】，或
【解析】
【分析】
由題意，設(shè)拋物線方程為，則由拋物線的定義結(jié)合已知可得，求出的值，從而可得拋物線方程，再將坐標(biāo)代入拋物線方程可求出的值，進(jìn)而可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)
【詳解】
由題意，設(shè)拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為，
∴，得p＝4，故拋物線方程為；
又∵點(diǎn)在拋物線上，
∴，∴，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．

題型三：拋物線的綜合問題
1
例24．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
結(jié)合拋物線定義可得，可知當(dāng)最大時(shí)，最大，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最大值；將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用可求得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線定義可求得，結(jié)合可得，由此可得雙曲線離心率.
【詳解】
過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，

由拋物線定義知：；
由得：，
當(dāng)取最大值時(shí)，最小，即最小，則最大；
當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大；
設(shè)直線，
由得：，，
解得：，，解得：，；
由雙曲線定義知：，則；
又，則，雙曲線離心率.
故選：A.
例25．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（文））已知拋物線:（其中為常數(shù)）過點(diǎn)（1，3），則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于（???????）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由點(diǎn)在拋物線上可得拋物線的方程為，結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得拋物線的準(zhǔn)線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.
【詳解】
由拋物線y＝px2(其中p為常數(shù))過點(diǎn)A(1,3)，可得p＝3，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)，
則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.
故選：B
例26．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直線的方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)為的中點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，則由拋物線定義知，再分析可得當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)取得最小值，再設(shè)方程為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合的橫坐標(biāo)為4即可求得直線方程.
【詳解】
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，

設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作，，，垂足分別為，，．
則，，
，
又點(diǎn)到直線的距離為，
，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，之間時(shí)，，
此時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

過點(diǎn)，
故設(shè)方程為，
代入，得
，，則．
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，，
解得，
直線的方程為，此時(shí)
點(diǎn)在，之間，成立．
所以當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，直線的方程為
故答案為：
例27．（2022·河南安陽·高二階段練習(xí)（理））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為2的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），則______．
【答案】
【解析】
【分析】
求出直線AB的方程及點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，再利用拋物線定義計(jì)算作答.
【詳解】
拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為：，
直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，解得，，
依題意，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，
由拋物線定義得：.
故答案為：
例28．（2022·全國(guó)·高二期末）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時(shí)每隔4米用一個(gè)柱子支撐，則支柱的長(zhǎng)度______米．

【答案】3.84.##
【解析】
【分析】
建立直角坐標(biāo)系.利用待定系數(shù)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出支柱的長(zhǎng)度.
【詳解】
建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點(diǎn)在y軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

因?yàn)闃虻目缍让?，拱高米，所?
代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
把點(diǎn)的橫坐標(biāo)-2代入,得，解得：，
支柱的長(zhǎng)度為(米).即支柱的長(zhǎng)度為3.84(米).
故答案為：3.84.
例29．（2022·江西·上高二中高二階段練習(xí)（理））圓的圓心在拋物線上，且圓與軸相切于點(diǎn)A，與軸相交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則______．
【答案】
【解析】
【分析】
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，根據(jù)求出，從而可求得圓的方程，求出的坐標(biāo)即可得解.
【詳解】
解：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，
設(shè)，則，
故，解得，
故圓心，
所以圓的半徑等于，
所以圓的方程為，
當(dāng)時(shí)，或，
所以.
故答案為：.

例30．（2022·上海市大同中學(xué)高二期中）已知橢圓上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線對(duì)稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)t的值為______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)給定條件，設(shè)出直線MN的方程，再與橢圓方程聯(lián)立求出MN中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程計(jì)算作答.
【詳解】
依題意，設(shè)直線MN的方程為：，由消去y并整理得：，
，即，設(shè)，則，于是得線段MN的中點(diǎn)，
因MN的中點(diǎn)在拋物線上，則，解得或（舍去），
線段MN的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，則有，
所以實(shí)數(shù)t的值為0.
故答案為：0
例31．（2022·新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學(xué)高二期中（理））已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且.
(1)求該拋物線的方程；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，由拋物線的定義結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)弦長(zhǎng)后求解
（2）解出坐標(biāo)，由割補(bǔ)法求解
(1)
拋物線的焦點(diǎn)為，
所以直線的方程為，
由消去得，
所以，
由拋物線定義得，
即，所以.
所以拋物線的方程為.
(2)
由知，方程，
可化為，
解得，，故，.
所以，.
則面積

題型四：軌跡方程
例32．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義判斷軌跡，再由拋物線焦點(diǎn)、準(zhǔn)線得到方程即可.
【詳解】
由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，
由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，
所以，軌跡方程為，
故選：D
例33．（2022·山東·青島二中高二階段練習(xí)）已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．
【詳解】
設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,
由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，
所以，其方程為，
故選：A
例34．（2022·江蘇·高二）與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由拋物線的定義和方程，計(jì)算可得所求軌跡方程．
【詳解】
解：由拋物線的定義可得平面內(nèi)與點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡為拋物線，且為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線，
設(shè)拋物線的方程為，
可知，解得，
所以該拋物線方程是，
故答案為：
例35．（2022·江蘇·高二）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，將條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等，結(jié)合拋物線的定義即可求解點(diǎn)的軌跡方程．
【詳解】
點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小，
點(diǎn)到直線的距離與它到點(diǎn)的距離相等，
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線：為準(zhǔn)線的拋物線，
因此，設(shè)的軌跡方程為，，
可得，解得，，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為．
故答案為：．
例36．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到直線的距離小，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，可設(shè)該拋物線的方程為，求出的值，即可得解.
【詳解】
解：由題意可知，點(diǎn)到點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，
故點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為，則，解得，
故點(diǎn)的軌跡方程為.
例37．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大2，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到的距離，即點(diǎn)M的軌跡是
拋物線，求其方程可得答案．
【詳解】
由題意可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到的距離，
設(shè)，所以點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，
開口向右的拋物線，設(shè)其方程為，所以，，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為.
例38．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)M與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，求點(diǎn)M的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
轉(zhuǎn)化命題為動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，利用拋物線的定義求解拋物線方程即可．
【詳解】
由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到的距離比它到直線的距離小2，
即動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到直線的距離相等，
由拋物線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的拋物線，
則點(diǎn)的軌跡方程為.
例39．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與定直線l：x＝1，且動(dòng)圓P和圓A外切并與直線l相切，求動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程．
【答案】y2＝－8x.
【解析】
【分析】
由題設(shè)易知P到圓心A的距離和到定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線定義寫出軌跡方程即可.
【詳解】
由題意知：點(diǎn)P到圓心A(－2, 0)的距離和到定直線x＝2的距離相等，
所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線，且焦點(diǎn)為A，準(zhǔn)線為x＝2，
故點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝－8x.
例40．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
由題知橢圓右焦點(diǎn)為，進(jìn)而設(shè)，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.
【詳解】
解：由橢圓方程得其右焦點(diǎn)為，
設(shè)，由于點(diǎn)到的距離與到直線的距離相等，
所以，整理得
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
例41．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知圓，直線，求與直線l相切且與圓F外切的圓的圓心M的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
考察點(diǎn)到F的距離與到直線的距離，作輔助直線結(jié)合拋物線定義可解.
【詳解】
由圖可知，到F的距離比到直線的距離大1，
記直線為直線，則到F的距離等于到直線的距離，
由拋物線定義可知，M的軌跡為頂點(diǎn)在原點(diǎn)開口向左的拋物線，其中，
所以M的軌跡方程為：

例42．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）從拋物線上任意一點(diǎn)向x軸作垂線段，求垂線段中點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．
【答案】軌跡方程為，是以為焦點(diǎn)的拋物線；
【解析】
【分析】
先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可．
【詳解】
解：設(shè)垂線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，
則，；即，，是拋物線上的點(diǎn)，
所以，即，即垂線段中點(diǎn)的軌跡方程為，是以為焦點(diǎn)的拋物線；
例43．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線和圓．若圓與直線相切，與圓外切，求圓的圓心的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
分析可知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，求出的值，即可得出圓心的軌跡方程.
【詳解】
設(shè)圓為半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，
由題意可知，圓心到直線的距離為，
所以，圓心到直線的距離和它到點(diǎn)的距離相等，
故圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，
因此，圓心的軌跡方程為.
例44．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程.
【答案】
【解析】
【分析】
由題意可知的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，由此得到出，即可以求出的軌跡方程．
【詳解】
解：由拋物線的定義知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，其開口方向向右，且，解得，所以其方程為．
例45．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，直線，兩個(gè)動(dòng)圓均過A且與l相切，若圓心分別為?，則的軌跡方程為___________；若動(dòng)點(diǎn)M滿足，則M的軌跡方程為___________.
【答案】???? ????
【解析】
【分析】
由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡方程，設(shè)，，，根據(jù)可得，，利用可求得結(jié)果.
【詳解】
解：由拋物線的定義得動(dòng)圓的圓心軌跡是以為焦點(diǎn)，直線：為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為，
設(shè)，，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，
所以，即，，
所以，，因?yàn)?，所以?br /> 所以，即的軌跡方程為.
故答案為：；.

題型五：拋物線的幾何性質(zhì)
例46．（2022·浙江·高二期末）下列命題中正確的是（???????）
A．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
B．拋物線的準(zhǔn)線方程為 x =?1．
C．拋物線的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱．
D．拋物線的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.
【詳解】
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；
拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；
拋物線的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：C.
例47．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的對(duì)稱軸是直線
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根據(jù)拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)即可求出．
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€：，所以其關(guān)于軸對(duì)稱，即對(duì)稱軸為直線．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
例48．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））以軸為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2的拋物線方程是（???????）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
依題意設(shè)拋物線方程為．因?yàn)榻裹c(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離為2，所以，所以，所以拋物線方程為或．
故選：C．
例49．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知直線垂直于拋物線的對(duì)稱軸，與E交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在第一象限），過點(diǎn)A且斜率為的直線與E交于另一點(diǎn)C，若，則p=（　?。?br /> A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，設(shè)，作于，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系得，再結(jié)合點(diǎn)在上列方程求解即可.
【詳解】
如圖，因?yàn)檫^點(diǎn)A且斜率為的直線與E交于另一點(diǎn)C，若，
所以可設(shè)，作于．

因?yàn)?，則．由，易得，
所以，，即知，
因?yàn)辄c(diǎn)在上．
所以，解得．
故選：A
例50．（多選題）（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個(gè)方程所表示的曲線中既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合拋物線，橢圓，圓的性質(zhì)，依次討論求解即可.
【詳解】
解：對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)于曲線上的任意點(diǎn)，其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)滿足方程，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也滿足方程，故滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，即為，表示焦點(diǎn)在軸正半軸的拋物線，關(guān)于軸對(duì)稱，但不關(guān)于軸對(duì)稱，故不滿足；
對(duì)于C選項(xiàng)，即為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，滿足既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱，故滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關(guān)于軸對(duì)稱，不關(guān)于軸對(duì)稱，故不滿足條件.
故選：AC
例51．（多選題）（2022·浙江·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高二期中）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（???????）
A．開口向左 B．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 C．準(zhǔn)線為 D．對(duì)稱軸為軸
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.
【詳解】
對(duì)選項(xiàng)A，，開口向左，故A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，，焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C，，準(zhǔn)線方程為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，，對(duì)稱軸為軸，故D正確.
故選：AD
例52．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）平面內(nèi)到定點(diǎn)和到定直線的距離相等的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．則（???????）
A．曲線的方程為
B．曲線關(guān)于軸對(duì)稱
C．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，
D．當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離
【答案】AB
【解析】
【分析】
由拋物線定義，可知曲線是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，依次判斷，即得解
【詳解】
由拋物線定義，知曲線是以為焦點(diǎn)，
直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為，故A正確；
若點(diǎn)在曲線上，則點(diǎn)也在曲線上，故曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故B正確；
由知，故C錯(cuò)誤；
點(diǎn)到直線的距離，所以D錯(cuò)誤
故選：AB
例53．（多選題）（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高二期中）已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)K為點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C上，則下列說法正確的是（???????）
A．使得為等腰三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
B．使得為直角三角形的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
C．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
D．使得的點(diǎn)M有且僅有4個(gè)
【答案】ABD
【解析】
【分析】
為等腰三角形，考慮兩邊相等，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)；為直角三角形，考慮直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，可得有4個(gè)點(diǎn)；考慮直線，與拋物線的方程聯(lián)立，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)；由對(duì)稱性可得有2個(gè)；考慮直線，代入拋物線的方程，解方程可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由對(duì)稱性可得點(diǎn)有4個(gè)．
【詳解】
如圖，

由為等腰三角形，若，則有兩個(gè)點(diǎn)；若，則不存在，若，則有兩個(gè)點(diǎn)，則使得為等腰三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè),故A正確；
由中為直角的點(diǎn)有兩個(gè)；為直角的點(diǎn)不存在；為直角的點(diǎn)有兩個(gè)，則使得為直角三角形的點(diǎn)有且僅有4個(gè)，故B正確；
若的在第一象限，可得直線，代入拋物線的方程可得，解得，由對(duì)稱性可得在第四象限只有一個(gè)，則滿足的有且只有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；
使得的點(diǎn)在第一象限，可得直線，
代入拋物線的方程，可得，，
可得點(diǎn)有2個(gè)；若在第四象限，由對(duì)稱性可得也有2個(gè)，則使得的點(diǎn)有且只有4個(gè)，故D正確．
故選：ABD
例54．（2022·黑龍江·雞西市第一中學(xué)校高二期中）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)該拋物線反射后與對(duì)稱軸平行.沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，與軸相交于點(diǎn)，則___________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由于直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，所以由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知點(diǎn)就是拋物線的焦點(diǎn)，從而可求出的值
【詳解】
因?yàn)橹本€與拋物線的對(duì)稱軸平行，
所以由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知沿直線發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，與軸相交于點(diǎn)就是拋物線的焦點(diǎn)，
所以，，
故答案為：6
例55．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列方程所表示的曲線是否關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱．
(2)關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱．
(3)關(guān)于y軸對(duì)稱．
(4)不關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）直接利用曲線方程的對(duì)稱性寫出結(jié)果即可，（4）利用曲線上任一點(diǎn)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是否還在曲線上進(jìn)行判斷．
(1)
，是橢圓方程，所以關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱．
(2)
，曲線是雙曲線方程，所以關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱．
(3)
，曲線是拋物線方程，開口向下，對(duì)稱軸為軸，不關(guān)于原點(diǎn)、x軸對(duì)稱．
(4)
在曲線上任取一點(diǎn)，則關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為：、、，
將代入曲線方程，得到，與方程不同，將代入曲線方程，得到，與方程不同，
將代入曲線方程，得到，與方程不同，
所以曲線不關(guān)于x軸、y軸，原點(diǎn)對(duì)稱.
例56．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線：的距離比到點(diǎn)的距離大2.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）請(qǐng)指出曲線的對(duì)稱性，頂點(diǎn)和范圍，并運(yùn)用其方程說明理由.
【答案】（1）；（2）對(duì)稱性：曲線關(guān)于軸對(duì)稱；頂點(diǎn)：；范圍：曲線在直線右側(cè)，且右上方和右下方無限延伸.理由見解析
【解析】
【分析】
（1）設(shè)，根據(jù)題意列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)由拋物線向右平移一個(gè)單位得到，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意可得：動(dòng)點(diǎn)到直線的距離與到的距離相等，
設(shè)，則，
化簡(jiǎn)整理，可得，
所以點(diǎn)的軌跡的方程為；
（2）由（1）得的方程為；
即由拋物線向右平移一個(gè)單位得到；
所以曲線也關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為，范圍為，.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查求軌跡方程，以及軌跡的性質(zhì)，熟記軌跡方程的求法，以及拋物線的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

題型六：拋物線中的范圍與最值問題
例57．（2022·四川·寧南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知直線恒過定點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由條件求出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義求的最小值.
【詳解】
方程可化為，
所以直線恒過定點(diǎn)，
因?yàn)閽佄锞€：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，即，
所以，
過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，則，
過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為3，
故選：C.

例58．（2022·貴州·遵義四中高二期末）點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為拋物線上一點(diǎn)，P不在直線AF上，則△PAF的周長(zhǎng)的最小值是（???????）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化后求距離最值
【詳解】
拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為
過點(diǎn)作準(zhǔn)線于點(diǎn)，故△PAF的周長(zhǎng)為，
，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)周長(zhǎng)最小，為
故選：C

例59．（2022·江蘇·高二）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)到直線的距離為，則的最大值為（???????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A和焦點(diǎn)F距離差的最大值求解.
【詳解】
拋物線：的焦點(diǎn)，依題意，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P，F(xiàn)，A共線，即點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)時(shí)取“=”，
所以的最大值為.
故選：A
例60．（2022·四川成都·高二開學(xué)考試（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線上，若存在點(diǎn)B，滿足，則OB的斜率的最大值為（???????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)，，表示出，考慮的正負(fù)情況，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】
由題意：，，
設(shè)點(diǎn)，，A在拋物線上，故，
，，由得，
即，
，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
∴k有最大值，
故選:C.
例61．（2022·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6求解.
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F，
且點(diǎn)F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為6，
所以，解得，
所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，
故選：D
例62．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二開學(xué)考試）已知拋物線，直線，且在上恰有兩個(gè)點(diǎn)到的距離為，則的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)與平行且與拋物線相切的直線方程，利用判別式等于零求得，再根題意得兩直線間的距離，解不等式可得答案.
【詳解】
設(shè)直線與拋物線相切，
聯(lián)立，得，，
∵，∴,
由題意得，直線與直線的距離，
即，解得，∴,
故選:B.
例63．（多選題）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，軸于A，則（???????）
A．當(dāng)時(shí)，的最小值為3
B．當(dāng)時(shí)，的最小值為4
C．當(dāng)時(shí)，的最大值為1
D．當(dāng)軸時(shí)，為定值
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義結(jié)合圖象一一計(jì)算可得；
【詳解】
解：對(duì)于A：時(shí)拋物線，焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線外，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且在之間時(shí)取等號(hào)（如下圖所示），故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B、C：當(dāng)時(shí)拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在拋物線內(nèi)，
設(shè)與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且在之間時(shí)取等號(hào)（如下圖所示），故B正確；

，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且在之間時(shí)取等號(hào)（如下圖所示），故C正確；

對(duì)于D：拋物線，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
當(dāng)，此時(shí)，則，解得，
即或，如圖取，則，，
所以，故D正確；

故選：BCD
例64．（2022·廣東梅州·高二階段練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為____；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為______．
【答案】???? ???? ##
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意寫出關(guān)于與的關(guān)系式化簡(jiǎn)即可；利用拋物線的定義可知，進(jìn)而可得，即得.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)，，

∴.
拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，

∴.
故答案為：；.
例65．（2022·河南·舞陽縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)與F距離之和的最小值為______．
【答案】7
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義,可將長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可求解.
【詳解】
記拋物線的準(zhǔn)線方程為，到l的距離為，作于，則，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立．
故答案為：7

例66．（2022·江蘇·高二）如圖所示，已知P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若的最小值為3，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.

【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)定義將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到點(diǎn)Q和準(zhǔn)線的距離之和，由最小值為3可得p，然后可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
過點(diǎn)P、Q分別作準(zhǔn)線的垂線，垂直分別為M、N，
由拋物線定義可知，當(dāng)P，M，Q三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立
所以，解得
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：

例67．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又已知定點(diǎn)，則的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得出，可得出，利用當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值可得結(jié)果.
【詳解】
拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，如下圖所示：

過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，
由拋物線的定義可得，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
故答案為：.
例68．（2022·北京師大附中高二期末）已知點(diǎn)及拋物線，若拋物線上點(diǎn)P滿足，則m的最大值為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡(jiǎn)，通過距離公式可得，利用基本不等式求最值即可求解．
【詳解】
設(shè)，
由題意可得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，
m的最大值為
故答案為：
例69．（2022·江蘇蘇州·高二期末）已知拋物線C：y2= 8x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點(diǎn)（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關(guān)于的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線的定義，化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.
【詳解】
拋物線C：y2= 8x的焦點(diǎn)為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為，
可知，，
設(shè)，直線的方程為，則，
代入拋物線方程，可得，即有，
，，
，
即，
所以.
故答案為：

題型七：焦半徑問題
例70．（2022·江蘇·高二）已知拋物線上的一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
由拋物線的定義與焦半徑公式直接求解即可.
【詳解】
由題可知，拋物線準(zhǔn)線，可得，解得，
所以該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.
故選：A.
例71．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)．則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用兩點(diǎn)間距離公式和拋物線焦半徑公式可得，令可將所求式子化為，根據(jù)二次函數(shù)的最大值點(diǎn)可求得結(jié)果.
【詳解】
由題意知：，；
，，
；
令，則，
，
則當(dāng)，即時(shí)，取最大值，此時(shí).
故選：B.
例72．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得，則所求距離為.
【詳解】
在拋物線上，，解得：，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.
故選：B.
例73．（2022·江蘇·高二）已知拋物線上一點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)），則（???????）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，列出等式，建立關(guān)于的方程，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€，所以，
又在拋物線上，所以，
又，所以，
所以.
解得.
故選：D.
例74．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二階段練習(xí)（文））已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且F為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（???????）
A．12 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，得三點(diǎn)縱坐標(biāo)之和，再結(jié)合拋物線的定義即可求出的值.
【詳解】
由，得.設(shè)A，B，C的縱坐標(biāo)分別是，由，有，即.
由拋物線的定義可得:.
故選：C
例75．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為拋物線C上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)B是拋物線C上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到A，F(xiàn)的坐標(biāo)，設(shè)，利用三點(diǎn)共線求出b，即可求出.
【詳解】
由拋物線的定義可得：，解得，則拋物線C：.所以，.
設(shè)，因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以，解得（b＝1舍去），
故，．
故選：A
例76．（2022·湖南·永州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的最小距離是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的焦半徑公式可求出，然后設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，然后利用二次函數(shù)的知識(shí)可得答案.
【詳解】
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為是拋物線上一點(diǎn)，且，
所以，解得，所以拋物線，
設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，
所以當(dāng)時(shí)距離最小，最小值為，
故選：B
例77．（2022·江蘇·高二期末）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為2，則到直線的距離為______.
【答案】##0.8
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形面積公式，即可求出點(diǎn)，然后拋物線定義，求出長(zhǎng)度，根據(jù)等面積法即可求出.
【詳解】
，設(shè)，因?yàn)?，所以，不妨取，則,,則，故到距離為.
故答案為：
例78．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為，則的橫坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo).
【詳解】
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義可得，故.
故答案為：.
例79．（2022·廣西柳州·高二期中（理））已知是拋物線上不同的點(diǎn)，且，若，則________.
【答案】20
【解析】
【分析】
設(shè)的縱坐標(biāo)分別為，由向量的和為零向量可得，再由拋物線的定義可得，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，從而可求得結(jié)果
【詳解】
設(shè)的縱坐標(biāo)分別為，
由拋物線，可得準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
由拋物線的定義可得，到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，
所以
，
故答案為：20
例80．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線上的點(diǎn)P到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為6，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)拋物線的定義和焦半徑公式即可求解.
【詳解】
由題可知.
故答案為：5.
例81．（2022·江蘇·高二）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)拋物線方程，可知；由拋物線焦半徑公式可構(gòu)造方程求得，將代入拋物線方程即可求得的值.
【詳解】
設(shè)拋物線方程為：，
是拋物線上一點(diǎn)，；
由拋物線焦半徑公式知：，解得：，拋物線方程為：，
，解得：.
故答案為：.
例82．（2022·江蘇·高二）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則______．
【答案】15
【解析】
【分析】
易得拋物線方程為，根據(jù)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義求解.
【詳解】
解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，
所以，則拋物線：，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br /> 所以，則，
則，
所以直線的方程為，
代入拋物線方程可得，
故，則，
所以．
故答案為：15
例83．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）已知拋物線C：，經(jīng)過點(diǎn)P（4，1）的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則______．
【答案】9
【解析】
【分析】
過A、、作準(zhǔn)線的垂線且分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)、、，根據(jù)拋物線的定義可知，由梯形的中位線的性質(zhì)得出，進(jìn)而可求出的結(jié)果.
【詳解】
由拋物線，可知，則，
所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
如圖，過點(diǎn)A作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，
過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，

由拋物線的定義可得，
再根據(jù)為線段的中點(diǎn)，而四邊形為梯形，
由梯形的中位線可知，
則，所以.
故答案為：9.
例84．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，求得，由焦半徑公式得，，代入計(jì)算化簡(jiǎn)可得．
【詳解】
設(shè)，
由得，所以，，
，，
．
故答案為：1．

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