?第11講 圓的方程
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
，其中為圓心，為半徑.
知識點(diǎn)詮釋：
(1)如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是.有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn).
(3)標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑.由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法.
知識點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有
(1)若點(diǎn)在圓上
(2)若點(diǎn)在圓外
(3)若點(diǎn)在圓內(nèi)
知識點(diǎn)三：圓的一般方程
當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程.為圓心，為半徑.
知識點(diǎn)詮釋：
由方程得
(1)當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解.它表示一個(gè)點(diǎn).
(2)當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．
(3)當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓.
知識點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟
求圓的方程常用“待定系數(shù)法”.用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：
(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.
(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組.
(3)解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程.
知識點(diǎn)五：軌跡方程
求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．
1．當(dāng)動點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．
2．求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．
3．求軌跡方程的步驟：
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）列出關(guān)于的方程；
（3）把方程化為最簡形式；
（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；
（5）作答．
【題型歸納目錄】
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
題型二：圓的一般方程
題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系
題型五：圓過定點(diǎn)問題
題型六：軌跡問題

【典型例題】
題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．（2022·湖北·安陸第一高中高二階段練習(xí)）與圓C：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（??????????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圓的圓心和半徑，再根據(jù)對稱時(shí)對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸垂直和其中點(diǎn)再對稱軸上列出方程求出圓心坐標(biāo)即可.
【詳解】
圓C：的圓心，半徑．
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，
所以圓C關(guān)于直線的對稱圓的方程為，
故選:C．
2．（2022·江蘇·高二）圓：關(guān)于直線對稱的圓的方程為（???????）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)兩圓心的中點(diǎn)在直線上，過兩圓心的直線與已知直線垂直列方程組可得所求圓心坐標(biāo)，然后可得.
【詳解】
解：表示以為圓心，以1為半徑的圓．
設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則有，解得：，，
所以：關(guān)于直線對稱的圓的方程為．
故選：A．
3．（2022·福建福州·模擬預(yù)測）已知，則外接圓的方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求得外接圓的方程即可進(jìn)行選擇.
【詳解】
設(shè)外接圓的方程為
則有，解之得
則外接圓的方程為
故選：D
4．（2022·江蘇·高二）若直線是圓的一條對稱軸，則（???????）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
若直線是圓的對稱軸，則直線過圓心，將圓心代入直線計(jì)算求解．
【詳解】
由題可知圓心為，因?yàn)橹本€是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．
故選：A．
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知圓與以原點(diǎn)為圓心的圓關(guān)于直線對稱，則（???????）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
分別求得圓和原點(diǎn)為圓心的圓的圓心坐標(biāo)，求得直線的斜率為，即的中點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合題意，求得直線的方程，代入中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】
由題意，圓，可得圓心坐標(biāo)為，
以原點(diǎn)為圓心的圓的圓心坐標(biāo)為，
可得直線的斜率為，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A與以原點(diǎn)為圓心的圓關(guān)于直線對稱，
所以，即，
將點(diǎn)代入直線，可得.
故選：A.
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示的曲線是（???????）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
整理得，再根據(jù)圓的方程即可得答案.
【詳解】
解：對兩邊平方整理得，
所以，方程表示圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓在軸及下方的部分，A選項(xiàng)滿足.
故選：A
（多選題）7．（2022·江蘇·高二）圓，則（???????）
A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于直線對稱
C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由圓的方程可確定圓心，由圓心位置和直線是否過圓心可確定各個(gè)選項(xiàng)的正誤.
【詳解】
對于A，由圓的方程知其圓心為，則圓關(guān)于點(diǎn)對稱，A正確；
對于B，由A知其圓心在軸上，則圓關(guān)于軸對稱，即關(guān)于對稱，B正確；
對于C，過圓心，圓關(guān)于直線對稱，C正確；
對于D，不過圓心，圓不關(guān)于直線對稱，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
8．（2022·江蘇·高二）的圓心坐標(biāo)為______，半徑長為______．
【答案】???? ????
【解析】
【分析】
根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為.
故答案為：；.
9．（2022·江蘇·高二）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為______________．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】
解：∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）圓心在直線y＝x上且與x軸相切于點(diǎn)的圓的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由條件確定圓心和半徑，再求圓的方程.
【詳解】
設(shè)圓的圓心，半徑為，
由條件可知，所以圓的方程是.
故答案為：
11．（2022·江蘇·高二）已知，則以為直徑的圓的方程為________．
【答案】
【解析】
【分析】
求得線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度即可.
【詳解】
解：因?yàn)椋?br /> 所以線段PQ的中點(diǎn)為（0,0），，
所以以為直徑的圓的方程為，
故答案為：
12．（2022·天津·二模）過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得過點(diǎn)與直線垂直的直線方程，以及線段的垂直平分線的方程，聯(lián)立方程組求得圓心坐標(biāo)為，再求得，得到圓的半徑，即可求解圓的方程.
【詳解】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，
可得過點(diǎn)與直線垂直的直線方程為，
又由，可得線段的垂直平分線的方程，
聯(lián)立方程組，解得，即圓心坐標(biāo)為，
又由，即圓的半徑為，
所以圓的方程為.
故答案為：.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓C過三點(diǎn)，，，則圓C的方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，分析可得圓心在直線上，設(shè)圓心坐標(biāo)，則有，解可得的值，即可得圓心坐標(biāo)，求出圓的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得答案．
【詳解】
根據(jù)題意，因?yàn)閳A過點(diǎn)，，故圓心在直線上，
設(shè)圓心坐標(biāo)，圓過點(diǎn)，，
則，變形有，
解得，即圓心為，
故其半徑,
故圓方程為：,
故答案為：
14．（2022·江蘇·高二）求下列圓的方程
(1)若圓的半徑為，其圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由對稱性確定圓心為，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由圓心在直線垂直平分線上，直線與直線垂直，可求得圓心的坐標(biāo)，并利用兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，由此可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，
圓是以為圓心，為半徑的圓，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)
兩點(diǎn)在圓上，圓的圓心在垂直平分線上；
，中點(diǎn)為，的垂直平分線方程為；
直線與圓相切于點(diǎn)，直線與直線垂直，
，直線方程為：，即；
由得：，圓心，半徑，
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
15．（2022·江蘇·高二）求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(1)圓心在x軸上，半徑為5，且過點(diǎn)；
(2)經(jīng)過點(diǎn)、，且以線段AB為直徑；
(3)圓心在直線y=-2x上，且與直線y=1-x相切于點(diǎn)；
(4)圓心在直線x-2y-3=0上，且過點(diǎn)，．
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
利用待定系數(shù)法分別求出（1）、（2）、（3）、（4）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
(2)
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，；
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以．
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(3)
設(shè)圓心為．
因?yàn)閳A與直線y=1-x相切于點(diǎn)，所以，
解得a=1．所以所求圓的圓心為，半徑．
所以所求圓的方程為．
(4)
設(shè)點(diǎn)C為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線上，故可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
又該圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，所以．
所以，解得a=-2，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑．
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

題型二：圓的一般方程
1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知圓方程的圓心為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)；
【詳解】
解：因?yàn)椋矗?br /> 所以圓心坐標(biāo)為；
故選：C
2．（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（???????）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】
【分析】
先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.
【詳解】
先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.
故選：D.
3．（2022·福建漳州·高二期末）在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.
【詳解】
，，，
為銳角三角形，
的外接圓就是它的最小覆蓋圓，
設(shè)外接圓方程為，
則???解得
的最小覆蓋圓方程為，即，
的最小覆蓋圓的半徑為.
故選：C
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四點(diǎn)坐標(biāo)分別為，若它們都在同一個(gè)圓周上，則a的值為（???????）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)出圓的一般式，根據(jù)求出，然后將點(diǎn)帶入圓的方程即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)圓的方程為，
由題意得，解得，
所以，
又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即.
故選：C.
5．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）若圓的弦MN的中點(diǎn)為，則直線MN的方程是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由題可知，則可求得斜率，進(jìn)而求得直線方程.
【詳解】
由圓方程可知圓心，則，由題可知，所以，又MN過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式公式可知直線MN的方程是.
故選：B.
6．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模（理））已知圓關(guān)于直線為大于0的常數(shù)對稱，則的最大值為（???????）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意，直線過圓心，進(jìn)而有，又，從而利用均值不等式即可求解的最大值.
【詳解】
解：因?yàn)閳A的圓心為，且圓關(guān)于直線為大于0的常數(shù)對稱，
所以直線過圓心，
所以，又，
所以即當(dāng)取最大值為，
故選：A.
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）圓x2＋y2＋ax＝0的圓心到y(tǒng)軸的距離為1，則a＝（　?。?br /> A．－1 B．±1 C．－2 D．±2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)圓心到y(tǒng)軸的距離建立方程求解.
【詳解】
因?yàn)閳A心坐標(biāo)為，
所以，解得.
故選：D
8．（2022·江蘇·高二）圓過點(diǎn)，，則周長最小的圓的方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
先判斷為直徑時(shí)，圓周長最小，進(jìn)而求出圓心半徑，寫出圓的方程即可.
【詳解】
顯然當(dāng)為直徑時(shí)，圓周長最小，此時(shí)圓心為，即，半徑為，
故圓的方程為，即.
故答案為：.
9．（2022·江蘇·高二）求圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的方程為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出圓的圓心和半徑，再求出關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)，即可寫出對稱圓的方程.
【詳解】
圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：.所以，半徑.
故圓關(guān)于點(diǎn)對稱的圓的半徑5，圓心設(shè)為D.
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得: ,
所以對稱圓的方程為：.
故答案為：
10．（2022·江蘇·高二）若圓的圓心在直線上，則C的半徑為______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求得參數(shù)D，再去求C的半徑即可解決.
【詳解】
圓的圓心為
則有，則，則C的半徑為
故答案為：
11．（2022·安徽·南陵中學(xué)高二階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過點(diǎn)，，.
(1)求圓的方程；
(2)求直線截圓所得兩段弧長之比.
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)圓的一般方程，把三個(gè)點(diǎn)代入即可解出答案.
（2）圓心在直線上，即可得出答案.
(1)
設(shè)圓的一般方程為，把三個(gè)點(diǎn)代入得
，得
所以圓的方程為???
即.
(2)
由于圓心在直線上，故直線截圓所得兩段弧長之比為.
12．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5，底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別是?，求它的外接圓的方程.
【答案】或.
【解析】
【分析】
根據(jù)等腰三角形的幾何特點(diǎn)，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出所求圓的一般方程，待定系數(shù)即可求得結(jié)果.
【詳解】
由題意得，等腰三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)三角形外接圓的方程為，
則解得
所以圓的方程為.
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)是時(shí)，同理可得圓的方程為.
綜上，它的外接圓的方程為或.
13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：
(1)經(jīng)過點(diǎn)和，圓心在x軸上；
(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；
(3)經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；
(4)經(jīng)過，，三點(diǎn)．
【答案】(1)，圖形見解析；
(2)，圖形見解析；
(3)，圖形見解析；
(4)，圖形見解析.
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法、直接法分別求出圓的方程，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而即可畫出對應(yīng)的圖形.
(1)
圓心在x軸上，設(shè)圓的方程為：，
將點(diǎn)代入圓的方程，
得，解得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：

(2)
圓心為點(diǎn)，設(shè)圓的方程為：，
由，解得，
即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)閳A過交點(diǎn)，所以，解得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：

(3)
設(shè)圓的方程為：，
圓心坐標(biāo)為，在直線上，所以①，
又圓過點(diǎn)，
所以②，③，
聯(lián)立①②③，得，
所以圓的方程為：，其圖形如下：

(4)
設(shè)圓的方程為：，
因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，
則，解得，
所以圓的方程為：，
即，其圖形如下：

14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一圓經(jīng)過A(4，2)，B(－1，3)兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距的和為2，求此圓的方程．
【答案】x2＋y2－2x－12＝0．
【解析】
【分析】
利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的一般方程，將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入建立兩個(gè)關(guān)系式，再根據(jù)在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距和為2建立一個(gè)關(guān)系式，只需解三元一次方程組即可解出圓的方程．
【詳解】
設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D．
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E．
由題意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0．①
又因?yàn)閳A過點(diǎn)A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0．②
1＋9－D＋3E＋F＝0．③
解①②③組成的方程組得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝－12．
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0．

題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可
【詳解】
由題意，表示圓
故，即或
點(diǎn)A（1，2）在圓C：外
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或
即
故選：A
2．（2022·江蘇·高二）點(diǎn)在圓上，則實(shí)數(shù)的值是___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程求即可.
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，
所以，故或，
故答案為：或，
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與的交點(diǎn)在圓上，則k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
先聯(lián)立方程求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入圓的方程進(jìn)行求解.
【詳解】
聯(lián)立，得，
即直線與的交點(diǎn)為，
因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在圓上，
所以，解得.
故答案為：.
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若方程的曲線經(jīng)過點(diǎn)，則m的值為______．
【答案】或##1或-3
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)在曲線上即可求解.
【詳解】
因?yàn)榉匠痰那€經(jīng)過點(diǎn)，
所以，即，解得或，
所以m的值為或.
故答案為：或.
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說明理由：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)在圓上，理由見解析；
(2)在圓外，理由見解析；
(3)在圓內(nèi)，理由見解析.
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可求解.
(1)
解：因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又，
所以點(diǎn)在圓上；
(2)
解：因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又，
所以點(diǎn)在圓外；
(3)
解：因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又，
所以點(diǎn)在圓內(nèi).
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
【答案】A在圓內(nèi)，B在圓上，C在圓外.
【解析】
【分析】
由題設(shè)可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程左側(cè)，比較與9的大小關(guān)系，即可知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
【詳解】
由題設(shè)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
將代入圓中，，故A在圓內(nèi)；
將代入圓中，，故B在圓上；
將代入圓中，，故C在圓外；
7．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，求的最大值．
【答案】6
【解析】
【分析】
由點(diǎn)與圓的圓心之間的距離加半徑求解.
【詳解】
因?yàn)?，
所以點(diǎn)在圓外，
又點(diǎn)與圓的圓心之間的距離為：
，
所以點(diǎn)與圓上任意一點(diǎn)Q之間的距離的最大值為．
8．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，求a的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等關(guān)系，解不等式即可得答案.
【詳解】
解：因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，
所以，解得，
所以a的取值范圍為.
9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得，即可得范圍.
【詳解】
由題設(shè)，若點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，即，
所以，原點(diǎn)不在圓的內(nèi)部，則，可得.

題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系
1．（2022·吉林·吉化第一高級中學(xué)校高二期末）若曲線表示圓，則m的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按照圓的一般方程滿足的條件求解即可.
【詳解】
或.
故選：C.
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由表示圓可得，點(diǎn)A（1，2）在圓C外可得，求解即可
【詳解】
由題意，表示圓
故，即或
點(diǎn)A（1，2）在圓C：外
故，即
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為或
即
故選：A
3．（2022·江蘇·高二）方程表示圓，則的取值范圍為______．
【答案】或
【解析】
【分析】
由方程表示圓得到不等式，直接求解即可.
【詳解】
由題意知：，即，解得或.
故答案為：或.
4．（2022·江蘇·高二）若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，再解不等式即可得答案.
【詳解】
解：因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓
所以，，即，解得或.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】
整理可得，根據(jù)其表示圓，可得，即可得答案
【詳解】
由，整理可得，
因?yàn)槠浔硎緢A，所以，解得.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
配湊原方程，根據(jù)其表示圓，列出關(guān)于的不等關(guān)系式，即可求得參數(shù)范圍.
【詳解】
方程，即，
若其表示圓，則，解得，即的取值范圍為：.
故答案為：.
7．（2022·廣東東莞·高二期末）曲線圍成的圖形的面積為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
曲線圍成的圖形關(guān)于軸，軸對稱，故只需要求出第一象限的面積即可.
【詳解】
將或代入方程，方程不發(fā)生改變，故曲線關(guān)于軸，軸對稱，因此只需求出第一象限的面積即可.

當(dāng)，時(shí)，曲線可化為：，表示的圖形為一個(gè)半圓，圍成的面積為，
故曲線圍成的圖形的面積為.
故答案為：.
8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下列二元二次方程中，哪些表示圓？如果是圓，求出它的圓心和半徑：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析；
(3)答案見解析；
(4)答案見解析；
(5)答案見解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)不相等可判斷方程不表示圓；
（2）配方后可觀察是否為圓，若是根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求圓心與半徑；
（3）根據(jù)方程形式可以直接判斷;
（4）配方后可判斷方程表示圓，并得到圓心半徑；
（5）配方后方程右邊為負(fù)數(shù)可判斷方程不表示圓.
(1)
因?yàn)榈亩雾?xiàng)的系數(shù)不相等，
所以方程不表示圓.
(2)
由可化為，
所以方程表示圓心為，半徑為的圓.
(3)
因?yàn)椴皇嵌畏匠蹋?br /> 所以方程不表示圓.
(4)
由可化為，
所以方程表示圓心為，半徑為的圓.
(5)
由可化為，
所以方程不表示圓.
9．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）畫出方程表示的曲線．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出，，兩邊平方后得到圓的方程，故得到方程表示的曲線為以為圓心，半徑為1的圓的右半部分.
【詳解】
由題意得：，，方程兩邊平方得：，
如圖所示：實(shí)線為所求

方程表示的曲線為以為圓心，半徑為1的圓的右半部分.

題型五：圓過定點(diǎn)問題
1．（2022·河北滄州·高二期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)垂直于直線，可知圓恒過垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，
由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，
由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).
故選：D.
2．（2021·浙江省東陽市第二高級中學(xué)高二期中）點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（??????????）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)，求出以為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，
圓的半徑為，
所以，以為直徑為圓的方程為，
即，即，
由，解得或，
因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為、.
故選：D.
3．（2021·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)高二階段練習(xí)）若圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（???????）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【解析】
【分析】
把坐標(biāo)代入圓方程求解．注意檢驗(yàn)，方程表示圓．
【詳解】
將代入圓方程，得，解得或0，
當(dāng)時(shí)，，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意.
故選：C．
4．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示的曲線恒過第三象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)又在直線：上，則
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
把方程化為，解方程組，即得定點(diǎn)的坐標(biāo).把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，即得答案.
【詳解】
方程可化為.
曲線恒過定點(diǎn)，，解得或.
點(diǎn)在第三象限，，代入直線的方程，
可得.
故選：.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查曲線過定點(diǎn)，屬于中檔題.
5．（2019·浙江·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓和兩坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)分別為，則的面積為
A．4 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本題首先可以令解出以及令解出，然后求出圓在軸上截得的弦長以及與軸的公共點(diǎn)，最后求出的面積．
【詳解】
令，得，解得，
令，得，解得
所以圓在軸上截得的弦長為，與軸的公共點(diǎn)為，
所以的面積為，故選D．
6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為_______（其坐標(biāo)與無關(guān)）
【答案】和
【解析】
【分析】
設(shè)出的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)出圓的一般方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程，求出系數(shù)，得圓的方程（含有），分析此方程可得圓所過定點(diǎn)．
【詳解】
二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則
，
①－②得，，∴，從而，
代入③得，
∴圓方程為，
整理得，
由得或．
∴圓過定點(diǎn)和．
【點(diǎn)睛】
本題考查圓的一般方程，考查韋達(dá)定理，圓過定點(diǎn)問題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）均為0，就可解得定點(diǎn)．
7．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為______.
【答案】、
【解析】
【分析】
將圓的方程重新按合并同類項(xiàng)，由此列方程組，解方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
由由得，故，解得或.
故填：、.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查圓過定點(diǎn)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查二元二次方程組的解法，屬于基礎(chǔ)題.
8．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知方程表示圓，其中，且a≠1，則不論a取不為1的任何實(shí)數(shù)，上述圓恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)是________________.
【答案】
【解析】
【分析】
將已知圓的方程整理得到，聯(lián)立，即可求出結(jié)果.
【詳解】
由已知得，它表示過圓與直線交點(diǎn)的圓.
由，解得
即定點(diǎn)坐標(biāo)為.
故答案為
【點(diǎn)睛】
本題主要考查圓恒過定點(diǎn)的問題，熟記圓的方程即可，屬于常考題型.
9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線：．
（1）當(dāng)取何值時(shí)，方程表示圓？
（2）求證：不論為何值，曲線必過兩定點(diǎn)．
（3）當(dāng)曲線表示圓時(shí)，求圓面積最小時(shí)的值．
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，可知方程表示直線；當(dāng)時(shí)，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；
（2）將已知方程整理為，從而可得方程組，解方程組求得兩定點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)論可證得；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，可知以為直徑的圓面積最小，從而得到圓的方程，與已知方程對應(yīng)相等可構(gòu)造方程組，解方程組求得結(jié)果．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，方程為表示一條直線．
當(dāng)時(shí)，，
整理得，
由于，
所以時(shí)方程表示圓．
（2）證明：方程變形為．
由于取任何值，上式都成立，則有．
解得或
所以曲線必過定點(diǎn)，，
即無論為何值，曲線必過兩定點(diǎn).
（3）由（2）知曲線過定點(diǎn)A，，在這些圓中，以為直徑的圓的面積最?。ㄆ溆嗖灰詾橹睆降膱A的直徑大于的長，圓的面積也大），
從而以為直徑的圓的方程為，
所以，解得．

題型六：軌跡問題
1．（滬教版（2020）選修第一冊新課改一課一練第2章圓與圓的位置關(guān)系）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值為（???????）
A．1 B．5 C．1或5 D．不存在
【答案】C
【解析】
【分析】
直接設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)可以求得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．
【詳解】
設(shè)點(diǎn)P
∵即
整理得：
∴點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，
∵圓的為圓心，半徑的圓
由題意可得：或
∴或
故選：C．
2．（滬教版（2020）選修第一冊新課改一課一練期中測試A）當(dāng)點(diǎn)A在曲線上運(yùn)動時(shí)，連接A與定點(diǎn)，則AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)出點(diǎn)A、P坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到其關(guān)系，借助A點(diǎn)在已知曲線上代入可得.
【詳解】
設(shè)，
則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，代入得
整理得P的軌跡方程為.
故答案為：
3．（滬教版（2020）選修第一冊新課改一課一練第2章圓的一般方程）已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示已知等式化簡即得軌跡方程，由方程可判斷軌跡．
【詳解】
，
，
化簡得：，所以，點(diǎn)P的軌跡為圓：
故答案為：
4．（滬教版（2020）選修第一冊新課改一課一練第2章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式代入化簡整理可求點(diǎn)P的軌跡方程．
【詳解】
設(shè)，即，整理得：即．
故答案為：．
5．（上海市控江中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知??，且動點(diǎn)滿足，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，由得點(diǎn)軌跡為；由可知當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)取得最小值，聯(lián)立圓的方程和直線方程即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)，則，整理可得：；

，
當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)，取得最小值，
又直線方程為：，即，
由得：或，
又在線段上，.
故答案為：.
6．（陜西省寶雞市陳倉區(qū)虢鎮(zhèn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知圓過三個(gè)點(diǎn).
(1)求圓的方程；
(2)過原點(diǎn)的動直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)圓的方程為，列出方程組，求得的值，即可求得圓的方程；
（2）根據(jù)題意得到，得出在以為直徑的圓上，得到以為直徑的圓的方程，再聯(lián)立兩圓的方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的軌跡方程.
(1)
解：設(shè)圓的方程為，
因?yàn)閳A過三個(gè)點(diǎn)，
可得，解得，
所以圓的方程為，即.
(2)
解：因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，且，所以在以為直徑的圓上，
以為直徑的圓的方程為，
聯(lián)立方程組，解得或，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.
7．（四川省資陽市雁江區(qū)伍隍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題）如圖所示，等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對稱，且底邊AB和CD的長分別為6和，高為3．

(1)求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；
(2)若點(diǎn)N的坐標(biāo)為(5,2)，點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等腰梯形的對稱性，可確定圓心在y軸上，利用圓心到B，C點(diǎn)的距離相等可確定圓心和半徑，即可得圓E的方程；
（2）因?yàn)镻是MN的中點(diǎn)，將點(diǎn)P設(shè)出，然后利用點(diǎn)M的在圓E上的特點(diǎn)，求點(diǎn)P的軌跡方程.
(1)
設(shè)，
由已知可得：，
由得：
，
∴圓的圓心為，半徑為，
∴圓的方程為：．
(2)
設(shè)，
∵為線段的中點(diǎn)，∴，
代入點(diǎn)所在圓的方程得：
，
∴點(diǎn)的軌跡方程為．
8．（滬教版（2020）選修第一冊領(lǐng)航者第2章2.5曲線與方程第1課時(shí)求軌跡的方程）等腰三角形的頂點(diǎn)是，底邊一個(gè)端點(diǎn)是，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程，試說明它的軌跡是什么？
【答案】（點(diǎn)和除外）；
點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓除去和兩點(diǎn)．
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，根據(jù)列出方程并化簡可得答案.
【詳解】
設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為，依題意，得，
由兩點(diǎn)間距離公式，得,
化簡，得，
因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)不共線，而的方程為，
聯(lián)立或，
故點(diǎn)C的軌跡方程為（點(diǎn)和除外）,
點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓除去和兩點(diǎn)．
9．（滬教版（2020）選修第一冊領(lǐng)航者第2章2.5曲線與方程第1課時(shí)求軌跡的方程）在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個(gè)動點(diǎn)Q、R，且．求直線AR與DQ的交點(diǎn)P的軌跡方程．
【答案】
【解析】
【分析】
構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)、，確定坐標(biāo)，寫出直線方程，將直線整理消去參數(shù)t，即可得P的軌跡方程，注意x、y的范圍．
【詳解】
分別以AB，AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系．
如圖所示，則點(diǎn)、、、，

設(shè)動點(diǎn)，，
由知：，則．
當(dāng)時(shí)，直線AR：①，直線DQ：，則②，
①×②得：，化簡得．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)也滿足上述方程．
故點(diǎn)P的軌跡方程為．
10．（滬教版（2020）選修第一冊新課改一課一練第2章直線與圓的位置關(guān)系）已知圓，直線l滿足___________（從①l過點(diǎn)，②l斜率為2，兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問題中并作答），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.
【答案】條件選擇見解析，答案見解析.
【解析】
【分析】
選①，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用圓的性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積求解作答；選②，設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，利用圓的性質(zhì)結(jié)合直線的點(diǎn)斜式求解作答.
【詳解】
選擇條件①，設(shè)點(diǎn)，令定點(diǎn)為P，
因直線l過點(diǎn)P，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C(0,0)時(shí)，則，有，
當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，此時(shí)，等式成立，
因此有，而，于是得，即，
由解得，，而直線與圓相切的切點(diǎn)在圓C內(nèi)，
由點(diǎn)M在圓C內(nèi)，得且，
所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：(且).
選擇條件②，設(shè)點(diǎn)，
因l斜率為2，且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l不過圓心C時(shí)，則，
則M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分（除點(diǎn)C外），
當(dāng)直線l過圓心C時(shí)，圓心C是弦AB中點(diǎn)，即點(diǎn)C在點(diǎn)M的軌跡上，
因此，M的軌跡是過圓心且垂直于l的直線在圓C內(nèi)的部分，而過圓心且垂直于l的直線為，
由解得或，而點(diǎn)M在圓C內(nèi)，則有，
所以AB中點(diǎn)M的軌跡方程是：.



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