?第10講 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：直線的交點(diǎn)
求兩直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個(gè)解，此時(shí)兩直線重合；若有，則方程組無解，此時(shí)兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時(shí)兩直線相交，此解即兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo).
知識點(diǎn)詮釋：
求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)際上就是解方程組，看方程組解的個(gè)數(shù).
知識點(diǎn)二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．
過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點(diǎn)的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個(gè)方程中，無論取什么實(shí)數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．
知識點(diǎn)三：兩點(diǎn)間的距離公式
兩點(diǎn)間的距離公式為.
知識點(diǎn)詮釋：
此公式可以用來求解平面上任意兩點(diǎn)之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點(diǎn)到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離來解決.另外在下一章圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握.
知識點(diǎn)四：點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)到直線的距離為.
知識點(diǎn)詮釋：
（1）點(diǎn)到直線的距離為直線上所有的點(diǎn)到已知點(diǎn)的距離中最小距離；
（2）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等.
知識點(diǎn)五：兩平行線間的距離
本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為.
知識點(diǎn)詮釋：
(1)兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的最短距離；
(2)利用兩條平行直線間的距離公式時(shí)，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式.
【題型歸納目錄】
題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系
題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
題型三：交點(diǎn)問題
題型四：對稱問題
題型五：兩點(diǎn)間的距離
題型六：點(diǎn)到直線的距離
題型七：兩平行直線間的距離
題型八：三線能圍成三角形問題

【典型例題】
題型一：判斷兩直線的位置關(guān)系
1．（2021·全國·高二專題練習(xí)）是直線(為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（???????）
A．無論如何，總是無解
B．無論如何，總有唯一解
C．存在，使是方程組的一組解
D．存在，使之有無窮多解
【答案】B
【解析】
【分析】
由點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，確定是否為0，不為0，方程組有唯一解，為0時(shí)，再討論是否有無數(shù)解．
【詳解】
由題意，則，
∵直線的斜率存在，∴，，∴方程組總有唯一解．A，D錯(cuò)誤，B正確；
若是方程組的一組解，則，則點(diǎn)在直線，即上，但已知這兩個(gè)在直線上，這兩條直線不是同一條直線，∴不可能是方程組的一組解，C錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線方程，考查方程組解的個(gè)數(shù)的判斷．掌握直線方程是解題關(guān)鍵．
2．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）兩條直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的實(shí)數(shù)解，給出以下三種說法：
①若方程組無解，則兩直線平行；
②若方程組只有一解，則兩直線相交；
③若方程組有無數(shù)多解，則兩直線重合．
其中說法正確的個(gè)數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線交點(diǎn)即方程組的解，則方程組的解的個(gè)數(shù)即兩直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可以判斷每個(gè)選項(xiàng).
【詳解】
①若方程組無解，則兩條直線無交點(diǎn)，兩直線平行；正確；②若方程組只有一解，說明兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則兩直線相交；正確；③若方程組有無數(shù)多解，說明兩條直線有無數(shù)多個(gè)交點(diǎn)，則兩直線重合．正確.
故答案為C.
【點(diǎn)睛】
在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系，即相交、平行、重合．相應(yīng)地由直線的方程組成的二元一次方程組的解有三種情況，即有唯一解、無解、有無數(shù)解．當(dāng)?shù)慕庵挥幸唤M時(shí)，這兩條直線和有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為相交．當(dāng)?shù)慕庥袩o數(shù)組時(shí)，這兩條直線和有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為重合．當(dāng)無解時(shí)，這兩條直線和沒有公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系為平行．
（多選題）3．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）(多選題)與直線2x－y－3＝0相交的直線方程是（???????）
A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3
C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0
【答案】BD
【解析】
【分析】
將2x－y－3＝0與A, B, C, D中直線方程聯(lián)立，解方程組，從而作出判斷.
【詳解】
對于A，聯(lián)立，方程組無解，兩直線平行；
對于B，聯(lián)立方程組，解得：，有唯一解，與原直線相交；
對于C，聯(lián)立方程組有無數(shù)解，與原直線重合；
對于D，聯(lián)立方程組有唯一解，與原直線相交.
故選：BD.
（多選題）4．（2021·河北·張家口市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知集合，集合，且，則（???????）
A．2 B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根據(jù)直線平行和兩線交于點(diǎn)時(shí)，交集為空集，可得結(jié)果．
【詳解】
解：因?yàn)榧?，集合，且?br /> 所以直線與直線平行或交于點(diǎn)，
當(dāng)兩線平行時(shí)，；
當(dāng)兩線交于點(diǎn)時(shí)，，解得．
綜上得a等于或2．
故選：AD．
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在下列直線中，與直線相交的直線為( )
A．??????????B．??????????C．??????????D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
由題可知：ABD選項(xiàng)直線的斜率與已知直線斜率相同，所以不會相交，C項(xiàng)直線與已知直線相交
故選：C
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）兩直線的位置關(guān)系
方程組的解
一組
無數(shù)組
無解
直線與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
一個(gè)
_______
零個(gè)
直線與的位置關(guān)系
_______
重合
_______

【答案】???? 無數(shù)個(gè)???? 相交???? 平行
7．（2022·上海市控江中學(xué)高三階段練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為______
【答案】4
【解析】
【分析】
當(dāng)方程組有無窮多解時(shí),可得到兩直線重合,則可求出,,計(jì)算即可得解.
【詳解】
若方程組有無窮多組解，
即兩條直線重合,即
,
則
故答案為：4
8．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若關(guān)于、的方程組無解，則實(shí)數(shù)________
【答案】
【解析】
先由方程無解判斷平面內(nèi)對應(yīng)的兩條直線平行，再利用平行關(guān)系列行列式計(jì)算參數(shù)即可.
【詳解】
由題意關(guān)于、的方程組無解，即直線和直線平行，故，所以，
此時(shí)直線即，確實(shí)與平行，故滿足題意，所以實(shí)數(shù).
故答案為：-2.
9．（2021·全國·高二專題練習(xí)）若關(guān)于的二元一次方程組有無窮多組解，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線重合的條件，求得的值即可.
【詳解】
依題意二元一次方程組有無窮多組解，即兩個(gè)方程對應(yīng)的直線重合，由，解得或.
當(dāng)時(shí)，二元一次方程組為，兩直線不重合，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，二元一次方程組為，兩直線重合，符合題意.
綜上所述，的值為.
故答案為：
10．（2021·全國·高二專題練習(xí)）關(guān)于x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則a與b的積是_____.
【答案】-35
【解析】
由x?y的二元一次方程組有無窮多組解，則直線與直線重合求解.
【詳解】
因?yàn)閤?y的二元一次方程組有無窮多組解，
所以直線與直線重合，
所以，解得，
所以 ，
故答案為：-35
11．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若方程與所確定的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】
考慮當(dāng)時(shí)射線與直線有交點(diǎn)即可
【詳解】
曲線由兩條射線構(gòu)成，它們分別是射線及射線.
因?yàn)榉匠痰慕?，故射線與直線有一個(gè)交點(diǎn)；
若曲線及能圍成三角形，則方程必有一個(gè)解，
故，因此，填.
【點(diǎn)睛】
本題考慮直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，注意直線的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化方程組解來處理.
12．（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）判斷下列各對直線的位置關(guān)系.若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)：
（1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
（2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行.
【解析】
【分析】
兩個(gè)直線方程列方程組求解，方程組有解即得交點(diǎn)坐標(biāo)，方程組無解則兩直線平行（有無數(shù)解，則兩直線重合）．
【詳解】
（1）解方程組得所以直線l1與l2相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1).
（2）解方程組①×2－②，得1＝0，矛盾，方程組無解.所以直線l1與l2無公共點(diǎn)，即l1//l2.

題型二：過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程
1．（2022·江蘇·高二）已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線和的交點(diǎn)列方程，對比后求得直線的方程.
【詳解】
依題意兩直線和的交點(diǎn)為，
所以在直線上，
所以過兩點(diǎn)所在直線方程為，
故選：B
2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知與是直線為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（???????）
A．無論如何，總是無解 B．無論如何，總有唯一解
C．存在，使之恰有兩解 D．存在，使之有無窮多解
【答案】B
【解析】
【分析】
將與代入直線方程，可得方程有唯一的解，即可得答案；
【詳解】
解：與是直線為常數(shù))上兩個(gè)不同的點(diǎn)，
的斜率存在，
即，并且，

①②得：，
即.
方程組有唯—解.
故選︰B.
3．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
由題可求交點(diǎn)，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.
【詳解】
方法一：由，得，
所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（14，10）,
由題意可得直線的斜率為1或-1，
所以直線的方程為或，
即或.
方法二：設(shè)直線的方程為，整理得，
由題意，得，解得或，
所以直線的方程為或.
故答案為：或.
4．（2022·江蘇·高二）已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】證明見解析，
【解析】
【分析】
整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】
證明：原方程整理為，則由得
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
5．（2022·江蘇·高二）直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程.
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)直線方程為，解方程或，即得解.
【詳解】
解：設(shè)直線方程為，
化簡得,
直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
直線的斜率為,
或，解得或.
代入并化簡得直線的方程為或.
所以所求的直線方程為或.
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)．
【答案】詳見解析.
【解析】
【分析】
由，可得，即得.
【詳解】
由，
解得，
故當(dāng)時(shí)，不論為何實(shí)數(shù)，恒成立，
即不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn).
7．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知兩直線和.
（1）判斷兩直線是否相交，若相交，求出其交點(diǎn)；
（2）求過與的交點(diǎn)且斜率為的直線方程.
【答案】（1）兩直線相交，兩直線交點(diǎn)為；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用兩直線的斜率即可判定，聯(lián)立方程即求；
（2）利用點(diǎn)斜式即求或設(shè)直線系方程即得.
【詳解】
（1）∵，
∴兩直線相交，
聯(lián)立兩直線方程得
解得即兩直線交點(diǎn)為.
（2）解法一：由點(diǎn)斜式方程可得所求的直線方程為，即.
解法二：顯然不是所求方程可設(shè)所求直線方程為，
整理得，
∴，∴，
整理得所求直線方程為.
8．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線方程.
【答案】
【解析】
【分析】
聯(lián)立方程可求交點(diǎn)，結(jié)合條件即求；或設(shè)直線交點(diǎn)系方程，利用條件即求.
【詳解】
解法一：聯(lián)立直線方程，解方程組得，
由兩點(diǎn)式得所求直線的方程為，
即.
解法二：易知直線不符合所求方程，設(shè)所求直線方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，
解得，
故所求直線方程為，整理得.
9．（2021·全國·高二專題練習(xí)）直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)，求直線l的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)的直線可設(shè)為： ，把代入求出，即可得到直線方程.
【詳解】
經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)的直線可設(shè)為：

把代入，得：，解得：，
所以，所求的直線方程為：.

題型三：交點(diǎn)問題
1．（2022·江蘇·高二）直線x+ky=0和2x+3y+8=0的交點(diǎn)為A，且A在直線x-y-1=0上，則k的值是（???????）
A．- B． C．2 D．-2
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入x+ky=0求解.
【詳解】
由，解得 ，
即兩直線2x+3y+8=0和x-y-1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-1，-2)．
∵直線x+ky=0，2x+3y+8=0 和x-y-1=0交于一點(diǎn)A，
∴-1-2k=0，
∴k=-，
故選；A．
2．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再由平行得斜率，寫出點(diǎn)斜式方程，化為一般方程即可.
【詳解】
由解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行于直線可得斜率為1，
故方程為，化為一般方程為.
故答案為：.
3．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為_______．
【答案】
【解析】
【分析】
聯(lián)立兩直線方程，求出方程的解，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求方程為，代入交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出參數(shù)的值，從而得解；
【詳解】
解：由，解得，即直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)與直線垂直的直線方程為，則，解得，
所以直線方程為；
故答案為：
4．（2022·江蘇·高二）如圖所示，在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為______．

【答案】
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過直線的交點(diǎn)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后得到的坐標(biāo)，最后通過平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求得答案.
【詳解】
如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可知.

于是，，聯(lián)立，則.
所以.
故答案為：.
5．（2022·江蘇·高二）若直線經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求解出直線，的交點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線即可求解.
【詳解】
由題意，直線，，交于一點(diǎn)，
所以，得，
所以直線過點(diǎn)，
得，求解得.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點(diǎn)為，則直線l的一般式方程為______．
【答案】
【解析】
【分析】
通過解方程組求出直線l與兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
設(shè)直線l的斜率為，因?yàn)橹本€l過，
所以直線方程為，
由，
由，由題意可知：是截得的線段的中點(diǎn)，
所以，即，
故答案為：
7．（2022·江蘇·高二）設(shè)三直線；；交于一點(diǎn)，則k的值為______．
【答案】1
【解析】
【分析】
解方程組求出與的交點(diǎn)，代入即可得解.
【詳解】
聯(lián)立，解得，即與交于點(diǎn)，
依題意可知，，解得.
故答案為：.
8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入的坐標(biāo)，求得的值，結(jié)合題意，即可求解.
【詳解】
由題意，直線，
令，可得；令，可得，即，
如圖所示，
當(dāng)直線過點(diǎn)，可得；
當(dāng)直線過點(diǎn)，可得，
要使得直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則，
即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.

9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求過與的交點(diǎn)且與直線平行的直線方程．
【答案】.
【解析】
【分析】
通過解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行直線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
由，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)所求直線為，把代入所設(shè)方程中，得
，故而所求直線方程為．
10．（2022·江蘇·高二）三條直線??有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】或
【解析】
【分析】
首先確定有一個(gè)交點(diǎn)，則若三條直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，需或，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】
由得：，即有一個(gè)交點(diǎn)，或；
即或，解得：或.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P(0，1)作直線l，使它被直線l1：和l2：截得的線段恰好被點(diǎn)P平分，求直線l的方程.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合對稱性可得方程，即可得解.

【詳解】
設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8-2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，
∴直線l的方程為即x＋4y-4＝0.
12．（2022·江蘇·高二）若直線與直線的交點(diǎn)在第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】
【解析】
【分析】
先聯(lián)立兩直線的方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)在第四象限求解.
【詳解】
由得
所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.
又此交點(diǎn)在第四象限，
所以
解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：

題型四：對稱問題
1．（2022·江蘇·高二）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.
【詳解】
設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.
故選：D.
2．（2022·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.
【詳解】
設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對稱的直線上任意一點(diǎn)，
則(x，－y)在上，故，
∴與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.
故選：D.
3．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，解得.
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
故選：A.
4．（2022·廣東潮州·二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（???????）．
A．5 B． C．45 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則線段的長度即為最短總路程，再利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，
則“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選：B．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．
【答案】.
【解析】
【分析】
由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對稱的性質(zhì)，可求得，進(jìn)而求得直線方程為.
【詳解】
由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則， 解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為.
故答案為：
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】
設(shè)對稱直線為，
則有，
解這個(gè)方程得（舍）或.
所以對稱直線的方程中

故答案為：
7．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高一期末）直線關(guān)于定點(diǎn)對稱的直線方程是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出原直線上一個(gè)點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn)，然后用對稱后的直線與原直線平行
【詳解】
在直線上取點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為
過與原直線平行的直線方程為，即為對稱后的直線．
故答案為：
8．（2022·江蘇·高二）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，解方程組求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出反射光線所在直線的方程.
【詳解】
解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線過點(diǎn)，
所以，解得，，即，
又反射光線經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以所求直線的方程為，即．
故答案為：.
9．（2022·江蘇·高二）點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，根據(jù)垂直和中點(diǎn)列方程組可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，
則，解得，
所以點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故答案為：
10．（2022·江蘇·高二）已知、，若P是直線上的點(diǎn)，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
由圖可得兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，計(jì)算即可.
【詳解】
解：如圖，可得兩點(diǎn)在直線的異側(cè)，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，


則，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值為.
故答案為：.
11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，求：
(1)直線l關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程；
(2)直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)直線關(guān)于的對稱直線上任意一點(diǎn)為，求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)，代入直線，即可求解；
（2）由，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，求得關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.
(1)
解：設(shè)直線關(guān)于的對稱直線上任意一點(diǎn)為，
則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱為，
則，解得，即,
將點(diǎn)代入直線，可得，
整理得，即對稱直線的方程為.
(2)
解：由，解得，
即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
再在直線上取一點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
又由，所以直線的方程為，
整理得，
即直線關(guān)于直線l對稱的直線的方程為.
12．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l: .
(1)求點(diǎn)P（3， 4)關(guān)于直線l對稱的點(diǎn)Q；
(2)求直線l關(guān)于點(diǎn)（2， 3)對稱的直線方程．
【答案】(1)Q
(2)x－2y＋10＝0
【解析】
【分析】
（1）利用PQ⊥l，且PQ的中點(diǎn)在直線l上列方程求出Q；
（2）在直線l上任取一點(diǎn)，如M（0，-1)，求出點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)（2， 3)對稱的點(diǎn)N（4， 7)．利用平行，求出斜率，即可求出所求的直線方程.
(1)
設(shè)Q（x0， y0)．
由于PQ⊥l，且PQ的中點(diǎn)在直線l上，
則，解得，所以Q.
(2)
在直線l上任取一點(diǎn)，如M（0， －1).
設(shè)點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)（2， 3)對稱的點(diǎn)為N（x， y)，
所以，解得：，所以N（4， 7)
因?yàn)樗笾本€與l平行，所以,
所以所求的直線方程為，即x－2y＋10＝0.
13．（2022·江蘇·高二）已知點(diǎn)，直線，直線.
(1)求點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)求直線關(guān)于直線的對稱直線方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，解方程組求出，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，
（2）先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再在直線上任取一點(diǎn)，求出其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，從而可求出直線關(guān)于直線的對稱直線方程
(1)
設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，
解得，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
(2)
由，得，所以兩直線交于點(diǎn)，
在直線上取一點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則
，解得，即，
所以，
所以直線為，即，
所以直線關(guān)于直線的對稱直線方程為
14．（2022·江蘇·高二）已知的頂點(diǎn)，AB邊上的高所在的直線方程為．
(1)求直線AB的方程；
(2)在兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中．
①角A的平分線所在直線方程為
②BC邊上的中線所在的直線方程為
______，求直線AC的方程．
【答案】(1)；
(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.
【解析】
【分析】
（1）由兩直線垂直時(shí)，其斜率間的關(guān)系求得直線AB的斜率為，再由直線的點(diǎn)斜式方程可求得答案；
（2）若選①：由，求得點(diǎn)，再求得點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程；
若選②：由，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由BC的中點(diǎn)在直線上，和點(diǎn)C在直線上，求得點(diǎn)，由此可求得直線AC的方程.
(1)
解：因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為，所以直線AB的斜率為，
又因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，所以直線AB的方程為：，
所以直線AB的方程為： ；
(2)
解：若選①：角A的平分線所在直線方程為，
由，解得，
所以點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，解得，所以，
又點(diǎn)在直線AC上，所以，
所以直線AC的方程為，
所以直線AC的方程為；
若選②：BC邊上的中線所在的直線方程為，
由，解得，所以點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則BC的中點(diǎn)在直線上，所以，即，所以點(diǎn)C在直線上，
又點(diǎn)C在直線上，由解得，即，
所以，
所以直線AC的方程為，
所以直線AC的方程為.
15．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知實(shí)數(shù)對滿足，求的最小值；
（2）求的最小值．（提示：聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式）
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由的幾何意義求得點(diǎn)到已知直線的距離即得；
（2）表示到和的距離之和，由平面幾何知識變形后，由兩點(diǎn)距離公式可得．
【詳解】
（1）表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在直線上，
所以其最小值為；
（2）表示到和的距離之和，
與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
，當(dāng)且僅當(dāng)是與軸交點(diǎn)時(shí)取等號，即時(shí)取等號．
所以的最小值是．

16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l ：， P（3，-1），Q（-3，3），當(dāng)時(shí)，求直線l上的動點(diǎn)M到P，Q兩點(diǎn)的距離之和的最小值.
【答案】
【解析】
【分析】
求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，根據(jù)可求出結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，

則，解得，即，
依題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號.
所以直線l上的動點(diǎn)M到P，Q兩點(diǎn)的距離之和的最小值為.

題型五：兩點(diǎn)間的距離
（多選題）1．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）（多選）等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是（???????）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
設(shè)，根據(jù)和可求得點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】
設(shè)，根據(jù)題意可得即
解得或所以或.
故選：AC．
【點(diǎn)睛】
本題考查兩直線垂直的條件，考查兩點(diǎn)間距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末）數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點(diǎn)：對于函數(shù)，的最小值為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得，表示點(diǎn)與點(diǎn)與距離之和的最小值，再找對稱點(diǎn)求解即可.
【詳解】
函數(shù)，
表示點(diǎn)與點(diǎn)與距離之和的最小值，則點(diǎn)在軸上，
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
所以，
所以的最小值為：.
故答案為：.
3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，且，求a的值．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算可得；
【詳解】
解：因?yàn)榍?，所以，解?br /> 4．（2022·江蘇蘇州·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線：mx－（2－m）y－4=0與直線h：x+y－2=0的交點(diǎn)M在第一三象限的角平分線上.
(1)求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若點(diǎn)P在直線l上且，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)3
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線的方程可得值；
（2）設(shè)，代入已知等式可求得值，得坐標(biāo)．
(1)
由得，即．
所以，．
(2)
由（1）直線方程是，在直線上，設(shè)，
則，解得，
所以點(diǎn)坐標(biāo)為．
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知與兩點(diǎn)間的距離是17，求a的值．
【答案】±8
【解析】
【分析】
直接利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解．
【詳解】
因?yàn)榕c兩點(diǎn)間的距離是17，
所以，
解得：a＝±8．
6．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡，轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)距離之和，結(jié)合對稱法，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)
，
根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)表示到點(diǎn)距離之和，
如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，
連接，交軸于點(diǎn)，連接，
可得
又由，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號成立，
所以，即函數(shù)的最小值為.

7．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求函數(shù)的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
化簡，轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)距離之和，結(jié)合對稱法，即可求解．
【詳解】
由題意，函數(shù)
，
根據(jù)兩點(diǎn)距離公式的幾何意義得，函數(shù)表示到點(diǎn)距離之和，
如圖所示，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，
連接，交軸于點(diǎn)，連接，
可得
又由，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號成立，
所以，即函數(shù)的最小值為．

8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，．

(1)試判斷的形狀；
(2)設(shè)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求BC邊上中線的長．
【答案】(1)直角三角形；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用兩點(diǎn)間距離公式直接計(jì)算三角形三邊長即可判斷作答.
(2)求出點(diǎn)D坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.
(1)
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得，，
，，即，
所以是直角三角形.
(2)
依題意，線段BC的中點(diǎn)，，
所以BC邊上中線的長為.
9．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，證明是等邊三角形．
【答案】答案見解析
【解析】
【分析】
利用兩點(diǎn)間的距離公式求解三邊長度，可得證.
【詳解】
因?yàn)?，所以?br /> ，，
所以，所以是等邊三角形．
10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求到，，三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式列方程組求解．
【詳解】
設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，
因此所求點(diǎn)的坐標(biāo)為．
11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，是直線上的兩點(diǎn)，若，且，求直線l的方程．
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
分析題目所給條件的幾何意義，利用兩點(diǎn)距離公式即可.
【詳解】
，
利用兩點(diǎn)距離公式得：
，
，
所以直線AB的方程為 或 ；
故答案為：或.

題型六：點(diǎn)到直線的距離
1．（2022·江蘇·高二）美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn)，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（???????）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.
【詳解】
如圖，以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，

直線，整理為，
原點(diǎn)O到直線距離為，
故選：B
2．（2022·重慶·三模）已知直線上存在一點(diǎn)P，滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知可得原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為1，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得關(guān)于k的不等式，即可求解k的范圍.
【詳解】
因?yàn)橹本€上存在一點(diǎn)P，使得，
所以原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為1，即，解得：，
即k的取值范圍是.
故選：C
3．（2022·吉林吉林·模擬預(yù)測（文））已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（???????）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，
所以有，或，
故選：D
（多選題）4．（2022·江蘇·高二）已知直線l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(???????)
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．
【詳解】
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時(shí)不成立；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
∵點(diǎn)到直線的距離相等，
，解得，或，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，整理得
綜上，直線的方程可能為或
故選：BC．
5．（2022·江蘇·高二）點(diǎn)P為直線上任意一個(gè)動點(diǎn)，則P到點(diǎn)的距離的最小值為___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
先判斷出當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)的連線和直線垂直時(shí)距離最小，再由點(diǎn)到直線的距離求解即可.
【詳解】
由題意得當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)的連線和直線垂直時(shí)距離最小，此時(shí)距離等于點(diǎn)到直線的
距離，故P到點(diǎn)的距離的最小值為3.
故答案為：3.
6．（2022·江蘇·高二）直線，為直線l上動點(diǎn)，則的最小值為___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可求解.
【詳解】
可看成是直線上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，當(dāng)時(shí)，距離最小.故點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為
故答案為：
7．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．若滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的值為________．
【答案】3
【解析】
【分析】
要滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有3個(gè)，則需要直線與函數(shù)的圖象相交，而且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上滿足在直線一側(cè)一個(gè)點(diǎn)到直線距離為，另外一側(cè)兩個(gè)點(diǎn)到直線距離為．利用導(dǎo)數(shù)的的幾何意義和切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出結(jié)果．
【詳解】
過函數(shù)的圖象上點(diǎn)作切線，使得此切線與直線平行，又，于是，則；
所以，于是當(dāng)點(diǎn)到直線的距離為時(shí)，則滿足到直線的距離為的點(diǎn)有且僅有個(gè)，
所以，解得或，
又當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，所以不滿足；
故．
故答案為：.
8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知?和直線，若坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使，且點(diǎn)P到直線l的距離為2，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】或
【解析】
【分析】
根據(jù),可知點(diǎn)在的垂直平分線上，求出的垂直平分線方程，根據(jù)到直線的距離為2，列出方程即可求解.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.∵，，所以線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
而AB所在直線的斜率，
∴線段AB的垂直平分線方程為，即.
∵點(diǎn)在直線上，∴……①；
又點(diǎn)到直線的距離為2，∴，即……②.
聯(lián)立①②，解得或故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
故答案為或
9．（2022·江蘇·高二）已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為、、，試求：
(1)邊上的高所在的直線方程；
(2)的面積．
【答案】(1)
(2)24
【解析】
【分析】
（1）先求出直線的斜率，進(jìn)而得邊上的高的斜率，由點(diǎn)斜式寫出方程即可；
（2）先求出及直線方程，再由點(diǎn)到直線距離公式求得到的距離，即可求得面積.
(1)
因?yàn)椋瑒t邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點(diǎn)，故方程為，化簡得．
(2)
，直線方程為，整理得，
則到的距離為，則的面積為.
10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線l過點(diǎn)且到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，求直線l的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
解法1：直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由直線l到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等求解；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程成立； 解法2：分，則和l過AB中點(diǎn)求解；
【詳解】
解法1：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，即．
由題意知，即，∴，
∴直線l的方程為，即．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，也符合題意．
解法2：當(dāng)時(shí)，，直線l的方程為，即．
當(dāng)l過AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為，∴直線l的方程為．
故所求直線l的方程為或．
11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求過點(diǎn)M(－2, 1)且與A(－1, 2), B(3, 0)兩點(diǎn)距離相等的直線的方程．
【答案】y＝1或x＋2y＝0
【解析】
【分析】
直線斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式列方程求得參數(shù)值得直線方程，再確定斜率不存在的直線是否符合題意即可得．
【詳解】
解：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由條件得＝，
解得k＝0或k＝－，
時(shí)，，，
時(shí)，．
故所求的直線方程為y＝1或x＋2y＝0.
當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意．
綜上，直線方程為y＝1或x＋2y＝0.
12．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、．
(1)求AB邊上的高線所在的直線方程；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由斜率公式求得，得到邊高線斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式，即可求得邊上的高線方程；
（2）求得直線的方程，利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解.
(1)
解：由的頂點(diǎn)坐標(biāo)為、、，
可得，所以邊高線斜率，
所以邊上的高線方程為，即.
(2)
解：直線的方程為，即，
頂點(diǎn)C到直線的距離為，且，
所以的面積

題型七：兩平行直線間的距離
1．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（???????）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由平行求出，再由平行線間距離公式求解即可.
【詳解】
由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是.
故選：D.
2．（2022·江蘇·高二）若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（???????）
A．或11 B．或10
C．或12 D．或11
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因?yàn)閮蓷l平行線與之間的距離是2，
所以，或，
故選：A
3．（2022·貴州·遵義市第五中學(xué)高二期中（理））直線 與直線 之間的距離為_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
確定兩直線是平行直線，故可根據(jù)平行線間的距離公式求得答案.
【詳解】
因?yàn)橹本€ 與直線平行,
而直線可化為，
故直線 與直線 之間的距離為 ，
故答案為：
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，．若，求與的距離．
【答案】
【解析】
【分析】
由得，可解得的值，再利用平行線的距離公式即可求得結(jié)果
【詳解】
由，得，解得或．
當(dāng)時(shí)，兩直線方程均為，不合題意；
當(dāng)時(shí)，方程為，即，方程為，即，所求距離為．
5．（2022·江蘇·高二）已知直線和，若直線l到直線的距離與到直線的距離之比為，則直線l的方程為______．
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)直線的方程為 (c≠-2且c≠-9)，利用兩平行線間的距離公式列方程即可求得.
【詳解】
直線可化為，所以，且直線l與直線l1與l2平行,所以設(shè)直線的方程為 (c≠-2且c≠-9).
由題意可得：，解得：或，
故直線的方程為或.
故答案為：或.
6．（2022·江蘇·高二）若直線與直線平行，且它們之間的距離等于，則直線的方程為___________.
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)出直線，利用兩平行線間的距離解方程求出即可.
【詳解】
設(shè)直線，將直線與直線化為一般式可得，，故它們之間的距離為，
解得或，故直線的方程為或.
故答案為：或.
7．（2022·上海市寶山中學(xué)高二期中）與直線平行且與它的距離為的直線方程是______；
【答案】或
【解析】
【分析】
設(shè)所求直線方程為，根據(jù)平行直線間的距離公式列方程，化簡求得的值，從而求得正確答案.
【詳解】
設(shè)直線平行的直線方程為，
依題意，解得或，
所以所求直線方程為：或.
故答案為：或
8．（2022·江蘇·高二）兩條平行線與之間的距離是___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
根據(jù)平行直線距離公式求解即可.
【詳解】
直線可化為，
又直線與直線的距離為，
所以平行線與之間的距離是，
故答案為：.
9．（2022·江蘇·高二）兩平行直線，分別過，.
(1)，之間的距離為5，求兩直線方程；
(2)若，之間的距離為d，求d的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）斜率不存在時(shí)，不合題意，斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，表示出直線，，利用平行線間的距離公式解出即可；
（2）結(jié)合圖像可知當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時(shí)，，之間的距離d最大，求出，即可求得d的取值范圍.
(1)
當(dāng)，斜率不存在時(shí)，易知，，之間的距離為1，不合題意；
當(dāng)，斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則，化為一般式得，，由，之間的距離為5，可得，
解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故兩直線方程為或.
(2)

如圖：當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和垂直時(shí)，，之間的距離d最大為，當(dāng)，旋轉(zhuǎn)到和重合時(shí)，距離為0，
又兩平行直線，不重合，故.
10．（2022·全國·高二期中）已知直線與平行，且直線與直線之間的距離為，求m、n的值．
【答案】；或.
【解析】
【分析】
根據(jù)兩直線平行的條件及兩直線平行件的距離公式即可求解.
【詳解】
因?yàn)橹本€與平行，
所以，解得，，
又因?yàn)橹本€與直線之間的距離為，
所以，解得或.
綜上，m的值為；n的值為或.
11．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線與直線的距離為，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求得結(jié)果.
【詳解】
直線方程可化為：，
則兩條直線間距離，即，解得：或.
故答案為：或.
12．（2022·全國·高二期中）已知直線過點(diǎn)，且被平行直線：與：所截取的線段長為，求直線的方程．
【答案】或
【解析】
【分析】
根據(jù)兩條平行線之間的距離及解得的線段的長度，可推測出直線與、的夾角，利用正切函數(shù)的兩角和公式即可求解直線的斜率，進(jìn)而得出直線方程.
【詳解】
兩條平行線之間的距離，截得的線段長為，推得直線與、的夾角為45°．
設(shè)直線的斜率為，故
解得：或
則直線的方程為：或.
整理得：或.

題型八：三線能圍成三角形問題
1．（2022·河南·溫縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（???????）
A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠
C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠1
【答案】C
【解析】
【分析】
由三條直線兩兩不平行，且不交于同一點(diǎn)可得．
【詳解】
已知三條直線能構(gòu)成三角形，首先不平行，
若，則三條直線圍成三角形，
若，則，，解得，
時(shí)，由，得，代入得，或，因此
綜上：且．
故選：C．
2．（2022·全國·高二）若三條直線不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)的取值最多有（???????）
A．個(gè) B．個(gè)
C．個(gè) D．個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】
分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)，則三條直線不能構(gòu)成三角形.
【詳解】
三條直線不能構(gòu)成三角形 至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).
若∥，則；若∥，則；
若∥，則的值不存在；
若三條直線相交于同一點(diǎn)，
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
直線和聯(lián)立：，直線和交點(diǎn)為;
三條直線相交于同一點(diǎn)兩點(diǎn)重合或.
故實(shí)數(shù)的取值最多有個(gè).
故選:C
3．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)a的取值不可能為（???????）
A．1 B． C．﹣2 D．﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】
分析可得直線一定相交，聯(lián)立兩方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，直線為，分析可得不滿足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線l3分別與直線l1、l2平行時(shí)，以及過直線交點(diǎn)時(shí)，均滿足題意，分別求解，即可得答案.
【詳解】
因?yàn)橹本€l1的斜率為3，直線l2的斜率為，所以直線一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為：.
當(dāng)時(shí)，直線與x軸垂直，方程為：不經(jīng)過點(diǎn)，所以三條直線能構(gòu)成三角形；
當(dāng)時(shí)，直線的斜率為：.
當(dāng)直線l1與直線l3的斜率相等時(shí)，即，此時(shí)這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；
當(dāng)直線l2與直線l3的斜率相等時(shí)，即，此時(shí)這兩直線平行，因此這三條直線不能三角形；
當(dāng)直線l3過直線交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，即有，所以實(shí)數(shù)a的取值不可能為1.
故選：A
4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是（???????）
A．或 B．
C．且 D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
先排除平行與重合情況，再排除交于一點(diǎn)的情況，最后給出答案.
【詳解】
為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn).
①若，則由，得.
②若，則由，得.
③若，則由，得.
當(dāng)時(shí)，與三線重合，當(dāng)時(shí)，平行.
④若三條直線交于一點(diǎn)，由解得
將的交點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程，
解得（舍去）或.
所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.
（多選題）5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）三條直線，，構(gòu)成三角形，則a的取值可以是（???????）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】CD
【解析】
【分析】
經(jīng)分析可得三線不共點(diǎn)，所以只需直線與另兩條直線不平行，即可求得的范圍．
【詳解】
由題意可得直線與都經(jīng)過原點(diǎn)，
而無論為何值，直線總不經(jīng)過原點(diǎn)，
因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，
所以.
故選：CD
6．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下面三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分三條直線交于一點(diǎn)、至少兩條直線平行或重合，兩種情況討論即可
【詳解】
當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)：由，
解得和的交點(diǎn)A的坐標(biāo)，
由A在上可得2×－3m×＝4，
解得m＝或.
當(dāng)至少兩條直線平行或重合時(shí)：l1、l2、l3至少兩條直線斜率相等，
當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，
當(dāng)時(shí)，，不成立，
綜上， m＝－1，－，，4時(shí)，這三條直線不能組成三角形，
∴實(shí)數(shù)m的取值集合是.
故答案為：.
7．（2022·江蘇·高二）若，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使這個(gè)四邊形面積最小的k值中______．

【答案】#
【解析】
【分析】
分別得出直線和過定點(diǎn)，以及與軸的交點(diǎn)，和與軸的交點(diǎn)，結(jié)合三角形和梯形的面積公式，求得四邊形的面積的表達(dá)式，即可求解.
【詳解】
如圖所示，直線，過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，
直線過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，
由題意知，四邊形的面積等于的面積和梯形的面積之和，
所以所求四邊形的面積為：，
當(dāng)時(shí)，所求四邊形的面積最小.
故答案為：

8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）三條直線 不構(gòu)成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)k的所有取值之和為__________.
【答案】-10
【解析】
【分析】
如果三條直線不構(gòu)成三角形，則必存在平行線，或三條直線過同一點(diǎn)，由此可求得實(shí)數(shù)k的值，從而可得實(shí)數(shù)k的所有取值之和
【詳解】
若?，則k=5，?
若?，則k=-5，?
由??得??，?
若在上，則k=-10．?
∴符合條件的實(shí)數(shù)k的所有取值之和為?
故答案為-10
【點(diǎn)睛】
本題考查兩條直線平行的性質(zhì)，直線的一般式方程，考查兩條直線相交，考查邏輯思維能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．
9．（2022·江蘇·高二）過點(diǎn)作直線l分別交x軸、y軸正半軸于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程，并求此面積最小值．
【答案】直線l的方程為，最小面積為4
【解析】
【分析】
設(shè)直線l的方程為，求出坐標(biāo)，由面積公式以及基本不等式求解即可.
【詳解】
設(shè)直線l的方程為，則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積最小.
此時(shí)直線l的方程為，最小面積為4
10．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線，，.
(1)若這三條直線交于一點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若三條直線能構(gòu)成三角形，求m滿足的條件.
【答案】(1)2；
(2)當(dāng)m≠2且m≠－2且m≠.
【解析】
【分析】
(1)聯(lián)立和的方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)，將此交點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程即可求出m的值；
(2)由題意得到三條直線不能構(gòu)成三角形的情況，求出每一種情況下的值，則答案可求．
(1)
由解得，代入的方程，得m＝2.
(2)
當(dāng)三條直線相交于一點(diǎn)或其中兩直線平行時(shí)三條直線不能構(gòu)成三角形．
①聯(lián)立，解得，代入，得；
②當(dāng)與平行時(shí)，，
當(dāng)與平行時(shí)，．
綜上所述，當(dāng)且時(shí)，三條直線能構(gòu)成三角形．
11．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若三條直線，和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求a滿足的條件.
【答案】且且
【解析】
【分析】
先求得與的交點(diǎn)，由不過該點(diǎn)，以及與、不平行來求得滿足的條件.
【詳解】
，
所以不過，即①，
直線的斜率為，直線的斜率為，
所以，所以且②，
由①②得滿足的條件為且且.
12．（2022·湖北·武漢市第十五中學(xué)高二期末）已知直線，直線，直線．
(1)若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；
(2)當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形．
【答案】(1)
(2)0，，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而求解得答案；
（2）根據(jù)題意，分別討論與垂直，與垂直，與垂直求解，并檢驗(yàn)即可得答案.
(1)
解：因?yàn)榕c的傾斜角互補(bǔ)，
所以，
直線變形為，故
所以，解得
(2)
解：由題意，若和垂直可得：，解得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，構(gòu)不成三角形，
當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意； 故；
同理，若和垂直可得：，解得，舍去；
若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；
故m的值為：0，，.
13．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩直線l1：x﹣2y+4＝0，l2：4x+3y+5＝0.
(1)求直線l1與l2的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)求過l1，l2交點(diǎn)P，且在兩坐標(biāo)軸截距相等的直線方程；
(3)若直線l3：ax+2y﹣6＝0與l1，l2不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】(1)（﹣2，1）
(2)x+y+1＝0或x+2y＝0
(3)a＝﹣1或或﹣2
【解析】
【分析】
（1）聯(lián)立方程組即可求解；（2）先對截距為0和不為0討論，再由題意可設(shè)直線方程，即可求解；
（3）分三類：第一，l3與l1平行；第二，l3與l2平行；第三，l3過l1，l2的交點(diǎn)，進(jìn)而可以求解.
(1)
由，解得：，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，1）；
(2)
設(shè)所求直線為l，
（i）當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸截距不為零時(shí)，
設(shè)直線方程為：，則，解得t＝﹣1，
所以直線的l方程為，即x+y+1＝0；
（ii）當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸截距為零時(shí)，
設(shè)直線方程為：y＝kx，則1＝k×（﹣2），解得，
所以直線的l方程為，即x+2y＝0；
綜上，直線的l方程為x+y+1＝0或x+2y＝0；
(3)
（i）當(dāng)l3與l1平行時(shí)不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：a×（﹣2）﹣2×1＝0，解得a＝﹣1；
（ii）當(dāng)l3與l2平行時(shí)不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：a×3﹣2×4＝0，解得；
（iii）當(dāng)l3過l1，l2的交點(diǎn)時(shí)不能構(gòu)成三角形，此時(shí)：a×（﹣2）+2×1﹣6＝0，
解得a＝﹣2.
綜上，當(dāng)a＝﹣1或或﹣2時(shí)，不能構(gòu)成三角形.



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