?第13講 橢圓
【知識點梳理】
知識點一：橢圓的定義
平面內一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數()，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.
知識點詮釋：
若，則動點的軌跡為線段；
若，則動點的軌跡無圖形.
知識點二：橢圓的標準方程
1．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
2．當焦點在軸上時，橢圓的標準方程：，其中；
知識點詮釋：
3．這里的“標準”指的是中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；
4．在橢圓的兩種標準方程中，都有和；
5．橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；當焦點在軸上時，橢圓的焦點坐標為，；
6． 在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上.
知識點三：求橢圓的標準方程
求橢圓的標準方程主要用到以下幾種方法：
（1）待定系數法：①若能夠根據題目中條件確定焦點位置，可先設出標準方程，再由題設確定方程中的參數a，b，即：“先定型，再定量”.②由題目中條件不能確定焦點位置，一般需分類討論；有時也可設其方程的一般式：.
（2）定義法：先分析題設條件，判斷出動點的軌跡，然后根據橢圓的定義確定方程，即“先定型，再定量”。利用該方法求標準方程時，要注意是否需先建立平面直角坐標系再解題.
知識點四：橢圓的簡單幾何性質
我們根據橢圓來研究橢圓的簡單幾何性質

橢圓的范圍
橢圓上所有的點都位于直線x=±a和y=±b所圍成的矩形內，所以橢圓上點的坐標滿足|x|≤a，|y|≤b.
橢圓的對稱性
對于橢圓標準方程，把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以橢圓是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為橢圓的中心。
橢圓的頂點
①橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。
②橢圓（a＞b＞0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。
③線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。
橢圓的離心率
①橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作.
②因為a＞c＞0，所以e的取值范圍是0＜e＜1。e越接近1，則c就越接近a，從而越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a=b時，c=0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2+y2=a2。
知識點五：橢圓標準方程中的三個量a、b、c的幾何意義
橢圓標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由橢圓本身的形狀大小所確定的，分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數，且三個量的大小關系為：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
可借助下圖幫助記憶：

a、b、c恰構成一個直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。
和a、b、c有關的橢圓問題常與與焦點三角形有關，這樣的問題考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結合的方法進行計算與解題，將有關線段、、，有關角()結合起來，建立、之間的關系.
知識點六：橢圓兩個標準方程幾何性質的比較
標準方程


圖形


性質
焦點
，
，
焦距


范圍
，
，
對稱性
關于x軸、y軸和原點對稱
頂點
，
，
軸
長軸長=，短軸長=
離心率

知識點詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數間的關系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同點為兩種橢圓的位置不同，它們的焦點坐標也不相同；
橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標軸上。
【題型歸納目錄】
題型一：橢圓的定義
題型二：求橢圓的標準方程
題型三：橢圓的綜合問題
題型四：軌跡方程
題型五：橢圓的簡單幾何性質
題型六：求橢圓的離心率
題型七：求橢圓離心率的取值范圍
題型八：由橢圓離心率求參數的取值范圍
題型九：橢圓中的范圍與最值問題
題型十：焦點三角形



【典型題】
題型一：橢圓的定義
例1．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（文））已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓

例2．（2022·甘肅武威·高二期末（理））動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．線段 D．不能確定

例3．（2022·四川·攀枝花市第三高級中學校高二階段練習（理））已知，是兩個定點，且（是正常數），動點滿足，則動點的軌跡是（???????）
A．橢圓 B．線段 C．橢圓或線段 D．直線

例4．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的焦點為，點滿足，則（　?。?br /> A．點在橢圓外
B．點在橢圓內
C．點在橢圓上
D．點與橢圓的位置關系不能確定

例5．（2022·全國·高二課時練習）若橢圓上一點A到焦點的距離為2，則點A到焦點的距離為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4

例6．（2022·安徽·淮南第二中學高二開學考試）已知，分別是橢圓的左、右焦點，點在上，若，則（???????）
A． B． C．1 D．2

例7．（2022·重慶·高二期末）是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（???????）
A．3 B．4 C．5 D．6

例8．（2022·寧夏·平羅中學高二期末（理））已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是，則點到另一個焦點的距離為（???????）
A．2 B．3 C．4 D．5

例9．（2022·廣東·執(zhí)信中學高二期中）已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（?????）
A．8 B．10 C． D．12

例10．（2022·全國·高二）已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（???????）
A．1 B．3 C．9 D．81

例11．（2022·貴州畢節(jié)·高二期末（理））設P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（???????）
A． B． C． D．


題型二：求橢圓的標準方程
例12．（2022·浙江金華·高二期末）已知的周長等于10，，通過建立適當的平面直角坐標系，頂點的軌跡方程可以是（?????）
A． B．
C． D．

例13．（2022·山東煙臺·高二期末）以，為焦點，且經過點的橢圓的標準方程為（???????）
A． B． C． D．

例14．（2022·江西鷹潭·高二期末（理））方程化簡的結果是（???????）
A． B． C． D．

例15．（2022·河北省博野中學高二期末）已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（???????）
A． B．
C． D．

例16．（2022·全國·高二課時練習）橢圓兩焦點間的距離為16，且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別等于9和15，則橢圓的標準方程是______．

例17．（2022·安徽省蚌埠第三中學高二開學考試）方程化簡的結果是___________．

例18．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圓A：內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.

例19．（2022·全國·高二課時練習）如果點在運動過程中，總滿足關系式，則______（用含y的式子表示），它的標準方程是______．

例20．（2022·全國·高二課時練習）點P到點、的距離之和為，求動點P的軌跡方程．

例21．（2022·全國·高二課時練習）已知的三邊滿足，且，求點A的軌跡方程，并說明它是什么曲線．

例22．（2022·江蘇·高二課時練習）在△ABC中，B(－4，0)，C(4，0)，且周長為18.
(1)求證：點A在一個橢圓上運動；
(2)寫出這個橢圓的標準方程．

例23．（2022·四川·自貢成外高級中學有限公司高二階段練習（文））分別根據下列條件，求橢圓的標準方程：
(1)一個焦點坐標為，且橢圓上的點到兩焦點的距離之和是26；
(2)一個焦點坐標為，且橢圓經過點．

例24．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的兩個焦點分別為和，再添加什么條件，可使得這個橢圓的方程為？


題型三：橢圓的綜合問題
例25．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，若的周長為（???????）
A． B． C． D．

例26．（2022·河南宋基信陽實驗中學高二階段練習（理））橢圓的左右焦點分別為，為橢圓上一點，若，則的周長為（???????）
A． B． C． D．

例27．（2022·甘肅·永昌縣第一高級中學高二期末（文））已知△的頂點B，C在橢圓上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另一個焦點在BC邊上，則△的周長是（???????）
A． B． C．8 D．16

例28．（2022·全國·高二課時練習）在平面直角坐標系中，已知△ABC頂點和，頂點B在橢圓上，則的值是（???????）
A．0 B．1 C．2 D．不確定

例29．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（文））在平面直角坐標系中，若△ABC的頂點和，頂點B在橢圓上，則的值是（???????）
A． B．2 C． D．4

例30．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學高二期末（文））一動圓與圓外切，而與圓內切，那么動圓的圓心的軌跡是（???????）
A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．雙曲線的一支

例31．（2022·湖南省岳陽縣第一中學高二階段練習）設、是橢圓的兩個焦點，為坐標原點，點在上，且的面積為，則（???????）
A． B． C． D．

例32．（2022·北京·101中學高二期末）已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（???????）
A．圓 B．兩個圓 C．橢圓 D．兩個橢圓

例33．（2022·四川·遂寧中學高二階段練習（理））已知橢圓的左右焦點分別為，，橢圓上有兩點，（點A在x軸上方），滿足，若，則直線的斜率為（???????）
A． B． C．2 D．3

例34．（2022·福建漳州·高二期末）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（???????）
A． B． C． D．

例35．（2022·四川·遂寧中學高二階段練習（理））橢圓兩焦點分別為，，動點在橢圓上，若的面積的最大值為12，則此橢圓上使得為直角的點有（???????）
A．個 B．個 C．個 D．個

例36．（2022·安徽省亳州市第一中學高二開學考試）已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數為（???????）
A． B． C． D．不能確定

例37．（2022·北京順義·高二期末）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（???????）
①曲線關于坐標原點對稱；
②曲線是一個橢圓；
③曲線圍成區(qū)域的面積小于橢圓圍成區(qū)域的面積.
A．① B．①② C．③ D．①③

例38．（多選題）（2022·海南·嘉積中學高二階段練習）設，為橢圓的兩個焦點，點M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說法正確的是（???????）
A．符合條件的M點有4個 B．M點的縱坐標可以是
C．的面積一定是 D．的周長一定是


題型四：軌跡方程
例39．（2022·廣東廣州·高二期末）已知的周長為，頂點、的坐標分別為、，則點的軌跡方程為（???????）
A． B．
C． D．

例40．（2022·廣東揭陽·高二期末）△ABC的兩個頂點坐標A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（???????）
A． B．（y≠0）
C． D．

例41．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學高二期末（理））已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動圓M在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（???????）
A． B．
C． D．

例42．（2022·全國·高二）已知在中，點，點，若，則點C的軌跡方程為（??????????）
A． B．（）
C． D．（）

例43．（2022·河南·高二階段練習（理））圓的半徑為4，圓心為是圓內一個定點，是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡方程為（???????）
A． B．
C． D．

例44．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期末）如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是（???????）

A．圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．橢圓

例45．（2022·全國·高二課時練習）若△ABC的三邊長a?b?c滿足，?，則頂點B的軌跡方程是___________.

例46．（2022·天津天津·高二期末）已知B(，0)是圓A：內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.

例47．（2022·全國·高二課時練習）點P到點、的距離之和為，求動點P的軌跡方程．

例48．（2022·全國·高二單元測試）設P為橢圓上的一個動點，過點P作橢圓的切線與圓O：相交于M、N兩點，圓O在M、N兩點處的切線相交于點Q.

(1)求點Q的軌跡方程；
(2)若P是第一象限內的點，求OPQ面積的最大值.

例49．（2022·江蘇·高二）已知定點、和動點．
(1)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：動點M的軌跡及其方程．
條件①：
條件②：
(2)，求：動點M的軌跡及其方程．

例50．（2022·江蘇·高二）已知點M到定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，設點M的軌跡為曲線C，求曲線C的方程，并說明軌跡是什么圖形．

例51．（2022·全國·高二課時練習）已知△ABC底邊兩端點、，若這個三角形另外兩邊所在直線的斜率之積為，求點A的軌跡方程．


題型五：橢圓的簡單幾何性質
例52．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二階段練習）與橢圓有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是（???????）
A． B． C． D．

例53．（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高二期末（理））若點在橢圓的外部，則的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

例54．（2022·四川攀枝花·高二期末（理））已知橢圓的兩個焦點分別為，且平行于軸的直線與橢圓交于兩點，那么的值為（???????）
A． B． C． D．

例55．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的離心率為，則橢圓E的長軸長為（???????）．
A． B． C． D．

例56．（2022·全國·高二課時練習）連接橢圓短軸的一個頂點與兩焦點的三角形是等邊三角形，則長軸長與短軸長之比為（???????）
A．2 B． C． D．4

例57．（多選題）（2022·全國·高二課時練習）在曲線中，（???????）
A．當時，則曲線C表示焦點在y軸的橢圓
B．當時，則曲線C為橢圓
C．曲線C關于直線對稱
D．當時，則曲線C的焦距為

例58．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的焦點坐標是______．

例59．（2022·全國·高二單元測試）若曲線與橢圓有兩個不同的交點，則a的取值范圍是___________.

例60．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的長軸長為______，短軸長為______，焦點坐標為______，頂點坐標為______．

例61．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學高二期末）已知橢圓，分別是橢圓的上、下頂點，是左頂點，為左焦點，直線與相交于點，則________．

例62．（2022·上海理工大學附屬中學高二期中）對稱中心為原點、對稱軸為坐標軸，橢圓上的點到左焦點的最大值為8，且離心率為，則此橢圓的標準方程為______．

例63．（2022·四川·南部縣第二中學高二階段練習（文））在直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為，過的直線交于兩點，且的周長為，那么的方程為________.

例64．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的方程為.
(1)求它的長軸長?短軸長?頂點坐標?焦點坐標；
(2)與該橢圓有相同焦點的橢圓有多少個？試寫出其中的兩個橢圓方程.

例65．（2022·全國·高二課時練習）如果直線l：與橢圓C：（）總有公共點，求實數a的取值范圍.

例66．（2022·全國·高二課時練習）求下列橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點坐標：
(1)；
(2)．


題型六：求橢圓的離心率
例67．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（???????）
A． B． C． D．

例68．（2022·江蘇·高二）橢圓的兩焦點為，若橢圓上存在點使為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C．或 D．或

例69．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左?右焦點分別為為橢圓上一點，若的周長為54，且橢圓的短軸長為18，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例70．（2022·江蘇·高二）已知分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例71．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例72．（2022·湖南·長沙一中高二階段練習）兩個長軸在x軸上、中心在坐標原點且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點和上頂點，分別向內層橢圓作切線AC，BD，切點分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例73．（2022·四川·威遠中學校高二階段練習（理））已知橢圓，圓，若的重心在橢圓上，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例74．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室高二期中（文））已知橢圓的左、右焦點分別為，，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且，，，則橢圓E的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例75．（2022·四川·閬中中學高二期中（文））已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例76．（2022·四川·射洪中學高二期中）橢圓的左?右焦點分別為，，為橢圓上一點，若的周長為，則橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例77．（2022·江蘇省江浦高級中學高二期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，P為C上的一點，且，，則橢圓C的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例78．（2022·四川·寧南中學高二階段練習（文））已知F是橢圓的左焦點，經過原點O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點，若且，則橢圓E的離心率為（???????）．
A． B． C． D．

例79．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（文））公元前三世紀，阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中明確給出了橢圓一個基本性質：過橢圓上任意一點（不同于，）作長軸的垂線，垂足為，則為常數，若，則該橢圓的離心率為（???????）
A． B． C． D．

例80．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習）已知，是橢圓C:的左，右焦點，P是橢圓C上一點，若|依次成等差數列，則橢圓C的離心率為（?????）
A． B． C． D．不能確定


題型七：求橢圓離心率的取值范圍
例81．（2022·福建泉州·高二期中）已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例82．（2022·江西贛州·高二期中（文））已知橢圓，P是橢圓C上的點，是橢圓C的左右焦點，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例83．（2022·浙江浙江·高二期中）設橢圓的兩焦點為，．若橢圓C上有一點P滿足，則橢圓C的離心率的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例84．（2022·四川·南部縣第二中學高二階段練習（理））已知是橢圓的右焦點，若直線與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

又|FA|= ，

，

，又，
∴.
故選：D.
例85．（2022·四川省資中縣球溪高級中學高二階段練習（文））已知 ，是橢圓的兩個焦點，若橢圓C上存在點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B．
C． D．

例86．（2022·四川·閬中中學高二期中（文））已知，是橢圓：的左右焦點，若橢圓上存在一點使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例87．（2022·福建省福州第一中學高二期末）已知橢圓=1（a>b>0）的右焦點為F，橢圓上的A，B兩點關于原點對稱，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，則該橢圓離心率的取值范圍是（???????）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)

例88．（2022·山東省鄆城第一中學高二開學考試）已知橢圓的右焦點為，若存在過原點的直線與的交點，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例89．（2022·黑龍江·大慶中學高二階段練習）已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線與橢圓相交于、兩點.若，點到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例90．（2022·全國·高二）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點，若在橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例91．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知正方形的四個頂點都在橢圓上，若的焦點F在正方形的外面，則的離心率的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．

例92．（2022·四川·射洪中學高二階段練習（文））已知點F是橢圓的右焦點，過點且垂直于y軸的直線與橢圓交于B，C兩點.當為銳角三角形時，橢圓的離心率的取值范圍為___________.

例93．（2022·江蘇·高二課時練習）設橢圓的兩個焦點分別為，，短軸的一個端點為P．
(1)若為直角，求橢圓的離心率；
(2)若為鈍角，求橢圓離心率的取值范圍．


題型八：由橢圓離心率求參數的取值范圍
例94．（2022·甘肅白銀·高二期末（文））已知橢圓的離心率為，則（???????）
A． B． C． D．

例95．（2022·貴州·畢節(jié)市第一中學高二階段練習（文））已知橢圓的右焦點為，滿足：，若點為橢圓上一點，記的最大值為，記最小值為，則的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例96．（2022·甘肅·民勤縣第一中學高二期末（理））已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（???????）
A． B．
C． D．

例97．（2022·河南南陽·高二階段練習（文））畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數學家加斯帕爾·蒙日發(fā)現：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為，橢圓的離心率為，為蒙日圓上一個動點，過點作橢圓的兩條切線，與蒙日圓分別交于、兩點，則面積的最大值為（???????）
A． B． C． D．

例98．（多選題）（2022·湖南·高二期中）已知橢圓的離心率，則k的值可能是（???????）
A．－7 B．7 C．— D．

例99．（2022·安徽滁州·高二期中）已知橢圓C的離心率為，則橢圓C的長軸長與短軸長的比值為______．

例100．（2022·河北邢臺·高二階段練習）最能引起美感的比被稱為黃金分割．現定義離心率是的橢圓為“黃金橢圓”已知橢圓是“黃金橢圓”，則__________．

例101．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學高二階段練習）已知橢圓的離心率，則的值為________.

例102．（2022·廣東·佛山一中高二階段練習）設是橢圓的離心率，若，則的取值范圍是_________.

例103．（2022·北京·北科大附中高二期末）若橢圓和橢圓的離心率相同，且，給出如下四個結論：
①橢圓和橢圓一定沒有公共點；
②；???????
③；
④.
則所有結論正確的序號是_____.

例104．（2022·河北·順平縣中學高二階段練習）已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個動點，則與定點連線距離的最大值為________．

例105．（2022·四川省資陽中學高二期中（理））已知橢圓離心率，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點（A在第一象限），過A作x軸垂線交橢圓于點C，過A作直線AP垂直AB交橢圓于點P，連接BP交AC于點Q，則____


題型九：橢圓中的范圍與最值問題
例106．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高二期中）橢圓上的點到直線：的距離的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例107．（2022·全國·高二課時練習）設為橢圓上的動點，為橢圓的焦點，為的內心，則直線和直線的斜率之積（　?。?br />
A．是定值 B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值 D．非定值，且不存在最值

例108．（2022·河南·輝縣市第一高級中學高二期末（文））設是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，則的最小值是（???????）
A． B． C． D．

例109．（2022·安徽·高二期中）橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（???????）
A． B． C． D．

例110．（2022·遼寧·高二期中）動點分別與兩定點，連線的斜率的乘積為，設點的軌跡為曲線，已知，，則的最小值為（???????）
A．4 B．8 C． D．12

例111．（2022·安徽·高二階段練習）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上的動點，，，則的最小值為（???????）
A． B．
C． D．

例112．（2022·安徽·蕪湖一中高二階段練習）直線與橢圓相交兩點，點是橢圓上的動點，則面積的最大值為（???????）
A．2 B． C． D．3

例113．（2022·全國·高二專題練習）已知點和，是橢圓上的動點，則最大值是（???????）
A． B． C． D．

例114．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中（理））已知是橢圓的左焦點，為橢圓上一點，，則的最大值為（???????）
A． B． C． D．

例115．（2022·四川·攀枝花市第三高級中學校高二階段練習（理））已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍是（???????）
A． B．
C． D．

例116．（2022·四川·攀枝花七中高二階段練習（理））若方程表示的曲線為焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍為（???????）
A． B． C． D．

例117．（2022·黑龍江·佳木斯一中高二期中）已知P為橢圓上任意一點，EF為圓任意一條直徑，則的取值范圍為（???????）
A．[8，12] B． C． D．

例118．（2022·江蘇南通·高二期中）已知方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數m的取值范圍是（???????）
A．（－3，1） B．（－3，5）
C．（4，5） D．

例119．（多選題）（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高二期中）已知點是橢圓：上的動點，是圓：上的動點，則（???????）
A．橢圓的短軸長為1 B．橢圓的離心率為
C．圓在橢圓的內部 D．的最小值為

例120．（2022·全國·高二專題練習）已知為橢圓的左焦點，是其內一點，為橢圓上的動點，則的最大值為__，最小值為__.

例121．（2022·山東·德州市第一中學高二階段練習）橢圓，橢圓上一點到兩焦點的距離分別為5，3，過且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，橢圓的標準方程為： ______，若，分別是橢圓的左焦點和右頂點，是橢圓上任意一點，則的最大值是______.

例122．（2022·重慶市實驗中學高二階段練習）已知點在橢圓上運動，點在圓上運動，則的最小值為___________.

例123．（2022·江蘇省丹陽高級中學高二階段練習）已知橢圓：的離心率為，過右焦點F且傾斜角為的直線與橢圓形成的弦長為，且橢圓上存在4個點M，N，P，Q構成矩形，則矩形MNPQ面積的最大值為_________.

例124．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知點，是橢圓內的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______．

例125．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高二期中）設F1，F2分別是橢圓+=1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6，4)，則|PM|+|PF1|的最大值為____.

例126．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓：內有一點，，分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的一點，求：
(1)的最大值與最小值；
(2)的最大值與最小值．


題型十：焦點三角形
例127．（2022·全國·高二課時練習）若橢圓的左、右焦點分別為、，點P為橢圓C上一動點，則下列說法中不正確的是（???????）
A．當點P不在x軸上時，的周長是6
B．當點P不在x軸上時，面積的最大值為
C．存在點P，使
D．的取值范圍是

例128．（2022·河南平頂山·高二期末（理））設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（???????）
A．為銳角三角形 B．為鈍角三角形
C．為直角三角形 D．，，三點構不成三角形

例129．（2022·山西·康杰中學高二開學考試）已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，已知定點，點是橢圓上的一個動點，下列結論中不正確的是（???????）
A．存在點，使得 B．直線與直線斜率乘積為定值
C．有最小值 D．的范圍為

例130．（2022·安徽省亳州市第一中學高二開學考試）已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數為（???????）
A． B． C． D．不能確定

例131．（2022·吉林·梅河口市第五中學高二期末）阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C：的左，右焦點分別是，，P是C上一點，，，C的面積為12π，則C的標準方程為（???????）
A． B． C． D．

例132．（多選題）（2022·江蘇·淮陰中學高二期中）已知橢圓，若P在橢圓上，、是橢圓的左、右焦點，則下列說法正確的有（???????）
A．若，則 B．面積的最大值為
C．的最大值為 D．滿足是直角三角形的點有個

例133．（2022·廣東·深圳市高級中學高二期中）已知橢圓M：的左右焦點分別為，左右頂點分別為，P是橢圓上異于的任意一點，則下列說法正確的是（???????）
A．周長為
B．面積最大值為
C．存在點P滿足：
D．若面積為，則點P橫坐標為

例134．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學高二期末）設橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于兩點，現給出下述結論，其中所有正確結論的是（???????）
A．
B．的周長的取值范圍是（6，12）
C．當時，的面積為
D．當時，為直角三角形．

例135．（2022·全國·高二期中）已知橢圓的左、右焦點為，，點P為橢圓上動點，則的值是______；的取值范圍是______．

例136．（2022·全國·高二課時練習）已知橢圓的焦點為，，若橢圓C上存在一點P，使得，且△的面積等于4.則實數b的值為___________.

例137．（2022·全國·高二單元測試）若中，，（，且m?n為定值），則面積的最大值為___________.

例138．（2022·四川·南部縣第二中學高二階段練習（文））已知點是橢圓上一點，是其左右焦點，且，則三角形的面積為_________

例139．（2022·全國·高二課時練習）已知點在焦點為、的橢圓上，若，則的值為______．

例140．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的兩個焦點為?，點P在橢圓C上，且，，，則橢圓C的方程為___________.

例141．（2022·全國·高二課時練習）橢圓的左、右焦點分別為和，點P在橢圓上．如果線段的中點在y軸上，那么是的______倍．

例142．（2022·廣東茂名·高二期末）橢圓有這樣的光學性質：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經橢圓反射后，反射光線經過橢圓的另一個焦點.根據橢圓的光學性質解決下題：現有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程，點A，B是它的兩個焦點.當靜止的小球從點A開始出發(fā)，沿60°角方向作直線運動，經橢圓內壁反射后再回到點A時，小球經過的路程為___________.


例143．（2022·全國·高二課時練習）已知點P為橢圓上任一點，、為兩焦點，，求△的面積．




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