專題09 集合的概念-暑假初三升高一數(shù)學(xué)銜接知識自學(xué)講義（人教A版2019）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題09 集合的概念
【知識點梳理】
知識點1：集合的概念
(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)．
(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合相等．
【知識點撥】集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：
(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．
(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的．
(3)無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合{1,2,3}與{2,3,1}表示同一集合．
知識點2：元素與集合的關(guān)系
關(guān)系
概念
記法
讀法
屬于
如果a是集合A中的元素，就說a屬于集合A
a∈A
a屬于集合A
不屬于
如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A
a?A
a不屬于集合A
【知識點撥】符號“∈”和“?”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合，具有方向性，左右兩邊不能互換．
知識點3：集合的表示法
(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法．例如：小于3的實數(shù)組成的集合．
(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用數(shù)集的表示：
名稱
非負(fù)整數(shù)集
(自然數(shù)集)
正整數(shù)集
整數(shù)集
有理數(shù)集
實數(shù)集
符號
N
N*或N＋
Z
Q
R
(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(4)描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的
一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
【題型歸納目錄】
題型1：集合與元素的含義
題型2：元素與集合的關(guān)系
題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用
題型4：列舉法表示集合
題型5：描述法表示集合
題型6：集合表示的綜合問題
【典型例題】
題型1：集合與元素的含義
1．（2022湖南·懷化五中高一期中）下面給出的四類對象中，構(gòu)成集合的是（???????）
A．某班視力較好的同學(xué) B．長壽的人 C．的近似值 D．倒數(shù)等于它本身的數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的定義分析判斷即可.
【詳解】
對于A，視力較好不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于B，長壽也不是一個明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于C，的近似值沒有明確近似到小數(shù)點后面幾位，
不是明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于D，倒數(shù)等于自身的數(shù)很明確，只有1和-1，故可以構(gòu)成集合；
故選：D.
2．（2022北大附中云南實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（???????）
A．與非常接近的全體實數(shù)
B．北大附中云南實驗學(xué)校學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．高一年級很有才華的老師
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合中元素的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.
【詳解】
對于ACD，集合中的元素具有確定性，但ACD中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD錯誤；
B中的元素滿足集合中元素的特點，可以構(gòu)成集合，B正確.
故選：B.
3．（2022·全國·高一）給出下列表述：①聯(lián)合國常任理事國；②充分接近的實數(shù)的全體；③方程的實數(shù)根④全國著名的高等院校.以上能構(gòu)成集合的是（???????）
A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合中的元素需要滿足：確定性、互異性、無序性進(jìn)行判斷.
【詳解】
解：
① 聯(lián)合國的常任理事國有：中國、法國、美國、俄羅斯、英國.所以可以構(gòu)成集合.
② 中的元素是不確定的，不滿足集合確定性的條件，不能構(gòu)成集合.
③ 方程的實數(shù)根是確定，所以能構(gòu)成集合.
④ 全國著名的高等院校.不滿足集合確定性的條件，不構(gòu)成集合.
故選：A
4．（2022甘肅蘭州·高一期中）下列說法正確的是（???????）
A．某個村子里的高個子組成一個集合
B．所有小正數(shù)組成一個集合
C．集合和表示同一個集合
D．這六個數(shù)能組成一個集合
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的性質(zhì)，結(jié)合各選項的描述判斷正誤.
【詳解】
A：某個村子里的高個子，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯誤；
B：所有小正數(shù)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯誤；
C：和中的元素相同，它們是同一個集合，正確；
D：中含有相同的數(shù)，不符合集合元素的互異性，錯誤.
故選：C
5．（2022江西省崇義中學(xué)高一期中）下面能構(gòu)成集合的是（???????）
A．中國的小河流 B．大于5小于11的偶數(shù)
C．高一年級的優(yōu)秀學(xué)生 D．某班級跑得快的學(xué)生
【答案】B
【解析】
【分析】
結(jié)合集合中元素的特征，對選項逐個分析可選出答案.
【詳解】
由題意，對于A，我國的小河流不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性；
對于B，大于5小于11的偶數(shù)為，可以構(gòu)成集合；
對于C，高一年級的優(yōu)秀學(xué)生不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性；
對于D，某班級跑得快的學(xué)生不能構(gòu)成集合，不符合集合中元素的確定性.
故選：B.
6．（2022全國·高一課時練習(xí)）下列對象能構(gòu)成集合的是（???????）
A．高一年級全體較胖的同學(xué)
B．接近于0的數(shù)
C．全體很大的自然數(shù)
D．平面內(nèi)到三個頂點距離相等的所有點
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合中元素的確定性，即可判斷對象能否構(gòu)成集合.
【詳解】
解：A中的“較胖”、B中的“接近于”和C中的“很大”都沒有一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，
不滿足元素的確定性，所以A，B，C中的對象均不能構(gòu)成集合，
顯然D中的對象滿足元素的確定性，則能構(gòu)成集合．
故選：D．
7．（2022全國·高一課時練習(xí)）下列各個全體中，能表示為集合的是（???????）
A．某屆某校較優(yōu)秀的畢業(yè)生； B．很接近的所有實數(shù)；
C．某班身高較高的男生； D．?dāng)?shù)軸上所有的有理數(shù)點．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的概念依次判斷即可得答案.
【詳解】
解：對于A選項，較優(yōu)秀的畢業(yè)生不確定，故不正確；
對于B選項，很接近的數(shù)沒有度量標(biāo)準(zhǔn)，故不正確；
對于C選項，身高較高沒有度量標(biāo)準(zhǔn)，故不正確；
對于D選項，滿足集合的概念，故正確.
故選：D
題型2：元素與集合的關(guān)系
1．（2022湖南·衡陽市田家炳實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）下列關(guān)系中正確的個數(shù)是（?????）
①，②，?????③，???④
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
不是整數(shù)，是實數(shù)，不是正整數(shù)，是無理數(shù)
【詳解】
①錯誤②正確③錯誤④正確
故選：B
2．（2022浙江·金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí)）給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；
【詳解】
是實數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯誤；－3是整數(shù)，③錯誤；－是無理數(shù)，④正確.
所以正確的個數(shù)為2.
故選：B.
3．（2022·四川自貢·高一期末）若，則的值為（???????）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.
【詳解】
若，則，不符合集合元素的互異性；
若，則或（舍），此時，符合題意；
綜上所述：.
故選：A.
4．（2022黑龍江·勃利縣高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，且，則實數(shù)m的值為（???????）
A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依題意可得或，求出方程的根，再代入集合中檢驗即可；
【詳解】
解：因為，且，所以或，解得或或，當(dāng)時，即集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時集合不滿足集合元素的互異性，故，當(dāng)時滿足條件；
故選：A
5．（2022江蘇·常州市第一中學(xué)高一期中）已知集合，若，則實數(shù)的值為（???????）．
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系，及集合元素的互異性即可求出的值.
【詳解】
，且，或
⑴、當(dāng)即或，
①、當(dāng)時，，，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
②、當(dāng)時，，，此時，符合題意；
⑵、當(dāng)即時，此時，不滿足集合元素的互異性，故舍去；
綜上所述：實數(shù)的值為1.
故選：B
6．（2022山西·大同市平城中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知集合，若A中只有一個元素，則a=（　　）
A．0或 B． C． D．0或
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)A中只有一個元素，分和兩種情況討論即可得出答案.
【詳解】
解：當(dāng)時，,符合題意，
當(dāng)時，因為 A中只有一個元素，則方程只有一個解，
所以，所以.
綜上所述或.
故選：A.
題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用
1．（2022全國·高一課時練習(xí)）若集合，則下列說法中正確的是（?????）
A．a(chǎn)可取全體實數(shù)
B．a(chǎn)可取除去0以外的所有實數(shù)
C．a(chǎn)可取除去3以外的所有實數(shù)
D．a(chǎn)可取除去0和3以外的所有實數(shù)
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素的互異性可知，解之即可求出結(jié)果.
【詳解】
由集合中元素的互異性可知，即，故，，因此a可取除去0和3以外的所有實數(shù)，
故選：D.
2．（2022北京·海淀實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）若，則a2020+b2020的值為（???????）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值.
【詳解】
∵，根據(jù)集合中元素的性質(zhì)可得：
∴，解得a=﹣1，b=0，
∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故選：C.
3．（2022湖北·武漢市育才高級中學(xué)高一階段練習(xí)）集合中a的取值范圍是（???????）
A．或 B．
C．且 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由集合中元素的互異性可知，即可選出答案.
【詳解】
由集合中元素的互異性，需要滿足，解得且，
故選：C.
4．（2022河北·石家莊二十三中高一階段練習(xí)）若，則的值為（???????）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合相等的概念，以及集合元素的互異性，求得，代入即可求解.
【詳解】
因為，可得，即，
若時，此時不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當(dāng)時，此時，
所以，所以.
故選：C.
5．（2022全國·高一課時練習(xí)）若方程和方程的所有實數(shù)根組成的集合為M，則M中的元素個數(shù)為（???????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出兩個方程的根，利用集合元素的互異性即得解.
【詳解】
解：方程和方程的實數(shù)根分別是2，3和2，-1，
又集合中的元素具有互異性，所以集合M中的元素個數(shù)為3個.
故選：C
6．（2022全國·高一課時練習(xí)）由實數(shù)，，，，所組成的集合中最多含有（???????）
A．2個元素 B．3個元素 C．4個元素 D．5個元素
【答案】A
【解析】
【分析】
對各個對象進(jìn)行化簡并判斷形式是否相同，從而判斷集合中所含元素的個數(shù).
【詳解】
，，而或，所以共有和兩種形式.則當(dāng)時，集合中有1個元素，當(dāng)時，集合中有2個元素，，所以組成的集合中最多含有2個元素．
故選：A
7．（2022四川甘孜·高一期末）若集合中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（???????）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)集合元素的互異性即可判斷.
【詳解】
由題可知，集合中的元素是的三邊長，
則，所以一定不是等腰三角形．
故選：D．
題型4：列舉法表示集合
1．（2019·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高一期中）方程組的解集為_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用加減消元法求得方程組的解集.
【詳解】
依題意，
兩式相加得，
所以方程組的解集為.
故答案為：
2．（2022·廣西玉林·高一期末）集合，用列舉法可以表示為_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)集合元素屬性特征進(jìn)行求解即可.
【詳解】
因為，所以，可得，因為，所以，集合．
故答案為：
3．（2022全國·高一課時練習(xí)）若、、且、，集合，則用列舉法可表示為______.
【答案】
【解析】
【分析】
分別討論正負(fù)即可求出.
【詳解】
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以用列舉法可表示為.
故答案為：.
4．（2022·全國·高一）集合，，，則的所有元素之和等于__________.
【答案】18
【解析】
【分析】
根據(jù)元素和集合的關(guān)系，利用列舉法求出集合，從而可求出的所有元素之和.
【詳解】
解：由題可知，，，，
當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；
當(dāng)時，則；當(dāng)時，則；
所以，
所以的所有元素之和為：.
故答案為：18.
5．（2022全國·高一課時練習(xí)）已知均為非零實數(shù)，則代數(shù)式的值所組成的集合的元素個數(shù)是______．
【答案】2
【解析】
【分析】
分析題意知代數(shù)式的值與的符號有關(guān)，按其符號的不同分3種情況討論，分別求出代數(shù)式的值，即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意分2種情況討論：
當(dāng)全部為負(fù)數(shù)時，為正數(shù)，則；
當(dāng)全部為正數(shù)時，為正數(shù)，則；
當(dāng)一正一負(fù)時，為負(fù)數(shù)，則；
綜上可知，的值為或3，即代數(shù)式的值所組成的集合的元素個數(shù)是2
故答案為：2
6．（2022廣東·中山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合M=，N=，定義集合A=，則A中元素的個數(shù)是________________
【答案】8
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，列舉法表示集合A，即得解
【詳解】
由題意，集合M=，N=
故集合A=，有8個元素
故答案為：8
7．（2022河南商丘·高一階段練習(xí)）已知集合，，則集合B中的元素個數(shù)為______．
【答案】13
【解析】
【分析】
由題列舉出集合B，即得.
【詳解】
將x，y及的值列表如下，去掉重復(fù)的值，可知集合中的元素個數(shù)為13．

1
2
3
4
6
1
1
2
3
4
6
2

1

2
3
3

1

2
4

1

6

1

故答案為：13
8．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用列舉法表示下列集合：
(1)組成中國國旗的顏色名稱的集合；
(2)方程組的解集．
【答案】(1){紅色，黃色}；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的列舉法的概念即得.
(1)
組成中國國旗的顏色名稱的集合用列舉法表示為{紅色，黃色}；
(2)
由，解得，
故方程組的解集為.
9．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用列舉法表示下列集合：
(1){x|x是14的正約數(shù)}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
【答案】(1){1, 2, 7, 14}
(2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}
(3)
(4){－1, 1}
(5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)}
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的列舉法的概念即得.
(1)
{x|x是14的正約數(shù)}={1, 2, 7, 14}.
(2)
{(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
(3)
{(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=.
(4)
{x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}.
(5)
{(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}.
題型5：描述法表示集合
1．（2022全國·高一課時練習(xí)）用描述法表示被4除余3的自然數(shù)全體組成的集合______．
【答案】
【解析】
【分析】
用數(shù)學(xué)式子表示出自然語言即可．
【詳解】
被4除余3的自然數(shù)即為4的整數(shù)倍加3，
因此．
故答案為：．
2．（2022上海市通河中學(xué)高一階段練習(xí)）用描述法表示下圖中的陰影部分可以是________．

【答案】
【解析】
【分析】
首先注意是點集，利用與的范圍來限定.
【詳解】
可以用來表示圖中陰影部分.
故答案為：
3．（2022全國·高一課時練習(xí)）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理數(shù)組成的集合：______；
（2）平面直角坐標(biāo)系中第一、三象限角平分線上的所有點組成的集合：______；
（3）偶數(shù)集：______；
（4）拋物線上的所有點組成的集合：______．
【答案】???? ???? ???? ????
【解析】
【分析】
根據(jù)各項集合的自然語言描述，直接應(yīng)用描述法寫出集合即可.
【詳解】
（1）由描述可得：集合為.
（2）第一、三象限角平分線上的所有點都在上，故集合為.
（3）由偶數(shù)可表示為，故集合為.
（4）由描述知：集合為.
故答案為：，，，.
4．（2022全國·高一單元測試）所有正奇數(shù)組成的集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根據(jù)正奇數(shù)的定義得到集合.
【詳解】
所有正奇數(shù)組成的集合是.
故答案為：.
5．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；
(2)不等式的解集；
(3)方程的所有實數(shù)解組成的集合；
(4)拋物線上所有點組成的集合；
(5)集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)且
【解析】
【分析】
根據(jù)題設(shè)中的集合和集合的表示方法，逐項表示，即可求解.
(1)
解：所有被3整除的整數(shù)組成的集合，用描述法可表示為：
(2)
解：不等式的解集，用描述法可表示為：.
(3)
解：方程的所有實數(shù)解組成的集合，
用描述法可表示為：.
(4)
解：拋物線上所有點組成的集合，
用描述法可表示為：.
(5)
解：集合，用描述法可表示為：且.
6．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用描述法表示下列集合：
(1)奇數(shù)組成的集合；
(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點組成的集合．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的描述法即得.
(1)
奇數(shù)組成的集合為；
(2)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第一象限的點組成的集合為.
題型6：集合表示的綜合問題
1．（2022·北京西城·高一期末）設(shè)A是實數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．
(1)當(dāng)時，寫出集合A的生成集B；
(2)若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；
(3)判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)不存在，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）利用集合的生成集定義直接求解.
（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；
（3）不存在，理由反證法說明.
(1)
，
(2)
設(shè)，不妨設(shè)，
因為，所以中元素個數(shù)大于等于7個，
又，，此時中元素個數(shù)大于等于7個，
所以生成集B中元素個數(shù)的最小值為7.
(3)
不存在，理由如下：
假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，
不妨設(shè)，則集合A的生成集
則必有，其4個正實數(shù)的乘積；
也有，其4個正實數(shù)的乘積，矛盾；
所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題考查集合的新定義，解題的關(guān)鍵是理解集合A的生成集的定義，考查學(xué)生的分析解題能力，屬于較難題.
2．（2022全國·高一課時練習(xí)）（1）是否存在實數(shù)，，使得等式成立？若存在，寫出所有實數(shù)對的集合；若不存在，請說明理由；
（2）計算：．
【答案】（1）存在，；（2）．
【解析】
【分析】
（1）化簡可得，且，整理即得解；
（2）在（1）中令，，取，將5個式子疊加即得解
【詳解】
（1）由題意，
，且，即
故所有滿足條件的實數(shù)對的集合為．
（2）在（1）中令，，
有
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
將5個式子左右疊加可得：
3．（2022全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合.
（1）將集合中的元素進(jìn)行從小到大的排列，求最小的六個元素組成的子集；
（2）對任意的，判定和是否是集合中的元素？并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）；（2）存在或存在，一定是集合中的元素，證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）從0依次令為自然數(shù)，計算可得集合B；
（2）舉例，但，.設(shè)，，計算，可得結(jié)論.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時，；
當(dāng)，或時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)，或時，；
當(dāng)時，；
所以最小的六個元素組成的子集；
（2）存在或存在，一定是集合中的元素.
如：，但，.
一定是集合中的元素.
設(shè)，，
則，且，
所以.
4．（2022全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集M滿足條件：若，則.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個？請說明理由；
（3）請寫出集合M中的元素個數(shù)的所有可能值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知關(guān)系式，循環(huán)代入直到再次出現(xiàn)為止，即可得到集合M中的元素.
（2）假設(shè)M中只有一個元素a，則，方程無解，即不可能只有一個.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出現(xiàn)4個元素分別為：，然后分別檢驗四個元素是否相等，從而得到元素個數(shù)的所有可能值.
【詳解】
（1）由，令，則由題意關(guān)系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假設(shè)M中只有一個元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個元素.
（3）M中的元素個數(shù)為，理由如下：
由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現(xiàn)4個元素分別為：，由(2)得，
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當(dāng)取不同的值時，集合M中將出現(xiàn)不同組別的4個元素，所以可得出集合M中元素的個數(shù)為.
【點睛】
本題考查集合中元素與集合的關(guān)系，考查集合中元素個數(shù)的問題，考查分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·江蘇·高一）下列四個命題中，其中真命題的個數(shù)為（???????）
①與0非常接近的全體實數(shù)能構(gòu)成集合；???????
②表示一個集合；
③空集是任何一個集合的真子集；??????????
④任何一個非空集合至少有兩個子集．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)集合定義，空集性質(zhì)以及非空集合子集個數(shù)為即可得結(jié)果.
【詳解】
①與0非常接近的全體實數(shù)不確定，所以不能構(gòu)成集合，錯誤；
②，正確；
③空集是任何非空集合的真子集，錯誤；
④對于非空集合，至少有一個元素，所以子集的個數(shù)為，正確.
故選：C
2．（2022全國·高一課時練習(xí)）下列關(guān)于集合的說法正確的有（???????）
①很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合；
②集合與集合是同一個集合；
③1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有5個元素．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的定義判斷．
【詳解】
很小的整數(shù)可以構(gòu)成集合是錯誤的，不滿足元素的確定性，故①錯誤．
集合表示y的取值范圍，而表示的集合為函數(shù)圖象上的點，所以不是同一集合，故②錯誤．
1，2，，0.5，這些數(shù)組成的集合有3個元素，而不是5個元素，故③錯誤．
故選：A．
3．（2022全國·高一課時練習(xí)）已知，，若集合，則的（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合相等，結(jié)合元素的互異性求解.
【詳解】
易知，∵，
∴，即，
∴.
∴，解得或.
當(dāng)時，集合為，不符合集合中元素的互異性，故舍去；
當(dāng)時，集合為}.
∴，.
∴.
故選：C
4．（2022·四川廣安·高一期末）下列關(guān)系中，正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系求解.
【詳解】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知，，，不正確，
故選：C
5．（2022浙江·高一期中）若，則的可能值為（???????）
A．0，2 B．0，1
C．1，2 D．0，1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)，分，，討論求解.
【詳解】
因為，
當(dāng)時，集合為，不成立；
當(dāng)時，集合為，成立；
當(dāng)時，則（舍去）或，當(dāng)時，集合為，成立；
∴或.
故選：A
6．（2022福建·三明一中高一階段練習(xí)）如果集合中只有一個元素，則實數(shù)m的所有可能值的和為（???????）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】
【分析】
分m=0和m≠0兩種情況討論，可得出結(jié)論．
【詳解】
當(dāng)m=0時，顯然滿足集合有且只有一個元素，
當(dāng)m≠0時，由集合有且只有一個元素，
可得判別式，
解得，
∴實數(shù)m的值為0或2，即實數(shù)m的所有可能值的和為2.
故選：B．
7．（2022全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，對關(guān)于的方程組的解的說法正確的是（???????）
A．對任意實數(shù)，該方程組的解集都是單元素集；
B．至少存在一個實數(shù)，使得該方程組的解集為空集；
C．至少存在一個實數(shù)，使得該方程組的解集為無限集；
D．對任意實數(shù)，該方程組的解集都不是空集.
【答案】B
【解析】
【分析】
方程組的解可以看作是兩條直線是否相交及交點個數(shù)的問題即可求解.
【詳解】
對關(guān)于的方程組的解,
即為直線與直線公共點的坐標(biāo)，
當(dāng)時，兩直線無公共點，即方程組的解集為空集，故AD不正確；
當(dāng)時，兩直線有且只有一個公共點，即方程組有且只有一個解，故B正確，C不正確.
故選：B
8．（2022湖北黃石·高一階段練習(xí)）已知集合，且，則（???????）
A． B．
C． D．不屬于中的任意一個
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)出的值，相加再判斷得解.
【詳解】

.
故選：B
二、多選題
9．（2022安徽·亳州二中高一期中）下列說法正確的是（???????）
A．我校愛好足球的同學(xué)組成一個集合
B．是不大于3的正整數(shù)組成的集合
C．集合和表示同一集合
D．?dāng)?shù)1，0，5，，，，組成的集合有7個元素
【答案】BC
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的元素的特征逐一判斷即可.
【詳解】
我校愛好足球的同學(xué)不能組成一個集合；
是不大于3的正整數(shù)組成的集合；
集合和表示同一集合；
由于，所以數(shù)1，0，5，，，，組成的集合有5個元素；
故選：BC
10．（2022福建·泉州科技中學(xué)高一階段練習(xí)）已知x，y，z為非零實數(shù)，代數(shù)式的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是（???????）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
討論的正負(fù)數(shù)分布情況判斷對應(yīng)代數(shù)式的值，即可確定集合M，進(jìn)而確定正確的選項.
【詳解】
當(dāng)均為負(fù)數(shù)時，；
當(dāng)兩負(fù)一正時，；
當(dāng)兩正一負(fù)時，；
當(dāng)均為正數(shù)時，；
∴，A、B錯誤，C、D正確.
故選：CD
11．（2022全國·高一課時練習(xí)）方程組，的解集可以表示為（???????）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由方程組，解得，得到解集中只含有一個元素，根據(jù)集合的表示方法，逐項判定，即可求解．
【詳解】
由題意，方程組，解得，其解集中只含有一個元素，
根據(jù)集合的表示方法，其中A，B．D項表示都是正確的，其中選項C是表示由兩個元素組成的集合，不符合要求，所以不能表示為．
故選：ABD．
12．（2022江蘇常州·高一期中）已知集合，則下列說法中正確的是（???????）
A．但
B．若，其中，則
C．若，其中，則
D．若，其中，則
【答案】BC
【解析】
【分析】
A選項，求出，，故；BC選項，通過計算可以得到，；D選項，時，不符合要求，D錯誤.
【詳解】
，故，，所以，A錯誤；
，其中，，故，B正確；
，其中，，故，C正確；
因為，若，此時無意義，故，D錯誤.
故選：BC
三、填空題
13．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）用符號“”和“”填空：
（1）______N；???????（2）1______；???????（3）______R；
（4）______；???????（5）______N；???????（6）0______．
【答案】???? ???? ???? ???? ???? ????
【解析】
【分析】
根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷.
【詳解】
由所表示的集合，由元素與集合的關(guān)系可判斷
（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
故答案為：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.
14．（2022黑龍江·齊齊哈爾市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合，，且，則實數(shù)______．
【答案】3或-1##-1或3
【解析】
【分析】
根據(jù)集合相等得到，解出m即可得到答案.
【詳解】
由題意，或m=-1.
故答案為：3或-1.
15．（2022湖南·長沙市實驗中學(xué)高一期中）設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，P中含有0，2兩個元素，Q中含有1，6兩個元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中，，則中元素的個數(shù)是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
求得的元素，由此確定正確答案.
【詳解】
依題意，，
所以共有個元素.
故答案為：
16．（2022湖北·荊門市龍泉中學(xué)高一階段練習(xí)）從集合M=中去掉所有3的倍數(shù)和5的倍數(shù)，則剩下的元素個數(shù)為______
【答案】1078
【解析】
【分析】
剔除集合中是3的倍數(shù)，5的倍數(shù)的元素，即可得出結(jié)果.
【詳解】
集合M中，3的倍數(shù)有個，5的倍數(shù)有個，15的倍數(shù)有個，
則剩下的元素個數(shù)為個.
故答案為：1078.
四、解答題
17．（2022全國·高一課時練習(xí)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br /> (1)不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)組成的集合A；
(2)所有正奇數(shù)組成的集合B；
(3)絕對值不大于3的所有整數(shù)組成的集合C；
(4)直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點組成的集合D．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）求出不小于1且不大于17的所有質(zhì)數(shù)，用列舉法表示；
（2）所有正奇數(shù)有無數(shù)個，用描述法表示；
（3）求出絕對值不大于3的所有整數(shù)，用列舉法表示；
（4）拋物線上的點有無數(shù)個，用作為代表元，用描述法表示．
(1)
不小于1且不大于17的質(zhì)數(shù)有，用列舉法表示：；
(2)
所有正奇數(shù)有無數(shù)個，用描述法表示：；
(3)
絕對值不大于3的所有整數(shù)只有，用列舉法表示：；
(4)
直角坐標(biāo)平面上，拋物線上的點，用描述法表示：．
18．（2022全國·高一課時練習(xí)）已知集合，，若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
結(jié)合，尋找元素的對應(yīng)關(guān)系，顯然不成立，故只能，化簡集合，解得參數(shù)即可求解的值．
【詳解】
因為，集合中有一元素為0，顯然不成立，故只能，此時，，故滿足，解得，經(jīng)檢驗，故.
19．（2022·山西·高一期末）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可得，解方程組即可得出答案；
（2）易得，再根據(jù)，列出方程組，解之即可得解.
(1)
解：若，
則有，解得；
(2)
解：，
因為，
所以，解得.
20．（2022貴州畢節(jié)·高一期中）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線．
(1)求的解析式．
(2)在①，②這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．
問題：已知在上的最小值為b，且______，集合，判斷b是否屬于集合A，并說明理由．
注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由求解；
（2）選擇①，易知在上單調(diào)遞減，求得b，再判斷；選擇②，易知在上單調(diào)遞增，求得b，再判斷.
(1)
解：由題意得，
得，
故．
(2)
選擇①，．
圖象的對稱軸為直線．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，
故．
令，得，不符合題意．
故．
選擇②，．
圖象的對稱軸為直線．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
故．
令，得，符合題意．
故．
21．（2022全國·高一單元測試）已知實數(shù)集R的子集S滿足條件：①；②若，則．求證：
(1)若，則S中必有另外兩個元素；
(2)集合S中不可能只有一個元素．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題設(shè)條件②求出集合的其它元素，即可證結(jié)論.
（2）設(shè)S為單元素集可得，進(jìn)而求參數(shù)a，即可判斷S中是否可能只有一個元素．
(1)
∵，
∴，同理：，，
∴S中還有-1，兩個元素.
(2)
不妨設(shè)S為單元素集，則，整理得，解得，
∴S不可能為單個元素集合.
22．（2022全國·高一專題練習(xí)）數(shù)集M滿足條件：若，則.
（1）若，求集合M中一定存在的元素；
（2）集合M內(nèi)的元素能否只有一個？請說明理由；
（3）請寫出集合M中的元素個數(shù)的所有可能值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.
【解析】
【分析】
（1）由，令，代入已知關(guān)系式，循環(huán)代入直到再次出現(xiàn)為止，即可得到集合M中的元素.
（2）假設(shè)M中只有一個元素a，則，方程無解，即不可能只有一個.
（3）由（1）的方法可得集合M中可能出現(xiàn)4個元素分別為：，然后分別檢驗四個元素是否相等，從而得到元素個數(shù)的所有可能值.
【詳解】
（1）由，令，則由題意關(guān)系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假設(shè)M中只有一個元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個元素.
（3）M中的元素個數(shù)為，理由如下：
由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現(xiàn)4個元素分別為：，由(2)得，
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當(dāng)取不同的值時，集合M中將出現(xiàn)不同組別的4個元素，所以可得出集合M中元素的個數(shù)為.
【點睛】
本題考查集合中元素與集合的關(guān)系，考查集合中元素個數(shù)的問題，考查分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

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