課時(shí)規(guī)范練21　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固組1.(2021內(nèi)蒙古呼倫貝爾二模)函數(shù)f(x)=cos3x+圖像的對(duì)稱中心是(　　)A.kπ+(k∈Z) B.kπ+,0(k∈Z)C.(k∈Z) D.,0(k∈Z)答案:D解析:令3x+=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z),則f(x)圖像的對(duì)稱中心為,0(k∈Z).2.(2021哈爾濱師大附中模擬)是函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn),則ω=(　　)A.3 B.2 C.1 D答案:B解析:由題意知,f(x)=sinωx的周期T==2=π,得ω=2.3.(2021浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三月考)已知奇函數(shù)f(x)=cos(ωx+απ)(ω>0,0<α<1)的最小正周期為8π,則logωα的值是(　　)A.2 B.-2 C D.-答案:C解析:∵f(x)為R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,即cos(απ)=0,又0<α<1,∴α=f(x)的最小正周期為8π且ω>0,=8π,解得ω=∴logωα=lo=lo2-1=log22=4.(2021北京昌平二模)下列函數(shù)中,最小正周期為π的奇函數(shù)是(　　)A.y=sinx+ B.y=sin|x|C.y=cos2x-sin2x D.y=sin xcos x答案:D解析:A.y=sinx+的最小正周期為T==2π,不符合題意;B.記f(x)=sin|x|,所以f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),且f(x)的定義域?yàn)?/span>R,所以f(x)為偶函數(shù),不符合題意;C.y=cos2x-sin2x=cos2x,顯然為偶函數(shù),不符合題意;D.y=sinxcosx=sin2x最小正周期為T==π,且為奇函數(shù),符合題意.故選D.5.(2021安徽六安模擬)已知函數(shù)f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)圖像(　　)A.關(guān)于直線x=對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱C.關(guān)于直線x=對(duì)稱 D.關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱答案:B解析:f(x)=cosωx+(ω>0)的最小正周期為π,則π=,即ω=2,所以f(x)=cos2x+.由2x+=kπ,k∈Z,可得x=kπ-,k∈Z,所以f(x)的圖像的對(duì)稱軸為直線x=kπ-,k∈Z,故A,C不正確.由2x+=kπ+,k∈Z,可得x=kπ+,k∈Z,所以f(x)的圖像的對(duì)稱中心為kπ+,0,k∈Z,故B正確,D不正確.6.(2021上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬大境中學(xué)高三月考)已知f(x)=cosωx+,ω>0.在x∈[0,2π]內(nèi)的值域?yàn)?/span>-1,,則ω的取值范圍是(　　)A. B.0, C.0, D.答案:D解析:因?yàn)?/span>x∈[0,2π],所以ωx+∈,2πω+.又因?yàn)?/span>f(x)的值域?yàn)?/span>-1,,結(jié)合余弦函數(shù)圖像(如圖).可知π≤2πω+,解得ω∈.7.(2021北京101中學(xué)高三月考)函數(shù)f(x)=cos22x的最小正周期是　　　　　. 答案:解析:由已知得f(x)=cos4x+,其最小正周期為T=8.(2021廣西南寧三中高三月考)已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函數(shù),則f=　　　　　. 答案:解析:f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函數(shù),則φ=+kπ(k∈Z),而0<φ<π,故取k=0時(shí),得φ=,此時(shí)f(x)=sin2x+=cos2x,所以f=cos9.(2021上海松江二模)已知函數(shù)y=tanωx+的圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱,且|ω|≤1,則實(shí)數(shù)ω的值為　　　　　. 答案:-或1解析:∵函數(shù)y=tanωx+的圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱,∴ω,k∈Z,即ω=,k∈Z.又|ω|≤1,令k=0,可得ω=-,令k=1,可得ω=1.∴ω=-或ω=1.10.(2021浙江溫州適應(yīng)性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=cos xsin x-sinx+.(1)求y=f(x)圖像的對(duì)稱軸;(2)當(dāng)x∈0,時(shí),求y=f(x)的值域.解:(1)f(x)=cosxsinx-sinx-cosx=sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x-sin2x--,由2x-+kπ(k∈Z),得y=f(x)圖像的對(duì)稱軸為直線x=(k∈Z).(2)由x∈0,,得2x--,所以-sin2x-≤1,-sin2x--,故函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)?/span>-.綜合提升組11.(2021云南麗江模擬)已知f(x)=sin2x+在區(qū)間[-a,a]上的最小值為-,則a的值為(　　)A B C D答案:B解析:當(dāng)sin2x+=-時(shí),2x+=2kπ-,k∈Z或2x+=2kπ-,k∈Z,解得x=kπ-,k∈Z或x=kπ-,k∈Z,離坐標(biāo)原點(diǎn)最近的x值為-,因?yàn)閰^(qū)間[-a,a]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且a>0,所以a的值為12.(2021浙江湖州模擬)若函數(shù)f(x)=sinωx+在區(qū)間-,0內(nèi)單調(diào),且P,0是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心,則ω的值可以是(　　)A.6 B.-10 C.9 D.-4答案:A解析:sinω=0,解得ω=kπ,ω=8k-2(k∈Z).若ω>0,則-ω-,解得ω≤9;若ω<0,則-ω,解得ω≥-3;故ω=-2,或ω=6.如圖所示,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.13.(2021云南峨山模擬)函數(shù)y=sin2x-的圖像在(-π,π)上有　　　　　　條對(duì)稱軸. 答案:4解析:由2x-+kπ,k∈Z,求得對(duì)稱軸為直線x=,k∈Z,由-π<<π,k∈Z,解得-<k<再由k∈Z,可得k=-2,-1,0,1,故對(duì)稱軸有4條.14.(2021北京海淀模擬)若直線x=為函數(shù)f(x)=sin(x+φ)·sin x的一條對(duì)稱軸,則常數(shù)φ的一個(gè)取值為　　　　. 答案:0(kπ,k∈Z均可)解析:由于f(x)=sin(x+φ)·sinx的一條對(duì)稱軸為直線x=,所以f(π-x)=sin(π-x+φ)sin(π-x)=sin(x-φ)sinx=f(x),即sin(x+φ)=sin(x-φ),即sinφcosx=0對(duì)任意x均成立,所以sinφ=0,故φ的一個(gè)取值為0(kπ,k∈Z均可).15.(2021浙江杭州二中高三月考)已知函數(shù)f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)在-上是單調(diào)的,則ω的最大值是　　　　　. 答案:4解析:由題可得f(x)=2cosωx+,ω>0,由kπ≤ωx+≤kπ+π(k∈Z),得≤x≤(k∈Z),令k=0,得-≤x≤,故f(x)在-上是單調(diào)的,于是-≤-,得0<ω≤4,所以ω的最大值是4.創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2021上海楊浦二模)函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)m滿足:①0≤m≤;②x=m是函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸.則ω的取值范圍是　　　　　　. 答案:解析:因?yàn)?/span>f(x)=sinωx+cosωx=2sinωx+,由于x=m是函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸,則mω++kπ(k∈Z),所以m=(k∈Z).因?yàn)?≤m≤,所以0≤.因?yàn)?/span>ω>0,所以k∈N,當(dāng)k增大時(shí),增大,由于有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)m滿足:①0≤m≤;②x=m是函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸,所以m=,則有解得≤ω<.因此,實(shí)數(shù)ω的取值范圍是.17.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<,給出以下四個(gè)論斷:①f(x)的最小正周期為π;②f(x)在區(qū)間-,0上是增加的;③f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱;④f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱.以其中兩個(gè)論斷作為條件,另兩個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為的一個(gè)真命題(寫成“p?q”的形式)　　　　　.(用到的論斷都用序號(hào)表示) 答案:①④?②③(或①③?②④)解析:若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ).同時(shí)若f(x)的圖像關(guān)于直線x=對(duì)稱,則sin2×+φ=±1,又-<φ<,∴2×+φ=,∴φ=,此時(shí)f(x)=sin2x+,②③成立,故①④?②③.若f(x)的最小正周期為π,則ω=2,函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),同時(shí)若f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn),0對(duì)稱,則2×+φ=kπ,k∈Z,又-<φ<,∴φ=,此時(shí)f(x)=sin2x+,②④成立,故①③?②④.

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