課時作業(yè)(十六)一、選擇題1．(2021·全國高三模擬)某工廠有A，B兩套生產(chǎn)線，每周需要維護的概率分別為0.2和0.25，且每周A，B兩套生產(chǎn)線是否需要進行維護是相互獨立的，則至多有一套生產(chǎn)線需要維護的概率為(　A　)A．0.95　 B．0.6　C．0.35　　 D．0.15【解析】　由題可得至多有一套生產(chǎn)線需要維護的概率P＝0.2×0.75＋0.8×0.25＋0.75×0.8＝0.95.故選A．2．(2021·全國高三模擬)對于二維碼，人們并不陌生，幾年前，在門票、報紙等印刷品上，這種黑白相間的小方塊就已經(jīng)出現(xiàn)了．二維碼背后的趨勢是整個世界的互聯(lián)網(wǎng)化，這一趨勢要求信息以更為簡單有效的方式從線下流向線上．如圖是一個邊長為2的“祝你考試成功”正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機投擲200個點，其中落入黑色部分的有125個點，據(jù)此可估計黑色部分的面積為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　據(jù)題設分析知，所求面積S＝2×2×＝.故選B.3．(2021·江蘇蘇州市高三三模)設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，4)，則P(ξ<3)的值為(　D　)(參考數(shù)據(jù)：P(u-σ<ξ<u＋σ)＝0.652 6，P(u-2σ<ξ<u＋2σ)＝0.954 4)A．0.173 7 B．0.347 4C．0.683 7 D．0.826 3【解析】　因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(1，4)，所以μ＝1，σ2＝4，即σ＝2，所以P(ξ<3)＝＋P(u-σ<ξ<u＋σ)＝＋×0.652 6＝0.826 3，故選D.4．(2021·四川高三三模)在5道題中有3道理科試題和2道文科試題．如果不放回地依次抽2道題，則第一次和第二次都抽到理科題的概率是(　D　)A． B．　C． D．【解析】　設A事件為第一次抽到理科試題，B事件為第二次抽到理科試題，所以第一次和第二次都抽到理科題的概率是P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.故選D.5．(2020·四川省成都市期末)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則關于x，y方程組，有實數(shù)解的概率為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　因為方程組有解，故直線ax＋by-8＝0與圓x2＋y2＝4有公共點，所以≤2即a2＋b2≥16，當a＝1時，b＝4，5，6，有3種情形；當a＝2時，b＝4，5，6，有3種情形；當a＝3時，b＝3，4，5，6，有4種情形；當a＝4，5，6時，b＝1，2，3，4，5，6，有18種情形；故方程有解有28種情形，而(a，b)共有36種不同的情形，故所求的概率為＝.故選B.6．(2021·浙江高三二模)設0<p<，隨機變量ξ的分布列是ξ-101Pp-p則當p在內(nèi)增大時(　D　)A．D(ξ)增大 B．D(ξ)減小C．D(ξ)先減小后增 D．D(ξ)先增大后減小【解析】　E(ξ)＝-1×p＋0×＋1×＝-2p，D(ξ)＝×p＋×＋×＝-4p2＋p＋＝-4＋，對稱軸為p＝，∵當p在內(nèi)增大時，∴D(ξ)先增大后減小，故選D.7．(2021·陜西高三模擬)魏晉時期數(shù)學家劉徽在他的著作《九章算術注》中，稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”(如圖)，通過計算得知正方體的體積與“牟合方蓋”的體積之比應為3∶2.若在該“牟合方蓋”內(nèi)任取一點，此點取自正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　設正方體的棱長為a，正方體體積為a3，“牟合方蓋”的體積為a3，而內(nèi)切球的體積為π＝，所以在該“牟合方蓋”內(nèi)任取一點，由內(nèi)切球在“牟合方蓋”內(nèi)部，此點取自正方體內(nèi)切球內(nèi)的概率為＝，故選B.8．(2021·浙江高三二模)已知正整數(shù)n≥4，p∈(0，1)，隨機變量X的分布列是X1pp2…pn-2pn-1Ppp2p3…pn-1pn則當n在[4，100]內(nèi)增大時(　A　)A．E(X)<1B．E(X)＝1C．E(X)>1D．E(X)與1沒有確定的大小關系【解析】　由條件可知p＋p2＋p3＋…＋pn＝＝1，E(X)＝p＋p3＋p5＋…＋p2n-1＝＝＝，∵p∈(0，1)，n∈[4，100]，∴<1，即E(X)<1.故選A．二、填空題9．(2021·上海黃浦區(qū))已知隨機事件A和B相互獨立，若P(AB)＝0.36，P(A)＝0.6(A表示事件A的對立事件)，則P(B)＝__0.9__.【解析】　由對立事件的概率公式可得P(A)＝1-P(A)＝0.6，由獨立事件的概率乘法公式可得P(AB)＝P(A)P(B)，因此，P(B)＝＝0.9.10．(2021·江西省遂川中學高三月考)如圖所示的圓盤的三條直徑把圖分成六部分，往圓盤內(nèi)任投一飛鏢(大小忽略不計)，則飛鏢落到陰影部分內(nèi)的概率為____.【解析】　由題意，陰影部分為3個扇形，其面積正好占整個的一半，所以所求概率為.11．(2021·河北秦皇島市高三二模)在某市高三的一次模擬考試中，學生的數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(105，σ2)(σ>0)，若P(ξ<120)＝0.75，則P(90≤ξ≤120)＝__0.5__.【解析】　因為ξ～N(105，σ2)，且P(ξ<120)＝0.75，所以P(105≤ξ<120)＝0.25，所以P(90≤ξ≤105)＝0.25，所以P(90≤ξ≤120)＝0.5.12．(2021·四川達州市高三二模)若ξ為離散型隨機變量，且ξ～B，則其方差D(ξ)＝____.【解析】　由題意，隨機變量ξ為離散型隨機變量，且ξ～B，根據(jù)二項分布的方差的計算公式，可得D(ξ)＝5×＝.三、解答題13．(2021·湖南高三月考)5個大小相同的小球分別標有數(shù)字1，1，2，2，3，把它們放在一個盒子中，現(xiàn)從中任意摸出2個小球，它們的標號分別為x，y，記ξ＝x＋y.(1)求P(ξ＝4)；(2)求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．【解析】　(1)從盒中摸出球的基本事件總數(shù)為C＝10，ξ＝4的事件數(shù)有CC＋C＝3，故P(ξ＝4)＝.(2)ξ的可能取值為2，3，4，5，所以P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以ξ的分布列為：ξ2345P數(shù)學期望為E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＝3.6.14．(2021·九龍坡區(qū)重慶市育才中學高三二模)有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個球的袋中(3個白球和2個黑球)輪流摸出1球(摸后不放回)，摸到第2個黑球的人獲勝，同時結束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準備下一次游戲．(1)求先摸球者獲勝的概率；(2)小李和小張準備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球．每次游戲獲勝得1分，失敗得0分．記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學期望E(X)．【解析】　(1)先摸球者獲勝，則游戲進行3輪或5輪3輪：白黑黑：××＝，黑白黑：××＝，5輪：最后一球為黑球：＝，所以先摸球者獲勝的概率為＋＋＝.(2)X的所有可能取值為：0、1、2、3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝××＋××＋××＝，P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝，分布列為：X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.15．(2021·山西高三三模)2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌?nèi)容，其中第一項是結合鞏固深化“不忘初心、牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學習教育．這次學習教育貫穿2021年全年，總的要求是學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行，教育引導黨員干部學黨史、悟思想、辦實事，開新局．為了配合這次學黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機抽取100人，并對他們的分數(shù)進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從這100人中隨機抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為ξ，試求隨機變量ξ的分布列及期望；(2)由頻率分布直方圖，可以認為該地參加黨史知識競賽人員的分數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計算s2＝192.44.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分數(shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分數(shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：≈13.9，P(μ-σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ-2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ-3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997 4.【解析】　(1)100人中得分不低于80分的人數(shù)為(0.014＋0.006)×10×100＝20，隨機變量ξ可能的取值為0，1，2.又P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，則ξ的分布列為：ξ012PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝.(2)μ＝35×0.04＋45×0.06＋55×0.11＋65×0.36＋75×0.23＋85×0.14＋95×0.06＝68.4.σ＝＝13.9，P(X≥82.3)＝P(X≥μ＋σ)＝＝0.158 65，每位參賽者分數(shù)不低于82.3的概率為0.158 65，記500位參賽者中分數(shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機變量η，則η～B(500，p)，其中p＝0.586 5，所以恰好有k個參賽者的分數(shù)不低于82.3的概率為P(η＝k)＝Cpk(1-p)500-k，k＝0，1，2，…，500.由＝＝>1，得k<501p＝79.483 7.所以當1≤k≤79時，P(η＝k)>P(η＝k-1)，當80≤k≤500時，P(η＝k)<P(η＝k-1)．由此可知，在這500名參賽者中分數(shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79.

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