課時作業(yè)(十四)(文科)一、選擇題1．(2021·山西陽泉市高三三模)從編號分別為1，2，3，4，5，6的六個大小完全相同的小球中，隨機取出兩個小球，則取出的兩個小球的編號之差的絕對值為2的概率是(　A　)A． B．　C． D．【解析】　從編號分別為1，2，3，4，5，6的六個大小完全相同的小球中，隨機取出兩個小球，共有1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；2，3；2，4；2，5；2，6；3，4；3，5；3，6；4，5；4，6；5，6；共15組，其中1，3；2，4；3，5；4，6四組的編號之差的絕對值為2，故其概率為；故選A．2．(2021·全國高三模擬)某同學(xué)為了模擬測定圓周率，設(shè)計如下方案：點A(x，y)滿足＋≤1，向圓x2＋y2＝1內(nèi)扔入N粒黃豆，其中落在不等式表示區(qū)域內(nèi)的粒數(shù)為M，則圓周率為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　圓x2＋y2＝1的面積為π，|x|＋|y|≤1所表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，面積為2，所以由幾何概型得：＝，所以圓周率為π＝，故選B.3．(2021·四川高三月考)某班級的班委由包含甲、乙在內(nèi)的5位同學(xué)組成，他們分成兩個小組參加某項活動，其中一個小組有3位同學(xué)，另外一個小組有2位同學(xué)，則甲和乙不在同一個小組的概率為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　這五位同學(xué)分別記為：甲、乙、A、B、C，分組情況有：(甲乙A，BC)、(甲乙B，AC)、(甲乙C，AB)、(甲AB，乙C)、(甲AC，乙B)、(甲BC，乙A)、(乙AB，甲C)、(乙AC，甲B)、(乙BC，甲A)、(ABC，甲乙)，共10種，其中甲和乙不在同一個組的有：(甲AB，乙C)、(甲AC，乙B)、(甲BC，乙A)、(乙AB，甲C)．(乙AC，甲B)、(乙BC，甲A)，共6種，所以所求概率為＝.故選B.4．(2021·陜西咸陽市高三三模)已知一只小飛蟲在一個長、寬、高分別為4，5，6的長方體容器內(nèi)任意飛行，若小飛蟲離所有頂點距離均大于1，稱小飛蟲為“安全飛行”，則小飛蟲“安全飛行”的概率是(　D　)A． B．C．1- D．1-【解析】　因為4，5，6均大于2×1＝2，所以小飛蟲在每一個頂點附近的不完全區(qū)域不重合，而小飛蟲不安全飛行區(qū)域為8個半徑為1的的球體，所以小飛蟲“安全飛行”的概率是1-＝1-，故選D.5．(2021·云南昆明一中高三模擬)為了促進電影市場快速回暖，各地紛紛出臺各種優(yōu)惠措施．某影院為回饋顧客，擬通過抽球兌獎的方式對觀影卡充值滿300元的顧客進行減免，規(guī)定每人在裝有4個白球、2個紅球的抽獎箱中一次抽取兩個球．已知抽出1個白球減15元，抽出1個紅球減30元．試求某顧客所獲得的減免金額為30元的概率為(　A　)A． B．　C． D．【解析】　設(shè)4個白球為a，b，c，d，2個紅球為e，f，事件A為顧客所獲得的減免金額為30元，則一共可抽取{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共15種情況，A＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6種情況，所以顧客所獲得的減免金額為30元的概率為P＝＝.故選A．6．(2021·河南高三月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P(1，0)和圓O：x2＋y2＝1，在圓O上任取一點Q，連接PQ，則直線PQ的斜率大于-的概率是(　D　)A． B．　C． D．【解析】　如圖：當(dāng)直線PM的斜率為-時，傾斜角為120°，∠POM＝60°，當(dāng)點Q在優(yōu)弧PM(不含端點)上時，直線PQ的斜率大于-；優(yōu)弧PM的長度為×1＝，圓的周長為2π×1＝2π，根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求概率為＝故選D.7．已知a∈{-2，0，1，2，3}，b∈{3，5}，則函數(shù)f(x)＝(a2-2)ex＋b為減函數(shù)的概率是(　C　)A． B．　C． D．【解析】　由題意知a，b的組合共有10種，由函數(shù)f(x)＝(a2-2)ex＋b為減函數(shù)，則a2-2<0，∴a＝0，a＝1滿足題意，當(dāng)a＝0時，b＝3，5有2種情形；a＝1時，b＝3，5有2種情形；滿足題意的組合有4種，故所求概率為＝，故選C.8．(2021·河南高三月考)已知甲、乙兩人的5次數(shù)學(xué)測試成績?nèi)鐖D所示，其中一個數(shù)字a被污損，若甲、乙兩人這5次數(shù)學(xué)測試成績的平均分相同，在[-6，a]上隨機取一個實數(shù)m，則函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋2在R上有零點的概率為(　B　)A． B．　C． D．【解析】　利用求幾個數(shù)的平均數(shù)的計算公式求出a＝1，函數(shù)有零點了，則Δ＝2m2-8≥0，再利用幾何概型的概率計算公式即可求解．由圖可知，甲的5次數(shù)學(xué)測試成績分別是108，109，110，122，126，則甲的平均分為＝115；乙的5次數(shù)學(xué)測試成績分別是106，110＋a，114，116，128，則乙的平均分為＝115，解得a＝1.若函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋2有零點，則Δ＝2m2-8≥0，解得m≥2或m≤-2，由幾何概型可得在[-6，a]上隨機取一個實數(shù)m，函數(shù)y＝f(x)有零點的概率為P＝＝.故選B.二、填空題9．(2021·安徽合肥一中高三模擬)某個微信群在某次進行的搶紅包活動中，若某人所發(fā)紅包的總金額為15元，被隨機分配為3.50元，4.75元，5.37元，1.38元共4份，甲、乙、丙、丁4人參與搶紅包，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率為____.【解析】　由題意可得，甲、乙二人搶到的金額的基本事件總數(shù)為{3.50，4.75}，{3.50，5.37}，{3.50，1.38}，{4.75，5.37}，{4.75，1.38}，{5.37，1.38}共6種，“甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元”包含{3.50，4.75}，{3.50，5.37}，{4.75，5.37}共3種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于8元的概率P＝＝.10．(2021·全國高三專題練習(xí))如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，在∠BAC內(nèi)過點A任作一射線與BC相交于點D，使得∠DAC<30°的概率為____.【解析】　因為在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，所以∠BAC＝60°，所以∠DAC<30°的概率為P＝＝.11．(2021·遼寧高三月考)在一次機器人比賽中，有供選擇的A型機器人和B型機器人若干，從中選擇一個機器人參加比賽，B型機器人被選中的概率為，若A型機器人比B型機器人多4個，則A型機器人的個數(shù)為__7__.【解析】　設(shè)A型機器人有x個，則B型機器人有x-4個，A型機器人與B型機器人共2x-4個；已知B型機器人被選中的概率為，所以＝，解得x＝7. 12.七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形組成．如圖是一塊用七巧板組成的正方形，若在此正方形中任意取一點，則該點來自于陰影部分的概率為____.【解析】　設(shè)拼成的正方形的面積為1，由圖知，最大的三角形面積為，最小的三角形面積為，平行四邊形的面積是最小三角形面積的2倍，由此可得陰影部分的面積為，則所求的概率為.三、解答題13．(2021·黑龍江哈師大附中高三月考)在學(xué)習(xí)強國活動中，為了解學(xué)習(xí)情況，在某一天的學(xué)習(xí)完成后，從甲、乙兩個單位各隨機抽取了20人，成績(單位：分)繪制成如圖所示莖葉圖甲 乙9 8 7 7 6 527 7 8 99 8 7 4 4 3 2 232 3 3 4 5 7 8 96 5 5 4 3 241 2 3 3 4 5 5 6(1)通過莖葉圖分析哪個單位學(xué)習(xí)情況更好(不要求計算，直接得出結(jié)論)；(2)根據(jù)每人成績，將其分成三個等級.成績(單位：分)[20，30)[30，40)[40，50)等級合格良好優(yōu)秀現(xiàn)從甲、乙兩個單位合格的人中，用分層抽樣取出5人參加座談，再從這5人中任取2人，求這2人來自不同單位的概率．【解析】　(1)乙單位的學(xué)習(xí)情況比甲單位好．(2)因為甲單位有6人及格，乙單位有4人及格，用分層抽樣取出5人，所以甲單位抽取3人，乙單位抽取2人，令甲單位的人用a、b、c表示，乙單位的人用d、e表示，任取2人有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de共10種取法，兩人來自不同單位的取法有ad、ae、bd、be、cd、ce共6種取法，故這2人來自不同單位的概率P＝＝.14．某電子商務(wù)平臺的管理員隨機抽取了1 000位上網(wǎng)購物者，并對其年齡(在10歲到69歲之間)進行了調(diào)查，統(tǒng)計情況如下表所示.年齡[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)人數(shù)100150a200b50已知[30，40)，[40，50)，[50，60)三個年齡段的上網(wǎng)購物的人數(shù)依次構(gòu)成遞減的等比數(shù)列．(1)求a，b的值；(2)若將年齡在[30，50)內(nèi)的上網(wǎng)購物者定義為“消費主力軍”，其他年齡段內(nèi)的上網(wǎng)購物者定義為“消費潛力軍”．現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費潛力軍的概率．【解析】　(1)由題意得，解得a＝400，b＝100.(2)由題意可知，在抽取的5人中，有3人是消費主力軍，分別記為a1，a2，a3，有2人是消費潛力軍，分別記為b1，b2.記“這2人中至少有一人是消費潛力軍”為事件A．從這5人中抽取2人所有可能情況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10種．符合事件A的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共7種．故所求概率為P(A)＝.

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