第16講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，能畫出這些三角函數(shù)的圖象2.了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上，正切函數(shù)在上的性質(zhì)          【基礎(chǔ)知識】一、正弦函數(shù)的圖象1.正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線．2.正弦函數(shù)圖象的畫法①幾何法(ⅰ)利用單位圓畫出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；(ⅱ)將圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個(gè)單位長度)．②五點(diǎn)法(ⅰ)畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲線連接；(ⅱ)將所得圖象向左、向右平行移動(每次移動2π個(gè)單位長度)．二、余弦函數(shù)的圖象1.余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線．2.余弦函數(shù)圖象的畫法①要得到y＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長度即可，這是由于cosx＝sin.②用“五點(diǎn)法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時(shí)，所取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別為 (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個(gè)單位長度)．三、函數(shù)的周期性1.一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．2.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3.記f(x)＝sinx，則由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)(k∈Z)對于每一個(gè)非零常數(shù)2kπ(k∈Z)都成立，余弦函數(shù)同理也是這樣，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期，最小正周期都為2π.4.周期函數(shù)的定義是對定義域中的每一個(gè)x來說的，只有個(gè)別的x的值滿足f(x＋T)＝f(x)不能說T是f(x)的周期．5.從等式“f(x＋T )＝f(x)”來看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加的非零常數(shù)T才是周期．例如，f(2x＋T)＝f＝f(2x)，則是f(2x)的周期，但不一定是f(x)的周期．6.如果T是函數(shù)f(x)的周期，那么kT(k∈Z，k≠0)也一定是函數(shù)f(x)的周期．周期函數(shù)的定義域不一定是R，但一定是無限集．并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如函數(shù)y＝0(x∈R)．四、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【解讀】 1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，但都不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)．2.正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．3.正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值(余弦值)為0.五、三角函數(shù)最值問題的三種常見類型及求解方法1.形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的有界性，注意對a正負(fù)的討論．2.形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．3.形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設(shè)t＝sinx，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據(jù)定義域來確定．4.形如y＝或y＝(A2＋C2≠0)的最大值最小值可解出sinx或cosx后利用其有界性來求．六、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正切函數(shù)的圖象2.正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線．正切曲線是由被相互平行的直線x＝＋kπ，k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的．3.正切函數(shù)的性質(zhì)雖然正切函數(shù)y＝tanx在(k∈Z)上單調(diào)遞增，但不能說正切函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用例1．（2021-2022學(xué)年北京市第五十三中學(xué)2高一下學(xué)期六月月考）在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)與的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（       ）個(gè).A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，故是函數(shù)與的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)?/span>，，所以，則，即，所以，此時(shí)函數(shù)與無交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)函數(shù)與無交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，故是函數(shù)與的一個(gè)交點(diǎn)，綜上可得函數(shù)與的圖像在內(nèi)有且僅有個(gè)交點(diǎn)；故選C考點(diǎn)二：五點(diǎn)法作圖例2．（2021-2022學(xué)年黑龍江省綏化市部分學(xué)校高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)．(1)求當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，x的取值集合；(2)完成下列表格并在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f(x)在上的圖象．x   y    【解析】 (1)．由，得．故當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)，x的取值集合為．(2)函數(shù)f(x)在上的圖象如下：x0y02 考點(diǎn)三：求三角函數(shù)的定義域例3．（2021-2022學(xué)年陜西省安康中學(xué)高一上學(xué)期期末）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______．【答案】【解析】對于函數(shù)，有，即，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.考點(diǎn)四：求三角函數(shù)的值域與最值例4．（2021-2022學(xué)年北京市豐臺區(qū)高一上學(xué)期期末）函數(shù)的最小值是______.【答案】0【解析】令 ，則，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，即函數(shù)的最小值是0考點(diǎn)五：三角函數(shù)的奇偶性例5. （2021-2022學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考）函數(shù)，若，則______.【答案】3【解析】∵，又為奇函數(shù)，∴，即．考點(diǎn)六：求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6．求函數(shù)y＝3tan的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(k∈Z)【解析】y＝3tan可化為y＝－3tan，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)．考點(diǎn)七：由三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍例7． （2021-2022學(xué)年河南省焦作市高一下學(xué)期期中）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為．故選D.考點(diǎn)八：求三角函數(shù)的最小正周期例8．（2021-2022學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一下學(xué)期5月月考）已知函數(shù)的最小正周期為，則的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意，.故選B考點(diǎn)九：求三角函數(shù)的對稱軸與對稱中心例9．（2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中聯(lián)考）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則的最小值為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，則，即,故的最小值為.故選B        【真題演練】1.（2021-2022學(xué)年浙江省金華十校高一下學(xué)期期末）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則可以為（       ）A． B． C． D．1【答案】C【解析】，對稱軸為：當(dāng)時(shí)，取值為.故選C.2．（2021-2022學(xué)年湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)在上單調(diào)遞增且，在上單調(diào)遞增且，因?yàn)?/span>，所以，所以.故選A.3．（2022新高考1卷）記函數(shù)的最小正周期為T．若,且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,則A. 1 B.  C.  D. 3【答案】A【解析】由的最小正周期T滿足,得,解得,由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以,且,所以,所以,,所以.故選A4．（2021新高考Ⅰ卷）下列區(qū)間中,函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是　　A． B．, C． D．,【答案】A【解析】：令,．則,．當(dāng)時(shí),,,,,故選A．5. （多選）（2021-2022學(xué)年吉林省長春外國語學(xué)校高一下學(xué)期期初考試）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（       ）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．最小正周期是C．圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D．圖象關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】由的遞增區(qū)間可知，的遞增區(qū)間為，則，又 在此區(qū)間上，所以A對.，B對.由關(guān)于垂直于軸的直線對稱可知，關(guān)于對稱，，、在此集合里，故C錯(cuò)、D對.故選ABD.6.（多選）（2021-2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（       ）A．在上單調(diào)遞增B．的圖象的一條對稱軸方程為C．的最小正周期為D．的最大值為【答案】BD【解析】因?yàn)?/span>，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以的圖象的一條對稱軸方程為，故B正確；因?yàn)?/span>，且不存在比小的正常數(shù)使得，所以的最小正周期為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樽钚≌芷跒?/span>，所以只需研究上的最大值即可，當(dāng)時(shí)，將平方可得，記，.令，，則，于是，顯然在上單調(diào)遞增，所以，所以，故D正確，故選BD.7.（2021—2022學(xué)年北京市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中）若函數(shù)（）在區(qū)間上恰好取到3次最小值，請寫出一個(gè)符合題意的的值：___________.【答案】3（只要符合即可）【解析】由，得因?yàn)楹瘮?shù)（）在區(qū)間上恰好取到3次最小值，所以，故，則的值可以是38.（2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市高一下學(xué)期期中）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；(2)求在區(qū)間的值域.【解析】 (1)∵，∴，即最小正周期.由，解得，∴增區(qū)間為，(2)∵，∴，∴，∴，∴值域?yàn)?/span>.        【過關(guān)檢測】1. （2021-2022學(xué)年廣西桂林市普通高中聯(lián)盟高一下學(xué)期期中）下列函數(shù)中，在其定義域上是偶函數(shù)的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，定義域?yàn)?/span>，，為奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B，定義域?yàn)?/span>，，為偶函數(shù)，B正確；對于C，定義域?yàn)?/span>，即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，為奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對于D，定義域?yàn)?/span>，，為奇函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選B.2.（2021-2022學(xué)年湖南省長沙市第一中學(xué)高一下學(xué)期階段性檢測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值可以是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，解得，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)符合.故選B.3.（2021-2022學(xué)年北京市第五十三中學(xué)高一下學(xué)期六月月考）已知函數(shù)（為常數(shù)）為奇函數(shù)，那么（       ）A． B．0 C．1 D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)（為常數(shù)）為奇函數(shù)，所以，所以，，當(dāng)為偶數(shù)，則，當(dāng)為奇數(shù)，則，即；故選D4.（2021-2022學(xué)年寧夏石嘴山市平羅中學(xué)高一下學(xué)期期中）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，即，令，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，依題意與在上有交點(diǎn)，則，所以，即；故選D5.（多選）（2021-2022學(xué)年河北省張家口市張?jiān)?lián)盟高一下學(xué)期階段測數(shù)）有以下四個(gè)命題，正確命題的是（       ）A．若函數(shù)為奇函數(shù)，則為的整數(shù)倍B．若函數(shù)為奇函數(shù)，則為的整數(shù)倍C．對于函數(shù)，若，則必是的整數(shù)倍D．對于函數(shù)，若，則必是的整數(shù)倍【答案】AD【解析】為奇函數(shù)，則，即為的整數(shù)倍，故A正確，為奇函數(shù)，則，B不正確；因?yàn)?/span>周期為，若，則必是的整數(shù)倍，故C錯(cuò)誤．的周期為，，必是的整數(shù)倍，故D正確．故選AD7.（多選）（2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市高一下學(xué)期期中）關(guān)于函數(shù)，有如下命題，其中正確的有（       ）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】由函數(shù)，可得函數(shù)的最小正周期為，所以A正確；令，解得，所以的對稱中心為，所以B錯(cuò)誤；令，解得，所以的對稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，所以C正確；令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以D正確.故選ACD8.（2021-2022學(xué)年北京市第八中學(xué)高一6月月考）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【解析】，即.因?yàn)?/span>，所以，即求在上有根時(shí)a的范圍.即函數(shù)，的值域.所以由，的值域知.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是9.（2021-2022學(xué)年山東省臨沂市莒南縣高一下學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】因?yàn)?/span>，當(dāng)，所以，因?yàn)?/span>在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，即10.（2021-2022學(xué)年黑龍江省大慶市大慶外國語學(xué)校高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)，）函數(shù)關(guān)于對稱.(1)求的解析式；(2)用五點(diǎn)法在下列直角坐標(biāo)系中畫出在上的圖象；(3)寫出的單調(diào)增區(qū)間及最小值，并寫出取最小值時(shí)自變量的取值集合．【解析】 (1)因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對稱，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以(2)首先根據(jù)“五點(diǎn)法”，列表如下： (3)令，解得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，最小值為令，得，函數(shù)取得最小值的的集合.
 

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