第09講函數(shù)的基本性質(zhì)-【暑假自學(xué)課】2022年新高一數(shù)學(xué)暑假精品課（人教版2019必修第一冊）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第09講函數(shù)的基本性質(zhì) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助函數(shù)圖象，會有符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義．2.結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)的單調(diào)性及其符號表達(dá)1.函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性．2.函數(shù)單調(diào)性的符號表達(dá)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增．如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．二、增函數(shù)、減函數(shù)1.當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)(increasing function)．2.當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)(decreasing function)．3.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．【解讀】1.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì)，因此對x1，x2有下列要求：(1)屬于同一個區(qū)間D；(2)任意性，即x1，x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即確定的任意兩值x1，x2必須區(qū)分大小，一般令x1<x2.2.并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．如f(x)＝它的定義域為N，但不具有單調(diào)性．3.這個區(qū)間可以是整個定義域．如y＝x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， y＝－x在整個定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減；這個區(qū)間也可以是定義域的真子集．如y＝x2在定義域(－∞，＋∞)上不具有單調(diào)性，但在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞)上單調(diào)遞增．4.函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，但是在整個定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減)．如函數(shù)y＝(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，但是在整個定義域上不具有單調(diào)性．5.一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上的單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”連接，而應(yīng)該用“和”或“，”連接．如函數(shù)y＝(x≠0)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上都單調(diào)遞減，不能認(rèn)為y＝(x≠0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)∪(0，＋∞)．三、定義法證明單調(diào)性的步驟判斷函數(shù)的單調(diào)性常用定義法和圖象法，而證明函數(shù)的單調(diào)性則應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性的定義操作．利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟為：注意：對單調(diào)遞增的判斷，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一個不等式來替代：四、函數(shù)的最大值1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I，都有f(x)≤M；②?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．2.幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標(biāo)．五、函數(shù)的最小值1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：①?x∈I，都有f(x)≥M；②?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最小值是圖象最低點的縱坐標(biāo)．六、偶函數(shù)、奇函數(shù)1.偶函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)(even function)．2.奇函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(odd function)．3.偶函數(shù)、奇函數(shù)的圖象特征（1）如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．（2）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．【解讀】1.奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)(對照單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，以加深理解)．2.定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．3.對于奇函數(shù)f(x)，若f(0)有意義，則f(0)＝0；對于偶函數(shù)f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．【考點剖析】考點一：證明或判斷函數(shù)單調(diào)性例1．（2021-2022學(xué)年廣東省江門市廣雅中學(xué)高一上學(xué)期期中）下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A：定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為奇函數(shù)，故B正確；對于C：定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D：定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，故為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤；故選B考點二：求單調(diào)區(qū)間例2．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因為開口向下，其對稱軸為，所以的減區(qū)間為和所以的單調(diào)增區(qū)間為和，故選C考點三：利用單調(diào)性比較大小例3．（2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一上學(xué)期期中）若偶函數(shù)在上是減函數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】為偶函數(shù)，；在上是減函數(shù)，，即.故選B.考點四：求函數(shù)的最值例4．函數(shù) 在上的最小值為（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為函數(shù) ，所以函數(shù) 在上是減函數(shù)，所以當(dāng) 時， . 考點五：判斷函數(shù)的奇偶性例5．（多選）（2021-2022學(xué)年廣東省化州市第三中學(xué)高一上學(xué)期期中）設(shè)函數(shù)、的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【答案】AB【解析】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故是奇函數(shù)，A正確；，故為偶函數(shù)，B正確；，故是奇函數(shù)，C錯誤；，故為偶函數(shù)，D錯誤.故選AB．考點六：抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性例6．（2021-2022學(xué)年新疆沙灣縣高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)f(x)對?x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)證明函數(shù)f(x)在R上的奇偶性；(2)證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；(3)當(dāng)x∈[1，2]時，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】 (1)因為函數(shù)的定義域為R，令，所以，即，令，所以，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)．(2)不妨設(shè)，所以，而，所以，，即，故函數(shù)為R上的減函數(shù)．(3)由（1）可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而，所以，故原不等式可等價于，而函數(shù)為R上的減函數(shù)，所以，又，所以，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，即實數(shù)m的取值范圍為．考點七：單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用例7．（2021-2022學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期期末）設(shè)函數(shù)，對于任意正數(shù)，都．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，若，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，記是奇函數(shù).記所以是偶函數(shù)，對于任意正數(shù)，都，即，所以在單調(diào)遞增，且，是偶函數(shù),故在單調(diào)遞減，且當(dāng) 時，，當(dāng) 時，，故的解集為.故選B 【真題演練】1.（2021-2022學(xué)年安徽省皖西地區(qū)高一下學(xué)期期中大聯(lián)考）下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．2.（2021-2022學(xué)年廣東省普寧市華僑中學(xué)高一下學(xué)期期中）設(shè)為奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（　　）A． B．C． D．3.（2020-2021學(xué)年四川省巴中市恩陽區(qū)高一上學(xué)期期中）已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．4.(2021年高考全國乙卷)設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是 (　　)A． B． C． D．5.（多選）（2021-2022學(xué)年貴州省黔東南州高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)，f(x)的結(jié)論正確的是( )A．f(x)的最大值為3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，則x＝2 D．f(x)在定義域上是減函數(shù)6.（多選）（2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一段考）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，下列說法中正確的是（）A．B．若在上有最小值－1，則在上有最大值1C．若在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)D．，使7.（2021-2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.8. （2021-2022學(xué)年云南省昆明市高一月考）已知，函數(shù)．(1)指出在上的單調(diào)性（不需說明理由）；(2)若在上的值域是，求的值．【過關(guān)檢測】1.（2021-2022學(xué)年廣東省揭陽華僑高級中學(xué)高一下學(xué)期考試）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的有則（）A． B．C． D．2. （2021-2022學(xué)年甘肅省張掖市第二中學(xué)高一下學(xué)期3月月考）已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間上的增函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3. （2020-2021學(xué)年安徽省滁州市定遠(yuǎn)中學(xué)高一上學(xué)期考試）函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．4. （2021-2022學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高一下學(xué)期期中）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A． B．C． D．5. （2021-2022學(xué)年湖北省十堰市城區(qū)普高協(xié)作體高一上學(xué)期期中）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為（）A． B． C． D．6. （2021-2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中）若函數(shù)f(x)滿足：?x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且則（）A．f(0)＞f(3) B．?x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，則1＜m＜37.（2020-2021學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.8. （2021-2022學(xué)年新疆沙灣縣第一中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，，則不等式 x·f(x)＞0 的解集為_______________.9. （2021-2022學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市紅山區(qū)高一上學(xué)期期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，．(1)求函數(shù)的表達(dá)式；(2)判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．10.（2021-2022學(xué)年河北省秦皇島市高一上學(xué)期期末）已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)判斷的奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.

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