第14講任意角和弧度制-【暑假自學(xué)課】2022年新高一數(shù)學(xué)暑假精品課（人教版2019必修第一冊）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第14講任意角和弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解任意角的概念和弧度制2.能進(jìn)行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性【基礎(chǔ)知識】一、角的相關(guān)概念1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．2.角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點(diǎn)．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．3.按照角的旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：4.相反角如圖，我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.二、象限角1.若角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角．2.若角的終邊在坐標(biāo)軸上，則認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．3.象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?/span>0°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點(diǎn)的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)所在象限的判斷方法4.已知角α所在象限，要確定角所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號為幾的區(qū)域，就是的終邊所落在的區(qū)域．如此，所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直觀地看出．三、終邊相同的角1.設(shè)α表示任意角，所有與角α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2.對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一．四、角的單位制1.用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的.2.長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度，通常略去不寫．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．3.弧度數(shù)的計算4.角度制和弧度制的比較(1)弧度制是以“弧度”為單位來度量角的單位制，而角度制是以“度”為單位來度量角的單位制．(2)1弧度的角是指等于半徑長的弧所對的圓心角，而1度的角是指圓周角的的角，大小顯然不同．(3)無論是以“弧度”還是以“度”為單位來度量角，角的大小都是一個與“半徑”大小無關(guān)的值．(4)用“度”作為單位度量角時，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作為單位度量角時，“弧度”二字或“rad”通常省略不寫．但兩者不能混用，即在同一表達(dá)式中不能出現(xiàn)兩種度量方法．五、角度與弧度的換算1.角度制與弧度制的換算2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π 六、扇形的弧長及面積公式1.設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角的弧度數(shù)，n為圓心角的角度數(shù)，則扇形的弧長：l＝＝αr，扇形的面積：S＝＝lr＝α·r2.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：任意角的概念例1．（多選）已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】對于A選項(xiàng)，除了銳角，還包括其它角，比如，所以A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，銳角是小于的角，故B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，銳角是第一象限角，故C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，中角的范圍不一樣，所以D選項(xiàng)錯誤.故選BC考點(diǎn)二：終邊相同的角例2．（2021-2022學(xué)年北京市北大附中高一下學(xué)期期中）將軸正半軸繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到角，則下列與終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，當(dāng)時，，B正確，其他選項(xiàng)經(jīng)過驗(yàn)證均不正確.故選B考點(diǎn)三：象限角例3．（2021-2022學(xué)年廣東省韶關(guān)市田家炳中學(xué)高一上學(xué)期期末）下列四個角為第二象限角的是（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】對于A選項(xiàng)，，故為第二象限角；對于B選項(xiàng)，是第二象限角；對于C選項(xiàng)，是第三象限角；對于D選項(xiàng)，，故為第一象限角.故選AB.考點(diǎn)四：弧度制例4．（2021-2022學(xué)年上海市仙霞高級中學(xué)高一下學(xué)期期中）將角度化為弧度是______.【答案】【解析】角度化為弧度是考點(diǎn)五：象限角的弧度制表示例5. （多選）（2021-2022學(xué)年安徽省阜陽市界首中學(xué)高一上學(xué)期期末）若是第二象限角，則（）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【解析】因?yàn)?/span>與關(guān)于x軸對稱，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)?/span>是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)?/span>是第二象限角，所以是第一象限角，故C選項(xiàng)錯誤；因?yàn)?/span>是第二象限角，所以，，所以，，所以的終邊可能在y軸負(fù)半軸上，故D選項(xiàng)錯誤．故選AB.考點(diǎn)六：等分角例6．（2021-2022學(xué)年江西省萍鄉(xiāng)市蘆溪中學(xué)高一3月月考）已知．(1)寫出與角終邊相同的角的集合，并求出在內(nèi)與角終邊相同的角；(2)若角與角終邊相同，判斷角是第幾象限的角．【解析】 (1)解：與角終邊相同的角的集合為，令，得，又，在內(nèi)與角終邊相同的角是；(2)由（1），知，則，則當(dāng)k為偶數(shù)時，角是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，角是第三象限角，角是第一或第三象限角．考點(diǎn)七：扇形弧長公式例7．（2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期期中）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題:“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”現(xiàn)有一類似問題，一不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若鋸口深，鋸道，則圖中的長度為______.【答案】【解析】設(shè)圓的半徑為，則，，由勾股定理可得，即，解得，所以，，，所以，，故，因此，考點(diǎn)八：扇形面積公式例8．（2021-2022學(xué)年中原名校高一上學(xué)期12月第三次大聯(lián)考）已知一扇形的圓心角為，周長為C，面積為S，所在圓的半徑為r．(1)若，cm，求扇形的弧長；(2)若cm，求S的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．【解析】 (1)＝，扇形的弧長cm；(2)設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則，∴，則，當(dāng)時，，cm，，∴S的最大值是，此時扇形的半徑是4 cm，圓心角．【真題演練】 1．（2021-2022學(xué)年北京市第十五中學(xué)高一下學(xué)期期中）在0°到范圍內(nèi)，與終邊相同的角為（　?。?/span>A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，所以在0°到范圍內(nèi)與終邊相同的角為；故選B2.（2021-2022學(xué)年江蘇省常州市八校高一上學(xué)期12月聯(lián)考）若，則角的終邊在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2021-2022學(xué)年山東省名校高一下學(xué)期大聯(lián)考）2月5日，在北京冬奧會短道速滑混合接力的比賽中，中國隊以2分37秒348的成績獲得金牌．如圖，短道速滑的比賽場地的內(nèi)圈半圓的彎道計算半徑為，直道長為，點(diǎn)為半圓的圓心，點(diǎn)為彎道與直道的連接點(diǎn)，運(yùn)動員沿滑道逆時針滑行，在某次短道速滑比賽最后一圈的沖刺中，運(yùn)動員小夏在彎道上的點(diǎn)處成功超過所有對手，并領(lǐng)先到終點(diǎn)（終點(diǎn)為直道的中點(diǎn)）．若從點(diǎn)滑行到點(diǎn)的距離為，則（）A． B． C．2 D．4. （多選）（2021-2022學(xué)年遼寧省撫順市撫順縣高中高一下學(xué)期3月月考）下列轉(zhuǎn)化結(jié)果正確的是（）A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－660°C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15°5. （多選）（2021-2022學(xué)年福建省莆田第一中學(xué)高一上學(xué)期期末）若角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，則角的值可能是（）A． B． C． D．6.（2021-2022學(xué)年上海市進(jìn)才中學(xué)高一下學(xué)期期中）在直角坐標(biāo)系中，軸在正半軸上一點(diǎn)依逆時針方向作勻速圓周運(yùn)動，若點(diǎn)一分鐘轉(zhuǎn)過角，分鐘到達(dá)第三象限，分鐘回到原來位置，則______.7.（2021-2022學(xué)年陜西省西安市閻良區(qū)高一下學(xué)期期中）已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使與的終邊相同，且．8.（2021-2022學(xué)年湖北省宜昌市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形挖去扇形后構(gòu)成的)．已知米，米，線段、線段與弧、弧的長度之和為米，圓心角為弧度．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)記該宣傳牌的面積為，試問取何值時，的值最大?并求出最大值．【過關(guān)檢測】1. （2021-2022學(xué)年寧夏銀川市第二中學(xué)高一下學(xué)期期中）教室里的鐘表慢了30分鐘，在同學(xué)將它校正的過程中，時針需要旋轉(zhuǎn)多少弧度?（）A． B． C． D．2.（2021-2022學(xué)年重慶市巫山大昌中學(xué)校高一上學(xué)期期末）下列與的終邊相同的角的集合中正確的是（）A． B．C． D．3.（2021-2022學(xué)年河南省南陽市六校高一下學(xué)期第一次聯(lián)考）已知一扇形的周長為，則當(dāng)該扇形的面積取得最大時，圓心角大小為（）A． B． C．1 D．24.（多選）（2021－2022學(xué)年江西省南昌市第十五中學(xué)高一下學(xué)期月考）已知角是第一象限角，則角可能在以下哪個象限（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5.（多選）設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，面積為，周長為，則（）A．若，確定，則，唯一確定 B．若，確定，則，唯一確定C．若，確定，則，唯一確定 D．若，確定，則，唯一確定6.（2021-2022學(xué)年山東省學(xué)情聯(lián)考高一上學(xué)期12月質(zhì)量檢測）下列結(jié)論中不正確的是（）A．終邊經(jīng)過點(diǎn)的角的集合是B．將表的分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是C．若是第一象限角，則是第一象限角，為第一或第二象限角D．，，則7.（2021-2022學(xué)年陜西省榆林市綏德中學(xué)、府谷中學(xué)高一下學(xué)期期中）在內(nèi)與終邊相同的角是______．8.（2021-2022學(xué)年陜西省西安建筑科技大學(xué)附中高一下學(xué)期月考）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.9.如圖，用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).（1）；（2）10.如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ (0°<θ<180°)，經(jīng)過2 s達(dá)到第三象限，經(jīng)過14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ.

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