第11講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪含義的認(rèn)識(shí)，了解指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．2.通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念3.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)         【基礎(chǔ)知識(shí)】一、根式的定義1.a的n次方根的定義：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.2.a的n次方根的表示①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)， a的n次方根表示為，a∈R；②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)， a的n次方根表示為±，其中－表示a的負(fù)的n次方根，a∈[0，＋∞)．3.根式：式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．二、根式的性質(zhì)1.()n＝a(n為奇數(shù)時(shí)，a∈R；n為偶數(shù)時(shí)，a≥0，且n＞1)．2.＝.三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪1.a＝，a＝＝(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)．2.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．五、無理數(shù)指數(shù)冪1.對(duì)于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．2.定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．六、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)1.aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．2.(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．3.(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．七、條件求值對(duì)于條件求值問題，一般先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再將字母取值代入求值．但有時(shí)字母的取值不知道或不易求出，這時(shí)可將所求代數(shù)式恰當(dāng)?shù)刈冃?，?gòu)造出與已知條件相同或相似的結(jié)構(gòu)，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值．利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0，b>0)：八、指數(shù)函數(shù)的定義圖象及性質(zhì)1.函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.2.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【解讀】1.由指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的性質(zhì)知，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1)，(1，a)，，只要確定了這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象．2.底數(shù)的大小決定了圖象相對(duì)位置的高低：不論是a>1，還是0<a<1，在第一象限內(nèi)底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近y軸．九、識(shí)別指數(shù)函數(shù)圖象問題的注意點(diǎn)1.根據(jù)圖象“上升”或“下降”確定底數(shù)a>1或0<a<1；2．在y軸右側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小到大；在y軸左側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大到小；3．根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則，確定圖象的平移變換，從而確定指數(shù)型函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置．4.指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，據(jù)此，可解決形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函數(shù)圖象過定點(diǎn)的問題，即令x＝－c，得y＝k＋b，函數(shù)圖象過定點(diǎn)(－c，k＋b)．十、函數(shù)圖象的對(duì)稱和變換規(guī)律一般地，把函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移m個(gè)單位得函數(shù)y＝f(x－m)的圖象(m∈R，若m<0就是向左平移|m|個(gè)單位)；把函數(shù)y＝f(x)的圖象向上平移n個(gè)單位，得到函數(shù)y＝f(x)＋n的圖象(n∈R，若n<0，就是向下平移|n|個(gè)單位)．函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝f(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)y＝f(|x|)的圖象是關(guān)于y軸對(duì)稱的，所以只要先把y軸右邊的圖象保留，y軸左邊的圖象刪去，再將y軸右邊部分關(guān)于y軸對(duì)稱得y軸左邊圖象，就得到了y＝f(|x|)的圖象．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：根式的化簡(jiǎn)例1．化簡(jiǎn)（       ）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】，故選D．考點(diǎn)二：利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)例2．（2021-2022學(xué)年山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高一上學(xué)期期中）化簡(jiǎn)結(jié)果為（       ）A．a B．b C． D．【答案】A【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得：.故選A.考點(diǎn)三：條件求值例3．（1）已知是方程的兩個(gè)根，且，求的值．（2）已知，求下列各式的值：①；②．【解析】（1）因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)根，所以，所以．因?yàn)?/span>，所以．所以．（2）①將兩邊平方，得．即．②將兩邊平方，得，即．考點(diǎn)四：指數(shù)函數(shù)的圖象例4．（2021-2022學(xué)年浙江省杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期中）若函數(shù)的圖象如圖所示，則（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意，函數(shù)，令，即，解得或，可得或，結(jié)合圖象，可得，解得；又由函數(shù)的圖象得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，可得，所以，即，解得.故選D.考點(diǎn)五：求指數(shù)型函數(shù)的定義域與值域例5函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>___________.【答案】【解析】∵則令在遞增∴考點(diǎn)六：求指數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6．（2020-2021學(xué)年河南省登封市一高高一上學(xué)期段考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)“同增異減”可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選A.考點(diǎn)七：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例7．（2020-2021學(xué)年四川省巴中市恩陽區(qū)高一上學(xué)期期中）已知，，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>單調(diào)遞減，所以，，所以.故選D考點(diǎn)八：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍例8．（2021-2022學(xué)年云南昭通市第一中學(xué)高一下學(xué)期考試）已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，則，可化為；為上的增函數(shù)，為上的增函數(shù)，對(duì)恒成立，即，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選D.         【真題演練】1. （2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市高一上學(xué)期期末）若函數(shù)（且）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)值為定值0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為.另解：因?yàn)?/span>可以由向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，由過定點(diǎn)，所以過定點(diǎn).故選B2.（2021-2022學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高一上學(xué)期期中）若，且，則的值為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選A.3.（2021-2022學(xué)年安徽省池州市青陽縣第一中學(xué)高一下學(xué)期3月月考）已知函數(shù)，，且，則下列結(jié)論中，一定成立的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖示可知時(shí)，的符號(hào)不確定，，故AB錯(cuò)；,, 即，故，故D正確，又，所以，即,所以，即，所以，故C不正確.故選D4.（多選）（2021-2022學(xué)年江蘇省鹽城市濱海中學(xué)高一上學(xué)期期中）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（       ）A． B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，，，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以D選項(xiàng)正確.故選CD5．（多選）（2021-2022學(xué)年山東省聊城市高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)，，對(duì)任意，則（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，，，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，不妨設(shè)，則，故，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，在上遞減則要使恒成立只需：只需：只需：而，故，故選項(xiàng)D正確故選BCD6.（2020-2021學(xué)年安徽省合肥市第十中學(xué)高一上學(xué)期期中）_____________．【答案】【解析】原式＝．7．（2020-2021學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市高一上學(xué)期期中）（1）求值：；（2）已知，求值：.【解析】（1）原式；（2）由，而，則，故.8.（2021-2022學(xué)年貴州省六枝特區(qū)高一下學(xué)期期中）已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.【解析】 (1)由為定義在上奇函數(shù)可知，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)對(duì)任意的都有故.(2)由遞增，可知在上為減函數(shù)，證明如下：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，不妨設(shè)，則.∵單調(diào)遞增，且，∴即，，，∴，∴，故在上為減函數(shù).        【過關(guān)檢測(cè)】1. （2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像經(jīng)過（       ）．A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限C．第二、四象限 D．第一、二象限【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二象限，又的圖象是由的圖象沿y軸向下平移2個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過二、三、四象限，如圖，故選B2.（2021-2022學(xué)年廣東省廣州市六中高一下學(xué)期期中）已知m，n為正實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，為正實(shí)數(shù)，且，即在上均為減函數(shù)，在上為增函數(shù).當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；取，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；，，，，，，故D正確.故選D3.（2021-2022學(xué)年陜西省渭南市臨渭區(qū)高一上學(xué)期期末）函數(shù)與（且）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橐淮魏瘮?shù)為直線，且函數(shù)單調(diào)遞增，排除AD選項(xiàng).對(duì)于B選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，合乎題意；對(duì)于C選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，則，可得，此時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)遞增，且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的下方，不合乎題意.故選B.4.（2021-2022學(xué)年廣東省汕尾市高一上學(xué)期期末）若，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因?yàn)?/span>在上為減函數(shù)，且，所以，所以，故選A5.（多選）（2021-2022學(xué)年河北省滄州市滄縣中學(xué)高一上學(xué)期測(cè)試）已知函數(shù)，則（       ）A．的值域?yàn)?/span>R B．是R上的增函數(shù)C．是R上的奇函數(shù) D．有最大值【答案】ABC【解析】，而，所以值域?yàn)?/span>R，A正確，D錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>是遞增函數(shù)，而是遞增函數(shù)，所以是遞增函數(shù)，B正確；因?yàn)槎x域?yàn)?/span>R，且，所以是R上的奇函數(shù)，C正確；故選ABC6.（多選）（2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市市北高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（       ）A．4 B．3 C． D．【答案】CD【解析】因?yàn)?/span>是上的增函數(shù)，所以，解得.故選CD.7．（多選）（2021-2022學(xué)年吉林省松原市重點(diǎn)高中高一3月聯(lián)考）設(shè)，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則下列敘述中正確的是（       ）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【解析】根據(jù)題意知，，，，所以，且，所以，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)；，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，B對(duì)；因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則函數(shù)為上的減函數(shù)，故函數(shù)上的增函數(shù)，C對(duì)；因?yàn)?/span>，則，所以，，故，所以，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，D錯(cuò).故選BC.8.（2021-2022學(xué)年河北省滄州市滄縣中學(xué)高一上學(xué)期測(cè)試）已知，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，，所以．9.已知正整數(shù)和非零實(shí)數(shù)，若，且，求的值．【解析】由已知，得，同理，， 三式相乘，得，又，所以，又因?yàn)?/span>為正整數(shù)，故，又則．10.（2021-2022學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性；(2)判斷的單調(diào)性并證明；(3)若不等式在上有解，求的最大值.【解析】 (1)由題意知：定義域?yàn)?/span>，，為上的奇函數(shù).(2)是上的增函數(shù)，證明如下：令，則；，，，，是上的增函數(shù).(3)由得：；當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，，即，，則的最大值為. 
 

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