第12講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)2.通過(guò)具體實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)3.知道對(duì)數(shù)函數(shù) 與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)         【基礎(chǔ)知識(shí)】一、對(duì)數(shù)的概念1.對(duì)數(shù)的概念：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)， N叫做真數(shù)．2.兩種特殊的對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：通常以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，N的常用對(duì)數(shù)log10N簡(jiǎn)記為lg_N；②自然對(duì)數(shù)：以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，N的自然對(duì)數(shù)logeN簡(jiǎn)記為lnN(其中e＝2.71828…)．二、對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系1.對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)①零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即真數(shù)N>0；②1的對(duì)數(shù)為0，即loga1＝0(a>0，且a≠1)；③底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1)．2.兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式①alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．三、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)loga＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．四、換底公式1.對(duì)數(shù)的換底公式： logab＝(a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0)．2.三個(gè)較為常用的推論①logab·logbc·logca＝1(a>0，b>0，c>0，且均不為1)；②logab＝(a>0，b>0，且均不為1)；③logambn＝logab(a>0，b>0，且均不為1，m≠0)．五、對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的性質(zhì)1.定義域： (0，＋∞)．2.值域： (－∞，＋∞)．3.定點(diǎn)： (1,0)．4.單調(diào)性：a>1時(shí)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．5.函數(shù)值變化當(dāng)a>1，x>1時(shí)，y∈ (0，＋∞)，0<x<1時(shí)，y∈ (－∞，0)；當(dāng)0<a<1，x>1時(shí)，y∈ (－∞，0)，0<x<1時(shí)，y∈(0，＋∞)．六、函數(shù)的概念對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域是指數(shù)函數(shù)y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定義域．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化例1．已知，則（       ）A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以.故選D考點(diǎn)二：利用對(duì)數(shù)恒等式求值例2．（2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南縣高一上學(xué)期期末）下列各式，，分別等于（       ）A．2，5， B．2，5，35C．2，3， D．4，3，【答案】B【解析】，，，故選B.考點(diǎn)三：對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例3．（2021-2022學(xué)年山西省長(zhǎng)治市第四中學(xué)校高一上學(xué)期期末）計(jì)算：（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】；故選B考點(diǎn)四：換底公式的應(yīng)用例4．（2021-2022學(xué)年安徽省安慶市高一上學(xué)期期末）已知，，用，表示，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，故選D．考點(diǎn)五：求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域與值域例5.（2021-2022學(xué)年河南省扶溝縣二高高一上學(xué)期考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>       ）A．  B．  C． D．【答案】D【解析】由題意，，解得故選D考點(diǎn)六：求對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6．（2021-2022學(xué)年河北省唐縣第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考）設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．【答案】【解析】記，因?yàn)?/span>為減函數(shù)，所以當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減，由得或，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故．故答案為.考點(diǎn)七：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例7．（2021-2022學(xué)年新疆喀什地區(qū)疏附縣高一上學(xué)期期末）已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，即，所以.故選C考點(diǎn)八：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍例8．（2021-2022學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)是上的增函數(shù)，所以，解得 ，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.考點(diǎn)九：對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性例9．（2021-2022學(xué)年廣東省珠海市斗門(mén)第一中學(xué)高一上學(xué)期12月月考）已知函數(shù)，.(1)證明：為偶函數(shù)；(2)若函數(shù)，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】 (1)證明：定義域?yàn)?/span>，，即為，則為偶函數(shù)；(2)解：，當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)即，時(shí)，，解得：不成立；當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，解得不成立．故存在滿足條件的．         【真題演練】 1. (2021年高考全國(guó)甲卷理科)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4．9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為 (　　)()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6【答案】C【解析】由，當(dāng)時(shí)，，則．故選C．2. （2021新高考全國(guó)卷Ⅱ） 已知,,,則下列判斷正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】,即.故選C.3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)若，則 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無(wú)法確定．故選A．4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)設(shè)函數(shù)，則f(x) (　　)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域?yàn)?/span>，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確．故選D．5.（多選）（2021-2022學(xué)年廣東省揭陽(yáng)市揭西縣高一上學(xué)期期末）已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（       ）A．若的定義域?yàn)?/span>R，則B．若的值域?yàn)?/span>R，則或C．若，則的單調(diào)減區(qū)間為D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若的定義域?yàn)?/span>R，則在R上恒成立，所以，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若的值域?yàn)?/span>R，則，所以或，所以B正確：對(duì)于C，若，則，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，設(shè)，即求函數(shù)的減區(qū)間，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)的單減區(qū)間為，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若在上單調(diào)遞減，則且，所以，所以D正確．故選BD6.（多選）（2021-2022學(xué)年河南省焦作市高一上學(xué)期期末）已知，，則（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以，同理可得：，所以.所以.故選D7．（2021新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)是偶函數(shù),則　1　．【答案】1【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),為上的奇函數(shù),故也為上的奇函數(shù),所以,所以．8.（2020-2021學(xué)年云南省德宏州高一上學(xué)期期末統(tǒng)一監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其中為常數(shù)．(1)求的值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】 (1)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)，有，即，解得，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，所以；(2)由，得，即，令，易知在上單調(diào)遞減，則的最大值為.又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，即在恒成立，所以.        【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1. （2021-2022學(xué)年安徽省亳州市利辛縣第一中學(xué)高一下學(xué)期4月聯(lián)考）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】依題意，，，而，即，故.故選C．2.（2021-2022學(xué)年浙江省北斗聯(lián)盟高一下學(xué)期期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，，（且）的圖像可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】若，則在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 在定義域內(nèi)為減函數(shù)，且是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則其與軸的交點(diǎn)在區(qū)間上，所以AB錯(cuò)誤，D正確，若，則則在定義域內(nèi)為減函數(shù)， 在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，則其與軸的交點(diǎn)在區(qū)間上，所以C錯(cuò)誤，故選D3.（2021-2022學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市衡南縣高一上學(xué)期期末）若非零實(shí)數(shù)，，滿足，則（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知，得，得，，，所以，，，而，所以.故選A．4.（2021-2022學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高一下學(xué)期期中）已知函數(shù)，則關(guān)于不等式的解集為（          ）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，即函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，設(shè)，，，則，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，所以，，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上也為增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，令，則函數(shù)在上為增函數(shù)，且，即函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，即，所以，，解得.因此，不等式的解集為.故選C.5.（2021-2022學(xué)年廣西柳州市高一4月期中聯(lián)考）已知函數(shù)在R上存在最小值，則實(shí)數(shù)m的可能取值為（       ）A． B．0 C．1 D．2【答案】AB【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞減的，，，當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增的，，，因函數(shù)在R上存在最小值，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實(shí)數(shù)m的可能取值為-1，0.故選AB6.（2021-2022學(xué)年江蘇省徐州市第三十六中學(xué)高一上學(xué)期10月月考）若，，則（        ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選AD.7.（2021-2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)（六校）高一下學(xué)期五月聯(lián)考）已知函數(shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，且的圖像過(guò)點(diǎn)，則___________.【答案】4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，所以由，解得.8.（2021-2022學(xué)年浙江省臺(tái)州市玉環(huán)中學(xué)高一上學(xué)期月考）函數(shù)沒(méi)有最小值， 則的取值范圍是______．【答案】【解析】令，則外函數(shù)為，因?yàn)?/span>在定義域上單調(diào)遞增，要使函數(shù)沒(méi)有最小值，即的值域能夠取到，且不恒小于等于，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)開(kāi)口向下，只需，解得，即；當(dāng)時(shí)開(kāi)口向上，只需，解得，即；綜上可得，即；9. （1）已知，，試用表示；（2）已知，，試用表示．【解析】（1），，，，；（2），，．10.（2021-2022學(xué)年湖南省三湘名校教育聯(lián)盟、五市十校教研教改共同體高一下學(xué)期期中）已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性并證明；(2)設(shè)，，若存在，使得成立，求t的取值范圍.【解析】 (1)依題意，，則有，即，解得，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，令，任取，且，則，因，即，則，即，有，因此，，即，所以函數(shù)是定義域上的單調(diào)增函數(shù).(2)，設(shè)，則有，而為增函數(shù)，因此成立，依題意，成立，即成立，從而得成立，而，，任取，使得，則，于是得在上為增函數(shù)，有，從而得，即，解得，所以t的取值范圍是.
 

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