第17講 三角恒等變換       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義2.能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系3.能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶）         【基礎(chǔ)知識】一、兩角和與差的三角函數(shù)公式1.兩角和與差的余弦公式2.兩角和與差的正弦公式3.兩角和與差的正切公式 4.兩角和與差的正切公式的變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函數(shù)1. 二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的變形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝；(3)sin2α＝.3．用正切來表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“萬能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝＝，即sin2α＝.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝＝，即cos2α＝.4.半角公式三、積化和差與和差化積公式1.積化和差公式sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化積公式sinα＋sinβ＝2sincos.sinα－sinβ＝2cossin.cosα＋cosβ＝2coscos.cosα－cosβ＝－2sinsin.四、輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ).其中角φ所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝確定或由sinφ＝和cosφ＝共同確定．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：給角求值例1．（2021-2022學(xué)年四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟學(xué)高一下學(xué)期期中）（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故選D.考點(diǎn)二：給值求值例2．（2021-2022學(xué)年山東省名校（歷城二中、章丘四中等校）高一下學(xué)期5月聯(lián)考）若，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>＝＝＝. 故選B.考點(diǎn)三：給值求角例3．（2021-2022學(xué)年江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中）設(shè)，且，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，所以，且，所以，則，故選A．考點(diǎn)四：輔助角公式的應(yīng)用例4．（2021-2022學(xué)年陜西省安康中學(xué)高一上學(xué)期期末）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則_______________．【答案】【解析】當(dāng)時，取得最大值（其中），∴，即，∴．考點(diǎn)五：兩角和與差正切公式變形的應(yīng)用例5. （2021-2022學(xué)年江蘇省南通市如皋市高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研）已知，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?/span>，故，故，同理，故，故B成立.而故，故A錯誤.而，故因，故，所以，又若，則， 解得，因?yàn)?/span>，，故無解，故D錯誤.若，則，則，這與矛盾，故D錯誤.故選B.考點(diǎn)六：平方相加求值例6．（2021-2022學(xué)年浙江省“新高考名校聯(lián)盟”高一下學(xué)期5月）已知，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得，由得，兩式相加得，得.故選A考點(diǎn)七：三角函數(shù)式的化簡例7．（2021-2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中調(diào)研）化簡______【答案】【解析】因?yàn)?/span>所以考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的證明例8．（2021-2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中調(diào)研）（1）證明：（2）求值：【解析】（1）證明：因?yàn)樽筮?/span>右邊，所以原命題成立.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以        【真題演練】 1．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷)若α為第四象限角，則 (　　)A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【解析】當(dāng)時，，選項(xiàng)B錯誤；當(dāng)時，，選項(xiàng)A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確；故選D．2．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷)已知，且，則 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又．故選A．3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ= (　　)A．–2 B．–1 C．1 D．2【答案】D【解析】，，令，則，整理得，解得，即．故選D．4.(2021年高考全國甲卷)若，則 (　　)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，解得，，．故選A．5.（多選）（2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中）已知，，則恒等于（       ）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由可得，即，又，，整理得，則，B，C正確；A，D錯誤.故選BC.6.（多選）（2021-2022學(xué)年江西省臨川一中高一下學(xué)期月考）下列選項(xiàng)化簡值為1的有（       ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B 正確；對于C，，故C不正確；對于D，，故D正確.故選ABD.7.（2021-2022學(xué)年山東省煙臺市高一下學(xué)期期中）若，則______．【答案】【解析】．8.（2020-2021學(xué)年遼寧省大連市第二十四中學(xué)高一下學(xué)期期中）化簡下列各式：(1)；(2)．【解析】 (1)；(2).        【過關(guān)檢測】1. （2021-2022學(xué)年湖北省荊州市沙市中學(xué)高一下學(xué)期期中）化簡：（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】故選A2.（2021-2022學(xué)年甘肅省天水市第一中學(xué)高一下學(xué)期段考）已知，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以、，即，又，解得或（舍去）；故選A3.（2021-2022學(xué)年貴州省黔東南州高一下學(xué)期期中）設(shè)，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因?yàn)?/span>，，，故，故選B4.（2021-2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中）若，，且，，則的值是（       ）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，則.故選B.5.（多選）（2021-2022學(xué)年江蘇省徐州市睢寧縣高一下學(xué)期期中）已知，以下選項(xiàng)正確的是（       ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，，兩邊平方，得，所以，，故A錯誤；又因?yàn)?/span>，所以，，故B正確；，故C正確；，故D正確；故選BCD6.（多選）（2021—2022學(xué)年江西省南昌市第二中學(xué)高一下學(xué)期第一次月考） 下列等式中，正確的是（       ）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B不正確；對于C，，所以，故C正確；對于D，，，所以，故D正確.故選ACD.7.（2021-2022學(xué)年云南省臨滄市云縣高一下學(xué)期期中）已知，均為銳角，且，，則cos＝___．【答案】【解析】因?yàn)?/span>均為銳角，則，又，即，，于是得，，又，所以．8.（2021-2022學(xué)年四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一下學(xué)期期中）在△ABC中，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以所以，所以的取值范圍為9.（2021-2022學(xué)年四川省廣安市廣安第三中學(xué)校高一下學(xué)期第一次考）（1）化簡（2）已知，求的值.【解析】（1），故，又，故（2），解得或則或10.（2021-2022學(xué)年遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體高一下學(xué)期期中）小萌在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個式子都成立．①；②；③；④；⑤．她覺著好像有某種規(guī)律，你能幫她總結(jié)出這個規(guī)律么？并證明這個結(jié)論；并利用這一結(jié)論計算的值．【解析】猜想規(guī)律：.證明：=.==. 
 

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