第15講 三角函數(shù)的概念及誘導(dǎo)公式       【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 借助單位圓理解三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義2. 借助于單位圓的對稱性，利用定義指導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（，的正弦，余弦，正切）3.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：          【基礎(chǔ)知識】一、三角函數(shù)的概念1.單位圓中三角函數(shù)的定義2.三角函數(shù)值的符號 規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．二、利用三角函數(shù)的定義求值的策略1.已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)．則sinα＝，cosα＝.已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．2.當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．3.若終邊在直線上時，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．三、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.兩個基本關(guān)系式2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式(1)平方關(guān)系變形sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.(2)商的變形sinα＝tanαcosα，cosα＝.3.求三角函數(shù)值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解當(dāng)角θ的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角θ分區(qū)間(象限)討論．4．已知角α的正切求關(guān)于sinα，cosα的齊次式的值的方法(1)關(guān)于sinα，cosα的齊次式就是式子中的每一項都是關(guān)于sinα，cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為n次，將分子、分母同除以cosα的n次冪，其式子可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．(2)若無分母時，把分母看作1，并將1用sin2α＋cos2α來代換，將分子、分母同除以cos2α，可化為關(guān)于tanα的式子，再代入求值．4.三角函數(shù)求值中常見的變形公式(1)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα.(2)求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要根據(jù)α的范圍注意判斷它們的符號．四、利用同角三角函數(shù)關(guān)系化簡的常用方法1.化切為弦，減少函數(shù)名稱，便于約分化簡；2.對含根號的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，去掉根號，為防止出錯，去掉根號后首先用絕對值符號表示，然后考慮正負(fù)；3.對含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以便于降冪化簡.五、簡單的三角恒等式的證明思路1.從一邊開始，證明它等于另一邊；2.證明左、右兩邊等于同一個式子；3.逐步尋找等式成立的條件，達(dá)到由繁到簡.六、誘導(dǎo)公式 (1)在公式一～四中，角α是任意角．(2)公式一、二、三、四都叫做誘導(dǎo)公式，它們可概括如下：①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，可以簡單地說成“函數(shù)名不變，符號看象限”．②解釋：“函數(shù)名不變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負(fù)號；“看象限”是指假設(shè)α是銳角，要看原三角函數(shù)是取正值還是負(fù)值，如sin(π＋α)，若把α看成銳角，則π＋α在第三象限，正弦在第三象限取負(fù)值，故sin(π＋α)＝－sinα.【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：利用三角函數(shù)定義求值例1．（2021-2022學(xué)年遼寧省大連市大連育明高級中學(xué)高一下學(xué)期期中）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則角的正弦值為（          ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榻?/span>的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則，，所以.故選D.考點(diǎn)二：確定三角函數(shù)值的符號例2．（2021-2022學(xué)年湖北省問津聯(lián)合體高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測）下列各式的符號為正的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以，故A錯誤；因?yàn)?/span>，，所以，，所以，故B錯誤；因?yàn)?/span>，所以，所以，故C正確；因?yàn)?/span> ，所以，故D錯誤.故選C.考點(diǎn)三：確定角所在象限例3．（2021－2022學(xué)年北京市八一學(xué)校高一6月月考）若且，則角所在的象限是（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，所以滿足且，角在第四象限.故選D考點(diǎn)四：給出一個角的一個三角函數(shù)值求該角的其他三角函數(shù)值例4．（2021-2022學(xué)年海南省華僑中學(xué)高一上學(xué)期期末）已知，且為第二象限角，則下列選項正確的是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】A選項，由誘導(dǎo)公式得：，A正確；B選項，因?yàn)?/span>，且為第二象限角，，所以，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，，D錯誤.故選AB考點(diǎn)五：齊次分式求值例5. （2021-2022學(xué)年江西省名校高一下學(xué)期期中）已知，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>，所以，故選D.考點(diǎn)六：根據(jù)sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα的關(guān)系求值例6．（2021-2022學(xué)年山東省德州市第一中學(xué)高一下學(xué)期6月月考）在ABC中，若，則（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)樵?/span>ABC中，，兩邊平方得；，即，所以，，即，解得，所以，故選D考點(diǎn)七：利用誘導(dǎo)公式求值例7．（2021-2022學(xué)年河南省駐馬店市環(huán)際大聯(lián)考“逐夢計劃”高一下學(xué)期期中）______．【答案】【解析】由題意，原式=. 考點(diǎn)八：三角函數(shù)式的化簡例8．（2020-2021學(xué)年黑龍江省綏化市第一中學(xué)高一上學(xué)期期末）若角，則（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選C考點(diǎn)九：三角函數(shù)式證明例9．求證：(1)(2)【解析】 (1)左邊右邊.即證.(2)左邊右邊.即證：.        【真題演練】 1．（2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市部分學(xué)校高一下學(xué)期期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（       ）A． B． C． D．1【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義可得.故選A2．（2021-2022學(xué)年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學(xué)期期中）已知角終邊在第一象限，，那么的值為（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在第一象限，則，所以.故選C.3.（2021-2022學(xué)年四川省德陽市第五中學(xué)高一上學(xué)期12月月考）若，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】.故選C4.（多選）（2021-2022學(xué)年湖北省部分重點(diǎn)高中高一上學(xué)期期末）已知，，那么的可能值為（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)?/span>①，又sin2α+cos2α=1②，聯(lián)立①②，解得或，因?yàn)?/span>，所以或．故選BD5.（多選） (2021-2022學(xué)年遼寧省朝陽市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知點(diǎn)在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是（       ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，即位于第一象限或者第三象限且，且滿足，所以，當(dāng)位于第一象限時，時，；當(dāng)位于第三象限時，時，.故選AB6.（2021-2022學(xué)年上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高級中學(xué)高一下學(xué)期3月月考）已知，則的取值范圍是__．【答案】【解析】所以，則即7.（2021-2022學(xué)年廣西桂林市第十九中學(xué)高一下學(xué)期期中）（1）已知，求的值．（2）化簡．【解析】（1）由sin，有sin，所以sin；.（2）.8. （2021-2022學(xué)年陜西省咸陽市武功縣高一下學(xué)期月考）已知.(1)求的值(2)若，求的值.【解析】 (1)，∴.(2)原式=，∵，又∵，∴，，，∴，∴原式.        【過關(guān)檢測】1. （2021-2022學(xué)年北京市昌平區(qū)第一中學(xué)高一下學(xué)期期中）若角滿足，，則在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，是第二或第四象限角；當(dāng)是第二象限角時，，，滿足；當(dāng)是第四象限角時，，，則，不合題意；綜上所述：是第二象限角.故選B.2.（2021-2022學(xué)年安徽省皖中名校高一下學(xué)期期中）設(shè)，，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?/span>，所以，，與異號．而已知，所以，．因?yàn)?/span>，所以取．故選C.3.（2021-2022學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中高一3月檢測）若，則（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，解得,則.故選C.4.（多選）（2021-2022學(xué)年福建省德化一中、漳平一中、永安一中三校協(xié)作聯(lián)考高一上學(xué)期月考）以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時針方向運(yùn)動弧長到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)不可能的是（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】以原點(diǎn)為圓心的單位圓上一點(diǎn)從出發(fā)，沿逆時針方向運(yùn)動弧長到達(dá)點(diǎn)，則設(shè)運(yùn)動過程中弧長對應(yīng)的角為，則，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即.故選ABD.5.（多選）（2021-2022學(xué)年山東省德州市高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末）已知，，則可能等于（       ）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)?/span>，所以由得，所以，因?yàn)?/span>，所以可能等于或，故選BD6.（2021-2022學(xué)年江西省景德鎮(zhèn)一中高一下學(xué)期期中）______．【答案】【解析】.7.（2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽市同澤高中高一下學(xué)期4月月考）已知，且，則的值為___________.【答案】【解析】令，則∵，則8.（2021-2022學(xué)年上海財經(jīng)大學(xué)附屬北郊高中高一下學(xué)期月考）若，則__．【答案】1【解析】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以9．（1）化簡：tan（其中α為第二象限角）；（2）求證：1．【解析】（1）；（2）左邊右邊.10.（2021-2022學(xué)年北京市房山中學(xué)高一年級4月月考）已知，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，(1)求的值；(2)求m的值；(3)若，求的值.【解析】 (1)因?yàn)?/span>，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，所以(2)因?yàn)?/span>，是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，所以，，且，所以，所以，得，滿足，所以(3)由（2）可得，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以
 

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