思維方法
1．萬有引力和重力的關(guān)系：(1)考慮星球自轉(zhuǎn)時(shí)星球表面上的物體所受重力為萬有引力的分力．赤道：mg赤＝ eq \f(GMm,R2) －mRω eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(自)) ；兩極：mg極＝ eq \f(GMm,R2) .(2)忽略自轉(zhuǎn)時(shí)重力等于萬有引力，即mg＝G eq \f(mM,R2) ，由此可得g＝ eq \f(GM,R2) 、M＝ eq \f(gR2,G) 、GM＝gR2等重要關(guān)系．
2．天體質(zhì)量和密度的估算：(1)由g、R估算；(2)由T、r估算．
選擇題
1.
對(duì)于環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期會(huì)隨著軌道半徑的變化而變化，某同學(xué)根據(jù)測得的不同衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與周期T的關(guān)系作出如圖所示的圖象，則可求得地球質(zhì)量為(已知引力常量為G)( )
A． eq \f(4π2a,Gb) B． eq \f(4π2b,Ga) C． eq \f(Ga,4π2b) D． eq \f(Gb,4π2a)
2．(多選)[2021·廣東惠州調(diào)研]如圖所示，火星與木星軌道之間有一小行星帶．假設(shè)該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．下列說法正確的是( )
A．各小行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期均大于一年
B．小行星帶內(nèi)側(cè)行星的加速度小于外側(cè)行星的加速度
C．小行星帶內(nèi)各行星繞太陽公轉(zhuǎn)的線速度均小于地球公轉(zhuǎn)的線速度
D．與太陽距離相等的每一顆小行星，受到太陽的引力大小都相等
3．(多選)天文學(xué)家觀測發(fā)現(xiàn)的雙子星系統(tǒng)“開普勒－47”有一對(duì)互相圍繞運(yùn)行的恒星，其中一顆大恒星的質(zhì)量為M，另一顆小恒星質(zhì)量只有大恒星質(zhì)量的三分之一，已知引力常量為G，據(jù)此可知( )
A．大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期之比為1∶3
B．大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度之比為1∶1
C．大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為3∶1
D．大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1∶3
4．(多選)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)“最圓球狀天體”Kepler 11145123距地球5 000光年，它是一顆熾熱明亮的恒星，體積是太陽的兩倍，自轉(zhuǎn)速度是太陽的 eq \f(1,3) .假設(shè)某行星P繞恒星Kepler 11145123做圓周運(yùn)動(dòng)，天文觀測其運(yùn)動(dòng)的周期為T，軌道半徑為r，已知引力常量為G，則下列說法中正確的是( )
A．恒星Kepler 11145123的質(zhì)量為 eq \f(4π2r3,GT2)
B．恒星Kepler 11145123的密度可能大于 eq \f(3π,GT2)
C．行星P的速度大小為 eq \f(2πr,3T)
D．行星P運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小為 eq \f(4π2r,9T2)
5．(多選)下表是一些有關(guān)火星和地球的數(shù)據(jù)，利用引力常量G和表中選擇的一些信息可以完成的估算是( )
A.選擇②⑤可以估算地球的質(zhì)量
B.選擇①④可以估算太陽的密度
C.選擇①③④可以估算火星公轉(zhuǎn)的線速度
D.選擇①④可以估算太陽對(duì)地球的吸引力
第33練 萬有引力定律及應(yīng)用
1．答案：A
解析：由萬有引力提供向心力有G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r，得r3＝ eq \f(GMT2,4π2) ，由題圖可知 eq \f(GM,4π2) ＝ eq \f(a,b) ，所以地球的質(zhì)量為M＝ eq \f(4π2a,Gb) ，故A正確．
2．答案：AC
解析：行星繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力，由G eq \f(Mm,r2) ＝ma＝m eq \f(v2,r) ＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) r可得a＝ eq \f(GM,r2) ，v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM)) ，所以離太陽較近的行星向心加速度較大、線速度較大、周期較短，故AC正確，B錯(cuò)誤；由萬有引力的表達(dá)式F＝ eq \f(GMm,r2) 可知，由于無法確定行星質(zhì)量的大小關(guān)系，故無法比較其所受太陽的引力的大小關(guān)系，D項(xiàng)錯(cuò)誤．
3．答案：BD
解析：互相圍繞運(yùn)行的恒星屬于雙星系統(tǒng)，大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)周期和角速度均相等，故A錯(cuò)誤，B正確；設(shè)大恒星與兩恒星轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡的圓心距離為x1，小恒星與兩恒星轉(zhuǎn)動(dòng)軌跡的圓心距離為x2，根據(jù)萬有引力提供向心力，有G eq \f(M·\f(1,3)M,L2) ＝Mω2x1＝ eq \f(1,3) Mω2x2，可得 eq \f(x1,x2) ＝ eq \f(\f(1,3)M,M) ＝ eq \f(1,3) ，即大、小兩顆恒星的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑之比為1∶3，故C錯(cuò)誤，D正確．
4．答案：AB
解析：設(shè)恒星Kepler 11145123的質(zhì)量為M，半徑為R，萬有引力提供向心力，則G eq \f(Mm,r2) ＝m（ eq \f(2π,T) ）2r，得M＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，體積V＝ eq \f(4,3) πR3，則密度ρ＝ eq \f(M,V) ＝ eq \f(3πr3,GT2R3) ，由于r≥R，恒星Kepler 11145123的密度一定不小于 eq \f(3π,GT2) ，選項(xiàng)A、B正確；行星P的速度大小為v＝ eq \f(2πr,T) ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；行星P運(yùn)動(dòng)的向心加速度大小a＝ eq \f(v2,r) ，得a＝ eq \f(4π2r,T2) ，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
5．答案：AC
解析：由G eq \f(M地m,R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ＝mg，解得地球質(zhì)量M地＝ eq \f(gR eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ,G) ，所以選擇②⑤可以估算地球質(zhì)量，選項(xiàng)A正確；由G＝ eq \f(M太M地,r2) ＝M地r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2) ，解得M太＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，所以選擇①④可以估算太陽的質(zhì)量，由于不知太陽半徑（太陽體積），因而不能估算太陽的密度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開普勒第三定律，選擇①③④可以估算火星公轉(zhuǎn)軌道半徑r火，火星公轉(zhuǎn)的線速度v火＝ωr火＝r火 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T火))) ，選項(xiàng)C正確；選擇①④可以估算地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的加速度，因?yàn)椴恢厍蛸|(zhì)量，所以不能估算太陽對(duì)地球的吸引力，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．信息
序號(hào)
①
②
③
④
⑤
信息
內(nèi)容
地球一年約為365天
地表重力加速度約為9.8 m/s2
火星的公轉(zhuǎn)周期約為687天
日地距離大約是1.5億千米
地球半徑約為6 400千米

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