我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”．?dāng)?shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透．
而向量卻是數(shù)形完美結(jié)合體。向量既是代數(shù)研究對(duì)象也是幾何研究對(duì)象，它是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。因?yàn)榇笮儆诖鷶?shù)，方向?qū)儆趲缀巍?br/> 數(shù)學(xué)家華羅庚提出了科研的四種境界：第一種是照葫蘆畫(huà)瓢模仿．剛開(kāi)始做科研的人習(xí)慣于模仿參考文獻(xiàn)做一些小小的改進(jìn)和推廣，沒(méi)有什么創(chuàng)新．第二種境界是對(duì)現(xiàn)有的方法進(jìn)行改進(jìn)用來(lái)解決新問(wèn)題或?qū)ΜF(xiàn)有方法進(jìn)行修補(bǔ)以更好地解決老問(wèn)題．這和第一種境界沒(méi)有太大的區(qū)別，但這樣做時(shí)，由于現(xiàn)有方法并不完全適用于新問(wèn)題，還是有一些改進(jìn)工作要做的.而且，在用老方法嘗試解決新問(wèn)題的時(shí)候可能會(huì)產(chǎn)生新的思路．所以，我們不要小瞧這樣的工作. 著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)“1+2”的研究成果就是利用挪威數(shù)學(xué)家布朗的“篩法”得到的．但一個(gè)人做數(shù)學(xué)研究不能老局限在這種“攀親”的境界里，而要考慮針對(duì)新問(wèn)題有無(wú)更有效的方法．這就引出了做科研的第三種境界：用創(chuàng)新性的方法解決新問(wèn)題或老問(wèn)題．這種境界完全有別于前兩種境界，是創(chuàng)造力提高的表現(xiàn)．科研的第四種境界是開(kāi)辟新領(lǐng)域、新方向．這種拓荒探寶性的工作，其意義不言而喻．它要求很高，一般人也很難達(dá)到．
而向量方法就屬于科研的第三境界。
李邦河院士說(shuō)：“根據(jù)我上大學(xué)以后搞數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧。技巧不足道也！”
我們知道數(shù)學(xué)來(lái)自于生活生產(chǎn)實(shí)踐，數(shù)學(xué)上的每個(gè)概念都有現(xiàn)實(shí)的生活原型。數(shù)學(xué)家是考察了生活生產(chǎn)中的各種現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象有共同的模型，于是提煉出來(lái)得到數(shù)學(xué)上的一個(gè)概念。這也說(shuō)明學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。馬克思說(shuō)理論來(lái)源于實(shí)踐，但理論對(duì)實(shí)踐具有反作用或能動(dòng)作用。馬克思唯物主義有個(gè)原則物質(zhì)決定意識(shí)，但意識(shí)對(duì)物質(zhì)具有反作用或能動(dòng)作用。我們經(jīng)常說(shuō)的話是沒(méi)有理論的實(shí)踐是盲目的，沒(méi)有實(shí)踐的理論是空洞的。
比如數(shù)學(xué)家提出向量概念，得到一套向量理論，按向量理論解決了許多數(shù)學(xué)問(wèn)題。
那在生活生產(chǎn)實(shí)踐中哪些是向量的原型呢？
百度：“向量”的前世今生：8位天才數(shù)學(xué)家，耗時(shí)2000年完成?
1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
1.空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
溫州市甌海區(qū)三溪中學(xué) 張明
用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”。
（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；
（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。
我們知道，點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素。因此為了用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，首先要用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面。
思考1：如何用向量表示空間中的一點(diǎn)？
2、空間直線的向量表示式
①式、 ②式都稱為空間直線的向量表達(dá)式
空間直線的向量表達(dá)式：
空間直線的向量表達(dá)式的作用：
2、判斷三點(diǎn)是否共線。
3、空間平面的向量表達(dá)式
思考3：如何利用向量確定空間一個(gè)平面？
注：空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定。
空間平面ABC的向量表達(dá)式的作用：
例1 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中點(diǎn).以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.4 空間向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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