第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3．3　冪函數(shù) [目標(biāo)] 1.記住冪函數(shù)的定義，熟悉α＝1,2,3，，－1時(shí)冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)；2.記住冪函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)用性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．[重點(diǎn)] 冪函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)．[難點(diǎn)] 利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念[填一填]一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．[答一答]1．下列函數(shù)：①y＝2x3；②y＝x2＋1；③y＝(x＋1)3是冪函數(shù)嗎？提示：它們都不滿足冪函數(shù)的定義，所以都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二冪函數(shù)的圖象[填一填]五種常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝的圖象如下圖．[答一答]2．冪函數(shù)y＝xα的圖象在第一象限內(nèi)有何特征？提示：(1)α>1，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，下凸遞增，如y＝x2.(2)0<α<1，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，上凸遞增，如y＝.(3)α<0，圖象過(guò)點(diǎn)(1,1)，以兩坐標(biāo)軸為漸近線，如.3．為什么冪函數(shù)在第四象限內(nèi)不存在圖象？提示：當(dāng)x>0時(shí)，y＝xα>0，不可能出現(xiàn)y<0的情形，所以冪函數(shù)在第四象限不存在圖象．知識(shí)點(diǎn)三冪函數(shù)的性質(zhì)[填一填]五類冪函數(shù)的性質(zhì)[答一答]4．對(duì)于冪函數(shù)y＝xα(α是常數(shù)，x是自變量)其在第一象限內(nèi)的單調(diào)性是怎樣的？提示：α>0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上是增函數(shù)；α<0時(shí)，y＝xα在(0，＋∞)上是減函數(shù)．類型一冪函數(shù)的概念[例1]　下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝x2＋2x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x.其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(　B　)A．1 B．2C．3 D．4[解析]　②為二次函數(shù)，③中系數(shù)不是1，④中解析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù)，故選B.冪函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：?1?解析式是單項(xiàng)式；?2?冪指數(shù)為常數(shù)，底數(shù)為自變量，系數(shù)為1.[變式訓(xùn)練1]　(1)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)，則k＋α＝(　C　)A. B．1C. D．2(2)已知函數(shù)y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數(shù)，則m＝－3或1，n＝－3或1. 解析：(1)由冪函數(shù)定義知k＝1，把代入y＝xα得α＝，∴k＋α＝.選C.(2)因?yàn)楹瘮?shù)y＝(m2＋2m－2)xm＋2＋2n－3是冪函數(shù)，由冪函數(shù)的定義得解得m＝－3或1，n＝.類型二冪函數(shù)的圖象[例2]　下圖是冪函數(shù)y＝xm、y＝xn與y＝x－1在第一象限內(nèi)的圖象，則(B )A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1 [解析]　由y＝xm的圖象是橫臥拋物線形，知0<m<1；由y＝xn的圖象是雙曲線，知n<0.作直線x＝x0(0<x0<1)，與y＝xn、y＝x－1的圖象分別交于點(diǎn)A、B，由“點(diǎn)低指數(shù)大”知n<－1.故選B.在區(qū)間(0,1)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越靠近x軸；在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越遠(yuǎn)離x軸．[變式訓(xùn)練2]冪函數(shù)y＝x－1及直線y＝x，y＝1，x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)區(qū)域，分別標(biāo)記為①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如圖所示)，那么冪函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)的區(qū)域?qū)?yīng)的序號(hào)有(　D　)A．④⑦　　　B．④⑧　　　C．③⑧　　　D．①⑤解析：∵x－＝(－1)，當(dāng)0<x<1時(shí)，x－<0，即x<<1，∴冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域①；當(dāng)x>1時(shí)，x－>0，即x>>1，∴冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域⑤.類型三冪函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用[例3]　比較下列各組中三個(gè)數(shù)的大?。?/span>[分析]　本題考查冪函數(shù)．
比較冪值大小的方法分類比較對(duì)象方法指數(shù)相同，底數(shù)不同與利用冪函數(shù)的單調(diào)性底數(shù)相同，指數(shù)不同與利用不等式性質(zhì)底數(shù)、指數(shù)都不同與尋找“中間量”或或或等 [變式訓(xùn)練3]　比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?/span>1.下列所給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是(　B　)A．y＝－x3 B．y＝x－3C．y＝2x3 D．y＝x3－12.如果冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，那么f的值為(　D　)A. B．2C．1 D．4解析：設(shè)f(x)＝xα.∵f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，∴＝4α，解得α＝－.∴f(x)＝＝4. 3.函數(shù)的圖象是(　B　)解析：∵函數(shù)是冪函數(shù)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)恒過(guò)點(diǎn)(1,1)，排除A，D.當(dāng)x>1,0<α<1時(shí)，y＝xα在直線y＝x下方，排除C，選B.4.冪函數(shù)在[－4，－2]上的最小值為__－__..解析：∵在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴在[－4，－2]上遞減，∴在[－4，－2]上的最小值是－.5．比較下列各題中兩個(gè)冪的值的大?。?/span>
——本課須掌握的三大問(wèn)題1.冪函數(shù)y＝xα的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)．2.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x＝1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變??；在直線x＝1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。?/span>3.簡(jiǎn)單冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時(shí)，函數(shù)值為1，即f(1)＝1.(2)如果α>0，冪函數(shù)在[0，＋∞)上有意義，且是增函數(shù)．(3)如果α<0，冪函數(shù)在x＝0處無(wú)意義，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．
冪函數(shù) 課時(shí)作業(yè)(15分鐘　30分)1.下列結(jié)論正確的是 (　　)A.冪函數(shù)圖象一定過(guò)原點(diǎn)B.當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)y=xα是減函數(shù)C.當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)y=xα是增函數(shù)D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù)，也是冪函數(shù)【解析】選D.函數(shù)y=x-1的圖象不過(guò)原點(diǎn)，故A不正確；y=x-1在(-∞，0)及(0，+∞)上是減函數(shù)，故B不正確；函數(shù)y=x2在(-∞，0)上是減函數(shù)，在(0，+∞)上是增函數(shù)，故C不正確.2.已知冪函數(shù)f(x)=kxα的圖象過(guò)點(diǎn)，則k+α等于 (　　)A.   B.1  C.   D.2【解析】選A.因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=kxα(k∈R，α∈R)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以k=1，f==，即α=-，所以k+α=.3.在下列四個(gè)圖形中，y=的圖象大致是 (　　)【解析】選D.函數(shù)y=的定義域?yàn)?/span>(0，+∞)，是減函數(shù).4.冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是 (　　)A.[-1，+∞)    B.[0，+∞)C.(-∞，+∞)   D.(-∞，0)【解析】選B.設(shè)冪函數(shù)為f(x)=xα，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，)，所以f(3)=3α==，解得α=，所以f(x)=，所以冪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞).5.(2020·北京高一檢測(cè))如果冪函數(shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，則f(x)在定義域內(nèi) (　　)A.為增函數(shù)    B.為減函數(shù)C.有最小值    D.有最大值【解析】選C.因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，4)，所以f(2)=2a=4，解得a=2，所以f(x)=x2，所以f(x)在定義域先遞減再遞增，有最小值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是_______. 【解析】因?yàn)?<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y=xα在(0，+∞)上為減函數(shù)，故α<0.答案：(-∞，0)6.已知冪函數(shù)f(x)=(-2<m<2，m∈Z)滿足：①在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；②對(duì)任意的x∈R，都有f(-x)-f(x)=0.求冪函數(shù)f(x)的解析式，并求當(dāng)x∈時(shí)，f(x)的值域.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以-m2-2m+3>0，解得：-3<m<1.因?yàn)?2<m<2，m∈Z，所以m=-1或m=0.又因?yàn)閒(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，所以-m2-2m+3為偶數(shù).當(dāng)m=-1時(shí)，-m2-2m+3=4滿足題意，當(dāng)m=0時(shí)，-m2-2m+3=3不滿足題意，所以f(x)=x4，所以f(x)在上遞增，所以f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(4)=256，所以值域是.(20分鐘　40分)一、單選題(每小題5分，共15分)1.(2020·瓊海高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=(m2-6m+9)是冪函數(shù)且為奇函數(shù)，則m的值為 (　　)A.2  B.3  C.4  D.2或4【解析】選D.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m2-6m+9)為冪函數(shù)，所以m2-6m+9=1，所以m=2或m=4，當(dāng)m=4時(shí)，f(x)=x5是奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)m=2時(shí)，f(x)=x-1是奇函數(shù)，滿足題意；所以m=2或4.2.下列命題中，不正確的是 (　　)A.冪函數(shù)y=x-1是奇函數(shù)B.冪函數(shù)y=x2是偶函數(shù)C.冪函數(shù)y=x既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.y=既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)【解析】選C.因?yàn)?/span>x-1=，=-，所以A正確；(-x)2=x2，所以B正確；-x=x不恒成立，所以C不正確；y=定義域?yàn)閇0，+∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以D正確.3.給出冪函數(shù)：①f(x)=x；②f(x)=x2；③f(x)=x3；④f(x)=；⑤f(x)=.其中滿足條件f()>(x1>x2>0)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 (　　)A.1個(gè)   B.2個(gè)   C.3個(gè)   D.4個(gè)【解題指南】解決該題的關(guān)鍵是正確理解f>(x1>x2>0)的含義.【解析】選A.①函數(shù)f(x)=x的圖象是一條直線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f=；②函數(shù)f(x)=x2的圖象是凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f<；③在第一象限，函數(shù)f(x)=x3的圖象是凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f<；④函數(shù)f(x)=的圖象是凸形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f>；⑤在第一象限，函數(shù)f(x)=的圖象是一條凹形曲線，故當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f<.故僅有函數(shù)f(x)=滿足當(dāng)x1>x2>0時(shí)，f>.二、多選題(共5分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)4.下列函數(shù)中，其定義域和值域相同的函數(shù)是 (　　)A.y=  B.y=  C.y=  D.y=【解析】選A、B、C.A中y==，定義域、值域都為R；B中y==定義域與值域都為(0，+∞)；C中y=的定義域、值域也為R；D中y==定義域?yàn)?/span>R，而值域?yàn)?/span>[0，+∞).三、填空題(每小題5分，共10分)5.已知函數(shù)f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m=_______. 【解析】在冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)中，令m2-m-1=1，得m2-m-2=0，解得m=2或m=-1；當(dāng)m=2時(shí)，m2-2m-2=-2，函數(shù)f(x)=x-2，在(0，+∞)上單調(diào)遞減，滿足題意；當(dāng)m=-1時(shí)，m2-2m-2=1，函數(shù)f(x)=x，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不滿足題意；所以實(shí)數(shù)m=2.答案：26.已知冪函數(shù)f(x)=(m∈Z)為偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則f(2)的值為_______. 【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=(m∈Z)為偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則指數(shù)是偶數(shù)且大于0，因?yàn)?/span>-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4，因此指數(shù)等于2或4，當(dāng)指數(shù)等于2時(shí)，求得m非整數(shù)，所以m=-1，即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案：16四、解答題7.(10分)已知冪函數(shù)f(x)=(m∈N*)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2-a)>f(a-1)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，所以=，即=.所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.又因?yàn)閙∈N*，所以m=1.所以f(x)=，則函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞)，并且在定義域上為增函數(shù).由f(2-a)>f(a-1)，得解得1≤a<.所以a的取值范圍為.

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