專題12 有理數(shù)的除法-2022年小升初數(shù)學(xué)無憂銜接（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題12 有理數(shù)的除法

1.會把有理數(shù)的除法運(yùn)算改為乘法運(yùn)算；
2.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序及法則；
3.能利用有理數(shù)的除法解決實(shí)際問題。

1.有理數(shù)的除法
1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)不等于的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．，()
法則的另一說法：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．
除以任何一個(gè)不等于的數(shù)，都得．
2）有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．
有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．
注意：乘除混合運(yùn)算要“從左到右”運(yùn)算．分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母．

【題型一】有理數(shù)除法法則的辨析
【解題技巧】有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．
【典題1】（2021·河南·開封市七年級期中）兩個(gè)有理數(shù)的商為負(fù)數(shù)，則這兩個(gè)有理數(shù)（???????）
A．同號 B．異號 C．都是正數(shù) D．都是負(fù)數(shù)
【答案】B
【分析】兩數(shù)相除，異號得負(fù)，并把絕對值相除，依此即可求解．
【詳解】解：兩個(gè)有理數(shù)的商是負(fù)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)一定異號．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算符號法則，比較簡單，熟記“同號得正，異號得負(fù)”是解題的關(guān)鍵．
【典題2】（2021·湖南·長沙市華益中學(xué)七年級期中）如果a＞0，b＜0，那么下列結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)b＞0，＞0 B．a(chǎn)b＞0，＜0 C．a(chǎn)b＜0，＞0 D．a(chǎn)b＜0，＜0
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法和除法法則即可得出判斷．
【詳解】解：∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，＜0，故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查了此題考查了，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘法和除法法則．
【變式練習(xí)】
1．（2022·浙江寧波·七年級期末）下列說法正確的是（???????）
A．非零兩數(shù)的和一定大于任何一個(gè)加數(shù) B．非零兩數(shù)的差一定小于被減數(shù)
C．大于1的兩數(shù)之積一定大于任何一個(gè)因數(shù) D．小于1的兩數(shù)之商一定小于被除數(shù)
【答案】C
【解析】
【分析】按照有理數(shù)的計(jì)算法則和特例進(jìn)行辨別選擇．
【詳解】解：∵兩個(gè)負(fù)數(shù)的和小于任何一個(gè)加數(shù)，∴選項(xiàng)A不符合題意；
∵當(dāng)減數(shù)是小于或等于0的數(shù)時(shí)，差是大于或等于被減數(shù)的，∴選項(xiàng)B不符合題意；
∵大于1的兩數(shù)之積一定大于任何一個(gè)因數(shù)，∴選項(xiàng)C符合題意；
∵當(dāng)除數(shù)是真分?jǐn)?shù)，被除數(shù)是正數(shù)時(shí)，商大于被除數(shù)，∴選項(xiàng)D不符合題意，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算結(jié)果大小變化的辨別能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解法則，并能對各種運(yùn)算情況考慮全面．
2．（2022·廣西·桂林市寶賢中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知a，b為有理數(shù)，則下列說法正確的個(gè)數(shù)為（??????????）
①若，，則，．②若，，則，且．
③若，，則，．④若，，則，且．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則以及有理數(shù)的除法法則分別分析得出即可．
【詳解】解：①若，，則，，故①結(jié)論正確；
②若，，則a＞0，b＜0且|a|＞|b|或a＜0，b＞0且|a|＜|b|，故②結(jié)論錯(cuò)誤；
③若，，則a＜0，b＜0，故③結(jié)論正確；
④若，，則a＞0，b＜0且|b|＞|a|或a＜0，b＞0且|b|＜|a|，故結(jié)論錯(cuò)誤．
故正確的有2個(gè)．故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的除法法則以及有理數(shù)加法法則的應(yīng)用，熟練掌握法則是解題關(guān)鍵．

【題型二】有理數(shù)的除法運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．
【典題1】（2021·湖南·衡陽市華新實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）計(jì)算：＝_________________．
【答案】﹣
【分析】根據(jù)有理數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：
＝，

故答案為：﹣．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握有理數(shù)除法法則是解答本題的關(guān)鍵．
【典題2】（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
（1）；??? （2）；
（3）；????（4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）（2）（3）利用有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可；
（4）先計(jì)算括號內(nèi)的除法，再利用有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）；??????????????????????
（2）；
（3）；??????????
（4）．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．注意：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．
【變式練習(xí)】
1．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）計(jì)算：
【答案】
【分析】將除法統(tǒng)一成乘法，然后再計(jì)算．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的除法運(yùn)算，掌握除以一個(gè)非零的數(shù)等于乘以它的倒數(shù)是解題關(guān)鍵．
2.（2022·全國·七年級課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
（1）；??????（2）?????? （3）；（4）；????????????????????
（5）???（6）；（7）；?（8）．
【答案】（1）0；（2）2；（3）；（4）；（5）；（6）2；（7）；（8）
【分析】利用除法法則計(jì)算即可．
【詳解】解：（1）；??????????????????
（2）??????????????????????
（3）；
（4）；????????????????????
（5）????????
（6）；
（7）；?????????????????
（8）．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．有理數(shù)的除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)．
【題型三】有理數(shù)除法的運(yùn)算步驟問題
【解題技巧】
【典題1】（2021·山西臨汾·七年級期中）下面是小明的計(jì)算過程，請仔細(xì)閱讀．
計(jì)算：．
解：原式=（–15）÷（）×6…………第一步
=（–15）÷（–20）…………第二步
第三步
并解答下列問題．
（1）上面的解題過程用兩處錯(cuò)誤：
第一處是第____步，錯(cuò)誤原因是．
第二處是第____步，錯(cuò)誤原因是．
（2）請寫出正確的計(jì)算過程．
【答案】（1）二，運(yùn)算順序錯(cuò)誤；三，符號錯(cuò)誤；（2）27，過程見解析
【分析】（1）第二步?jīng)]有按照同級運(yùn)算要從左至右進(jìn)行運(yùn)算，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤，第三步?jīng)]有注意兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）先計(jì)算括號內(nèi)的減法運(yùn)算，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算即可.
【詳解】解：（1）第二步，運(yùn)算順序錯(cuò)誤；第三步，符號錯(cuò)誤．
故答案為：二，運(yùn)算順序錯(cuò)誤；三，符號錯(cuò)誤
（2）

【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，掌握“有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與運(yùn)算法則”是解題的關(guān)鍵.
【典題2】（2021·吉林·七年級期中）下面是小胡同學(xué)做過的一道題，請先閱讀解題過程，然后回答所提出的問題．
計(jì)算：（﹣48）÷36×（﹣）
解：原式＝（﹣48）÷（﹣4）?????第①步
＝12?????第②步
問題：（1）上述解題過程中，從第　　步開始出錯(cuò)（填“①”或“②”）；
（2）寫出本題的正確解答過程．
【答案】（1）①；（2）見解析
【分析】（1）檢查解題過程發(fā)現(xiàn)第①步有誤，（2）寫出正確的解法即可．
【詳解】解：（1）第①步出錯(cuò)，運(yùn)算的順序有誤；故答案是：①；
（2）正解解法為：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則及運(yùn)算順序．
【變式練習(xí)】
1.（2022·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀后回答問題：計(jì)算（–）÷（–15）×（–）．
解：原式=–÷[（–15）×（–）]①
=–÷1②
=–③.
（1）上述的解法是否正確？答：__________；
若有錯(cuò)誤，在哪一步？答：__________（填代號）
錯(cuò)誤的原因是：__________；
（2）這個(gè)計(jì)算題的正確答案應(yīng)該是：__________．
【答案】???? 不正確???? ①???? 運(yùn)算順序不對，或者是同級運(yùn)算中，沒有按照從左到右的順序進(jìn)行????
【詳解】解：（1）答：不正確；
若有錯(cuò)誤，在哪一步？答： ① （填代號）．???????
錯(cuò)誤的原因是：運(yùn)算順序不對，或者是同級運(yùn)算中，沒有按照從左到右的順序進(jìn)行．
（2）原式＝－× (-) × (－)= ×(－)= ．
這個(gè)計(jì)算題的正確答案應(yīng)該是：．
2．（2022·吉林·德惠市第三中學(xué)七年級階段練習(xí)）閱讀后回答問題：計(jì)算．
解：原式=??????????????????①
?????????????????????????????????????????????②
??????????????????????????????????????????????????③
（1）從第（填序號）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請寫出正確的解答過程．
【答案】（1）①；（2）見解析．
【分析】同級運(yùn)算應(yīng)該按照從左到右的順序進(jìn)行．
【詳解】解：（1）從第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，同級運(yùn)算沒有按照從左到右的順序進(jìn)行；
（2）

【點(diǎn)睛】此題主要考查有理數(shù)的乘除法混合運(yùn)算，乘除法同級運(yùn)算從左到右進(jìn)行是解題關(guān)鍵．

【題型四】有理數(shù)的除法簡算
【解題技巧】
【典題1】（2021·婁底市第二中學(xué)七年級期中）請你先認(rèn)真閱讀材料：
計(jì)算
解：原式的倒數(shù)是
＝
＝×（﹣30）﹣×（﹣30）+×（﹣30）﹣×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根據(jù)你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計(jì)算：．
【答案】．
【分析】根據(jù)題意，先計(jì)算出的倒數(shù)的結(jié)果，再算出原式結(jié)果即可．
【詳解】解：原式的倒數(shù)是：
，
故原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的除法，讀懂題意，并能根據(jù)題意解答題目是解決問題的關(guān)鍵．
【變式練習(xí)】
1. （2021·湖北黃岡市·思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級月考）閱讀下列材料：
計(jì)算：÷﹙﹣＋﹚．
解法一：原式＝÷﹣÷＋÷＝×3﹣×4＋×12＝．
解法二：原式＝÷﹙﹣＋﹚＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒數(shù)＝﹙﹣＋﹚÷＝﹙﹣＋﹚×24
＝×24﹣×24＋×24＝4．所以，原式＝．
（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法　　是錯(cuò)誤的；
（2）請你選擇合適的解法計(jì)算：﹙﹣﹚÷﹙﹣－＋﹚．
【答案】（1）解法一；（2）
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的計(jì)算方法判斷即可；（2）選擇解法二求出值即可；
【詳解】（1）杉樹得到的結(jié)果不同，通過分析可得解法一不正確；
（2）根據(jù)解法二的形式可得：
原式;
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

【題型五】有理數(shù)乘除法的混合運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算：先將除法換成乘法，然后確定積的符號，最后求出結(jié)果．
注意：乘除混合運(yùn)算要“從左到右”運(yùn)算．分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母．
【典題1】（2021·江蘇徐州·七年級期中）計(jì)算：
（1）（2）．
【答案】（1）3；（2）1
【詳解】解：（1）原式==3；
（2）原式===1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序是解題的關(guān)鍵．
【典題2】（2021·浙江杭州市·七年級期末）給出四個(gè)數(shù)：,2,6，計(jì)算“24點(diǎn)”，請列出四個(gè)符合要求的不同算式．（可運(yùn)用加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，可用括號；注意：例如與只是順序不同，屬同一個(gè)算式．）
算式1：_________________；算式2_______________；算式3：_________________；算式4_______________；
【答案】

【分析】由可得由可得由可得由，可得從而可得答案．
【詳解】解：算式1：
算式2：
算式3：
算式4：
故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法，注意本題答案不唯一，這是一道開放性的題目，同時(shí)考查了學(xué)生的逆向思維．
【變式練習(xí)】
1．（2021·遼寧鞍山·七年級階段練習(xí)）計(jì)算：______．
【答案】
【分析】先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后根據(jù)乘除法運(yùn)算法則進(jìn)行解題，即可得到答案．
【詳解】解：
=
=
=．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法和除法的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行解題．
2．（2021·北京師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)華夏女子中學(xué)七年級期中）
【答案】
【分析】利用有理數(shù)乘除運(yùn)算法則即可求解．
【詳解】解：，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握有理數(shù)乘除運(yùn)算法則．
3．（2021·貴州黔南·七年級階段練習(xí)）計(jì)算．
（1）（2）
【答案】（1）16 ；（2）4
【詳解】解：（1），
=，
=，
=16；
（2），
=，
=，
=，
=4．
【點(diǎn)睛】本題考查絕對值，有理數(shù)混合計(jì)算，利用乘法分配律簡算，掌握順序先去絕對值，再進(jìn)行其它計(jì)算是關(guān)鍵．

【題型六】有理數(shù)除法的應(yīng)用
【解題技巧】
【典題1】（2022·四川成都·七年級期末）元旦節(jié)期間，某商場對顧客實(shí)行這樣的優(yōu)惠政策：若一次購物不超過200元，則不予折扣；若一次購物超過200元不超過500元，則按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠：若一次購物超過500元，其中500元按上述八折優(yōu)惠外，超過500元的部分給予七折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購物分別付款192元和384元，如果她合起來一次性購買同樣多的商品，那么她可以節(jié)約______元．
【答案】55.6或22##22或55.6
【分析】根據(jù)題意分類討論，分別求得兩次購物標(biāo)價(jià)，進(jìn)而根據(jù)優(yōu)惠方案求解即可．
【詳解】解：付款192的商品如果按規(guī)定：每一次購物不超過200元，則不予折扣付款，則商品的標(biāo)價(jià)為192元；付款192的商品如果按規(guī)定：若一次購物超過200元，不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠付款，則標(biāo)價(jià)為192÷0.8=240元；
由500×0.8=400，所以付款384的商品沒有超過元，則按規(guī)定：若一次購物超過200元，不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予八折優(yōu)惠付款，則商品的標(biāo)價(jià)為384÷0.8=480元，
所以某人兩次購物分別付款192元和384元的商品的總標(biāo)價(jià)為192+480=672（元）或240+480=720（元），
當(dāng)他合起來一次購買同樣的商品時(shí)，可按規(guī)定：若一次購物超過500元，其中500元按上述八折優(yōu)惠之外，超過500元部分給予七折優(yōu)惠進(jìn)行付款．
總標(biāo)價(jià)為672元應(yīng)實(shí)際付款數(shù)=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），
則他可節(jié)約（192+384）-520.4=55.6（元）；
總標(biāo)價(jià)為720元應(yīng)實(shí)際付款數(shù)=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），
則他可節(jié)約（192+384）-554=22（元）．
故答案為：55.6或22．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，分別求得兩次購物標(biāo)價(jià)是解題的關(guān)鍵．
【典題2】（2021·浙江杭州市·七年級期中）小王和小李兩人在進(jìn)行100米跑訓(xùn)練，小王說：“我跑到終點(diǎn)時(shí)，你離終點(diǎn)還有20米”，小李說：“我跑到終點(diǎn)時(shí)，你才比我快了2.5秒”．
（1）求小王和小李的速度．
（2）若小李從起點(diǎn)先跑2秒后小王再開始跑，求小王起跑后幾秒追上小李．
（3）若小李從起點(diǎn)起跑，小王在起點(diǎn)后20米同時(shí)起跑，小王在起跑時(shí)不慎摔了一跤，爬起來后繼續(xù)按原速度跑，在跑的過程中發(fā)現(xiàn)某一時(shí)刻兩人相距只有2米，求小王摔倒最多耽擱幾秒時(shí)間？
【答案】（1）小李的速度為8米/秒，小王的速度為10米/秒；（2）8秒；（3）3秒
【分析】（1）利用20÷2.5可得小李的速度，從而得到小王的時(shí)間，再利用路程除以該時(shí)間可得小王的速度；
（2）利用路程÷速度差=追上小李的時(shí)間可列式計(jì)算；
（3）根據(jù)題意可得該時(shí)間的路程差，再除以速度差可得時(shí)間，從而計(jì)算耽擱的時(shí)間．
【詳解】解：（1）20÷2.5=8米/秒，∴小李的速度為8米/秒，
100÷8=12.5秒，100÷（12.5-2.5）=10米/秒，∴小王的速度為：10米/秒；
（2）8×2÷（10-8）=8秒，∴小王起跑后8秒追上小李；
（3）（20-2）÷（10-8）=9秒，120÷10-9=3秒，∴最多耽擱3秒．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握行程問題的計(jì)算公式的應(yīng)用．
【變式練習(xí)】
1．（2021·吉林·長春市第八十七中學(xué)七年級期末）大商超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物，優(yōu)惠規(guī)定如下：
A如果一次性購物在500元以內(nèi)，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；
B如果一次性購物超過500元，其中500元部分給予九折優(yōu)惠，超過500元部分給予八折優(yōu)惠．
（1）李叔叔在該超市購買了一臺標(biāo)價(jià)為780元的洗衣機(jī)，他應(yīng)付多少元錢？
（2）王阿姨先后兩次去該超市購物，分別付款198元和554元，如果王阿姨一次性購買，只需要付款多少元？能節(jié)省多少元？
【答案】（1）他應(yīng)付錢674元；（2）王阿姨一次性購買，只需要付款730元，能節(jié)省22元．
【分析】（1）根據(jù)780元＞500元，分兩部分計(jì)算500元九折+超過部分八折計(jì)算即可；
（2）先求出兩次構(gòu)買物品的標(biāo)價(jià)，將兩次物品標(biāo)價(jià)求和，再按一次性購物計(jì)算500元九折+超過部分八折，再計(jì)算王阿姨兩次購物付款總和-一次性付款即可．
【詳解】解：（1）∵李叔叔在該超市購買了一臺標(biāo)價(jià)為780元的洗衣機(jī)，780元＞500元，
∴他應(yīng)付錢為：500×0.9+（780-500）×0.8=450+224=674元；
（2）王阿姨第一次去該超市購物付款198元，該物品標(biāo)價(jià)為198÷0.9=220元，
第二次去該超市購物付款554元，554-450=104，450÷0.9+104÷0.8=500+130=630元，
兩次購物標(biāo)價(jià)為220+630=850元，
∴王阿姨應(yīng)付錢為：500×0.9+（850-500）×0.8=450+280=730元，
198+554-730=22元，王阿姨一次性購買，只需要付款730元，能節(jié)省22元．
【點(diǎn)睛】本題考查商品打折問題，掌握分類計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)和計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．
2．（2021·浙江臺州市·中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．

（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．
【答案】（1）輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；（2）小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘．
【分析】（1）先求出每分鐘輸液多少毫升，進(jìn)而即可求解；
（2）先求出輸液10分鐘時(shí)調(diào)整后的藥液流速，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：75÷15=5（毫升/分鐘），
250-5×10=200（毫升），
答：輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；
（2）（200-160）÷10=4（毫升/分鐘），
160÷4+20=60（分鐘），
答：小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，明確時(shí)間，流速，輸液量三者之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．

【題型七】有理數(shù)除法的新定義問題
【解題技巧】
【典題1】（2021·河南·鶴壁市外國語中學(xué)七年級期中）已知是有理數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，如，，，等，那么（???????）
A．－6 B．－5 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題中新定義化簡，計(jì)算即可解題．
【詳解】解：根據(jù)題意得，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)大小比較及有理數(shù)的乘除法，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【典題2】（2021·湖南張家界市·七年級期末）概念學(xué)習(xí)：求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，(－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作23，讀作“2的3次商”， (－3)÷(－3)÷(－3)÷(－3)記作(－3)4，讀作“－3的4次商”．一般地，我們把n個(gè)a（a≠0）相除記作an，讀作“a的n次商”．根據(jù)所學(xué)概念，則(－4)5的值是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用題中的新定義計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：根據(jù)題意得：（-4）5=（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）÷（-4）=1÷（-4）÷（-4）÷（-4），
= 1×（-）×（-）×（- ）=，故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
【變式練習(xí)】
1．（2022·江蘇宿遷·七年級期末）有兩個(gè)正數(shù)a和b，滿足a＜b，規(guī)定把大于等于a且小于等于b的所有數(shù)記作[a，b],例如大于等于0且小于等于5的所有數(shù)記作[0，5]．如果m在[5，15]中，n在[20，30]中，則的一切值所在的范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)m在[5,15]內(nèi)，n在[20,30]內(nèi)，可得的最小值與最大值．
【詳解】解：∵m在[5，15]內(nèi)，n在[20，30]內(nèi)，
∴5≤m≤15，20≤n≤30，
∴的最小值為，最大值為
∴的一切值所在的范圍是．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的有理數(shù)運(yùn)算，關(guān)鍵是得到5?m?15，20?n?30，求出的最大與最小值．
2．（2021·北京海淀區(qū)·七年級期中）我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個(gè)正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個(gè)正整數(shù)屬于A類，例如1，4，7等；如果一個(gè)正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個(gè)正整數(shù)屬于B類，例如2，5，8等；如果一個(gè)正整數(shù)被3整除，則這個(gè)正整數(shù)屬于C類，例如3，6，9等．
（1）2020屬于　　類（填A(yù)，B或C）；
（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則它們的和屬于　　類（填A(yù)，B或C）；
②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們都加起來，則最后的結(jié)果屬于　　類（填A(yù)，B或C）；
（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，把它們都加起來，若最后的結(jié)果屬于C類，則下列關(guān)于m，n的敘述中正確的是　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①m+2n屬于C類；②|m﹣n|屬于B類；③m屬于A類，n屬于C類；④m，n屬于同一類．
【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④
【分析】（1）計(jì)算2020÷3，根據(jù)計(jì)算結(jié)果即可求解；（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算，即可求解；
②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們的余數(shù)相加，再除以3，根據(jù)余數(shù)判斷即可求解；
（3）根據(jù)m，n的余數(shù)之和，舉例，觀察即可判斷．
【詳解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余數(shù)為1，屬于A類；故答案為：A；
（2）①從A類數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余數(shù)為2，則它們的和屬于B類；
②從A類數(shù)中任意取出15個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出16個(gè)數(shù)，從C類數(shù)中任意取出17個(gè)數(shù)，把它們的余數(shù)相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余數(shù)為2，屬于B類；故答案為：①B；②B；
（3）從A類數(shù)中任意取出m個(gè)數(shù)，從B類數(shù)中任意取出n個(gè)數(shù)，余數(shù)之和為：m×1+n×2＝m+2n，
∵最后的結(jié)果屬于C類，∴m+2n能被3整除，即m+2n屬于C類，①正確；
②若m＝1，n＝1，則|m﹣n|＝0，不屬于B類，②錯(cuò)誤；
③若m＝1，n＝1，③錯(cuò)誤；
④觀察可發(fā)現(xiàn)若m+2n屬于C類，m，n必須是同一類，④正確；
綜上，①④正確．故答案為：①④．
【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的應(yīng)用和有理數(shù)的除法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義進(jìn)行解答．

1．（2021·江蘇）如果，則“”內(nèi)的數(shù)是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)用除法，即用積除以已知因數(shù)．
【詳解】解：由題意可得：“”內(nèi)的數(shù)是．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，關(guān)鍵是知道乘法與除法是互逆的兩種運(yùn)算．
2. （2021·四川成都市·棠湖中學(xué)外語實(shí)驗(yàn)學(xué)校）給出下列等式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】①按有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可；②按有理數(shù)的除法法則計(jì)算即可；③先算乘法再算除法即可；④先算除法再算乘法即可．
【詳解】①，故錯(cuò)誤；②，故錯(cuò)誤；
③，故正確；④，故正確．∴正確的個(gè)數(shù)為2．故選擇：C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘除法的運(yùn)算順序，它們是同級運(yùn)算，從左向右進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
3. 下列各式中，與的運(yùn)算結(jié)果相同的是（　　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：；故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的除法法則，熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·河北·石家莊市第四十一中學(xué)一模）若的計(jì)算結(jié)果為正數(shù)，代表的運(yùn)算不可以是（???????）
A．加法 B．減法 C．乘法 D．除法
【答案】A
【分析】利用有理數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，，，．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的四則運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
5．（2020·河南洛陽·七年級期中）下列計(jì)算正確的是（???????）
A．－45÷15＝3 B．（－8）÷（－16）＝2 C．（－12）÷8＝ D．69÷（－23）＝3
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法運(yùn)算法則求解判斷即可．
【詳解】解：A、－45÷15＝-3，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、（－8）÷（－16）＝，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、（－12）÷8＝，選項(xiàng)正確，符合題意；
D、69÷（－23）＝-3，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的除法運(yùn)算法則．
6．（2022·四川南充·七年級期末）小明家的汽車在陽光下曝曬后車內(nèi)溫度達(dá)到了60℃，打開車門后經(jīng)過降低到室外同溫32℃，再啟動空調(diào)關(guān)車門，若每分鐘降低4℃，降到設(shè)定的20℃共用時(shí)間是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出從32℃降低到20℃所需要的時(shí)間，再加上從60℃降低到32℃所需要的時(shí)間即可求解．
【詳解】解：每分鐘降低4℃，從32℃降低到20℃所需要的時(shí)間是min．
從60℃降低到32℃所需要的時(shí)間是8min．
所以共用時(shí)間為8+3=11min．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)加法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用和有理數(shù)除法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
7．（2022·山東煙臺·期末）某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標(biāo)價(jià)少付了40元，那么他購買這件商品花了（?????）
A．80元 B．120元 C．160元 D．200元
【答案】C
【分析】八折是指售價(jià)是標(biāo)價(jià)的80%，把標(biāo)價(jià)看成單位“1”，實(shí)際少付的錢數(shù)就是標(biāo)價(jià)的（1-80%），它對應(yīng)的數(shù)量是40元，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用40除以（1-80%）即可求出標(biāo)價(jià)，再減去40元，就是實(shí)際花的錢數(shù)．
【詳解】解：40÷（1-80%）=40÷20%=200（元） 200-40=160（元）
答：他購買這件商品花了160元．故選：C．
【點(diǎn)睛】解決本題關(guān)鍵是理解打折的含義，找出單位“1”，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出標(biāo)價(jià)，從而解決問題．
8．（2021·遼寧營口·七年級期中）下列運(yùn)算中錯(cuò)誤的是（?????）
A．(－6)×(－5)×(－3)×(－2)＝180 B．(－9)÷(－3)＝－2
C．(－3)×÷(－)×3＝9 D．12×(－)＝1
【答案】B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算計(jì)算即可；
【詳解】(－6)×(－5)×(－3)×(－2)＝180，故A正確；，故B錯(cuò)誤；
(－3)×÷(－)×3＝9，故C正確；12×(－)＝1，故D正確；故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘除混合運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
9．（2022·全國·七年級）已知“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），則C125 =（???）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根據(jù)公式和新定義的運(yùn)算將數(shù)值代入公式求解即可．
【詳解】解：C125 =故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是根據(jù)給出的式子，找出新的運(yùn)算方法，再利用新的運(yùn)算方法進(jìn)行解答．
10．（2022·廣西河池·七年級期末）甲、乙二人從第一層開始比賽爬樓梯，甲爬到第4層時(shí)，乙恰好爬到第3層，照這樣的速度，甲爬到第16層時(shí)，乙爬到第（?????）層．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可以求得甲乙兩人的速度的關(guān)系，然后即可得到甲爬到第16層時(shí)，乙爬到第幾層，本題得以解決．
【詳解】解：設(shè)每兩層樓之間的距離為，
則甲從第一層到第四層爬的高度是，乙從第一層到第三層爬的高度是，
故甲的速度是乙的速度的倍，
甲爬到16層，爬了，則乙爬了，故此時(shí)乙爬到11層，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的除法，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出甲爬到第16層時(shí)，乙爬到第幾層．
11．（2021·浙江·舟山市普陀第二中學(xué)九年級期中）計(jì)算：得（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】同級運(yùn)算從左向右依次計(jì)算，計(jì)算過程中注意正負(fù)符號的變化．
【詳解】解：，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

12．（2021·全國·七年級專題練習(xí)）在下列各題中，結(jié)論正確的是（???）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據(jù)兩數(shù)的符號或大小判斷相應(yīng)的式子是否成立即可．
【詳解】解：A、兩數(shù)相除，異號得負(fù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、大數(shù)減小數(shù)，一定大于0，故選項(xiàng)正確；
C、兩數(shù)相乘，同號得正，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、若，則可正可負(fù)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)減法、乘除法運(yùn)算，不確定符號的數(shù)在計(jì)算時(shí)的結(jié)果的符號也不確定．

13．（2022·浙江溫州·七年級期末）計(jì)算：_____．
【答案】-18
【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】解：＝＝18．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的除法法則即：除以一個(gè)不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的除法法則．
14．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）李明組織同學(xué)一起去觀看電影《流浪地球》，票價(jià)為每張60元，若購買20張以上（不含20張），則全部打八折，已知他們一共花了1200元，他們共買了_______張電影票．
【答案】20或25
【分析】根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，分票價(jià)每張60元和票價(jià)每張60元的八折兩種情況討論即可.
【詳解】解：①若票價(jià)每張60元
則1200÷60=20（張）
②若票價(jià)每張60元的八折
則1200÷（60×0.8）=1200÷48=25（張）
答：他們共買了20或25張電影票
故答案為：20或25
【點(diǎn)睛】本題考查了銷售問題，注意分類思想的實(shí)際運(yùn)用，同時(shí)熟練掌握數(shù)量，總價(jià)和單價(jià)之間的關(guān)系
15．（2020·重慶文德中學(xué)校七年級期中）重慶文德中學(xué)的校車王師傅為了掌握自己車的油耗情況，在連續(xù)兩次加油時(shí)做了如下工作：
（1）把油箱加滿油；
（2）記錄兩次加油時(shí)的累計(jì)里程（注：“累計(jì)里程”指車從出廠開始累計(jì)行駛的路程)，以下是王師傅連續(xù)兩次加油時(shí)的記錄：
加油時(shí)間
加油量（升）
加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）
第一次
18
6200
第二次
30
6500
則在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為__________升
【答案】
【分析】根據(jù)圖表得出總的耗油量升以及行駛的總路程千米，進(jìn)而求出平均油耗．
【詳解】解：由題意可得：兩次加油間耗油30升，
行駛的路程為（千米），
所以該車每100千米平均耗油量為：30÷（300÷100）=10（升）．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，有理數(shù)的除法運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確從圖表中獲取正確信息是解題關(guān)鍵．
16．（2021·湖南永州市·七年級期末）計(jì)算，結(jié)果是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：原式=×=，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考察了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算法則．
17．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·七年級期末）將四個(gè)數(shù)2，﹣3，4，﹣5進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，列一個(gè)算式_____（每個(gè)數(shù)都要用，且只能用一次，寫出一個(gè)即可），使得運(yùn)算結(jié)果等于24．
【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【分析】根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算法則求解．
【詳解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24，
故答案為：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的四則混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
18．（2021·山西臨汾·七年級期中）天干地支紀(jì)年法是上古文明的產(chǎn)物，又稱節(jié)氣歷或中國陽歷．天干地支紀(jì)年法共有十天干與十二地支，具體情況如下表.其算法是：先用年份的尾數(shù)查出天干，再用年份除以12的余數(shù)查出地支．如2008年，尾數(shù)8為戊，2008除以12余數(shù)為4，4為子，那么2008年就是戊子年．2021年是偉大、光榮、正確的中國共產(chǎn)黨成立100周年，則2021年是________年．（用天干地支紀(jì)年法表示）
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸

4
5
6
7
8
9
0
1
2
3

地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戊
亥

4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
【答案】辛丑
【分析】由題意信息可得：結(jié)合2021年年份的尾數(shù)是1，尾數(shù)1為辛，的余數(shù)為5，5為丑，從而可得答案.
【詳解】解：由題意得：2021年年份的尾數(shù)是1，而尾數(shù)1為辛，
的余數(shù)為5，5為丑，所以2021年是辛丑年.故答案為：辛丑.
【點(diǎn)睛】本題考查的有理數(shù)除法的應(yīng)用，屬于閱讀理解類型題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.
19．（2021·湖北武漢·七年級期中）下列說法：
①若a，b互為相反數(shù)，則＝﹣1；②如果|a+b|＝|a|+|b|，則ab≥0；
③若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值為7；
④若abc＜0，a+b+c＞0，則的值為﹣2．其中一定正確的結(jié)論是____（只填序號）．
【答案】②③##③②
【分析】根據(jù)相反數(shù)和絕對值的意義討論即可得出答案．
【詳解】①若a，b互為相反數(shù)，則,不能得出，故①錯(cuò)誤；
②當(dāng)或時(shí)，成立，
當(dāng)或時(shí)，，
成立，則或，即，故②正確；
③表示到數(shù)、、三個(gè)點(diǎn)的距離之和，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，故③正確；
④當(dāng)且時(shí)，，故④錯(cuò)誤．故答案為：②③．
【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)與絕對值，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·全國·七年級）1930年，德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過這樣一個(gè)數(shù)學(xué)猜想：對于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明，但舉例驗(yàn)證都是正確的，例如：取正整數(shù)5，最少經(jīng)過下面5步運(yùn)算可得1，即：如果正整數(shù)m最少經(jīng)過6步運(yùn)算可得到1，則m的值為__．
【答案】10或64
【分析】根據(jù)得數(shù)為1，可倒推出第5次計(jì)算后得數(shù)一定是2，第4次計(jì)算后得4，依此類推，直至倒退到第1次前的數(shù)即可．
【詳解】解：如圖，利用倒推法可得：

由第6次計(jì)算后得1，可得第5次計(jì)算后的得數(shù)一定是2，
由第5次計(jì)算后得2，可得第4次計(jì)算后的得數(shù)一定是4，
由第4次計(jì)算后得4，可得第3次計(jì)算后的得數(shù)是1或8，其中1不合題意，因此第3次計(jì)算后一定得8
由第3次計(jì)算后得8，可得第2次計(jì)算后的得數(shù)一定是16，
由第2次計(jì)算后得16，可得第1次計(jì)算后的得數(shù)是5或32，
由第1次計(jì)算后得5，可得原數(shù)為10，
由第1次計(jì)算后32，可得原數(shù)為64，故答案為：10或64．
【點(diǎn)睛】考查有理數(shù)的運(yùn)算，掌握計(jì)算法則是正確計(jì)算的前提，理解題意是重中之重．

21．（2022·湖北孝感·七年級期末）計(jì)算：
(1)； (2).
【答案】(1) (2)
【分析】（1）把除法轉(zhuǎn)化為乘法，利用乘法分配律簡便運(yùn)算；
（2）先算括號內(nèi)，再算乘除，最后計(jì)算加法
(1)

；
(2)原式

．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算順序是解決問題的關(guān)鍵，注意利用運(yùn)算律簡便運(yùn)算．
22．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）計(jì)算
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)
【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則及絕對值的概念運(yùn)算即可；
(2)將帶分?jǐn)?shù)拆成整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分，然后再將整數(shù)部分結(jié)合，分?jǐn)?shù)部分結(jié)合，進(jìn)行簡便運(yùn)算；
(3)同(2)中思路結(jié)合有理數(shù)的加減運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
(4)同(2)中思路結(jié)合有理數(shù)的加減運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
(5)先全部化成假分?jǐn)?shù)的形式，然后再根據(jù)有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則運(yùn)算即可；
(6)按照有理數(shù)的運(yùn)算法則從左往右依次運(yùn)算即可．
(1)解：原式；
(2)解：原式

；
(3)解：原式

；
(4)解：原式

；
(5)解：原式

；
(6)解：原式

．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減乘除四則運(yùn)算法則，注意運(yùn)算順序：先乘除，后加減即可．
23．（2021·浙江初一課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）.
【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）8；（5）-1；（6）1
【分析】（1）把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則計(jì)算；
（2）（3）（5）把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則計(jì)算；
（4）把除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)乘法法則計(jì)算；
（6）先算絕對值，再算乘除法.
【解析】（1）原式=；（2）原式=；
（3）原式=；（4）原式=；
（5）原式=；（6）原式=.
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握混合運(yùn)算的順序及運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.
24．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)七年級階段練習(xí)）數(shù)學(xué)老師布置了一道思考題“計(jì)算：”．小明仔細(xì)思考了一番，用下列方法解答了這個(gè)問題．
小明的解答：原式的倒數(shù)為，所以．
(1)請你判斷小明的解答是否正確，若正確，請你運(yùn)用小明的解法解答下面的問題；若不正確，請說明理由．
(2)計(jì)算：．
【答案】(1)正確，理由為：一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于原數(shù)；
(2)﹣
【分析】（1）正確，利用倒數(shù)的定義判斷即可；
（2）求出原式的倒數(shù)，即可確定出原式的值．
(1)
解：正確，理由為：一個(gè)數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)等于原數(shù)；
(2)
解：的倒數(shù)為，

＝
＝
＝﹣8+4﹣9
＝﹣13，
則＝﹣
【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
25.（2021·綿陽市七年級單元測試）有4張撲克牌：紅桃6、草花3、草花4，黑桃10．李老師拿出這4張牌給同學(xué)們算“24”．競賽規(guī)則：牌面中黑色數(shù)字為正數(shù)，紅色數(shù)字為負(fù)數(shù)，每張牌只用一次．注意點(diǎn)：限制在加、減、乘、除四則運(yùn)算法則內(nèi)．列出兩個(gè)算式，使所得結(jié)果是24．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)題目中的數(shù)字，可以寫出相應(yīng)的算式，注意本題答案不唯一．
【詳解】解：由題意可得：（10+4-6）×3=24；4-（-6）×10÷3=24．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出相應(yīng)的算式，注意本題答案不唯一，這是一道開放型題目．
26．（2021·河北邯鄲市·九年級三模）對于四個(gè)數(shù)“，，1，3”及四種運(yùn)算“＋，－，×，÷”，列算式解答：（1）求這四個(gè)數(shù)的和；（2）在這四個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)，使得兩數(shù)差的結(jié)果最?。唬?）在這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè)數(shù)，在四種運(yùn)算中選出兩種，組成一個(gè)算式，可以帶括號，使運(yùn)算結(jié)果等于沒選的那個(gè)數(shù)．
【答案】（1）；（2）；（3）見解析
【分析】(1)將題目中的數(shù)據(jù)相加即可解答本題；(2)根據(jù)題目中的數(shù)字，可以寫出結(jié)果最小的算式；
(3)本題答案不唯一，主要符合題意即可．
【詳解】解：（1）；
（2）根據(jù)題意得：；
（3）根據(jù)題意得：或．（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．
27．（2021·河南駐馬店·七年級期中）概念學(xué)習(xí)：規(guī)定，求若干個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的除法運(yùn)算叫做除方，如，等，類比有理數(shù)的乘方，我們把記作2③，讀作“2的圈3次方”，記作，讀作“-3的圈4次方”，一般地，把n個(gè)，記作，讀作“a的圈n次方”．
初步探究：直接寫出計(jì)算結(jié)果：2③＝______，______；
深入思考：我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？
（1）試一試：仿照下面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式．
例如

5⑤＝______， ______；
（2）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于______；
（3）算一算：．
【答案】初步探究：，；深入思考：（1），；（2）；（3）
【分析】初步探究：根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；
（1）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；
（2）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則求解即可；
（3）根據(jù)題目中規(guī)定的圈n次方的運(yùn)算法則結(jié)合有理數(shù)的混合運(yùn)算法則求解即可．
【詳解】解：初步探究：2③＝；
；
深入思考：（1）5⑤＝；
；
（2）根據(jù)“a的圈n次方”的運(yùn)算法則可得，
將一個(gè)非零有理數(shù)a的圈n次方寫成冪的形式等于；
（3）原式

【點(diǎn)睛】此題考查了新定義問題和有理數(shù)的除法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確分析出“a的圈n次方”的運(yùn)算法則．

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