?專題02 式與方程

數(shù)與代數(shù)式、方程的銜接
小學(xué)階段，學(xué)生所接觸到的數(shù)都是從生活中來的。在他們的印象中，數(shù)是一個具體的、能代表多少的表示符號，而在初中“有理數(shù)”知識中，引進(jìn)了“式”的概念，從而研究式的運算。這是從“數(shù)”到“一段抽象的含字母的代數(shù)式的過渡”，是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的一大轉(zhuǎn)折點，實現(xiàn)從具體到一般、到抽象的飛躍，也是對剛?cè)氤踔袑W(xué)生思維的一次飛躍。其實數(shù)與式的主要變化就是從數(shù)字的具體運算到代數(shù)式的形式化運算的轉(zhuǎn)變。為了順利完成這一轉(zhuǎn)變，可以在小學(xué)高年級階段嘗試運用“半代數(shù)式運算”的方法進(jìn)行教學(xué)滲透。
各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都安排了解方程的內(nèi)容。小學(xué)生所接觸的方程比較簡單，加上受算術(shù)思維的影響，列出的這些方程，思維方式實質(zhì)上還是算術(shù)的。為了讓學(xué)生后續(xù)方程的學(xué)習(xí)，可以引導(dǎo)學(xué)生理解：列方程過程中，重要的是未知數(shù)要參與運算，用等量關(guān)系列出方程。

1．用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計算公式和運算定律
1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系
（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人；
（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克
（3）路程＝速度×?xí)r間，用字母表示為s＝vt；
（4）正比例關(guān)系：（一定），反比例關(guān)系：x×y＝k（一定）。
2）用字母表示計算公式及運算定理
長方形周長：C＝2（a＋b）； 長方形面積：S＝ab； 長方體體積：V＝abh或V＝Sh。
加法交換律：a＋b＝b＋a 加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交換律：ab＝ba 乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc
注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時，乘號可以記作簡寫為一個點或省略不寫，但要注意，省略乘號后，數(shù)字要寫在字母的前面。②兩個相同的字母相乘時，可寫成這個字母的平方，如a×a可以寫作a2。
2．等式與方程
1）等式與方程的意義及關(guān)系

意義
關(guān)系
等式
表示相等關(guān)系的式子叫作等式
所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程
方程
含有未知數(shù)的等式叫作方程
2）等式的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
3）解方程
（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。
（2）解方程的概念：求方程的解的過程叫作解方程。
（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運算中各部分之間的關(guān)系解方程。
（4）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。

【題型一】 字母表示數(shù)
【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡明的將數(shù)量關(guān)系表示出來。
2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質(zhì)特征，能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡明，更具有普遍意義。使思維過程簡約化，易于形成概念系統(tǒng)。
【典題1】（2022·全國·六年級期末）冬冬今年12歲，爸爸今年36歲，如果用a表示冬冬某一年的年齡，那么用（???????）表示這一年爸爸的年齡最合適。
A．a(chǎn)＋12 B．a(chǎn)＋24 C．a(chǎn)＋36 D．3a
【典題2】（2021·福建·浦城縣榮華實驗學(xué)校六年級期末）餐廳規(guī)定：一張桌子每邊坐一人，可坐4人。當(dāng)客人超過4人時，將多張桌子拼成一張長桌，如下圖：第n張桌子可座( )人。（用含有字母n的算式表示）

【變式練習(xí)】
1．（2022·江蘇宿遷·五年級期中）甲袋有千克大米，如果從甲袋倒出6千克裝入乙袋，那么兩袋的大米同樣重。原來乙袋有( )千克大米。
2．（2022·山東·寧陽金橋?qū)W校四年級期末）兩個式子結(jié)果相同的一組是（???????）。
A．和 B．和 C．和 D．和
3.（2021·江蘇淮安·六年級期末）某養(yǎng)殖場雞有x只，鴨的只數(shù)比雞的5倍少20只。鴨有( )只，鴨比雞多( )只。
4．（2021·湖南株洲·小升初真題）如圖所示，學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行最多能坐6人，則（≥1，且為整數(shù)）張方桌拼成一行最多能坐______人。（用含有的式子表示）


【題型二】等量代換
【解題技巧】等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。．如果能應(yīng)用等量代換思考問題，不僅有助于學(xué)生找到鋸決問題的便捷方法，而且有助于鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決實際問題的能力。
【典題1】（2021·上海·五年級單元測試）若2a＋2b＋1＝6，則5（a＋b）－4的結(jié)果是（???????）
A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．12.5
【典題2】（2020·湖北十堰·小升初真題）〇、口、△各代表一個數(shù)，根據(jù)〇＋△＝50，口＋△＝63，〇＋口＝77，求得〇＝( )。
【變式練習(xí)】
1．（2020·浙江·小升初真題）若，則的值是( )。
2．（2021·湖北十堰·小升初真題）已知△＋△＋□＋□＋□＝41， △＋△＋△＋□＋□＝39，那么△＝( )，□＝( )。
3．（2022·云南·河口縣教研室五年級期末）已知a＋b＋c＝180，如果b＝a＋c，a＝2c；那么6a＋4b＝( )；2c＋2b＝( )。
4．（2021·河南·淮濱縣實驗小學(xué)五年級期末）已知a與b為兩個自然數(shù)，a的恰好等于b的；如果a減去3，b加上3，那么兩數(shù)相等。a與b的和是( )。
5．（2022·江蘇省淮安市淮陰區(qū)淮陰師范學(xué)院第二附屬小學(xué)五年級期末）張老師買了3個足球和4個排球，花了390元。王老師買了同樣的6個足球和2個排球，花了420元?，F(xiàn)在體育組要再買同樣的18個足球和12個排球，共需( )元。

【題型三】等式與方程的概念辨析
【解題技巧】
1）等式：表示相等關(guān)系的式子叫作等式。
2）方程：含有未知數(shù)的等式。
如何判斷一個式子是不是方程，只需看兩點：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．
例：3x=5y+2；100x=200；3x2+2y=3等
3）注意：方程一定是等式，等式不一定是方程。
【典題1】（2022·湖北武漢·五年級期末）下列圖中表示的關(guān)系正確的是（???????）。
A． B． C．
【典題2】（2022·河南·郟縣教育局教研室五年級期中）在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有( )，方程有( )。（填序號）
【變式練習(xí)】
1．（2022·浙江嘉興·五年級期末）下列式子中，（???????）是方程。
A．3a＝18 B．5＋x C．1.7－a＞2 D．4.5÷5＝0.9
2．（2021·江蘇鹽城·五年級期末）我們可以用這樣的圖表示一些數(shù)學(xué)知識的包含關(guān)系，下列四個圖中，（ ）表示的關(guān)系不正確。
A． B． C． D．
3．（2022·福建寧德·五年級期中）在①、②、③、④中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序號）

【題型四】等式的性質(zhì)及其運用
【解題技巧】等式的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
【典題1】（2021·四川眉山·五年級期末）如果，那么下列等式正確的是（???????）。
A． B． C．
【典題2】（2022·江蘇·五年級單元測試）如果x＋2.5＝7.5，那么4.2x＝( )；如果x÷1.5＝5，那么x－0.3＝( )。
【變式練習(xí)】
1．（2022·浙江臺州·五年級期末）如果，下面說法正確的是（???????）。
A． B． C． D．
2．（2022·福建寧德·五年級期中）如果，那么x（???????）y。
A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于
3．（2022·山東·成武縣實驗小學(xué)五年級期末）運用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（???????）。
A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么
4．（2022·河南周口·五年級期末）如果，那么根據(jù)等式的性質(zhì)：( )；2m×d＝（n＋3）×( )。
5．（2022·河北·唐縣教育局教研室五年級期末）觀察下圖：如果每個梨一樣重，要使天平保持平衡，右邊托盤應(yīng)該添加一個（???????）。

A．桃 B．蘋果 C．梨 D．無法確定

【題型五】方程的解及其運用
【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值；2）解方程：求方程的解的過程；3）會利用方程的解，求字母的數(shù)值。
【典題1】（2021·湖南張家界·五年級期末）下列方程的解不是x＝5的是（???????）。
A．3x＋25x＝140 B．13.8－x＝8.8 C．1.3（x＋5）＝26
【典題2】（2021·江蘇·六年級單元測試）方程ax－4＝4的解是x＝2，則a－1＝（???????）。
A．10 B．16 C．15 D．7
【變式練習(xí)】
1．（2022·四川樂山·五年級期末）是下列（???????）方程的解。
A． B． C． D．
2．（2022·河南周口·五年級階段練習(xí)）方程6.5x＝0沒有解。( )判斷題
3．（2021·山東濟(jì)南·六年級期末）方程x－0.25＝的解是（???????）。
A． B． C．
4．（2022·江蘇徐州·五年級期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（???????）。
A．4 B．7 C．10

【題型六】解方程
【解題技巧】。1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運算中各部分之間的關(guān)系解方程。
2）檢驗方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計算，看等式是否成立；③等式成立，說明這個未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說明解方程錯誤，需要重新求解。
【典題1】（2022·遼寧·六年級期末）解方程。
???????????????????????4.2＝16.8????????????? ???????????????



【典題2】（2021·黑龍江哈爾濱·六年級期末）解方程。
??????????????????????????????



【變式練習(xí)】
1．（2022·江蘇常州·五年級期中）由x－3.8＝6.2得x＝10。這個過程叫作（???????）。
A．方程 B．解方程 C．方程的解
2．（2022·全國·五年級專題練習(xí)）解方程。
（1）?????????????????（2）?????????????????（3）



3．（2022·山東·禹城市教育和體育局六年級期中）解方程或比例。
2x－40%x＝0.8??????????????????????



4．（2022·廣東省深圳市龍華中心小學(xué)六年級期中）解方程，要寫出過程。
5x－＝???????????????????8x－5.5x＝1 ＝??????????????????????x∶＝0.36∶



【題型七】找等量關(guān)系與列方程
【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來。
【典題1】（2022·浙江嘉興·五年級期末）王阿姨買了2.4千克蘋果和3.8千克梨，總共付了92.6元。已知梨每千克13元，蘋果每千克多少元？下列數(shù)量關(guān)系中錯誤的是（???????）。
A．蘋果的單價×蘋果的數(shù)量十梨的單價×梨的數(shù)量＝總價
B．（蘋果的單價＋梨的單價）×（蘋果的數(shù)量＋梨的數(shù)量）＝總價
C．總價－蘋果的單價×蘋果的數(shù)量＝梨的單價×梨的數(shù)量
D．總價－梨的單價×梨的數(shù)量＝蘋果的單價×蘋果的數(shù)量
【典題2】（2022·遼寧·五年級期末）媽媽在商場買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價錢是面膜的一半，洗面奶和面膜的價錢分別是多少元？
方法1：洗面奶的價錢是面膜的一半，也就是( )的價錢( )的價錢×。
解：設(shè)面膜的價錢是元



方法2：也可以想面膜的價錢是洗面奶的( )倍。解：設(shè)洗面奶的價錢是元。


【變式練習(xí)】
1．（2022·福建寧德·五年級期中）按要求寫出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）
興趣小組共有36人，其中女生人數(shù)是男生3倍。
等量關(guān)系式：______________________________＝總共人數(shù)。
如果設(shè)男生x人，列方程是( )。
2．（2022·福建寧德·五年級期中）按要求寫出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）
一堆煤26噸，每天用0.5噸，用去若干天后，還剩下12噸。
等量關(guān)系式：______________________________＝這堆煤的噸數(shù)。
如果設(shè)用去x天，列方程是( )。
3．（2022·河南周口·五年級期中）碩望小學(xué)為拓寬學(xué)生視野，新運來1580本圖書，由A、B兩名圖書管理員整理。A管理員整理了3天，每天整理312本，剩下的B管理員整理了2天正好整理完，B管理員平均每天整理多少本？
題中的等量關(guān)系式為( )，解：設(shè)B管理員平均每天整理x本，可列方程為( )。
4．（2021·山東威?！に哪昙壠谀┮粋€足球比一個籃球貴42元，一個足球的價格是籃球的1.6倍。足球和籃球各多少錢？（列方程解答）
等量關(guān)系式：（???????）






















1．（2021·北京·小升初模擬）x＝4是下列方程（???????）的解。
A．5x－2x＝120 B．2x＋4x＝24 C．2.5x＋1.5x＝10
2．（2022·全國·六年級課時練習(xí)）如果方程ax＋8＝42的解是x＝4，那么a＋1的值是（???????）。
A．5 B．34 C．9.5
3．（2022·江蘇·五年級單元測試）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做（???????）。
A．解方程 B．方程 C．方程的解
4．（2022·山西·大同市新榮區(qū)教育局教研室五年級階段練習(xí)）與方程x＋0.8x＝36有相同解的是（???????）。
A．1.68＋x＝3.98 B．x÷35＝6.8 C．12x÷16＝4.32 D．43－x＝23
5．（2022·山東·四年級單元測試）甲袋有m千克大米，乙袋有n千克大米。如果從甲袋倒出10千克裝入乙袋，那么兩袋大米同樣重。下面的等式有（???????）個符合題意。
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022·福建寧德·五年級期中）小麗有a張郵票，小冬有b張郵票，如果小冬送給小麗10張，那么兩人郵票就樣多。下面（???????）符合題意。
A． B． C． D．
7．（2022·福建寧德·五年級期中）表示等式與方程的關(guān)系，下圖正確的是（???????）。
A． B． C． D．
8．（2022·江蘇淮安·五年級階段練習(xí)）甲乙兩筐蘋果，甲筐x千克，乙筐32千克。從乙筐拿4千克放入甲筐，兩筐蘋果就一樣重。下列方程正確的是（???????）。
A．32－x＝4 B．x＋4＝32 C．x－8＝32 D．x＋4＝32－4
9．（2022·重慶·五年級期末）根據(jù)等式4a＝5b（a、b均不為0），下列等式不成立的是（???????）。
A．4a×4＝5b×4 B．4a＋8a＝5b＋8a C．4a×4＝5b×5 D．4a÷2＝5b÷2
10．（2022·湖南常德·六年級期末）甲數(shù)的和乙數(shù)的相等，甲數(shù)和乙數(shù)相比（???????）。
A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．無法比較
11．（2022·山東菏澤·五年級期末）如果，那么( )。
12．（2022·福建三明·五年級期末）如果a＝b，那么a－3＝b－( )，5a＝b＋( )。
13．（2022·江蘇·五年級單元測試）下面是等式的有( )，是方程的有( )。（填序號）
①x－12＝5?????②40×2－80???????③9＋y???????④5b＜4.5??????????⑤40x＝600???????⑥x＋4＝7.5?????⑦70＋2689
15．（2021·江蘇連云港·六年級期中）○×△＝36，○÷△＝4，○＝( )，△＝( )。
16．（2022·江蘇泰州·五年級期中）要使方程口＋x＝18的解是x＝8，口里應(yīng)該填( )，
17．（2022·四川樂山·六年級期末）如圖，擺第一個圖形需要4根火柴，擺第二個圖形需要7根火柴那么擺第八個圖形需( )根火柴，擺個圖形需要( )根火柴。

18．（2022·全國·五年級）A×B是兩個小數(shù)相乘。小明將小數(shù)A個位的6錯看成了9，小紅將小數(shù)A十分位的7錯看成了2，他倆計算的結(jié)果相差了27.3。那么小數(shù)B等于( )。
19．（2022·江蘇·北京東路小學(xué)六年級期末）如圖，A、B是長方形長和寬的中點，陰影部分與空白部分的面積比是( )。

20．（2021·浙江杭州·六年級期末）已知☆＋□＋□＝35，□÷☆＝3，那么☆＝（???????）。在下面方框里寫出思考過程。

21．（2021·江蘇·六年級課時練習(xí)）小球的體積是多少立方厘米？大球的體積是多少立方厘米？



22．（2021·河北·五年級專題練習(xí)）甲、乙兩人加工零件，若甲做4小時，乙做6小時，則一共加工零件196個；若甲做7小時，乙做3小時，則一共加工零件208個。甲每小時加工零件多少個？


23．（2021·山東濟(jì)南·六年級期末）解方程或解比例。
??????????????????????????


24．（2021·江蘇揚州·六年級期末）解方程。
x－x＝18????????????＝1????????????7.5∶x＝∶12


25．（2022·四川廣元·六年級期末）解比例或解方程。
∶＝1.75∶2????????????????????????????12÷（50%－1）＝8


26．（2022·遼寧·四年級期末）4名老師帶著15名學(xué)生去科技館，一共花了400元，學(xué)生門票每張16元，老師的門票每張多少元？（先寫出等量關(guān)系式，再列方程解答）


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