專題03 列方程解應用題-2022年小升初數(shù)學無憂銜接（通用版）-試卷下載-教習網(wǎng)

?專題03 列方程解應用題

由算術(shù)法則到方程解應用題
小學生所接觸的方程比較簡單，加上受算術(shù)思維的影響，列出的這些方程，思維方式實質(zhì)上還是算術(shù)的。為了讓學生后續(xù)方程的學習，可以引導學生理解：列方程過程中，重要的是未知數(shù)要參與運算，用等量關(guān)系列出方程。引導學生思維方式從算術(shù)思維逐步向代數(shù)思維轉(zhuǎn)變，無疑是中小學數(shù)學教學銜接的重要內(nèi)容。小學解方程，都按四則運算的各部分之間的關(guān)系來解，現(xiàn)在（初中）都是按等式的性質(zhì)解方程?？梢钥隙ǖ恼f，用等式的性質(zhì)解方程，是解方程的正途。加強這一方面的教學，目的就是要有利于學生初中階段能更好的學習稍復雜的方程。

1．列方程解應用題
（1）列方程解應用題的優(yōu)點。
先用一個字母代替未知數(shù)，再把它看作已知數(shù)參與列式和運算，便于把題中的數(shù)量關(guān)系直接反映出來，使問題簡單化。
（2）列方程解應用題一般步驟。
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類
題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗、答．
要點詮釋：
（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的關(guān)系，找等量關(guān)系；
（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；
（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；
（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．
（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；
（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．
2．常見的數(shù)量關(guān)系
1）公式形數(shù)量關(guān)系
生活中許多數(shù)學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長×邊長正方形周長=4邊長
2）約定型數(shù)量關(guān)系
利息問題、利潤問題、質(zhì)量分數(shù)問題、比例尺問題、折扣等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學中的公式，但常常又不算數(shù)學公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。
3）基本數(shù)量關(guān)系
在簡單應用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。
單價×數(shù)量=總價速度×時間=路程工作效率×時間=總工作量現(xiàn)價÷原價＝折數(shù)
3．分析數(shù)量關(guān)系的常用方法
1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系
將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。
2）列表分析數(shù)量關(guān)系
當題目中條件較多，關(guān)系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。
3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系
用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。

【題型一】行程問題（相遇與追擊問題）
【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×時間。不同類型問題，在求解速度時有所不同，具體如下：
①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時間
Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．
②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時間
Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程．
【典題1】（2021·廣東七年級期末）已知A、B兩站間的距離為480千米，一列慢車從A站出發(fā)，一列快車從B站出發(fā)，慢車的平均速度為60千米/時，快車的平均速度為100千米/時，如果兩車同時出發(fā)，慢車在前，快車在后，同向而行，那么出發(fā)后________小時兩車相距80千米．
【答案】10或14
【分析】可設(shè)出發(fā)后x小時兩車相距80千米，分兩種情況：兩車相距80千米時慢車在前；兩車相距80千米時快車在前列方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)出發(fā)后x小時兩車相距80千米，當慢車在前時，
100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，
當快車在前時，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，
答：出發(fā)后10小時或14小時兩車相距80千米，故答案為：10或14．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，涉及路程問題，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
【典題2】（2021·江蘇揚州·中考真題）揚州雕版印刷技藝歷史悠久，元代數(shù)學家朱世杰的《算學啟蒙》一書曾刻于揚州，該書是中國較早的數(shù)學著作之一，書中記載一道問題：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天追上慢馬？答：快馬_______天追上慢馬．
【答案】20
【分析】設(shè)良馬行x日追上駑馬，根據(jù)路程=速度×時間結(jié)合兩馬的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)快馬行x天追上慢馬，則此時慢馬行了（x+12）日，
依題意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，
∴快馬20天追上慢馬，故答案為：20．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【變式練習】
1．（2021·全國七年級課時練習）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個數(shù)學問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安，幾何日相逢?
譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問甲乙經(jīng)過多少日相逢?設(shè)甲乙經(jīng)過x日相逢，可列方程（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)甲經(jīng)過x日與乙相逢，則乙已出發(fā)（x+2）日，根據(jù)甲行駛的路程+乙行駛的路程=齊國到長安的距離（單位1），即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】根據(jù)題意設(shè)甲乙經(jīng)過x日相逢，則甲?乙分別所走路程占總路程的和，可列方程．故選B．
【點睛】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·天津和平·七年級期末）某中學學生軍訓，沿著與筆直的鐵路并列的公路勻速前進，每小時走4.5千米．一列火車以每小時120千米的速度迎面開來，測得從火車頭與隊首學生相遇，到車尾與隊末學生相遇，共經(jīng)過12秒．如果隊伍長150米，那么火車長（　?。?br /> A．150 米 B．215米 C．265 米 D．310米
【答案】C
【分析】先將12秒化為小時，設(shè)火車長x千米，然后根據(jù)學生行駛的路程+火車的路程＝火車的長度+學生隊伍的長度列方程求解即可，注意單位換算．
【詳解】解：12秒＝小時，150米＝0.15千米，
設(shè)火車長x千米，根據(jù)題意得：×(4.5+120)＝x+0.15，
解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．
答：火車長265米．故選：C．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題的關(guān)鍵是理解題意，找到正確的等量關(guān)系．
3．（2021·四川內(nèi)江·）2020年12月30日，連云港市圖書館新館正式開館．小明同學從家步行去圖書館，他以的速度行進后，爸爸騎自行車以的速度按原路追趕小明．設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會合，那么所列方程正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會合，則此時小明出發(fā)了h，利用路程=速度×時間，結(jié)合會合時兩人行走（或騎行）的路程相等，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，即可．
【詳解】解：設(shè)爸爸出發(fā)后與小明會合，則此時小明出發(fā)了h，
依據(jù)題意得：，故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．
4．（2021·陜西西安）一隊學生去校外進行軍事野營訓練，他們以6千米/時的速度行進，在他們走了一段時間后，學校要將一個緊急通知傳給隊長，通訊員從學校出發(fā)，以10千米/時的速度按原路追上去，用了15分鐘追上了學生隊伍，問通訊員出發(fā)前，學生走了多少時間？
【答案】
【分析】設(shè)通訊員出發(fā)前，學生走x小時，根據(jù)等量關(guān)系，列出一元一次方程，即可求解．
【解析】設(shè)通訊員出發(fā)前，學生走x小時，
根據(jù)題意得：10×＝6×（x+）解得：x＝．答：學生走了小時．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，找到等量關(guān)系，列出方程，是解題的關(guān)鍵．

【題型二】航行問題與火車過橋問題
【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×時間。不同類型問題，在求解速度時有所不同，具體如下：
航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．（3）解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．
【典題1】（2022·河北邯鄲市·小升初模擬）一條小河經(jīng)過A，B，C三鎮(zhèn)，A，B兩鎮(zhèn)之間有汽船來往，汽船在靜水中的速度為每小時11千米，B，C兩鎮(zhèn)之間有木船擺渡，A、C兩地之間的距離為50千米，木船在靜水中的速度為每小時3.5千米，水流速度為1.5千米每小時。某人從A鎮(zhèn)上汽船順流而下到B鎮(zhèn)，接著乘木船又順流而下到C鎮(zhèn)。全程共用7小時，那么A，B兩鎮(zhèn)間的距離是________。
【答案】25千米
【分析】根據(jù)題意，汽船在順水中的速度為12.5千米/小時，木船在順水中的速度為5千米/小時，可以設(shè)A到B地的距離為x千米，則B地到C地的距離為（50－x）千米。根據(jù)：路程÷速度＝時間，可知A到B用時為，B到C用時為，總共用時7小時。據(jù)此列出方程即可求解。
【詳解】解：設(shè)A到B地的距離為x千米，則B地到C地的距離為（50－x）千米。

所以，從A地到B地的距離為25千米。
【點睛】此題考查分段路程問題，根據(jù)：路程÷速度＝時間，找準題目中的等量關(guān)系式即可解答。
【典題2】某橋長1200m，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50s，而整個火車在橋上的時間是30s，求火車的長度和速度．
【思路點撥】正確理解火車“完全過橋”和“完全在橋上”的不同含義．
【解析】解：設(shè)火車車身長為xm，根據(jù)題意，得：
，解得：x＝300，所以．
答：火車的長度是300m，車速是30m/s．
【點評】火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，借助線段圖分析如下(注：A點表示火車頭)：

(1)火車從上橋到完全過橋如圖(1)所示，此時火車走的路程是橋長+車長．
(2)火車完全在橋上如圖(2)所示，此時火車走的路程是橋長－車長．由于火車是勻速行駛的，所以等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度＝整個火車在橋上的速度．
【變式練習】
1．（2021·湖北七年級期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2h，船在靜水中的速度為26km/h，水速為2km/h．設(shè)A港和B港相距x km．根據(jù)題意，列出的方程是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設(shè)A港和B港相距x千米，根據(jù)行船問題公式可知，順水速度較快，所用時間較少，所以利用行程問題公式，列方程為：，變形為：，據(jù)此選擇．
【詳解】解：設(shè)A港和B港相距x千米，，
變形為：∴方程為：故選B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．順水速度=水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．
2．（2021·杭州市公益中學七年級期末）某輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求兩個碼頭之間的距離，我們可以設(shè)兩個碼頭之間的距離為xkm，得到方程（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用速度=路程÷時間結(jié)合船在靜水中的速度不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：，故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3、一艘船航行于A、B兩個碼頭之間，輪船順水航行需3小時，逆水航行需5小時，已知水流速度是4千米/時，求這兩個碼頭之間的距離．
【解析】
解法1：設(shè)船在靜水中速度為x千米/時，則船順水航行的速度為(x+4)千米/時，逆水航行的速度為(x－4)千米/時，由兩碼頭的距離不變得方程：3(x+4)＝5(x－4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）
答：兩碼頭之間的距離為60千米．
解法2：設(shè)A、B兩碼頭之間的距離為x千米，則船順水航行時速度為千米/時，逆水航行時速度為千米/時，由船在靜水中的速度不變得方程：，解得：
答：兩碼頭之間的距離為60千米．
【總結(jié)升華】順流速度=靜水速度+水流速度；逆流速度=靜水速度－水流速度，根據(jù)兩個碼頭的距離不變或船在靜水中的速度不變列方程．
4．（2022·浙江寧波·五年級期末）一列火車全長400米，以每小時40千米的速度通過一條長2.8千米的隧道，從火車頭進隧道到火車尾離開隧道，共需多少時間？（1）請你用圖畫一畫，從火車頭進隧道到火車尾離開隧道的過程。（2）請你列方程解答。
【答案】（1）見詳解；（2）0.08小時
【分析】從火車頭進隧道到火車尾離開隧道，行駛的路程是火車長度加上隧道長度，根據(jù)路程＝速度×時間列出方程解決問題即可。
【詳解】（1）
（2）解：設(shè)共需要小時。
400米千米

答：共需0.08小時。
【點睛】本題考查行程問題、列方程解決問題，解答本題的關(guān)鍵是掌握列方程解決問題的方法。

【題型三】工程問題
【解題技巧】
我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個關(guān)系來列寫等式方程。
工程問題關(guān)鍵是把“一項工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時間的倒數(shù)來表示。復雜的工程問題，往往需要設(shè)多個未知數(shù)，不要擔心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。
【典題1】（2021·重慶實驗外國語學校）一項工程，甲單獨做需要6天完成，乙單獨做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此項工程．求甲一共做了多少天？若設(shè)甲一共做了x天，則所列方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析得到甲的效率為每天完成，乙的效率為每天完成，再利用各部分的工作量之和等于，列方程即可.
【詳解】解：設(shè)甲一共做了x天，則所列方程為故選：
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用，考查的是工程問題，掌握工作效率乘以工作時間等于工作量是解題的關(guān)鍵.
【典題2】（2021·湖北襄陽·九年級一模）為改善生態(tài)環(huán)境，避免水土流失，某村積極植樹造林，原計劃每天植樹60棵，實際每天植樹80棵，結(jié)果比預計時間提前4天完成植樹任務，則植樹總?cè)蝿誣__棵．
【答案】960
【分析】設(shè)計劃植樹x棵，計劃需要的時間是天，實際時間是天，根據(jù)實際時間比計劃時間少4天建立方程求出其解即可．
【詳解】解：設(shè)計劃植樹x棵，計劃需要的時間是天，實際時間是天，
根據(jù)題意列式：-=4，解得x=960，故答案為：960．
【點睛】本題考查了工程問題在實際生活中的運用，工作總量÷工作效率=工作時間的運用，列一元一次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)時間之間的數(shù)量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵．
【變式練習】
1．（2022·深圳市高級中學初一期末）一項工程，甲單獨做5天完成，乙單獨做8天完成.若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此項工作的.若設(shè)甲一共做了x天，則所列方程為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】題目默認總工程為1，設(shè)甲一共做x天，由于甲先做了1天，所以和乙合作做了（x-1）天，根據(jù)甲的工作量+乙的工作量=總工作量的四分之三，代入即可.
【解析】由題意得：甲的工作效率為，乙的工作效率為
設(shè)甲一共做了x天，乙做了（x-1）天∴列出方程：故選B
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，工程問題的關(guān)鍵在于利用公式：工程量=工作時間×工作效率.
2．（2021·河北七年級期末）某小組有m人，計劃做n個“中國結(jié)”，若每人做5個，則可比計劃多做9個；若每人做4個，則將比計劃少做15個，現(xiàn)有下列四個方程：①；②；③；④．其中正確的是（）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】由中國結(jié)的數(shù)量為定值，可得中國結(jié)的數(shù)量的兩種表示，從而可列方程再由小組人數(shù)為定值，可得小組人數(shù)的兩種表示，從而可得方程于是可得答案．
【詳解】解：由某小組有m人，計劃做n個“中國結(jié)”，若每人做5個，則可比計劃多做9個；
可得：中國結(jié)的數(shù)量為：個，若每人做4個，則將比計劃少做15個，
可得：中國結(jié)的數(shù)量為：個，故④符合題意，①不符合題意；
由某小組有m人，計劃做n個“中國結(jié)”，若每人做5個，則可比計劃多做9個；
可得：某小組有人，若每人做4個，則將比計劃少做15個，
可得：某小組有人，故②不符合題意，③符合題意；故選：
【點睛】本題考查的是一元一次方程的應用，掌握列方程需要的代數(shù)式的表示方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·山西七年級期末）數(shù)學課堂上，老師出示了如下例題：
整理一批圖書，由一個人做要40h完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？設(shè)安排x人先做4h．小亮列的方程是：，其中，“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加2人后，（x+2）人再做8小時完成的工作量”．小宇列的方程是：，其中，“”表示的意思是（）
A．先工作的x人前4小時和后8小時一共完成的工作量
B．增加2人后，（x+2）人再做8小時完成的工作量
C．增加2人后，新增加的2人完成的工作量
D．x人先做4小時完成的工作量
【答案】A
【分析】根據(jù)先工作的x人共做了(4+8)小時的工作量+后來2人8小時的工作量=1，解答即可．
【詳解】解：∵設(shè)安排x人先做4h，然后增加2人與他們一起做8小時，完成這項工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+8)小時，∴列式為：先工作的x人共做了(4+8)小時的工作量+后來2人8小時的工作量=1，而x人1小時的工作量為，∴x人(4+8)小時的工作量為，
∴表示先工作的x人前4h和后8h一共完成的工作量，故選A．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，是一個工作效率問題，理解一個人做要40小時完成，即一個人一小時能完成全部工作的，這一個關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2021·全國·六年級專題練習）快遞公司搬運一批貨物，張叔叔單獨搬運要8小時才能搬完，李伯伯單獨搬運要6小時才能搬完。他們一起搬運一段時間后，張叔叔又獨自一人搬運了1小時才全部搬完，他們兩人一起搬運了( )小時。
【答案】3
【分析】將這批貨物看作單位1，據(jù)此將張叔叔和李伯伯的工作效率先表示出來。將兩人一起搬運的時間設(shè)為x，據(jù)此將兩人一起搬的貨物計算出來，再加上張叔叔一小時搬運的貨物，得到這批貨物的總量即可。
【詳解】解：設(shè)兩人一起搬運了x小時。
（＋）x＋＝1 解得，x＝3
所以，他們兩人一起搬運了3小時。
【點睛】本題考查了工程問題，熟練運用“工作效率×工作時間＝工作總量”是解題的關(guān)鍵。

【題型四】分段計費問題
【解題技巧】此類題型，收費往往因為不同的分段，標準會不一樣。因此，在列寫此類問題的等式方程時，需要先依據(jù)題意將路程進行合理分段，然后在按照不同分段中的收費標準列寫等式方程。
常見試題背景：水費、電費、氣費、車費、納稅、社保醫(yī)保體系等
【典題1】（2021·安徽臨泉·初一期末）滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：
計費項目
里程費
時長費
遠途費
單價
1.8元/公里
0.3元/分鐘
0.8元/公里
注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構(gòu)成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車里程7公里以內(nèi)（含7公里）不收遠途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元.
小王與小張各自乘坐滴滴快車，行車里程分別為6公里與8.5公里，如果下車時兩人所付車費相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時間相差（）
A．10分鐘 B．13分鐘 C．15分鐘 D．19分鐘
【答案】D
【分析】設(shè)小王的行車時間為x分鐘，小張的行車時間為y分鐘，根據(jù)計價規(guī)則計算出小王的車費和小張的車費，建立方程求解.
【解析】設(shè)小王的行車時間為x分鐘，小張的行車時間為y分鐘，依題可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,
10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案為D.
【點睛】本題考查列方程解應用題，讀懂表格中的計價規(guī)則是解題的關(guān)鍵.
【典題2】（2021·浙江杭州·七年級期末）為了鼓勵市民節(jié)約用水，某區(qū)居民生活用水按階梯式水價計費．居民在一年內(nèi)用水在不同的定額范圍內(nèi)，執(zhí)行不同的水價，其中水價＝供水價格＋污水處理費．具體價格如表：
類別
戶年用水量（立方米）
水價（立方米）
供水價格（元/立方米）
污水處理費（元/立方米）
居民生活用水
一戶一表
階梯一
0--216（含）
1.90
1.00
階梯二
216—300（含）
2.85
階梯三
300以上
5.70
該區(qū)一居民家發(fā)現(xiàn)2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水費為86.4元，比6月份多了55.6元，則該居民家7月份屬階梯二的用水量為（）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，階梯一、二、三階段的水價，分別計算6、7月份用水量同在第一、二、三階段時10方水的價格，得到7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，從而得到6月份用水量為8立方米，7月份用水量為18立方米，設(shè)7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意，階梯一、二、三階段的水價分別為：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一階段，則兩月水費差應為元；
若6、7月份用水量同在第二階段，則兩月水費差應為元；
若6、7月份用水量同在第三階段，則兩月水費差應為元；
由于兩實際水費差為55.6元，38.5＜55.6＜67，由題意可知，7月份用水量跨二、三階段，而六月份用水量在第二階段，易算出6月份用水量為立方米，則7月份用水量則為18立方米．
設(shè)7月份第二階段用水量為立方米，則第三階段用水量為立方米．
列出方程：；解得：．故選D．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意確定6、7月份用水量所在階梯，進而得到兩個月的用水量是解題關(guān)鍵．
【變式練習】
1．（2021·重慶八中）某市實行水費的階梯收費方式：每月每戶用水量20立方米及其以內(nèi)的部分按1.2元/立方米收費，超過20立方米的部分按2元/立方米收費．如果某戶居民在某月所交水費30元，那么這個月共用多少立方米的水？設(shè)這個月共用x立方米的水，下列方程正確的是（　　）
A．1.2x＝30 B．1.2×20+2（x﹣20）＝30
C．2x＝30 D．2×20+1.2（x﹣20）＝30
【答案】B
【分析】求出用水量為20立方米時應繳費用，將其與30比較后可得出x>20，由該戶居民在某月所交水費30元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解
【詳解】1.2×20=24（元），2420.依題意得：1.2×20+2(x-20)=30.故選：B.
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國七年級課時練習）某市出租車起步價是5元（3公里及3公里以內(nèi)為起步價），以后每公里收費是1.6元，不足1公里按1公里收費，小明乘出租車到達目的地時計價器顯示為11.4元，則此出租車行駛的路程可能為（）
A．5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里
【答案】B
【分析】設(shè)小明坐車可行駛的路程最遠是，根據(jù)題意列方程運算即可．
【詳解】設(shè)小明坐車可行駛的路程最遠是，
根據(jù)題意得：，解得，根據(jù)題意6.9km最接近．故選：B．
【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應用，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單，根據(jù)題意列出合適的方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·浙江杭州·）為提高公民的社會責任感，保證每個納稅人公平納稅，調(diào)節(jié)不同階層貧富差距，營造“納稅光榮”社會氛圍，2019年我國實行新的《個人收入所得稅征收辦法》，將個人收入所得稅的起征點提高至5000元（即全月個人收入所得不超過5000元的，免征個人所得稅）：個人收入超過5000元的，其超出部分稱為“應納稅所得額”，國家對納稅人的“應納稅所得額”實行“七級超額累進個人所得稅制度”該制度的前三級納稅標準如下：
全民應納稅所得額
稅率
不超過3000的部分
3%
超過3000元至12000元部分
10%
超過12000元至25000元部分
20%
……
……
（1）若某人1月份應納稅所得額為2900元，應納稅______元．
（2）若甲1月份應納稅所得額為x元且時，則甲應納稅__________元（用含x的代數(shù)式表示并化簡）．
（3）若小明的爸爸1月份應納稅1390元，應納稅所得額為多少元？
【答案】（1）87；（2）0.1x-210；（3）14000元
【分析】（1）直接用應納稅所得額乘以3%即可；（2）根據(jù)x的范圍得到應在第二級標準，據(jù)此列出代數(shù)式并化簡即可；（3）根據(jù)1390元判斷出應納稅所得額處于第三級標準，據(jù)此列出方程，解之即可．
【詳解】解：（1）由題意可得：2900＜3000，∴2900×3%=87元，∴應納稅87元；
（2）由題意可得：3000×3%+（x-3000）×10%=0.1x-210，
∴甲應納稅（0.1x-210）元；
（3）設(shè)納稅所得額為y元，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%=990＜1390，∴12000＜y≤25000，
∴3000×3%+（12000-3000）×10%+（y-12000）×20%=1390，
解得：y=14000，∴應納稅所得額為14000元．
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意掌握納稅的計算方式是解題關(guān)鍵．
4．（2021·浙江杭州·七年級期末）某電信公司推出一款移動話費套餐，繳費標準見下表：
套餐月租費/元
套餐內(nèi)容
套餐外繳費
主叫限定時間/分鐘
被叫
主叫超時費（元/分鐘）
58
50
免費
0.25
88
150
0.2
118
350
0.15
已知小文辦理的是月租費為88元的套餐，亮亮辦理的是月租費為118元的套餐．
（1）若小文當月的主叫時間為220分鐘，則該月他的話費為多少元？
（2）某月小文和亮亮的主叫時間都為分鐘，試用含m的代數(shù)式表示該月他們的話費差；
（3）某月小文和亮亮的話費相同，但主叫時間比亮亮少100分鐘，求小文和亮亮的主叫時間分別為多少分鐘？
【答案】（1）102元；（2）0.05m-7.5；（3）小文主叫時間是450分鐘，亮亮主叫時間是550分鐘
【分析】（1）用“根據(jù)話費=套餐費+主叫超時費”求出總話費；（2）因為m＞350分鐘，所以兩人的話費均由套餐費和主叫超時費兩部分組成，根據(jù)具體數(shù)字列出式子即可；（3）這里分亮亮主叫時間不超過350分鐘和超過350分鐘兩種情況，分別利用“兩人話費相同”列出方程求解即可．
【詳解】解：（1）話費為88+（220-150）×0.2=102元；
（2）∵小文話費為88+0.2（m-150）=0.2m+58（元），
亮亮的話費為118+0.15（m-350）=65.5+0.15m（元），
∴他們的話費差為（0.2m+58）-（0.15m+65.5）=0.05m-7.5（元）．
（3）①若小文主叫時間超過150分鐘，亮亮主叫時間沒有超過350分鐘，
設(shè)小文主叫時間為x，依題意得，88+0.2（x-150）=118，解得，x=300，
∵x+100=400＞350，∴此種情況不存在；
②若小文主叫時間超過150分鐘，亮亮主叫時間超過350分鐘，依題意得
88+0.2（x-150）=118+0.15（x+100-350）
解得，x=450，∴x+100=550分鐘，
∴小文主叫時間是450分鐘，亮亮主叫時間是550分鐘．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，能讀懂數(shù)表弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

【題型五】銷售問題
【解題技巧】此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關(guān)系來列寫等式方程。
實際售價＝標價×打折率利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率
標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)
注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．
【典題1】（2021·湖北七年級期末）某商店有大、小兩種書包，小書包比大書包的進價少20元，它們的利潤相同．其中，小書包的盈利率為30%，大書包的盈利率為20%，大書包的進價是_________元．
【答案】60
【分析】設(shè)每個小書包的進價為x元，則每個大書包的進價為（x+20）元，根據(jù)利潤＝進價×盈利率結(jié)合兩種書包的售后利潤額相同，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)每個小書包的進價為x元，則每個大書包的進價為（x+20）元，
依題意得：30%x＝20%（x+20），解得：x＝40，
則x+20＝40+20＝60．故答案為：60．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
【典題2】（2021·全國七年級課時練習）小王去早市為餐館選購蔬菜，他指著標價為每千克6元的豆角問攤主：“這豆角能便宜嗎?”攤主：“多買按八折，你要多少?”小王報了數(shù)量后攤主同意按八折賣給小王，并說：“之前一人只比你少買2.5kg就是按標價，還比你多花了3元呢!”小王購買豆角的數(shù)量是（）
A．12.5kg B．10 kg C．15 kg D．7.5 kg
【答案】C
【分析】設(shè)小王購買豆角的數(shù)量是，依據(jù)“之前一人只比你少買2．5kg就是按標價，還比你多花了3元”列出方程并解答．
【詳解】設(shè)小王購買豆角的數(shù)量是，則，
解得，即小王購買豆角的數(shù)量是．故選：C.
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．
【變式練習】
1．（2021·重慶七年級期中）某冰箱每臺的進價為元，要使其在銷售的過程中獲利，則它每臺售價為（）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】設(shè)售價為元，根據(jù)獲利，列一元一次方程，求解即可．
【詳解】解：設(shè)售價為元，根據(jù)獲利，可得解得故答案為C．
【點睛】此題考查了一元一次方程的應用，理解題意找到等量關(guān)系，列方程即可．
2．（2021·山東七年級期末）某商場專柜賣出A，B兩件衣服，每件售價都是600元，其中每件A衣服賺25%，每件B衣服賠25%．下列說法正確的有（）個
①每件A衣服的成本價是480元． ②每件B衣服的成本價是800元． ③專柜售出這兩件衣服是賠了80元． ④專柜售出這兩件衣服是不賺也不賠
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】設(shè)賺錢的衣服的進價為x元，賠錢的衣服的進價為y元，根據(jù)題意列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)賺錢的衣服的進價為x元，
依題意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正確；
設(shè)賠錢的衣服的進價為y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正確；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴這兩件衣服售出后商店虧了80元，故③正確，④錯誤；故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·四川省成都市七中育才學校七年級開學考試）大學生小劉正在出售一批襯衫，每件提價25%后發(fā)現(xiàn)銷路不是很好，欲恢復原價，則每件襯衫應降價（）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【答案】B
【分析】設(shè)每件襯衫原價為1，欲恢復原價，則每件襯衫應降價x%，由于每件提價25%后銷售為1?（1＋25%），然后把它降價x%得到銷售價為1，所以1?（1＋25%）?（1?x%）＝1，然后解此方程即可．
【詳解】設(shè)每件襯衫原價為1，欲恢復原價，則每件襯衫應降價%，
根據(jù)題意得，，解得，．即欲恢復原價，則每件襯衫應降價20%．故選B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出題中的等量關(guān)系，列出方程并解答．注意：提價25%是在原價的基礎(chǔ)上提價，欲恢復原價，則應降價是在提價之后的基礎(chǔ)上進行的，要弄清題意．
4．（2021·重慶市天星橋中學七年級月考）（選自《課堂導報》29期）某種商品每件的進價為250元，按標價的九折銷售時，利潤率為15.2%，這種商品每件的標價是（）
A．38元 B．250元 C．288元 D．320元
【答案】D
【分析】等量關(guān)系為：標價×9折=進價×（1+利潤率），把相關(guān)數(shù)值代入計算即可．
【詳解】解：設(shè)這種商品每件的標價是x元，依題意有
x×90%=250×（1+15.2%），解得x=320．
故這種商品每件的標價是320元．故選：D．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，得到售價的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
5．（2021·河北饒陽·初一期末）一件夾克衫先按成本提高50%標價，再以8折（標價的80%）出售，結(jié)果獲利28元，若設(shè)這件夾克衫的成本是x元，根據(jù)題意，可得到的方程是 ( )
A．(1＋50%)x×80%＝x－28 B．(1＋50%)x×80%＝x＋28
C．(1＋50%x)×80%＝x－28 D．(1＋50%x)×80%＝x＋28
【答案】B
分析：根據(jù)售價的兩種表示方法解答，關(guān)系式為：標價×80%=進價+28，把相關(guān)數(shù)值代入即可．
【解析】標價為：x（1+50%），八折出售的價格為：（1+50%）x×80%；
∴可列方程為：（1+50%）x×80%=x+28，故選B．
考點：由實際問題抽象出一元一次方程．

【題型六】數(shù)字與日歷問題
【解題技巧】已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．
【典題1】（2022·內(nèi)蒙古海勃灣·初一期末）一個兩位數(shù)十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍，把這兩個數(shù)字對換位置后，所得兩位數(shù)比原數(shù)小18，那么原數(shù)是（）
A．21 B．42 C．24 D．48
【答案】B
【分析】設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為2x,原來的兩位數(shù)是：20x+x,把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換后,十位上數(shù)字是x,個位上數(shù)字是2x,交換位置后這個數(shù)是：10x+2x,然后根據(jù)原數(shù)=新數(shù)+18,列方程解答即可．
【解析】解：設(shè)原兩位數(shù)的個位數(shù)字為x,則十位數(shù)字為2x,
由題意得：20x+x=10x+2x+18,解得x=2,則20x+x=20×2+2=42答：這個兩位數(shù)為42．故選B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用,解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)十位數(shù)字是個位數(shù)字的2倍,表示出這個兩位數(shù)．
【典題2】（2021·焦作市實驗中學七年級期中）如圖，是由一些奇數(shù)排成的數(shù)陣．
（1）設(shè)框中的第一個數(shù)為x，則框中這四個數(shù)和為　，若這樣框出的四個數(shù)的和200，求這四個數(shù)；
（2）是否存在這樣的四個數(shù)，使它們的和為8096？請說明理由．

【答案】（1）4x+20，這四個數(shù)是45，47，53，55；（2）不存在這樣的四個數(shù)，使它們的和為8096，理由見解析．
【分析】（1）根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)，可以寫出框中這四個數(shù)的和，然后令這四個數(shù)的和200，即可求得這四個數(shù)；（2）先判斷是否存在這樣的四個數(shù)，使它們的和為8096，然后計算出說明理由即可．
【詳解】解：（1）設(shè)框中的第一個數(shù)為x，則其它三個數(shù)為x+2，x+8，x+10，
則框中這四個數(shù)和為x+（x+2）+（x+8）+（x+10）＝4x+20，
當4x+20＝200時，解得：x＝45，
故x+2＝47，x+8＝53，x+10＝55，故答案為：4x+20，
若這樣框出的四個數(shù)的和200，這四個數(shù)是45，47，53，55；
（2）不存在這樣的四個數(shù)，使它們的和為8096，理由如下：
由題意可得：4x+20＝8096，解得：x＝2019，
∵（2019+1）÷2＝1010，∴2019是第1010個奇數(shù)，
∵圖中每行5個奇數(shù)，∴1010個奇數(shù)在第202行最后一個數(shù)字，
∴不存在這樣的四個數(shù)，使它們的和為8096．
【點睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點，求出相應的數(shù)字，也考查了解一元一次方程．
【變式練習】
1．（2020·浙江）如圖，表中給出的是2021年1月份的月歷，任意選取“工”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示）．請你運用所學的數(shù)學知識來研究，則這7個數(shù)的和不可能是（）

A．77 B．91 C．140 D．161
【答案】A
【分析】設(shè)最中間的數(shù)為x，根據(jù)題意列出方程即可求出判斷．
【詳解】解：設(shè)最中間的數(shù)為x，∴這7個數(shù)分別為x-8、x-7、x-6、x、x+6、x+7、x+8，
∴這7個數(shù)的和為：x-8+x-7+x-6+x+x+6+x+7+x+8=7x，
當7x=77時，此時x=11，當7x=91時，此時x=13，當7x=140時，此時x=20，
當7x=161時，此時x=23，由圖可知：11的左上角沒有數(shù)字．故選：A．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
2．（2021·南昌市心遠中學七年級期末）一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是，如果將個位數(shù)字和十位數(shù)字分別加2和1，所得新數(shù)比原數(shù)大12，則可列方程是__________________．
【答案】
【分析】根據(jù)兩位數(shù)的表示方法：十位上的數(shù)字乘以10加上個位上的數(shù)字，表示出新舊兩個兩位數(shù)，列出方程即可．
【詳解】解：一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字都是，這個兩位數(shù)為：，
將個位數(shù)字和十位數(shù)字分別加2和1，所得新數(shù)為：，
根據(jù)題意列方程得，；
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是明確兩位數(shù)的表示方法，根據(jù)題意列出方程．
3．（2021·北京二中七年級期末）小明計劃和爸爸一起自駕游，如表是這月份的日歷，用如圖框住5個日期，他們的和是50，圖中x是出行日期，爸爸的車牌尾號是“9”，則出行日期是幾號，這天能出行嗎？（）（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和節(jié)假日不限行，每周一限行尾號為1和6，每周二限行尾號為2和7，每周三限行尾號為3和8，每周四限行尾號為4和9，每周五限行尾號為0和5）
周日
周一
周二
周三
周四
周五
周六

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
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29
30
31

A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能
【答案】A
【分析】根據(jù)日歷表示出其它幾個數(shù)字，根據(jù)數(shù)字之和等于50列出方程，求得x，再根據(jù)日歷和限行標準即可得出結(jié)論．
【詳解】解：其它幾個數(shù)為：，
根據(jù)題意，解得，
由日歷可知，11號是周四，周四限行尾號為4和9，故出行的日期是11號，這天不能出行，故選：A．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的方程，求出x的值．
4.（2020·南通市啟秀中學初一期末）小明參加啟秀期末考試時的考場座位號是由四個數(shù)字組成的，這四個數(shù)字組成的四位數(shù)有如下特征：（1）它的千位數(shù)字為2；（2）把千位上的數(shù)字2向右移動，使其成為個位數(shù)字，那么所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少1478，求小明的考場座位號．
【答案】2315
【分析】設(shè)除去千位上的數(shù)字之外的三位數(shù)為x，根據(jù)題意列出方程，解方程即可求出答案．
【解析】設(shè)除去千位上的數(shù)字之外的三位數(shù)為x，根據(jù)題意有
解得小明的考場座位號為2315
【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

【題型七】和、差、倍、分問題
【解題技巧】
（1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量－降低量．
（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．
【典題1】（2021·上海市民辦新竹園中學八年級月考）某汽車制造廠1月份生產(chǎn)汽車25000輛，由于銷售市場的原因，2月份產(chǎn)量比一月份減少了20%，若三月份要使產(chǎn)量達26000輛，則3月份應比2月份增長_______%．
【答案】30%
【分析】設(shè)3月份應比2月份增長x，根據(jù)三月份要使產(chǎn)量達26000輛，列出方程，解之即可．
【詳解】解：設(shè)3月份應比2月份增長x，
由題意可得：25000（1-20%）（1+x）=26000，
解得：x=0.3=30%，故答案為：30%．
【點睛】本題考查了一元一次方程的實際應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)百分數(shù)的意義，找到等量關(guān)系．
【典題2】（2021·浙江六年級期中）12年前父親的年齡是兒子年齡的10倍，從現(xiàn)在起12年以后父親的年齡是兒子年齡的2倍，現(xiàn)在父親的年齡是（________）歲。
【答案】42
【分析】根據(jù)題目可以設(shè)兒子12年前的年齡是x歲，即12年前父親年齡是10x歲，從現(xiàn)在起12年以后，即相當于從12年前到今年，從今年到12年后，經(jīng)過了12＋12＝24年，那么此時兒子年齡是x＋24，父親年齡是10x＋24，此時父親年齡是兒子的2倍，即兒子×2＝父親年齡，列出方程求解即可。
【詳解】解：設(shè)12年前兒子年齡是x歲，父親年齡是10x歲。
2×（x＋24）＝10x＋24
2x＋48＝10x＋24
48－24＝10x－2x
24＝8x
x＝24÷8
x＝3
現(xiàn)在父親的年齡：3×10＋12＝30＋12＝42（歲）
【點睛】此題屬于含有兩個未知數(shù)的應用題，這類題用方程解答比較容易，關(guān)鍵是找準數(shù)量間的相等關(guān)系，設(shè)一個未知數(shù)為x，另一個未知數(shù)用含x的式子表示，然后列方程解答。
【變式練習】
1．（2021·內(nèi)蒙古九年級期中）程大位《直指算法統(tǒng)宗》趣題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？”意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，試問大、小和尚各多少人？設(shè)小和尚有x人，依題意列方程得（　?。?br /> A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)小和尚有x人，根據(jù)共100個和尚可知大和尚有（100－x）人，根據(jù)100個和尚分100個饅頭正好分完．可以得到一個等量關(guān)系：大和尚分得的饅頭數(shù)+小和尚分得的饅頭數(shù)＝100，依此列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)小和尚有x人，則大和尚有（100－x）人，
根據(jù)題意得：．故選：A．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·北京市昌平區(qū)第四中學期中）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架．它的代數(shù)成就主要包括開方術(shù)、正負術(shù)和方程術(shù)．其中，方程術(shù)是《九章算術(shù)》最高的數(shù)學成就．《九章算術(shù)》中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)幾何？”
譯文：“有幾個人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；如果每人出六錢，那么少了十六錢．問：有幾個人共同出錢買雞？設(shè)有x個人共同買雞，根據(jù)題意列一元一次方程．_____

【答案】9x﹣11=6x+16．
【分析】設(shè)有x個人共同買雞，據(jù)買雞需要的總錢數(shù)不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解析】解：設(shè)有x個人共同買雞，根據(jù)題意得：9x﹣11=6x+16．
故答案為9x﹣11=6x+16．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．
3．（2021·南昌市心遠中學七年級期末）《算法統(tǒng)宗》中記有“李白沽酒”的故事．詩云：今攜一壺酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店飲半斗．相逢三處店，飲盡壺中酒．試問能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游時，做出這樣-條約定：遇見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．求李白的酒壺中原有酒多少升．
【答案】壺中原有升酒．
【分析】設(shè)壺中原有x升酒，由在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
【詳解】設(shè)壺中原有x升酒，根據(jù)題意得，解得．答：壺中原有升酒．
【點睛】此題考查一元一次方程的實際應用，正確理解題意，找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.
4．（2021·全國七年級課時練習）某中學的社團活動深受學生和家長的歡迎，社團種類多達十幾種，極大地豐富了學生的業(yè)余文化生活．其中初一書法社團中女生占全社團人數(shù)的，又有10名女生申請加入，那么女生就占全社團人數(shù)的，求現(xiàn)在初一書法社團的人數(shù)．
【答案】100人
【分析】設(shè)原有女生x人, 原來初一書法社團人數(shù)為3x人，利用10名女生申請加入后，女生就占全社團人數(shù)的的等量關(guān)系列出方程運算即可．
【詳解】解：設(shè)原有女生x人，則原來初一書法社團人數(shù)為3x人，
根據(jù)題意得：，解得，則．
答：現(xiàn)在初一書法社團的人數(shù)有100人．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，仔細審題從中獲取相關(guān)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．

1．（2021·浙江七年級月考）某校教師舉行茶話會．若每桌坐10人，則空出一張桌子；若每桌坐8人，還有6人不能就坐．設(shè)該校準備的桌子數(shù)為x，則可列方程為（　　）
A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6
C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6
【答案】B
【分析】設(shè)該校準備的桌子數(shù)為x，根據(jù)“若每桌坐10人，則空出一張桌子；若每桌坐8人，還有6人不能就坐”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：設(shè)該校準備的桌子數(shù)為x，依題意得：10（x-1）=8x+6．故選：B．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．
2．（2021·四川綿陽·）近年來，網(wǎng)購的蓬勃發(fā)展方便了人們的生活．某快遞分派站現(xiàn)有包裹若干件需快遞員派送，若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件，那么該分派站現(xiàn)有包裹（）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【分析】設(shè)該分派站有x個快遞員，根據(jù)“若每個快遞員派送10件，還剩6件；若每個快遞員派送12件，還差6件”，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再將其代入（10x＋6）中即可求出該分派站現(xiàn)有包裹數(shù)．
【詳解】解：設(shè)該分派站有x個快遞員，
依題意得：10x＋6＝12x?6，解得：x＝6，∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即該分派站現(xiàn)有包裹66件．故選：B．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣西平桂·期中）某新華書店暑假期間推出售書優(yōu)惠方案：①一次性購書不超過200元，不享受優(yōu)惠；②一次性購書超過200元但不超過400元一律打九折；③一次性購書400元以上一律打八折．如果黃聰同學一次性購書共付款324元，那么黃聰所購書的原價是（）
A．360元 B．405元 C．360元或400元 D．360元或405元
【答案】D
【分析】設(shè)所購書的原價是x元，因為付款已經(jīng)超過200元，所以第一種情況不用考慮，然后根據(jù)后兩種情況進行分類討論，列式求解，并看是否符合條件，選出正確選項．
【解析】解：設(shè)所購書的原價是x元，
∵一次性購書共付款324元，∴原價一定大于324元，則①不用考慮，
根據(jù)②，，列式：，解得，在范圍內(nèi)符合題意，
根據(jù)③，，列式：，解得，在范圍內(nèi)符合題意，
∴購書原價是360元或405元．故選：D．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找等量關(guān)系列方程求解，需要注意進行分類討論，把情況考慮全面．
4．（2021·河北饒陽·初一期末）輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時，若船速為26千米/時，水速為2千米/時，求A港和B港相距多少千米．設(shè)A港和B港相距x千米．根據(jù)題意，可列出的方程是：( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】輪船沿江從A港順流行駛到B港，則由B港返回A港就是逆水行駛，由于船速為26千米/時，水速為2千米/時，則其順流行駛的速度為26+2=28千米/時，逆流行駛的速度為：26-2=24千米/時．根據(jù)“輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用3小時”，得出等量關(guān)系：輪船從A港順流行駛到B港所用的時間=它從B港返回A港的時間-3小時，據(jù)此列出方程即可．
【解析】解：設(shè)A港和B港相距x千米，由題意可得方程：，故選A.
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．順水速度=水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度．
5．（2021·山西臨汾市·七年級期中）在數(shù)學活動課上，興趣小組的同學們用4塊大小不同的長方形紙板和一塊小正方形紙板拼成了一個大正方形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，則拼成的大正方形的面積是（　　）

A．20 B．25 C．36 D．49
【答案】C
【分析】設(shè)小正方形的邊長為，根據(jù)大正方形的邊長相等可得方程，解得，進而求得大正方形的邊長及面積
【詳解】設(shè)小正方形的邊長為，根據(jù)大正方形的邊長相等可得：
解得
大正方形的邊長為
大正方形面積為故選C
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找到等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·全國六年級課時練習）初一（1）班有學生60名，其中參加數(shù)學小組的有36人，參加英語小組的人數(shù)比參加數(shù)學小組的人數(shù)少5人，并且這兩個小組都不參加的人數(shù)比兩個小組都參加的人數(shù)的多2人．則同時參加這兩個小組的人數(shù)是（）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】設(shè)同時參加這兩個小組的人數(shù)為x人，根據(jù)參加這兩個小組的人數(shù)與不參加這兩個小組的人數(shù)之和等于60列方程即可求解，注意不能重復加同時參加這兩個小組的人數(shù)．
【詳解】解：設(shè)同時參加這兩個小組的人數(shù)為x人，
則這兩個小組都不參加的人數(shù)為人，
由題意得：，解得．故選：B．
【點睛】本題考查的知識點是一元一次方程的應用，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意準確列出一元一次方程．
7．（2020·全國初一課時練習）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意選取“U”型框中的7個數(shù)（如陰影部分所示），請你運用所學的數(shù)學知識來研究，發(fā)現(xiàn)這7個數(shù)的和不可能的是( )

A．70 B．78 C．84 D．
【答案】B
【分析】設(shè)“U”型框中的正中間的數(shù)為x，則其他6個數(shù)分別為x?15，x?13，x?8，x-6，x-1，x＋1，表示出這7個數(shù)之和，然后分別列出方程解答即可．
【解析】設(shè)“U”型框中的正中間的數(shù)為x，則其他6個數(shù)分別為x?15，x?13，x?8，x-6，x-1，x＋1，
這7個數(shù)之和為：x?15+x?13+x?8+x-6+x-1+x＋1+x＝7x-42．
由題意得A、7x-42＝70，解得：x＝16，能求得這7個數(shù)；
B、7x-42＝78，解得：x＝，不能求得這7個數(shù)；
C、7x-42＝84，解得：x＝18，能求得這7個數(shù)；
D、7x-42＝105，解得：x＝21，能求得這7個數(shù)．故選：B．
【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，掌握“U”型框中的7個數(shù)的數(shù)字的排列規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2021·河北七年級期末）一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做需要50天完成．如果甲先單獨做4天，然后兩人合作天完成這項工程，則可列的方程正確的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意一項工程甲單獨做要40天完成，乙單獨做需要50天完成，可以得出甲每天做整個工程的，乙每天做整個工程的，根據(jù)文字表述得到題目中的相等關(guān)系是：甲完成的部分+兩人共同完成的部分=1．
【詳解】解：設(shè)整個工程為1，根據(jù)關(guān)系式甲完成的部分+兩人共同完成的部分=1列出方程式為：
，故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次方程式的運用，解決這類問題關(guān)鍵是找到等量關(guān)系．
9.（2021·浙江）如圖，一個盛有水的圓柱形玻璃容器的底面半徑為，容器內(nèi)水的高度為，把一根半徑為的玻璃棒垂直插入水中，水不會溢出，則容器內(nèi)的水將升高________cm．

【答案】0.5
【分析】根據(jù)題意，得等量關(guān)系為：容器的底面積×容器中水的原來高度+玻璃棒的截面積×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面積×（容器中水原來的高度+水增加的高度）．
【詳解】解：設(shè)容器內(nèi)的水將升高x cm，
依題意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5．
故容器內(nèi)的水將升高0.5cm．故答案為：0.5．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
10．（2020·江蘇如東·初三二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)合伙人數(shù)為x人，所列方程為__________.
【答案】5x+45=7x+3．
【分析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，根據(jù)羊的總價錢不變，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．
【解析】設(shè)合伙人數(shù)為x人，依題意，得：5x+45=7x+3．故答案為：5x+45=7x+3．
【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題關(guān)鍵．
11．（2021·福建省福州外國語學校九年級三模）中國古代重要的數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有婦人河上蕩杯，津吏問曰：杯何以多？婦人曰：家有客．津吏曰：客幾何？婦人曰：二人共飯，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客幾何？”其大意為：一位婦人在河邊洗碗．津吏問道：“為什么要洗這么多碗？”婦人回答：“家里來客人了”津吏問：“有多少客人？”婦人回答：“每二人合用一只飯碗，每三人合用一只湯碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”來了多少位客人．根據(jù)題意，婦人家中訪客的人數(shù)是____________人．
【答案】60
【分析】設(shè)來了位客人，則共使用只飯碗，只湯碗，只肉碗，根據(jù)共用了65只碗，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)來了位客人，則共使用只飯碗，只湯碗，只肉碗，
依題意得：，
解得：．故答案為：60．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用以及數(shù)學常識，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．
12．（2021·黑龍江七年級期末）父子二人今年的年齡和為44歲，已知兩年前父親的年齡是兒子的4倍，那么今年兒子的年齡是______．
【答案】10
【分析】設(shè)今年兒子x歲，則今年父親（44-x）歲，根據(jù)兩年前父親的年齡是兒子的4倍，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)今年兒子x歲，則今年父親（44-x）歲，
依題意，得：44-x-2=4（x-2），解得：x=10．故答案為：10．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
13．（2021·山西七年級期中）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字的2倍小3，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么得到的兩位數(shù)就比原兩位數(shù)小9，原來的兩位數(shù)是______．
【答案】21
【分析】設(shè)原來的兩位數(shù)的十位上的數(shù)為a，則個位上數(shù)為（2a-3），根據(jù)“如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字對調(diào)，那么得到的兩位數(shù)就比原兩位數(shù)小9，”可列出關(guān)于a的方程，解出a即可．
【詳解】解：設(shè)原來的兩位數(shù)的十位上的數(shù)為a，則個位上數(shù)為（2a-3），
根據(jù)題意得：10a+2a-3=10(2a-3)+a+9，解得：a=2，
∴2a-3=1，∴原來的兩位數(shù)是21．故答案為：21．
【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應用，理解題意．準確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·湖南湘潭·）（古代數(shù)學問題）今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？意思是：幾個人一起去買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人，物品的價格是多少？設(shè)有x人，則根據(jù)題意列出方程__．
【答案】8x﹣3＝7x＋4
【分析】可設(shè)有x個人，根據(jù)所花總錢數(shù)不變列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)有x人，根據(jù)題意，可得：8x﹣3＝7x＋4，
故答案是：8x﹣3＝7x＋4．
【點睛】本題考查一次方程及其應用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，會由實際問題抽象出一元一次方程．
15．（2021·全國七年級課時練習）六一兒童節(jié)期間，某眼鏡店開展優(yōu)惠學生配鏡活動，某款式眼鏡的廣告如圖，請你為廣告牌補上原價．
原價：________元
六一節(jié)八折優(yōu)惠，現(xiàn)價：160元
【答案】200
【分析】設(shè)廣告牌上的原價為x元，根據(jù)原價的八折等于160元，列出方程，再求解即可．
【詳解】解：設(shè)廣告牌上的原價為x元，根據(jù)題意，得0.8x=160，解得x=200．
答：廣告牌上的原價為200元．故答案為200．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用．關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，求解．
16．（2021·儀征市實驗初中七年級月考）挖一條水渠，甲、乙兩隊單獨做分別需要20天、15天完成．現(xiàn)在兩隊合作若干天后，乙隊另有任務離開，甲隊接著又單獨挖6天完成，則挖這條水渠共要用_________天．
【答案】12
【分析】由題意設(shè)挖這條水渠共要用天，甲隊挖了全程，乙隊挖了天，進而根據(jù)總工程量為‘1’建立方程求解即可.
【詳解】解：設(shè)挖這條水渠共要用天，
由題意得：，解得：，
所以挖這條水渠共要用12天.故答案為：12.
【點睛】本題考查一元一次方程的工程問題，注意掌握并根據(jù)總工程量為‘1’建立方程是解題的關(guān)鍵.
17．（2021·全國·小升初模擬）某人以勻速行走在一條公路上,公路的前后兩端每隔相同的時間發(fā)一輛公共汽車.他發(fā)現(xiàn)每隔15分鐘有一輛公共汽車追上他;每隔10分鐘有一輛公共汽車迎面駛來擦身而過.問公共汽車每隔多少分鐘發(fā)車一輛?
【答案】12分鐘
【詳解】解：設(shè)公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次．
15：（15﹣x）=10：（x﹣10）．
15（x﹣10）=10（15﹣x）
15x﹣150=150﹣10x
25x=300
x=12，
答：公共汽車每12分鐘發(fā)一次
18．（2022·江蘇·六年級期末）A、B兩地相距10千米，甲從A地出發(fā)步行45分鐘后，乙騎自行車也從A地出發(fā)，最后甲乙兩人同時到達B地。甲開始步行的速度為每分鐘104米，途中某時刻后減速為每分鐘84米，乙騎自行車的速度始終是每分鐘210米，但途中休息5分鐘，問：甲出發(fā)后多少時間開始減速的？
【答案】90分鐘
【分析】由題可設(shè)甲出發(fā)x分鐘后開始減速，由減速前行駛的路程＋減速后行駛的路程＝A、B兩地相距的10千米，列出方程即可求解。
【詳解】解：設(shè)甲出發(fā)x分鐘后開始減速。
10km＝10000m
104x＋84×（10000÷210＋5＋45－x）＝10000
104x＋84×（＋50－x）＝10000
104x＋4000＋4200－84x＝10000
20x＋8200＝10000
20x＝1800
x＝90
答：甲出發(fā)后90分鐘開始減速。
【點睛】本題主要考查行程應用題，解題的關(guān)鍵是得到等量關(guān)系，本題易錯點是單位的換算。
19．（2022·福建寧德·五年級期中）小軍和小虎在學校操場的環(huán)形跑道上跑步，跑道一圈長400米，已知小軍每秒跑6米。
（1）如果他們同時從跑道的同地點出發(fā)向相反的方向跑，經(jīng)過40秒第一次相遇，小虎平均每秒跑多少米？（用方程解）
（2）如果他們同時從跑道的同地點出發(fā)同向而行，幾秒后他們第一次相遇？（在（1）題的基礎(chǔ)上完成）（用方程解）
（3）如果小虎先跑10秒，小軍向同方向追小虎，幾秒才追上小虎？（在（1）題的基礎(chǔ)上完成）（選擇適當?shù)姆椒ǎ?br /> 【答案】（1）4米；（2）200秒；（3）20秒
【分析】（1）把小虎的跑步速度設(shè)為未知數(shù)，等量關(guān)系式：（小虎的跑步速度＋小軍的跑步速度）×相遇時間＝總路程；（2）由（1）可知小軍的跑步速度大于小虎的跑步速度，兩人同地點出發(fā)同向而行，第一次相遇時小軍比小虎多跑一整圈，等量關(guān)系式：（小軍的跑步速度－小虎的跑步速度）×相遇時間＝小軍比小虎多跑的路程；（3）小虎先跑10秒，小軍向同方向追小虎，則小虎和小軍的路程差為小虎跑10秒的路程，利用“追及時間＝路程差÷速度差”即可求得。
【詳解】（1）解：設(shè)小虎平均每秒跑x米。
（6＋x）×40＝400
6＋x＝400÷40
6＋x＝10
x＝10－6
x＝4
答：小虎平均每秒跑4米。
（2）解：設(shè)x秒后他們第一次相遇。
（6－4）x＝400
2x＝400
x＝400÷2
x＝200
答：200秒后他們第一次相遇。
（3）（4×10）÷（6－4）
＝40÷2
＝20（秒）
答：20秒才追上小虎。
【點睛】熟練掌握相遇問題和追及問題的計算公式是解答題目的關(guān)鍵。
20．（2022·湖北武漢·五年級期末）一天，小明和小玲兄妹倆吃完早飯同時離家去上學，小明每分鐘走90m，小玲每分鐘走60m。小明走到學校門口發(fā)現(xiàn)忘記帶語文書，立即沿原路回家去取，行至離學校180m處與小玲相遇。他們家離學校有多遠？
【答案】900米
【解析】
【分析】把小明與小玲相遇時小玲走的時間設(shè)為未知數(shù)，小玲行駛的路程加上180米等于從家到學校的路程，小明行駛的路程減去180米也等于從家到學校的路程，等量關(guān)系式：小玲行駛的路程＋180米＝小明行駛的路程－180米，據(jù)此列方程解答。
【詳解】解：設(shè)從出發(fā)到兩人相遇小玲走了x分鐘。
60x＋180＝90x－180
90x－60x＝180＋180
30x＝360
x＝360÷30
x＝12
60×12＋180＝720＋180＝900（米）
答：他們家離學校900米。
【點睛】分析題意找出等量關(guān)系式是解答題目的關(guān)鍵。
21．（2022·全國·五年級競賽）甲乙兩人比賽400米跑，甲離終點100米時，乙剛好跑到中點，照這樣的速度，乙跑到終點時，比甲正好慢25秒，甲平均每秒跑多少米？
【答案】8米
【分析】要求甲的速度，可先求甲跑全程用了多少時間；設(shè)甲跑全程用了x秒，則乙用了（x＋25）秒，由“甲乙兩人比賽400米跑，甲離終點100米時，乙剛好跑到中點”可知：甲跑300米，則乙跑200米，二者的速度比是3∶ 2，所以與跑完全程的時間成反比，據(jù)此可列比例求解。
【詳解】設(shè)甲跑全程用了x秒，則乙用了（x＋25）秒，
因速度比為：（400﹣100）∶200＝300∶200＝3∶2，
則時間比為2∶3，
2∶3＝x∶（x＋25）
3x＝2x＋50
x＝50
甲的速度：400÷50＝8（米/秒）
答：甲平均每秒跑8米。
【點睛】此題主要考查路程、速度、時間之間的關(guān)系，路程－定，時間和速度成反比。
22．（2021·河北石家莊·小升初真題）一列勻速行駛的火車通過一架長1000米的橋梁用了30秒，穿越長1920米的隧道用了50秒，這列火車每秒行多少米？車身長多少米？
【答案】46米；380米
【解析】
【分析】設(shè)車身長x米，根據(jù)路程÷時間＝速度（一定），列出正比例算式，求出x的值是車身長，（橋梁長＋車身長）÷通過時間＝火車速度，據(jù)此分析。
【詳解】解：設(shè)車身長x米。
（1000＋x）∶30＝（1920＋x）∶50
30×（1920＋x）＝（1000＋x）×50
57600＋30x＝50000＋50x
20x÷20＝7600÷20
x＝380
（1000＋380）÷30＝1380÷30＝46（米）
答：這列火車每秒行46米，車身長380米。
【點睛】關(guān)鍵是確定比例關(guān)系，比值一定是正比例關(guān)系。
23．（2022·山東·六年級期末）公園里新建了一個“花鳥樂園”。如圖，冬冬和小剛站在點A處，打算繞“花鳥樂園”外圍步行一圈。小剛說：“冬冬，我們背向而行，看看待會兒會在哪個地方相遇?！闭f完小剛就出發(fā)了。而冬冬觀賞了一會兒小鳥，等小剛走到B點，他才出發(fā)。已知小剛和冬冬的速度比是5∶6，當他倆相遇時，小剛和冬冬所走的路程比是5∶4。這個“花鳥樂園”一周的長度是多少米？（冬冬和小剛的速度不變）

【答案】378米
【分析】將這個樂園的周長設(shè)為未知數(shù)，兩人相遇時，兩人恰好走完這個樂園的一周。同時，兩人的速度比恰好等于小剛的路程減去70米比上冬冬的路程，據(jù)此列比例解比例即可。
【詳解】解：設(shè)這個“花鳥樂園”一周的長度是x米。
5∶6＝∶x 解得，x＝378
答：這個“花鳥樂園”一周的長度是378米。
【點睛】本題考查了比例的應用，相遇問題中，時間一定時，兩人的速度比就是兩人所走的路程比。
24．（2021·全國·五年級期末）上午8點零8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上他的時候，離家恰好是8千米，問這時是幾點幾分？
【答案】8點32分
【分析】小明爸爸在追小明，但是小明一直在走，由題得，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，設(shè)他爸爸用x分鐘第一次追上小明走了4千米；第二次追上小明時，他爸爸又用了3x分鐘，共走了（4＋8）千米；對小明來說，（8＋x）分鐘走了4千米，然后他爸爸回家后又回來追上他，小明和他爸爸用的時間相同都是3x分鐘，小明走的路程是8千米－4千米．根據(jù)小明的速度一定，由公式路程＝速度×時間變形列式求解。

【詳解】解：設(shè)他爸爸用x分鐘第一次追上小明走了4千米，
因為小明的速度一定，所以，路程和時間成正比例，即：
4÷（8＋x）＝（8－4）÷3x
8＋x＝3x
2x＝8
x＝4
小明共走的時間為：8＋x＋3x＝8＋4x＝8＋4×4＝8＋16＝24（分鐘）
這時是：8時8分＋24分＝8時32分
答：這時是8時32分。
【點睛】此題考查了追及問題，解答此題關(guān)鍵是當速度一定，所以，路程和時間成正比例。
25．（2022·全國·六年級）早上水缸注滿了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。問早上注入多少升水？
【答案】115升
【分析】可用列方程的方法，利用的等量關(guān)系為：最后剩下的水比半水缸多1升。設(shè)早上注入x升水，白天用去其中的20%后還剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后還剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后還剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）。
【詳解】解：設(shè)早上注入x升水。
[（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1
[0.8x－27]×0.9－0.5x＝1
0.72x－27×0.9－0.5x＝1
0.72x－24.3－0.5x＝1
0.72x－0.5x＝25.3
0.22x＝25.3
x＝115
答：早上注入115升水。
【點睛】找出等量關(guān)系式是列出方程的關(guān)鍵。
26．（2022·全國·六年級競賽）甲、乙二人原有錢數(shù)相同，存入銀行，第一年的利息為4%，存入一年后利息降至2%，甲將本錢和利息繼續(xù)存入銀行，而乙將一半本錢投資股市及房地產(chǎn)，獲利20%，一年后，甲比乙賺到的錢的一半還少144元，則甲原來有多少元？
【答案】10000元
【分析】本題為利息問題，本金×（1＋利息×期數(shù)）＝本息
【詳解】詳解過程：設(shè)甲和乙原有錢數(shù)都是x．
甲在銀行存了兩年，第一年利息為4%，錢變成了x（1+4%），接著再存了一年，第二年利息是2%，本息和為x（1+4%）（1+2%），兩年賺的錢為：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x；
乙先將所有的錢在銀行存了一年，本息和為x（1+4%），第二年將一半本息接著存入銀行，一半本錢投入股市，存入銀行的一年后本息和為x（1+4%）（1+2%），投入股市的錢一年后收入為x（1+20%），乙兩年賺的錢為：
x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x．
已知甲賺的比乙的一半還少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504 x，
解得x=10000元．
答：甲原來有10000元．
【點睛】本題考察的是利息問題和利潤問題的綜合求解．在計算本息和時最好寫成x（1+4%），這樣后面的也可以直接寫為x（1+4%）（1+2%）了，比較簡單明了方便計算．推而廣之，在計算所有增加或者減少分率時都可以這樣處理，一般公式為單位“1”×（1±增加或減少分率）．
27．（2020·湖南天心·長郡中學期末）列方程解應用題
某車間有24名工人，每人毎天平均生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，兩個螺栓配三個螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套，應該分配多少名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母？
【答案】應該分配12名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天的產(chǎn)品剛好配套；
【分析】根據(jù)一元一次方程解決配套問題的步驟，設(shè)出未知數(shù)，并選擇“兩個螺栓配三個螺母，為了使每天的產(chǎn)品剛好配套”為等量關(guān)系，最后根據(jù)等量關(guān)系列出方程．
【解析】（1）設(shè)可設(shè)分配名工人生產(chǎn)螺栓，名工人生產(chǎn)螺母．
由題意得：，解得：，（人）．
答：應該分配12名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天的產(chǎn)品剛好配套．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，找實際問題的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵點．
28．（2021·重慶九龍坡·）一水果店第一次購進400kg西瓜，由于天氣炎熱，很快賣完．該店馬上又購進了800kg西瓜，進貨價比第一次每千克少了0.5元．兩次進貨共花費4400元．（1）第一次購進的西瓜進價每千克多少元；（2）在銷售過程中，兩次購進的西瓜售價相同．由于西瓜是易壞水果，從購進到全部售完會有部分損耗．第一次購進的西瓜有4%的損耗，第二次購進的西瓜有6%的損耗，該水果店售完這些西瓜共獲利2984元，則每千克西瓜的售價為多少元．
【答案】（1）4元；（2）6.5元
【分析】（1）設(shè)第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，根據(jù)題意列一元一次方程即可求解；（2）設(shè)售價為元，求出兩次的銷售總額，再減去成本就是獲利，列出一元一次方程，即可求解．
【詳解】解：（1）設(shè)第一次購進的西瓜進貨價每千克為元，則第二次進貨價為元，
由題意可得：，即解得
答：第一次購進的西瓜進價每千克4元；
（2）設(shè)每千克西瓜的售價為元，則第一次的銷售額為元，第二次的銷售額為元，總成本為4400元，
則，即解得
答：每千克西瓜的售價為6.5元
【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，理解題意弄清楚題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
29．（2021·江蘇南京·南師附中宿遷分校初一期末）列方程解應用題：
用甲、乙、丙三部抽水機從礦井里抽水，單獨用一部抽水機抽完，用甲需要24小時，用乙需要30小時，用丙需要40小時，現(xiàn)在甲、丙同時抽了6小時后，把乙機加入，問乙加入后還需要多少時間才能把井里的水抽完．
【答案】６小時，過程見詳解．
【分析】設(shè)還需小時可以抽完，分別表示出三臺抽水機的工作量，利用工作量總和為1，列出方程解答即可．
【解析】解：設(shè)還需小時可以抽完，由題意得：
，解得：，答：還需6小時可以抽完．
【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，掌握工作總量、工作時間、工作效率之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
30．（2021·浙江溫州市·七年級期末）一家電信公司推出手機話費套餐活動，具體資費標準見下表：
套餐月租費（元/月
套餐內(nèi)容
套餐外資費

主叫限定時間（分鐘）
被叫
主叫超時費（元/分鐘）
58
50
免費
0.25
88
150
0.20
118
360
0.15
說明：①主叫：主動打電話給別人；被叫：接聽別人打進來的電話．
②若辦理的是月租費為58元的套餐：主叫時間不超過50分鐘時，當月話費即為58元；若主叫時間為60分鐘，則當月話費為元．其它套餐計費方法類似．
（1）已知小聰辦理的是月租費為88元的套餐，小明辦理的是月租費為118元的套餐．他們某一月的主叫時間都為分鐘（）．
①請用含的代數(shù)式分別表示該月他們的話費，化簡后填空：
小聰該月的話費為________元；小明該月的話費為________元．
②若該月小聰比小明的話費還要多14元，求他們的通話時間．
（2）若小慧的兩個手機號碼分別辦理了58元、88元套餐．該月她的兩個號碼主叫時間一共為220分鐘，總話費為152元，求她兩個號碼的主叫時間分別可能是多少分鐘．
【答案】（1）①0.2m+58，64+0.15m；②400分鐘；（2）40分鐘和180分鐘或74分鐘和146分鐘
【分析】（1）①因為m＞360分鐘，所以兩人的話費均由套餐費和主叫超時費兩部分組成，根據(jù)具體數(shù)字列出式子即可；②根據(jù)①中式子，結(jié)合小聰比小明的話費還要多14元列出方程，解之即可；
（2）分當x≤50時，當50＜x＜70時，當x≥70時，三種情況分別列出方程，解之即可．
【詳解】解：（1）①由題意可得：小聰該月的話費為88+0.2（m-150）=0.2m+58（元），
小明該月的話費為118+0.15（m-360）=64+0.15m（元），
②由題意可得：0.2m+58=64+0.15m+14，解得：m=400，∴他們的通話時間為400分鐘；
（2）設(shè)辦理了58元套餐的手機號碼主叫時間為x分鐘，
當x≤50時，220-x≥170，則58+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=40，220-40=180分鐘；
當50＜x＜70時，則58+0.25（x-50）+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=90，不符合，舍去；
當x≥70時，則58+0.25（x-50）+88=152，解得：x=74，220-74=146分鐘，
綜上：兩個號碼的主叫時間分別是40分鐘和180分鐘或74分鐘和146分鐘．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，能讀懂數(shù)表弄清數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
31.（2021·湖北房縣·初一期末）“十房”天然氣正在緊張施工中，從2018年1月1日起居民生活用氣階梯價格制度將正式實施，一般生活用氣收費標準如下表所示，比如6口以下的戶年天然氣用量在第二檔時，其中350立方米按2.28元/m3收費，超過350立方米的部分按2.5元/m3收費．小冬一家有五口人，他想幫父母計算一下實行階梯價后，家里天然氣費的支出情況．
（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然氣，那么需要交多少元天然氣費？
（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然氣，那么需要交多少元天然氣費？
（3）如果他家2018年需要交1563元天然氣費，他家2018年用了多少立方米天然氣？

【答案】（1）684；（2）1173；（3）600
【分析】（1）根據(jù)一般生活用氣收費標準，可得小冬一家需要交天然氣費2.28×300，計算即可；
（2）根據(jù)一般生活用氣收費標準，可得小冬一家需要交天然氣費2.28×350＋2.5×（500?350），計算即可；
（3）設(shè)小冬家2018年用了x立方米天然氣．首先判斷出小冬家2018年所用天然氣超過了500立方米，然后根據(jù)他家2018年需要交1563元天然氣費建立方程，求解即可．
【解析】（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然氣，那么需要交天然氣費2.28×300＝684（元）；
（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然氣，那么需要交天然氣費
2.28×350＋2.5×（500?350）＝798＋375＝1173（元）；
（3）設(shè)小冬家2018年用了x立方米天然氣．
∵1563＞1173，∴小冬家2018年所用天然氣超過了500立方米．
根據(jù)題意得 2.28×350＋2.5×（500?350）＋3.9（x?500）＝1563，解得x＝600．
答：小冬家2018年用了600立方米天然氣．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．

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