?專題02 式與方程

初中數(shù)學(xué)較小學(xué)數(shù)學(xué)在式與方程方面主要變化有：“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語(yǔ)言，初中階段重點(diǎn)關(guān)注用字母表述代數(shù)式，以及代數(shù)式的運(yùn)算，字母可以像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算和推理，通過(guò)字母運(yùn)算和推理得到的結(jié)論具有一般性；“方程與不等式”揭示了數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系（相等關(guān)系和不等關(guān)系），是初中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具。
其實(shí)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容多是小學(xué)內(nèi)容的擴(kuò)展；小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)實(shí)際上是有很多關(guān)聯(lián)的。只要從小六到初一的過(guò)度在老師的引導(dǎo)下，找出“數(shù)”與“式”之間的內(nèi)在聯(lián)系以及區(qū)別，在知識(shí)間架起銜接的橋梁，也為后面的更多內(nèi)容打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，這樣才能在眾多的考試面前不亂陣腳，游刃有余。

1．用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計(jì)算公式和運(yùn)算定律
1）用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系
（1）一班有男生a人，有女生b人，一共有（a＋b）人；
（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉一共重25x干克
（3）路程＝速度×?xí)r間，用字母表示為s＝vt；
（4）正比例關(guān)系：（一定），反比例關(guān)系：x×y＝k（一定）。
2）用字母表示計(jì)算公式及運(yùn)算定理
長(zhǎng)方形周長(zhǎng)：C＝2（a＋b）； 長(zhǎng)方形面積：S＝ab； 長(zhǎng)方體體積：V＝abh或V＝Sh。
加法交換律：a＋b＝b＋a 加法結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交換律：ab＝ba 乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc） 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc
注意：①數(shù)與字母、字母與字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作簡(jiǎn)寫為一個(gè)點(diǎn)或省略不寫，但要注意，省略乘號(hào)后，數(shù)字要寫在字母的前面。②兩個(gè)相同的字母相乘時(shí)，可寫成這個(gè)字母的平方，如a×a可以寫作a2。
2．等式與方程
1）等式與方程的意義及關(guān)系

意義
關(guān)系
等式
表示相等關(guān)系的式子叫作等式
所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程
方程
含有未知數(shù)的等式叫作方程
2）等式的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
3）解方程
（1）方程的解的概念：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。
（2）解方程的概念：求方程的解的過(guò)程叫作解方程。
（3）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。
（4）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解。


考點(diǎn)1、 字母表示數(shù)
【解題技巧】1）字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個(gè)數(shù)，甚至可以表示具有某些規(guī)律的數(shù)，總之字母可以簡(jiǎn)明的將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)。
2）用字母表示數(shù)的意義：有助于揭示概念的本質(zhì)特征，能使數(shù)量之間的關(guān)系更加簡(jiǎn)明，更具有普遍意義。使思維過(guò)程簡(jiǎn)約化，易于形成概念系統(tǒng)。
例1．（2023春·新疆喀什·六年級(jí)統(tǒng)考期中）李爺爺今年a歲，張伯伯今年（a－24）歲，過(guò)b年后，他們相差（????）歲。
A．b B．b－24 C．a(chǎn)－24 D．24
【答案】D
【分析】不管過(guò)去多少年，李爺爺和張伯伯之間的年齡差不變，因?yàn)槔顮敔斀衲阛歲，張伯伯今年（a－24）歲，則他們相差歲數(shù)是a－（a－24），據(jù)此解答。
【詳解】a－（a－24）＝a－a＋24＝24（歲） 再過(guò)b年后，他們相差24歲。故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查了用字母表示數(shù)以及含未知數(shù)式子的化簡(jiǎn)和求值。
例2．（2023秋·河南駐馬店·六年級(jí)統(tǒng)考期末）有一些能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人，3張方桌拼成一行能坐8人（如圖所示），……則10張桌子可坐( )人；n張桌子可坐( )人。
【答案】 22 2n＋2
【分析】1張方桌可坐4人，4＝2＋1×2；2張方桌可坐6人，6＝2＋2×2；3張方桌可坐8人，8＝ 2＋2×3……每增加一張方桌，座位就增加2個(gè)，那么n張方桌可坐的人數(shù)：2n＋2。
【詳解】根據(jù)分析可知，
1張方桌可坐：2＋1×2＝2＋2＝4（人）
2張方桌可坐：2＋2×2＝2＋4＝6（人）
3張方桌可坐：2＋2×3＝2＋6＝8（人）……
n張方桌可坐的人數(shù)：2＋2×n＝（2n＋2）人
當(dāng)n＝10時(shí)，2n＋2＝2×10＋2＝20＋2＝22（人）
所以，10張桌子可坐22人；n張桌子可坐（2n＋2）人。
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每多1張桌子就多坐2人是解本題的關(guān)鍵。
變式1．（2022春·遼寧大連·六年級(jí)期末）有四個(gè)連續(xù)偶數(shù)，最小的一個(gè)是a，那么最大的一個(gè)是（????）。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】每相鄰的兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)都相差2，則最大的偶數(shù)比最小的偶數(shù)大3個(gè)2；知道最小的一個(gè)偶數(shù)，用其加上3×2，問(wèn)題便可得解。
【詳解】有4個(gè)連續(xù)偶數(shù)，最小的一個(gè)是a，那么最大的一個(gè)是a＋2×3＝a＋6。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題是用字母表示數(shù)的問(wèn)題，需結(jié)合偶數(shù)的定義分析解答。
變式2．（2022·山東·期末）兩個(gè)式子結(jié)果相同的一組是（???????）。
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根據(jù)字母表示數(shù)的方法，把選項(xiàng)逐個(gè)分析，找出相等的一組算式即可。
【詳解】A．a(chǎn)2表示兩個(gè)a相乘，2a表示兩個(gè)a相加，所以結(jié)果不一定相等；
B．3a表示3個(gè)a相加，a＋a＋a也表示3個(gè)a相加，所以結(jié)果相等；
C．2（a＋b）表示a加b的和的2倍，2a＋b表示2個(gè)a的和與b相加，所以結(jié)果不一定相等；
D． a＋2表示a與2相加，2a表示兩個(gè)a相加，所以結(jié)果不一定相等。故答案為：B
【點(diǎn)睛】理解字母表示數(shù)的意義以及運(yùn)算的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
變式3．（2022秋·河南南陽(yáng)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)圖形的排列規(guī)律填空。（每個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是1厘米）第8個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是( )個(gè)，周長(zhǎng)是( )厘米，第n個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是( )個(gè)，周長(zhǎng)是( )厘米。
……
【答案】 64 24 n2 3n
【分析】觀察圖形可知：
第1個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是1個(gè)，1＝12；周長(zhǎng)是3厘米，3＝3×1；
第2個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是4個(gè)，4＝22；周長(zhǎng)是6厘米，6＝3×2；
第3個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是9個(gè)，9＝32；周長(zhǎng)是9厘米，9＝3×3；
第4個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是16個(gè)，16＝42；周長(zhǎng)是12厘米，12＝3×4；……
第n個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是n2個(gè)，周長(zhǎng)是3n厘米；據(jù)此規(guī)律解答。
【詳解】由分析可知：第n個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是n2個(gè)，周長(zhǎng)是3n厘米；
當(dāng)n＝8時(shí)n2＝8×8＝64（個(gè)） 3n＝3×8＝24（厘米）
第8個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是64個(gè)，周長(zhǎng)是24厘米，第n個(gè)圖形小三角形的個(gè)數(shù)是n2個(gè)，周長(zhǎng)是3n厘米。
【點(diǎn)睛】通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。

考點(diǎn)2、等量代換
【解題技巧】等量代換是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。．如果能應(yīng)用等量代換思考問(wèn)題，不僅有助于學(xué)生找到鋸決問(wèn)題的便捷方法，而且有助于鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
例1．（2022·山西臨汾·六年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)如圖，＝（????）克。

A．50 B．48 C．64
【答案】C
【分析】先由圖1可以得到一個(gè)較大圓＝24克，再由圖2可知，一個(gè)小圓為24×2÷3＝16（克），由圖3可知，最大圓為16×4＝64（克），據(jù)此解答即可。
【詳解】圖1可以得到一個(gè)較大圓是24克
由圖2可知，一個(gè)小圓是24×2÷3＝48÷3＝16（克）
由圖3可知，最大圓是16×4＝64（克）故答案為：C
【點(diǎn)睛】由圖1可以得到一個(gè)較大圓＝24克，再求出小圓的值，是解答此題的關(guān)鍵。
例2．（2022秋·江蘇南通·六年級(jí)校考期末）原始社會(huì)末期，為實(shí)現(xiàn)物品交換，人類開始以物換物。1只兔子可以交換4個(gè)瓦罐，3斗糧食可以換2只兔子和6個(gè)瓦罐，那么1只兔子可以換( )斗糧食。

【答案】
【分析】由于3斗糧食可以換2只兔子和6個(gè)瓦罐，由于1只兔子可以交換4個(gè)瓦罐，那么2只兔子可以交換8個(gè)瓦罐，所以3斗糧食相當(dāng)于8＋6＝14個(gè)瓦罐，那么一個(gè)瓦罐交換的糧食量是：3÷14＝（斗），那么4個(gè)瓦罐相當(dāng)于糧食的量是：4×＝（斗），據(jù)此即可填空。
【詳解】2×4＝8（個(gè)）
8＋6＝14（個(gè)）
3÷14＝（斗）
×4＝（斗）
那么1只兔子可以換斗糧食。
【點(diǎn)睛】本題主要考查等量代換，關(guān)鍵是求出一瓦罐相當(dāng)于多少斗糧食是解題的關(guān)鍵。
變式1．（2023春·江蘇南通·六年級(jí)專題練習(xí)）已知□＝△＋△＋△＋△，□－△＝4.8，那么□＝（????）。
A．7.2 B．6.4 C．5.4 D．1.6
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可將“□＝△＋△＋△＋△”代入“□－△＝4.8”中，先求出△的值，進(jìn)而求出□的值，據(jù)此解答。
【詳解】把“□＝△＋△＋△＋△”代入“□－△＝4.8”中，得△＋△＋△＋△－△＝4.8，解得：△＝1.6；
把“△＝1.6”代入“□＝△＋△＋△＋△”中得：
□＝1.6＋1.6＋1.6＋1.6＝3.2＋1.6＋1.6＝4.8＋1.6＝6.4 故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題有兩個(gè)未知量，解答時(shí)要注意觀察已知條件，然后把一個(gè)未知量用另一個(gè)未知量代替，這樣比較容易理解。
變式2．（2020·浙江·小升初真題）若，則的值是( )。
【答案】1
【分析】將先乘4，可轉(zhuǎn)化出，帶入24，求出結(jié)果再除以4即可。
【詳解】

4÷4＝1
【點(diǎn)睛】本題考查了等量代換和含有字母的式子求值，關(guān)鍵是將所求的式子轉(zhuǎn)化出已知的算式。
變式3．（2023秋·河南洛陽(yáng)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）食物可以為人體提供熱量，東東早餐吃了8塊餅干，喝了1杯牛奶，共攝入480千卡熱量（千卡是熱量單位）。已知4塊餅干所含的熱量相當(dāng)于1杯牛奶所含的熱量，每塊餅干所含的熱量是多少千卡？一杯牛奶所含的熱量是多少千卡？
【答案】40千卡；160千卡
【分析】已知4塊餅干所含的熱量相當(dāng)于1杯牛奶所含的熱量，則8塊餅干所含的熱量相當(dāng)于2杯牛奶所含的熱量，可以用等量代換，將餅干代換成牛奶，則480除以（2＋1）就是一杯牛奶所含的熱量，一杯牛奶所含熱量除以4就是一塊餅干所含的熱量。
【詳解】由分析可得：
假設(shè)全是牛奶。
8÷4＝2（杯）
2＋1＝3（杯）
牛奶：480÷3＝160（千卡）
餅干：160÷4＝40（千卡）
答：每塊餅干所含的熱量是40千卡，一杯牛奶所含的熱量是160千卡。
【點(diǎn)睛】本題考查等量代換，解決此題關(guān)鍵是利用基本數(shù)量關(guān)系，找出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步解決問(wèn)題。

考點(diǎn)3、等式與方程的概念辨析
【解題技巧】
1）等式：表示相等關(guān)系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知數(shù)的等式。
3）方程一定是等式，等式不一定是方程。
注意：如何判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．
例1．（2023春·浙江·六年級(jí)專題練習(xí)）下列各式中，不屬于方程的是（????）。
A．21＝y(tǒng)＋5 B．8＋x＝12 C．13＋6－9＝10
【答案】C
【分析】含有未知數(shù)的等式就是方程。據(jù)此判斷即可。
【詳解】A．21＝y(tǒng)＋5含有未知數(shù)且是等式，所以是方程；
B．8＋x＝12含有未知數(shù)且是等式，所以是方程；
C．13＋6－9＝10是等式，但不含未知數(shù)，所以不是方程。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查方程，明確方程的定義是解題的關(guān)鍵。
例2．（2022春·河南洛陽(yáng)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）小學(xué)階段學(xué)的很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著密切聯(lián)系。下面不能正確表示他們之間關(guān)系的是（????）。
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行，梯形只有一組對(duì)邊平行，所以梯形不屬于平行四邊形；三角形按角分為銳角三角形、直角三角形及鈍角三角形；方程是含有未知數(shù)的等式，所以方程是等式；一個(gè)非0的自然數(shù)最大的因數(shù)和最小的倍數(shù)都是它本身。
【詳解】A．圖一表示錯(cuò)誤，梯形不是平行四邊形；
B．圖二表示的是三角形的按角分類，表示方法正確；
C．方程是等式，圖示表示正確；
D．a(chǎn)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)相等，圖四表示正確。
故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的分類、三角形的分類、方程的意義及因數(shù)倍數(shù)的意義。
變式1.（2022·河南·郟縣教育局教研室五年級(jí)期中）在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有( )，方程有( )。（填序號(hào)）
【答案】???? ②③⑤⑥???? ②⑤⑥
【分析】含有等號(hào)的式子叫等式；含有未知數(shù)的等式叫方程。據(jù)此解答。
【詳解】在①8b÷9；②35－x＝8；③6×8＝48；④5A＜2.5；⑤7y＝63；⑥8x＋7y＝18中，等式有②③⑤⑥，方程有②⑤⑥。
【點(diǎn)睛】本題考查等式和方程的辨認(rèn)。根據(jù)等式和方程的意義即可解答。
變式2．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考小升初真題）小學(xué)階段我們學(xué)習(xí)了很多知識(shí)，知識(shí)之間有著密切的聯(lián)系。下圖中：

如果A表示長(zhǎng)方形，那么B可以表示正方形；
如果A表示等腰三角形，那么B表示( )；
如果B表示方程，那么A可以表示( )。
【答案】 等邊三角形 等式
【分析】長(zhǎng)方形和正方形的關(guān)系是長(zhǎng)方形包括正方形，正方形是特殊的長(zhǎng)方形；等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包含等邊三角形；方程是含有未知數(shù)的等式，等式是含有等號(hào)的式子。據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析得，如果A表示等腰三角形，那么B表示等邊三角形；如果B表示方程，那么A可以表示等式。
【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方形與正方形、等邊三角形與等腰三角形、方程與等式之間的關(guān)系，應(yīng)熟練理解并掌握它們的意義與聯(lián)系。

考點(diǎn)4、等式的性質(zhì)及其運(yùn)用
【解題技巧】等式的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
（2）性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍然是等式。
例1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如果，根據(jù)等式的性質(zhì)填空。
( )????????????????( )
( )????????????( )
【答案】 5 m 0.5
【分析】等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果還是等式；
（2）等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0點(diǎn)數(shù)，所得結(jié)果還是等式。
【詳解】5????????????????m ????????????0.5
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)。
例2．（2023春·北京·六年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）根據(jù)下圖天平平衡的狀態(tài)，求出一杯水的質(zhì)量。

【答案】1.5kg
【分析】1杯水為單位“1”，由圖可知1杯水的重量＝杯水的重量＋kg，我們可以根據(jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)減去杯水的重量，即（1－）杯水的重量＝kg。據(jù)此一杯水的重量＝kg÷（1－）杯水。
【詳解】÷（1－）＝÷＝×＝1.5（kg）
答：這杯水的質(zhì)量為1.5kg。
【點(diǎn)睛】此題需掌握等式的基本性質(zhì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
變式1．（2023春·江蘇南通·六年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)知識(shí)之間都有著有密切的聯(lián)系，下面（????）與眾不同。
A．等式的性質(zhì) B．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) C．比的基本性質(zhì) D．商不變的規(guī)律
【答案】A
【分析】分?jǐn)?shù)的分子可以看作比的前項(xiàng)，也可以看作除法算式的被除數(shù)；分?jǐn)?shù)的分母可以看作比的后項(xiàng)，也可以看作除法算式的除數(shù)，所以分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律實(shí)質(zhì)是一樣的。等式的性質(zhì)指等式的兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立，據(jù)此解題。
【詳解】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律實(shí)質(zhì)是一樣的，等式的性質(zhì)與它們不同。
故答案為：A
【點(diǎn)睛】熟練掌握等式的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、商不變的規(guī)律，是解答此題的關(guān)鍵。
變式2．（2023春·天津紅橋·六年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（????）。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)：1．在等式兩邊同時(shí)加或減去一個(gè)相同的數(shù)，等式仍然成立。
2．在等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外），等式仍然成立。據(jù)此判斷即可。
【詳解】A．因?yàn)椋鶕?jù)等式的性質(zhì)1，在等式兩邊同時(shí)加上3，等式仍然成立，所以，原題干說(shuō)法正確；
B．因?yàn)?，根?jù)等式的性質(zhì)2，在等式兩邊同時(shí)乘5，所以5a＝5b，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，在等式的兩邊同時(shí)加上4，則5a＋4＝5b＋4，原題干說(shuō)法錯(cuò)誤；
C．因?yàn)?，根?jù)等式的性質(zhì)2，在等式兩邊同時(shí)乘，所以a＝b，原題干說(shuō)法正確；
D．因?yàn)椋鶕?jù)等式的性質(zhì)2，在等式兩邊同時(shí)乘，所以a＝b，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，在等式的兩邊同時(shí)減去5，則a－5＝b－5，原題干說(shuō)法正確。故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
變式3．（2022秋·重慶梁平·六年級(jí)統(tǒng)考期末）把蘋果、梨、桃三種水果，放在天平上稱（每個(gè)蘋果同樣重，每個(gè)梨同樣重，每個(gè)桃子同樣重），情況如下：

那么，1個(gè)蘋果、1個(gè)梨、1個(gè)桃的重量比較，由重到輕依次為（????）。
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由左圖可知，2個(gè)蘋果的重量＞1個(gè)蘋果的重量＋1個(gè)梨的重量，兩邊同時(shí)拿掉1個(gè)蘋果，則得出：1個(gè)蘋果的重量＞1個(gè)梨的重量；
由右圖可知，3個(gè)桃的重量＝1個(gè)梨的重量＋1個(gè)桃的重量，兩邊同時(shí)拿掉1個(gè)桃，則得出：2個(gè)桃的重量＝1個(gè)梨的重量；由此可推導(dǎo)出1個(gè)蘋果、1個(gè)梨、1個(gè)桃的輕重。
【詳解】由左圖可知，1個(gè)蘋果的重量＞1個(gè)梨的重量；
由右圖可知，2個(gè)桃的重量＝1個(gè)梨的重量，即1個(gè)梨的重量＞1個(gè)桃的重量；
那么，1個(gè)蘋果、1個(gè)梨、1個(gè)桃的重量比較，由重到輕依次為：
1個(gè)蘋果的重量＞1個(gè)梨的重量＞1個(gè)桃的重量。故答案為：A
【點(diǎn)睛】理解用天平稱物體重量比較輕重的方法，天平平衡時(shí)表示左右兩邊物體的重量相等；天平不平衡時(shí)，下沉的一邊物體比較重。

考點(diǎn)5、方程的解及其運(yùn)用
【解題技巧】1)方程的解：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值；2）解方程：求方程的解的過(guò)程；3）會(huì)利用方程的解，求字母的數(shù)值。
例1．（2022春·廣東梅州·六年級(jí)統(tǒng)考期末）是下面方程（????）的解。
A． B． C．
【答案】A
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，分別計(jì)算3個(gè)選項(xiàng)里方程的解，即可選擇出正確的答案。
【詳解】A．2x＋9＝15
解：2x＋9－9＝15－9
2x＝6
2x÷2＝6÷2
x＝3
B．3x＝4.5
解：3x÷3＝4.5÷3
x＝1.5
C．3x÷2＝18
解：3x÷2×2＝18×2
3x＝36
3x÷3＝36÷3
x＝12
所以，解是x＝3的方程是：2x＋9＝15。
故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的解，關(guān)鍵是利用等式的性質(zhì)解方程。
例2．（2023春·江蘇·六年級(jí)小升初模擬）已知方程的解是，則k的值是（????）。
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】把代入到方程中，然后根據(jù)等式的性質(zhì)解方程即可。
【詳解】當(dāng)時(shí)

解：

故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題考查解方程，熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
變式1．（2022秋·貴州六盤水·六年級(jí)統(tǒng)考期中）方程1.2＋x＝3的解是（????）。
A．x＝2.8 B．x＝2.2 C．x＝1.8 D．x＝4.8
【答案】C
【分析】使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊直接減去1.2，求出方程的解即可。
【詳解】1.2＋x＝3
解：1.2＋x－1.2＝3－1.2
x＝1.8
方程1.2＋x＝3的解是x＝1.8；故答案為：C
【點(diǎn)睛】求方程中未知數(shù)的值的過(guò)程，即求方程的解的過(guò)程叫做解方程。解方程的主要依據(jù)：等式的性質(zhì)。
變式2．（2022·四川樂(lè)山·五年級(jí)期末）是下列（???????）方程的解。
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x＝6代入方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可。
【詳解】A．把x＝6代入方程，左邊＝6，右邊＝0，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．把x＝6代入方程，左邊＝9，右邊＝9，左邊＝右邊，故選項(xiàng)正確；
C．把x＝6代入方程，左邊＝1.2，右邊＝3，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．把x＝6代入方程，左邊＝0.6，右邊＝1.5，左邊≠右邊，故選項(xiàng)錯(cuò)誤。故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程解的定義，解答此題應(yīng)注意采取代入法。
變式3．（2022·江蘇徐州·五年級(jí)期中）若x＝2是方程3x＋4a＝22的解，則a的值為（???????）。
A．4 B．7 C．10
【答案】A
【分析】將方程的解帶入方程3x＋4a＝22，求出含a的式子，進(jìn)而得出a的值。
【詳解】將x＝2帶入方程3x＋4a＝22得：6＋4a＝22
所以a＝（22－6）÷4＝16÷4＝4故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生依據(jù)等式的性質(zhì)解方程的能力。

考點(diǎn)6、解方程
【解題技巧】1）解方程的依據(jù)：可以根據(jù)等式的性質(zhì)和四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系解方程。
2）檢驗(yàn)方程的解是否正確，步驟如下：①把求出的未知數(shù)的值代入原方程中；②計(jì)算，看等式是否成立；③等式成立，說(shuō)明這個(gè)未知數(shù)的值是方程的解，等式不成立，說(shuō)明解方程錯(cuò)誤，需要重新求解。
例1．（2022·云南昆明·統(tǒng)考小升初真題）解方程。
????????????????????????????
【答案】；；
【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以0.25；
根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)減去，兩邊再同時(shí)除以2；
根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊先同時(shí)除以3，再同時(shí)減去2.1，據(jù)此解答。
【詳解】
解：
????????


解：????????
????????



解：????????
????????


例2．（2023春·綿陽(yáng)市·六年級(jí)小升初模擬）解方程或比例。
????
【答案】；
【分析】，依據(jù)比例的基本性質(zhì)，先寫成的形式，根據(jù)等式的性質(zhì)1和2，兩邊同時(shí)×，再同時(shí)＋1即可。
，等式左邊的部分，依據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將小數(shù)化成整數(shù)，然后根據(jù)等式的形式1和2，兩邊同時(shí)×6，去分母，再將能合并的合并起來(lái)，解方程即可；
【詳解】
解：






解：








變式1．（2022·重慶·?？夹∩跽骖}）解方程。
?????????????
【答案】；
【分析】，先用乘法分配律去掉括號(hào)，然后根據(jù)等式的性質(zhì)1和2，在方程左右兩邊同時(shí)減去54，再將方程左邊合并為，最后在方程左右兩邊同時(shí)除以即可；
，先在方程左右兩邊同時(shí)乘15，方程左邊化為，然后根據(jù)乘法分配律去掉括號(hào)，方程變?yōu)?，最后根?jù)等式的性質(zhì)1和2，在方程左右兩邊同時(shí)加上85，再同時(shí)除以8即可。
【詳解】
解：







解：






變式2．（2022春·河南許昌·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程或解比例。
????????????????
【答案】x＝；x＝25；x＝1.5
【分析】（1）先化簡(jiǎn)方程，再根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以求解；
（2）根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以4.2，兩邊再同時(shí)減去5求解；
（3）根據(jù)比例的基本性質(zhì)，原式化成x＝0.27×，再根據(jù)等式的性質(zhì)，方程兩邊同時(shí)除以求解。
【詳解】（1）
解：


（2）
解：



（3）
解：


變式2．（2022·湖南長(zhǎng)沙·?？夹∩跽骖}）解方程。
????????????
【答案】；
【分析】，先把括號(hào)去掉，然后將左邊合并為，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，將方程左右兩邊同時(shí)加上9y，再同時(shí)加上7，最后根據(jù)等式的性質(zhì)2，將方程左右兩邊同時(shí)除以23即可；
，根據(jù)等式的性質(zhì)2，將方程左右兩邊同時(shí)乘6，然后根據(jù)乘法分配律，將方程變?yōu)?，再通過(guò)計(jì)算去掉分?jǐn)?shù)，即，然后去掉括號(hào)，將左邊合并為，接著根據(jù)等式的性質(zhì)1和2，將方程左右兩邊同時(shí)加上8，再同時(shí)減去3，最后再同時(shí)除以5。
【詳解】
解：








解：










變式4．（2023春·成都市·六年級(jí)小升初模擬）解方程。
?????7x－5×（x＋）＝x＋27????
【答案】x＝68；x＝28；x＝
【分析】x÷4＋3＝x÷3－，根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，把x÷4寫出；x÷3寫出，原式化為：＋3＝－，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去，再加上，原式化為：－＝3＋，化簡(jiǎn)含有x的算式，即求出－的差，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以－的差即可；
7x－5×（x＋）＝x＋27，化簡(jiǎn)，去掉括號(hào)，原式化為：7x－5x－1＝x＋27，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去x，再加上1，原式化為：7x－5x－x＝27＋1，再進(jìn)行計(jì)算；
＝（5x＋5）÷6，把（5x＋5）÷6化為，＝，解比例，原式化為：6×（4x－1）＝3×（5x＋5），化簡(jiǎn)，原式化為：24x－6＝15x＋15，再根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去15x，再加上6，原式化為：24x－15x＝15＋6，化簡(jiǎn)方程左邊含有x的算式，即求出24－15的差，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以24－15的差，即可。
【詳解】x÷4＋3＝x÷3－
解：＋3＝－
－＋3＋＝－－＋
－＝
x－x＝
x＝
x÷＝÷
x＝×12
x＝68
7x－5×（x＋）＝x＋27
解：7x－5x－1＝x＋27
2x－1＝x＋27
2x－x－1＋1＝x－x＋27＋1
x＝28
＝（5x＋5）÷6
解：＝
6×（4x－1）＝3×（5x＋5）
24x－6＝15x＋15
24x－15x－6＋6＝15x－15x＋15＋6
9x＝21
x＝21÷9
x＝

考點(diǎn)7、找等量關(guān)系與列方程
【解題技巧】與用字母表示式子的思路相同，尋找題干中的等量關(guān)系，利用未知數(shù)表示出來(lái)。
例1.（2022·浙江嘉興·五年級(jí)期末）王阿姨買了2.4千克蘋果和3.8千克梨，總共付了92.6元。已知梨每千克13元，蘋果每千克多少元？下列數(shù)量關(guān)系中錯(cuò)誤的是（???????）。
A．蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量十梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝總價(jià)
B．（蘋果的單價(jià)＋梨的單價(jià)）×（蘋果的數(shù)量＋梨的數(shù)量）＝總價(jià)
C．總價(jià)－蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量＝梨的單價(jià)×梨的數(shù)量
D．總價(jià)－梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量
【答案】B
【分析】單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，基本數(shù)量關(guān)系：蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量十梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝總價(jià)，在此基礎(chǔ)根據(jù)乘法分配律和加法各部分之間的關(guān)系還能轉(zhuǎn)化出另外的數(shù)量關(guān)系，據(jù)此分析。
【詳解】A． 蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量十梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝總價(jià)，數(shù)量關(guān)系正確；
B． （蘋果的單價(jià)＋梨的單價(jià)）×（蘋果的數(shù)量＋梨的數(shù)量）＝總價(jià)，數(shù)量關(guān)系錯(cuò)誤；
C． 總價(jià)－蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量＝梨的單價(jià)×梨的數(shù)量，數(shù)量關(guān)系正確；
D． 總價(jià)－梨的單價(jià)×梨的數(shù)量＝蘋果的單價(jià)×蘋果的數(shù)量，數(shù)量關(guān)系正確。故答案為：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)之間的關(guān)系。
例2.（2022·遼寧·五年級(jí)期末）媽媽在商場(chǎng)買了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，洗面奶和面膜的價(jià)錢分別是多少元？
方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是( )的價(jià)錢( )的價(jià)錢×。
解：設(shè)面膜的價(jià)錢是元
方法2：也可以想面膜的價(jià)錢是洗面奶的( )倍。解：設(shè)洗面奶的價(jià)錢是元。
【答案】???? 洗面奶???? 面膜???? 2
【分析】根據(jù)題意，方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是洗面奶的價(jià)錢＝面膜的價(jià)錢×，設(shè)面膜的價(jià)錢數(shù)x元，則洗面奶的價(jià)錢是x元，列方程：x＋＝240，據(jù)此解答；
方法2：洗面奶的價(jià)錢數(shù)面膜的一半，也就是面膜的價(jià)錢是洗面奶的2倍，設(shè)洗面奶的價(jià)錢是x元，則面膜的價(jià)錢是2x元，列方程：x＋2x＝240，據(jù)此解答。
【詳解】方法1：洗面奶的價(jià)錢是面膜的一半，也就是洗面奶的價(jià)錢面膜的價(jià)錢。
方法2：也可以想面膜的價(jià)錢是洗面奶的2倍。
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是明確洗面奶和面膜的關(guān)系，進(jìn)而進(jìn)行解答。
變式1．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）按要求寫出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）
興趣小組共有36人，其中女生人數(shù)是男生3倍。
等量關(guān)系式：______________________________＝總共人數(shù)。
如果設(shè)男生x人，列方程是( )。
【答案】???? 男生人數(shù)＋女生人數(shù)???? x＋3x＝36
【分析】由題意可知，設(shè)男生有x人，則女生人數(shù)有3x人，興趣小組共有36人，據(jù)此列方程，解方程即可。
【詳解】男生人數(shù)＋女生人數(shù)＝總共人數(shù)
解：設(shè)男生有x人，則女生人數(shù)有3x人。
x＋3x＝36
4x＝36
x＝9
9×3＝27（人）
所以男人有9人，女生有27人。
【點(diǎn)睛】本題考查用方程解決問(wèn)題，明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
變式2．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）按要求寫出等量關(guān)系，并列方程。（不用解答）
一堆煤26噸，每天用0.5噸，用去若干天后，還剩下12噸。
等量關(guān)系式：______________________________＝這堆煤的噸數(shù)。
如果設(shè)用去x天，列方程是( )。
【答案】???? 每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)＋剩下的噸數(shù)???? 0.5x＋12＝26
【分析】由題意可知，把用去的天數(shù)設(shè)為未知數(shù)，等量關(guān)系式：這堆煤的總噸數(shù)－每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)＝剩下的噸數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】等量關(guān)系式：每天用去的噸數(shù)×用去的天數(shù)＋剩下的噸數(shù)＝這堆煤的噸數(shù)。
解：設(shè)用去x天。
0.5x＋12＝26
0.5x＝26－12
0.5x＝14
x＝14÷0.5
x＝28
所以，用去28天。
【點(diǎn)睛】分析題意找出題中的等量關(guān)系式是解答題目的關(guān)鍵。
變式3．（2022·河南周口·五年級(jí)期中）碩望小學(xué)為拓寬學(xué)生視野，新運(yùn)來(lái)1580本圖書，由A、B兩名圖書管理員整理。A管理員整理了3天，每天整理312本，剩下的B管理員整理了2天正好整理完，B管理員平均每天整理多少本？題中的等量關(guān)系式為( )，解：設(shè)B管理員平均每天整理x本，可列方程為( )。
【答案】???? B管理員每天整理的圖書量×2＋A管理員每天整理的圖書量×3＝1580???? 2x＋312×3＝1580
【分析】此題中B管理員整理剩下的圖書，依據(jù)等量關(guān)系式：每天整理的數(shù)量×天數(shù)＝總共整理的圖書量即可解答。
【詳解】可以列式為：B管理員每天整理的圖書量×2＋A管理員每天整理的圖書量×3＝1580
解：設(shè)B管理員平均每天整理x本。
2x＋312×3＝1580
2x＋936＝1580
2x＝1580－936
2x＝644
x＝644÷2
x＝322
【點(diǎn)睛】此題主要考查用列方程的方法解決實(shí)際問(wèn)題的方法。



A級(jí)（基礎(chǔ)過(guò)關(guān)）
1．（2022·重慶璧山·統(tǒng)考小升初真題）下列式子（????）是方程。
A．a(chǎn)÷0.3＜2.8 B．n＋7 C．8x＋12＝112 D．91.2÷0.57＝160
【答案】C
【分析】含有未知數(shù)的等式叫做方程，由方程的意義可知，方程必須同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）是等式；（2）含有未知數(shù)；兩個(gè)條件缺一不可，據(jù)此判斷。
【詳解】A．a(chǎn)÷0.3＜2.8，含有未知數(shù)a，但a÷0.3＜2.8不是等式，所以a÷0.3＜2.8不是方程；
B．n＋7，含有未知數(shù)n，但n＋7不是等式，所以n＋7不是方程；
C．8x＋12＝112，含有未知數(shù)x，8x＋12＝112也是等式，所以8x＋12＝112是方程；
D．91.2÷0.57＝160是等式，但91.2÷0.57＝160不含未知數(shù)，所以91.2÷0.57＝160不是方程。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】此題主要考查根據(jù)方程的意義來(lái)辨識(shí)方程，明確只有含有未知數(shù)的等式才是方程。
2．（2023·北京·小升初模擬）x＝4是下列方程（???????）的解。
A．5x－2x＝120 B．2x＋4x＝24 C．2.5x＋1.5x＝10
【答案】B
【分析】把x＝4代入所給的每個(gè)方程，看看等式左邊是否等于右邊即可。
【詳解】x＝4時(shí)，左邊＝5×4－2×4＝12，右邊＝120，左邊≠右邊，所以x＝4不是方程5x－2x＝120的解；x＝4時(shí)，左邊＝2×4＋6×4＝24，右邊＝24，左邊＝右邊，所以x＝4是方程2x＋4x＝24的解；
x＝4時(shí)，左邊＝2.5×4＋1.5×4＝16，右邊＝10，左邊≠右邊，所以x＝4不是方程2.5x＋1.5x＝10的解。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查檢驗(yàn)方程解的方法，將求出的未知數(shù)值代入原方程，分別計(jì)算等號(hào)左右兩邊的結(jié)果，如果兩邊相等，則為原方程的解；如不相等，則不是原方程的解。
3．（2022·福建寧德·五年級(jí)期中）小麗有a張郵票，小冬有b張郵票，如果小冬送給小麗10張，那么兩人郵票就樣多。下面（???????）符合題意。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意可知，如果小冬送給小麗10張，則小麗現(xiàn)在有a＋10張，小冬有b－10張，現(xiàn)在兩人郵票一樣多，據(jù)此解答即可。
【詳解】由分析可知：兩人現(xiàn)在的郵票一樣多用式子表示為：。故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查用字母表示數(shù)，明確數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。
4．（2022·重慶·五年級(jí)期末）根據(jù)等式4a＝5b（a、b均不為0），下列等式不成立的是（???????）。
A．4a×4＝5b×4 B．4a＋8a＝5b＋8a C．4a×4＝5b×5 D．4a÷2＝5b÷2
【答案】C
【分析】依據(jù)等式的性質(zhì)即方程兩邊同時(shí)加或減相同的數(shù)，同時(shí)乘或除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，左右兩邊仍然相等；從而解答問(wèn)題。
【詳解】A .等式兩邊同時(shí)乘4，等式成立。B . 等式兩邊同時(shí)加8a,等式成立。
C . 等式左邊乘4，右邊乘5，等式不能成立。D . 等式兩邊同時(shí)除以2，等式成立。故答案為：C
【點(diǎn)睛】解答此題的主要依據(jù)是：等式的性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
5．（2022·湖南常德·六年級(jí)期末）甲數(shù)的和乙數(shù)的相等，甲數(shù)和乙數(shù)相比（???????）。
A．甲大 B．乙大 C．一樣大 D．無(wú)法比較
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知，甲數(shù)乙數(shù)，利用等式的性質(zhì)求出甲乙兩數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再判斷即可。
【詳解】甲數(shù)乙數(shù) 甲數(shù)乙數(shù)所以甲數(shù)大于乙數(shù)。故答案為：A。
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)乘除法、等式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)。
6．（2023春·江蘇南通·六年級(jí)專題練習(xí)）小明每天做50道口算題，小方每天比小明多做n道，小方一周（7天）比小明多做（????）道。
A．350 B．7n＋50 C．7n＋350 D．7n
【答案】D
【分析】小方每天比小明多做n道，那么7天比小明多做7n道。
【詳解】n×7＝7n（道）小方一周（7天）比小明多做7n道。故答案為：D
【點(diǎn)睛】此題考查了用字母表示數(shù)的方法，關(guān)鍵是弄清題中字母所表示的意義，再進(jìn)一步解答。
7．（2022秋·江蘇徐州·六年級(jí)校考期中）至少用( )個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體可以拼成一個(gè)大正方體，拼成正方體的棱長(zhǎng)和是( )厘米；如果用若干個(gè)棱長(zhǎng)2厘米的小正方體拼成一個(gè)大正方體，用表示每條棱上小正方體的個(gè)數(shù)，那么拼成大正方體的體積是( )立方厘米。
【答案】 8 48
【分析】根據(jù)正方體棱長(zhǎng)相等的性質(zhì)，則至少8個(gè)小正方體才能拼成較大的正方體；拼成的正方體棱長(zhǎng)是2×2＝4厘米，根據(jù)棱長(zhǎng)和公式即可求解；每條棱是2厘米，根據(jù)正方體體積公式即可求解。
【詳解】2×2×2＝8（個(gè)）
2×2×12
＝4×12
＝48（厘米）
＝
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的棱長(zhǎng)和公式和體積公式的靈活運(yùn)用。
8．（2023春·江蘇南通·六年級(jí)專題練習(xí)）萬(wàn)達(dá)廣場(chǎng)開業(yè)，一家玩具店用800元進(jìn)了小熊和小豬兩種毛絨玩具，小熊玩具進(jìn)了130個(gè)，每個(gè)a元，小豬玩具共用去m元。要知道進(jìn)小熊玩具用去多少元，可以用含有字母的式子表示是( )，還可以用不同的字母式表示是( )。
【答案】 130a 800－m
【分析】用每個(gè)小熊玩具得價(jià)錢乘進(jìn)的個(gè)數(shù)，即可得進(jìn)小熊玩具用去多少元；用進(jìn)小熊和小豬兩種毛絨玩具的總錢數(shù)減進(jìn)小豬玩具用的錢數(shù)，也可得進(jìn)小熊玩具用去多少元。
【詳解】要知道進(jìn)小熊玩具用去多少元，可以用含有字母的式子表示是130a，還可以用不同的字母式表示是800－m。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了含字母式子求值，比較簡(jiǎn)單。
9．（2023春·河南許昌·六年級(jí)?？计谥校w育老師買了1個(gè)足球和4個(gè)排球，正好用去245元，已知排球的單價(jià)是足球的，一個(gè)足球( )元。
【答案】105
【分析】根據(jù)排球的單價(jià)是足球的可知，1個(gè)足球的單價(jià)＝3個(gè)排球的單價(jià)，可得：（3＋4）個(gè)排球是245元，假設(shè)排球的單價(jià)是x元，x×（3＋4）＝245，先求出排球，然后再用排球的單價(jià)乘3求出足球的單價(jià)。
【詳解】解：假設(shè)排球的單價(jià)是x元，可得：
x×（3＋4）＝245
7x＝245
7x÷7＝245÷7
x＝35
35×3＝105（元）
所以，一個(gè)足球105元。
【點(diǎn)睛】正確理解理解1個(gè)籃球的單價(jià)＝3個(gè)排球的單價(jià)，是解答此題的關(guān)鍵。
10．（2023春·江蘇淮安·六年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在密切的聯(lián)系。如圖，如果A表示等腰三角形，那么B可以表示等邊三角形。如果A表示等式，那么B可以表示( )；如果B表示正方體，那么A可以表示( )。

【答案】 方程 長(zhǎng)方體
【分析】等邊三角形是特殊的等腰三角形，正方體是特殊的長(zhǎng)方體，方程是含有未知數(shù)的等式，據(jù)此解答。
【詳解】如圖，如果A表示等式，那么B可以表示方程；如果B表示正方體，那么A可以表示長(zhǎng)方體。

【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解長(zhǎng)方體與正方體、等腰三角形與等邊三角形、方程與等式之間的關(guān)系。
11．（2022·廣東·六年級(jí)期中）一個(gè)足球比一個(gè)籃球貴42元，一個(gè)足球的價(jià)格是籃球的1.6倍。足球和籃球各多少錢？（列方程解答）
等量關(guān)系式：（???????）
【答案】112元；70元；
籃球的價(jià)錢＋42元＝籃球的價(jià)錢×1.6
【分析】設(shè)一個(gè)籃球x元錢，根據(jù)等量關(guān)系：籃球的價(jià)錢＋42元＝籃球的價(jià)錢×1.6，依此列方程并解答即可。
【詳解】等量關(guān)系式：籃球的價(jià)錢＋42元＝籃球的價(jià)錢×1.6
解：設(shè)一個(gè)籃球x元
x＋42＝1.6x
x＋42－x＝1.6x－x
0.6x＝42
0.6x÷0.6＝42÷0.6
x＝70
70＋42＝112（元）
答：一個(gè)足球112元，一個(gè)籃球70元錢。
【點(diǎn)睛】此題考查的是列方程解答問(wèn)題，應(yīng)先根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，然后再解答。
12．（2023春·廣東廣州·六年級(jí)專題練習(xí)）看圖列方程并解答。

【答案】x＝160
【分析】從線段圖中可知，橘子有200千克，比蘋果多，求蘋果有多少千克？
把蘋果的質(zhì)量看作單位“1”，則橘子的質(zhì)量是蘋果的（1＋），可得出等量關(guān)系式：蘋果的質(zhì)量×（1＋）＝橘子的質(zhì)量，據(jù)此列出方程并求解。
【詳解】（1＋）＝200
解：＝200
÷＝200÷
＝200×
＝160
蘋果有160千克。
13．（2023春·江蘇宿遷·六年級(jí)專題練習(xí)）解比例或方程。
（1）x－40%x＝????（2）x＋＝0.6????（3）∶＝2.4∶x
【答案】（1）x＝；（2）x＝；（3）x＝2.8
【分析】（1）左邊化簡(jiǎn)為x，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：兩邊同時(shí)除以，方程得解。
（2）根據(jù)等式的基本性質(zhì)：兩邊同時(shí)減去，兩邊再同時(shí)除以，方程得解。
（3）根據(jù)比例的基本性質(zhì)可得方程x＝×2.4，根據(jù)等式的基本性質(zhì)：兩邊同時(shí)除以，方程得解。
【詳解】（1）x－40%x＝
解：x＝
x÷＝÷
x＝
（2）x＋＝0.6
解：x＋－＝0.6－
x÷＝÷
x＝
（3）∶＝2.4∶x
解：x＝×2.4
x÷＝1.6÷
x＝2.8
14．（2022春·河北石家莊·六年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程。
4.4x＋0.4＝5.2x?????????x÷＝15×??????????40%x－＝
【答案】x＝0.5；x＝；x＝
【分析】4.4x＋0.4＝5.2x，根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)減去4.4x，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以5.2－4.4的差即可；
x÷＝15×，先計(jì)算出15×的積，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)乘即可；
40%x－＝，根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程兩邊同時(shí)加上，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程兩邊同時(shí)除以40%即可
【詳解】4.4x＋0.4＝5.2x
解：4.4x＋0.4－4.4x＝5.2x－4.4x
0.8x＝0.4
0.8x÷0.8＝0.4÷0.8
x＝0.5
x÷＝15×
解：x÷＝10
x÷×＝10×
x＝
40%x－＝
解：40%x－＋＝＋
40%x＝＋
40%x＝
40%x÷40%＝÷40%
x＝



















B級(jí)（能力提升）
1．（2022·四川樂(lè)山·六年級(jí)期末）如圖，擺第一個(gè)圖形需要4根火柴，擺第二個(gè)圖形需要7根火柴那么擺第八個(gè)圖形需( )根火柴，擺個(gè)圖形需要( )根火柴。

【答案】???? 25????
【分析】擺第一個(gè)圖形需要4根火柴，
擺第二個(gè)圖形需要7根火柴，
擺第三個(gè)圖形需要10根火柴，
擺個(gè)圖形需要的火柴數(shù)：。
從圖形上找規(guī)律，第一個(gè)圖形的最左側(cè)的1根火柴是固定，在右邊增加3根火柴圍成一個(gè)小正方形，第二個(gè)圖形在第一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上再依次在右邊增加3根火柴圍成一個(gè)小正方形，依次類推。
【詳解】由分析可知，擺個(gè)圖形需要的火柴數(shù)：。
當(dāng)時(shí)，（根）
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每多1個(gè)圖形就多3根火柴棒是解本題的關(guān)鍵。
2．（2022·江蘇·六年級(jí)期中）A×B是兩個(gè)小數(shù)相乘。小明將小數(shù)A個(gè)位的6錯(cuò)看成了9，小紅將小數(shù)A十分位的7錯(cuò)看成了2，他倆計(jì)算的結(jié)果相差了27.3。那么小數(shù)B等于( )。
【答案】7.8
【分析】因?yàn)锳個(gè)位的6錯(cuò)寫成了9，那么A這個(gè)數(shù)比原來(lái)增加了9－6＝3，那么A×B的結(jié)果變?yōu)椋ˋ＋3）×B，小紅將小數(shù)A十分位的7錯(cuò)看成了2，相當(dāng)于小紅寫的結(jié)果比原來(lái)的A少了（7－2）×0.1＝0.5，那么A×B的結(jié)果變?yōu)椋ˋ－0.5）×B，用（A＋3）×B－（A－0.5）×B＝27.3求出B即可。
【詳解】小明：9－6＝3，原式：（A＋3）×B＝A×B＋3×B
小紅：（7－2）×0.1＝5×0.1＝0.5
原式：（A－0.5）×B＝A×B－0.5×B
則A×B＋3×B－（A×B－0.5×B）＝A×B＋3B－A×B＋0.5B＝3.5B
27.3÷3.5＝7.8 則B＝7.8
【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法分配律的靈活應(yīng)用和用字母表示數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，用字母表示數(shù)要注意數(shù)字和字母之間的乘號(hào)可以省略，數(shù)字在前，字母在后。
3．（2022·山西·六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果方程ax＋8＝42的解是x＝4，那么a＋1的值是（???????）。
A．5 B．34 C．9.5
【答案】C
【分析】先把方程的解代入方程求出a的值，再把a(bǔ)的值代入含有字母的式子計(jì)算出結(jié)果，據(jù)此解答。
【詳解】當(dāng)x＝4時(shí)，4a＋8＝42
解：4a＝42－8
4a＝34
a＝34÷4
a＝8.5
當(dāng)a＝8.5時(shí)，a＋1＝8.5＋1＝9.5。故答案為：C
【點(diǎn)睛】使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，利用方程的解求出a的值是解答題目的關(guān)鍵。
4．（2022·湖南長(zhǎng)沙·?？夹∩跽骖}）如果△＋△＋△＋△＋□＝270，□＋△＋△＋△＋□＝290，那么，□＋△＝( )。
【答案】120
【分析】首先利用第二個(gè)式子減去第一個(gè)式子得出口和△的關(guān)系，用其中一個(gè)表示另一個(gè)，再代入任何一個(gè)式子求出一個(gè)，進(jìn)一步求出另一個(gè)解決問(wèn)題。
【詳解】△＋△＋△＋△＋□＝270①
□＋△＋△＋△＋□＝290②
②－①得：
□－△＝290－270＝20
□＝20＋△，③
把③代入①得：
△＋△＋△＋△＋△＋20＝270
△＝50
所以□＝20＋△＝70
所以□＋△＝120
【點(diǎn)睛】注意利用代換的方式把其中一個(gè)數(shù)用另一個(gè)數(shù)表示，兩個(gè)未知數(shù)就成了一個(gè)未知數(shù)，進(jìn)一步解決問(wèn)題即可。
5．（2022秋·江蘇·六年級(jí)專題練習(xí)）張老師搬新家，需要購(gòu)買一套餐桌椅，一張桌子配6把椅子共花了1320元，如果一張桌子600元，那么一把椅子多少元？設(shè)一把椅子x元，根據(jù)題意可以列方程為( )，一把椅子( )元。
【答案】 6x＋600＝1320 120
【分析】已知一張桌子600元，假設(shè)一把椅子x元，根據(jù)等量關(guān)系：一把椅子的價(jià)錢×6＋一張桌子的價(jià)錢＝1320元，代入列方程解答即可。
【詳解】解：設(shè)一把椅子x元。
6x＋600＝1320
6x＋600－600＝1320－600
6x＝720
6x÷6＝720÷6
x＝120
即一把椅子120元。
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列方程解應(yīng)用題，關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程求解。
6．（2023·浙江臺(tái)州·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一張桌子可以坐4人，兩張桌子拼起來(lái)可以坐6人，三張桌子拼起來(lái)可以坐8人……，像這樣五張桌子拼起來(lái)可以坐( )人，坐32人需要( )張桌子拼起來(lái)。

【答案】 12 15
【分析】第1張桌子，坐4人，4＝2×1＋2；
第2張桌子，坐6人，6＝2×2＋2；
第3張桌子，坐8人，8＝2×3＋2；
……
第n張桌子，坐（2n＋2）人；
按此規(guī)律解答。
【詳解】規(guī)律：第n張桌子，坐（2n＋2）人；
n＝5時(shí)
2×5＋2
＝10＋2
＝12（人）
坐32人需要：
（32－2）÷2
＝30÷2
＝15（張）
像這樣五張桌子拼起來(lái)可以坐12人，坐32人需要15張桌子拼起來(lái)。
【點(diǎn)睛】通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。
7．（2023春·福建廈門·六年級(jí)校考期中）我國(guó)《購(gòu)置稅法》規(guī)定：汽車購(gòu)置稅稅率為10%。一輛汽車裸車價(jià)a元，買這輛汽車要付( )元的購(gòu)置稅。張叔叔付14.3萬(wàn)元買了一輛這樣的車，這輛車的裸車價(jià)是( )萬(wàn)元。
【答案】 0.1a 13
【分析】購(gòu)置稅占裸車價(jià)的10%，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，用乘法計(jì)算，買這輛汽車要付0.1a元的購(gòu)置稅。買一輛這樣的車付了14.3萬(wàn)元，是裸車價(jià)的（1＋10%），求裸車價(jià)，用除法計(jì)算。
【詳解】10%a＝0.1a（元）
14.3÷（1＋10%）
＝14.3÷1.1
＝13（萬(wàn)元）
則我國(guó)《購(gòu)置稅法》規(guī)定：汽車購(gòu)置稅稅率為10%。一輛汽車裸車價(jià)a元，買這輛汽車要付0.1a元的購(gòu)置稅。張叔叔付14.3萬(wàn)元買了一輛這樣的車，這輛車的裸車價(jià)是13萬(wàn)元。
【點(diǎn)睛】本題考查已知比一個(gè)數(shù)多百分之幾的數(shù)是多少，求這個(gè)數(shù)，明確用除法是解題的關(guān)鍵。
8．（2022秋·江蘇常州·六年級(jí)校考期末）一只玻璃瓶最多能容納34個(gè)紅球和28個(gè)白球，或者18個(gè)紅球和36個(gè)白球，那么這只玻璃瓶最多能容納( )白球。
【答案】45個(gè)
【分析】用34個(gè)紅球減去18個(gè)紅球，36個(gè)白球減去28個(gè)白球，分別得出16個(gè)紅球和8個(gè)白球，也就是8個(gè)白球＝16個(gè)紅球，那么1個(gè)白球就等于2個(gè)紅球，將18個(gè)紅球全部換成白球就是18÷2＝9個(gè)，然后用9加36即可解答。
【詳解】（34－18）÷（36－28）
＝16÷8
＝2（個(gè)）
1個(gè)白球可以換2個(gè)紅球；
18÷2＋36
＝9＋36
＝45（個(gè)）
這只玻璃瓶最多能容納45個(gè)白球。
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等量代換的理解與應(yīng)用，找出差額，等量代換即可。
9．（2022·河北·唐縣教五年級(jí)期末）觀察下圖：如果每個(gè)梨一樣重，要使天平保持平衡，右邊托盤應(yīng)該添加一個(gè)（???????）。

A．桃 B．蘋果 C．梨 D．無(wú)法確定
【答案】C
【分析】1個(gè)桃的質(zhì)量＝1個(gè)蘋果的質(zhì)量，根據(jù)等式的性質(zhì)，天平左邊增加了1個(gè)梨，右邊也得增加1個(gè)梨，據(jù)此解答。
【詳解】由分析得，如果每個(gè)梨一樣重，要使天平保持平衡，右邊托盤應(yīng)該添加一個(gè)梨。故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查的是等式的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握等式兩邊同時(shí)加或減去同一個(gè)數(shù)（0除外），等式仍然成立是解題關(guān)鍵。
10．（2023春·廣西·六年級(jí)小升初模擬）求未知數(shù)的值。
????????????????
【答案】＝10；
【分析】（1）方程兩邊先同時(shí)乘6，把方程化簡(jiǎn)成，然后方程兩邊先同時(shí)減去，再同時(shí)加上6，最后同時(shí)除以2，求出方程的解；
（2）先將比例方程改寫成，把方程化簡(jiǎn)成，然后方程兩邊先同時(shí)除以，再同時(shí)減去，最后同時(shí)加上，求出方程的解。
【詳解】（1）
解：








（2）
解：








11．（2022·遼寧·六年級(jí)專題練習(xí)）解方程。
x－（＋）－＝0???????????x÷5＋x÷0.4＝2.7??????? ??2x－4×（x＋3）＝2x－27??
?????????????? ??????????????? ? ?
3x－4（x＋）＝2x－???????????x－3×（4－x）＝12??????????? ??x－
【答案】x＝；x＝1；x＝ ；x＝；x＝；x＝5；x＝；x＝；x＝25
【分析】x－（＋）－＝0，先計(jì)算出（＋）的和，再加上，就是x的值，即可解答；
x÷5＋x÷0.4＝2.7，先化簡(jiǎn)，原式化為：x＋ x＝2.7，先計(jì)算出與的和，再用2.7除以與的和，即可解答；
2x－4×（x＋3）＝2x－27，先化簡(jiǎn)方程，原式化為：4x＋12＝27，4x＝15，用15除以4，即可解答；
，先計(jì)算出＋－的差，再除以，即可解答；
，先化簡(jiǎn)，方程兩邊同時(shí)乘6，原式化為：6x－2x－4＝6－3x＋3，化簡(jiǎn)，原式化為：7x＝13，再用13除以7，即可解答；
，先化簡(jiǎn)，方程兩邊同時(shí)×6，原式化為：6x－3x－3＝18＋4－2x，化簡(jiǎn)，原式化為：5x＝25，再用25÷5，即可解答；
3x－4（x＋）＝2x－，先化簡(jiǎn)，原式化為：3x－4x－＝2x－，再化簡(jiǎn)，原式化為：3x＝－，再用－的差除以3，即可解答；
x－3×（4－x）＝12，先化簡(jiǎn)方程，原式化為：x－12＋3x＝12，再化簡(jiǎn)為：x＝24，再用24除以，即可解答；
x－ ，先化簡(jiǎn)，原式化為：5x－x＋2.5＝102.5，再化簡(jiǎn)，原式化為：4x＝102.5－2.5，再用102.5－2.5的差除以4，即可解答。
【詳解】x－（＋）－＝0
解：x－（＋ ）－ ＝0
x－ －＝0
x＝＋
x＝
x÷5＋x÷0.4＝2.7
解：x＋ x＝2.7
x＝2.7
x＝2.7÷
x＝2.7×
x＝1
2x－4×（x＋3）＝2x－27
解：2x－4x－4×3＝2x－27
2x＋4x－2x＝27－12
4x＝15
x＝

解：x＝＋－
x＝＋－
x＝
x＝÷
x＝×
x＝

解：6x－2×（x＋2）＝6－3×（x－1）
6x－2x－4＝6－3x＋3
6x－2x＋3x＝9＋4
4x＋3x＝13
7x＝13
x＝13÷7
x＝

解：6x－3×（x＋1）＝18＋2×（2－x）
6x－3x－3＝18＋4－2x
3x＋2x＝18＋4＋3
5x＝25
x＝25÷5
x＝5
3x－4（x＋）＝2x－
解：3x－4x－＝2x－
2x＋4x－3x＝－
3x＝1
x＝1÷3
x＝
x－3×（4－x）＝12
解：x－12＋3x＝12
x＝12＋12
x＝24
x＝24÷
x＝24×
x＝
x－
解：5x－（x－2.5）＝20.5×5
5x－x＋2.5＝105.5
4x＝102.5－2.5
4x＝100
x＝100÷4
x＝25
12．（2023·湖南株洲·六年級(jí)統(tǒng)考期末）今年“雙11”，菜鳥驛站連續(xù)第二年開啟“快遞包裝換雞蛋”的行動(dòng)。

這些紙箱一共能換30個(gè)雞蛋，每個(gè)大紙箱比每個(gè)小紙箱多換3個(gè)雞蛋。

每個(gè)大紙箱能換多少個(gè)雞蛋？每個(gè)小紙箱呢？

【答案】每個(gè)大紙箱換6個(gè)雞蛋；每個(gè)小紙箱換3個(gè)雞蛋
【分析】根據(jù)題意可知，2個(gè)大紙箱換雞蛋的個(gè)數(shù)＋6個(gè)小紙箱換雞蛋的個(gè)數(shù)＝30個(gè)雞蛋，設(shè)每個(gè)小紙箱換x個(gè)雞蛋，則每個(gè)大紙箱換（x＋3）個(gè)雞蛋，據(jù)此列方程解答。
【詳解】解：設(shè)每個(gè)小紙箱換x個(gè)雞蛋，則每個(gè)大紙箱換（x＋3）個(gè)雞蛋。
6x＋（x＋3）×2＝30
6x＋2x＋6＝30
8x＋6＝30
8x＝30－6
8x＝24
x＝24÷8
x＝3
3＋3＝6（個(gè)）
答：每個(gè)大紙箱換6個(gè)雞蛋，每個(gè)小紙箱換3個(gè)雞蛋。
【點(diǎn)睛】本題可用列方程解決問(wèn)題，找到對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。
13．（2023春·廣東深圳·六年級(jí)校考期中）佳佳有兩個(gè)圓柱形水杯，一個(gè)藍(lán)色的和一個(gè)綠色的。這兩個(gè)水杯的高都是20厘米，藍(lán)色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2，藍(lán)色水杯水深7厘米，綠色水杯水深4厘米，現(xiàn)在往這兩個(gè)水杯里同時(shí)倒入同樣多的水，直到水面高度相等，這時(shí)藍(lán)色水杯的水面上升了多少厘米？
【答案】2.4厘米
【分析】已知藍(lán)色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2，則假設(shè)藍(lán)色水杯的底面半徑是3厘米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，已知現(xiàn)在往這兩個(gè)水杯里同時(shí)倒入同樣多的水，直到水面高度相等，則現(xiàn)在藍(lán)色水杯里水的體積－原來(lái)藍(lán)色水杯里水的體積＝現(xiàn)在綠色水杯里水的體積－原來(lái)綠色水杯里水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米，據(jù)此列方程為：3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4，然后解出方程，最后用現(xiàn)在水的高度減去原來(lái)藍(lán)色水杯里水的高度，即可求出藍(lán)色水杯的水面上升了多少厘米。
【詳解】假設(shè)藍(lán)色水杯的底面半徑是3厘米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，
解：設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米。
3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4
3.14×9×x－3.14×9×7＝3.14×4×x－3.14×4×4
28.26x－197.82＝12.56x－50.24
28.26x－12.56x＝197.82－50.24
15.7x＝147.58
x＝147.58÷15.7
x＝9.4
9.4－7＝2.4（厘米）
答：這時(shí)藍(lán)色水杯的水面上升了2.4厘米。
【點(diǎn)睛】本題可用列方程來(lái)解決問(wèn)題，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。














C級(jí)（培優(yōu)拓展）
1．（2022·云南·河口六年級(jí)期末）已知a＋b＋c＝180，如果b＝a＋c，a＝2c；那么6a＋4b＝( )；2c＋2b＝( )。
【答案】???? 720???? 240
【分析】因?yàn)閍＝2c，b＝a＋c，所以b＝3c。而a＋b＋c＝180，所以2c＋3c＋c＝180。這樣就能算出c是多少，進(jìn)而a和b表示多少都能算出來(lái)，帶入計(jì)算即可。
【詳解】180÷（1＋2＋3）＝180÷6＝30 30×2＝60 30×3＝90
將a＝60，b＝90帶入6a＋4b得：6×60＋4×90＝360＋360＝720
將b＝90，c＝30帶入2c＋2b得：2×30＋2×90＝60＋180＝240
【點(diǎn)睛】本題考查轉(zhuǎn)化思想，都轉(zhuǎn)化成最小的c，就能快速算出其他字母表示的數(shù)，從而解決問(wèn)題。
2．（2022·浙江寧波·六年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)下面四幅圖的規(guī)律，第7幅圖中有( )個(gè)●，( )個(gè)△。

【答案】 36 13
【分析】第1幅圖，●0個(gè)；△有1個(gè)；第2幅圖，●有1個(gè)，1＝12；△有3個(gè)；3＝22－12；
第3幅圖，●有4個(gè)，4＝22；△有5個(gè)；5＝32－22；第4幅圖，●有9個(gè)，9＝32；△有7個(gè)；7＝42－32；……
第n幅圖，●有（n－1）2個(gè)，△有[n2－（n－1）2]個(gè)；據(jù)此規(guī)律解答。
【詳解】規(guī)律：第n幅圖，●有（n－1）2個(gè)，△有[n2－（n－1）2]個(gè)；
當(dāng)n＝7時(shí) ●有：（7－1）2＝36（個(gè)） △有：72－62＝49－36＝13（個(gè)）
【點(diǎn)睛】通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，從已知的圖形或數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。
3．（2022·浙江杭州·六年級(jí)期末）已知☆＋□＋□＝35，□÷☆＝3，那么☆＝（???????）。在下面方框里寫出思考過(guò)程。

【答案】5；過(guò)程見(jiàn)詳解
【分析】□÷☆＝3，等式兩邊同時(shí)乘☆，則□＝3☆，再代入☆＋□＋□＝35求出☆的值，據(jù)此解答。
【詳解】□÷☆＝3，則□÷☆×☆＝3☆，□＝3☆。
☆＋□＋□＝35
☆＋3☆＋3☆＝35
7☆＝35
7☆÷7＝35÷7
☆＝5
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用等量代換和等式的性質(zhì)求未知數(shù)的值，找出□和☆的數(shù)量關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。
4．（2023春·江蘇·六年級(jí)專題練習(xí)）數(shù)學(xué)中規(guī)定：連接多邊形任意兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。

正多邊形



……
邊數(shù)
4
5
6
…
一個(gè)頂點(diǎn)可畫對(duì)角線數(shù)量
1
2
3
…
對(duì)角線總數(shù)量
2
5
9
…
聰聰是個(gè)喜歡思考的學(xué)生，他發(fā)現(xiàn)正多邊形的對(duì)角線數(shù)量和正多邊形的邊數(shù)存在某種規(guī)律（如圖），照這樣的規(guī)律，正七邊形共有( )條對(duì)角線，正n邊形共有( )條對(duì)角線。
【答案】 4
【分析】觀察題意可知，根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n－3）條對(duì)角線，從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)每個(gè)引出（n－3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為n（n－3）÷2（n≥3，且n為整數(shù)）。
【詳解】根據(jù)分析可知，n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n－3）條對(duì)角線，7－3＝4（條）
所以從正七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)則有4條對(duì)角線，
n（n－3）÷2＝（條）
正n邊形共有條對(duì)角線。
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式。
5．（2022·山東·六年級(jí)期中）方程：的解為____。
【答案】2022
【分析】把x提取出來(lái)，并提取公因數(shù)，分母應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求和，轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求解。
【詳解】
解：





【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)，如何構(gòu)造出分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的基本形式是解題的關(guān)鍵。
6．（2022·遼寧·六年級(jí)專題練習(xí)）解方程。
3x－4（x＋）＝2x－?????????? ???
4.8÷3x＋29＝33????????????? ????????? ???
【答案】x＝；x＝2.8；x＝4.4；x＝0.4；x＝；x＝
【分析】去括號(hào)，移項(xiàng)，再根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時(shí)除以3即可；
移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，再根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時(shí)除以2即可；
根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時(shí)乘1.2，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，再根據(jù)根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時(shí)除以4即可；
根據(jù)等式的性質(zhì)1，方程的兩邊同時(shí)減去29；再根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程的兩邊同時(shí)乘3x，再同時(shí)除以12即可；
根據(jù)等式的性質(zhì)2，方程的兩邊同時(shí)乘即可；
方程的兩邊同時(shí)乘42x，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，再根據(jù)根據(jù)等式的性質(zhì)2方程的兩邊同時(shí)除以4.6×42即可；
【詳解】3x－4（x＋）＝2x－
解：3x－4x－＝2x－
3x＝－
x＝1÷3
x＝

解：（4－0.875－2）x＝5.6
x＝5.6÷2
x＝2.8

解：6（x－2）－2（x＋1）＝3×1.2
4x＝3.6＋14
x＝17.6÷4
x＝4.4
4.8÷3x＋29＝33
解：4.8÷3x＝33－29
4×3x＝4.8
x＝4.8÷12
x＝0.4
??
解：x＝3÷×
x＝

解：35－12＝4.6×42x
x＝23÷（4.6×42）
x＝
7．（2022·遼寧·六年級(jí)專題練習(xí)）解方程。
??????????????????????????????
－（－2.5）＝18??????????????????
【答案】x＝7.25；x＝10；x＝2
x＝21.875；x＝；x＝2.25
【分析】解方程主要運(yùn)用等式的性質(zhì)，等式兩邊同時(shí)加上或者減去同一個(gè)數(shù)，等式不變。等式兩邊同時(shí)乘或者除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式不變。把含有x的放在等號(hào)的一側(cè)，不含x的放在等號(hào)的另一側(cè)，然后把x前的系數(shù)除過(guò)去，就能得出x是多少。
【詳解】
解：8.5－4x＋24＝
32.5－＝4x
4x＝29
x＝29÷4
x＝7.25

解：1.2x－0.4x＝0.1x＋7
0.8x－0.1x＝7
0.7x＝7
x＝7÷0.7
x＝10

解：10－2×（2x－4）＝5x
10－4x＋8＝5x
18＝4x＋5x
9x＝18
x＝18÷9
x＝2
－（－2.5）＝18
解：x－x＋×2.5＝18
0.8x＋0.5＝18
0.8x＝18－0.5
x＝17.5÷0.8
x＝21.875

解：＝
6×（x－2）＝2×（13－5x）
6x－12＝26－10x
6x＋10x＝26＋12
16x＝38
x＝

解：x－0.25＝÷
x－0.25＝2
x＝2＋0.25
x＝2.25
8．（2022·江蘇·六年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小球的體積是多少立方厘米？大球的體積是多少立方厘米？

【答案】5立方厘米；15立方厘米
【分析】根據(jù)題意可知：球浸沒(méi)于水中，排出水的的體積即為球的體積；第二個(gè)瓶子中2個(gè)大球＋1個(gè)小球＝35ml，第三個(gè)瓶子中1個(gè)大球＋5個(gè)小球＝40ml，則有2×（1個(gè)大球＋5個(gè)小球）＝（40×2）ml，化簡(jiǎn)得：2個(gè)大球＋10個(gè)小球＝80ml，2個(gè)大球＋10個(gè)小球－（2個(gè)大球＋1個(gè)小球），計(jì)算可得1個(gè)小球的體積，進(jìn)而可求得大球的體積。
【詳解】根據(jù)分析可知：2個(gè)大球＋1個(gè)小球＝35ml 1個(gè)大球＋5個(gè)小球＝40ml
因?yàn)?×（1個(gè)大球＋5個(gè)小球）＝（40×2）ml，即2個(gè)大球＋10個(gè)小球＝80ml
所以2個(gè)大球＋10個(gè)小球－（2個(gè)大球＋1個(gè)小球）＝（80－35）ml
化簡(jiǎn)得：9個(gè)小球＝45ml，小球＝5ml＝5立方厘米
大球體積：（35－5）÷2＝30÷2＝15ml＝15（立方厘米）
答：小球的體積是5立方厘米，大球的體積是15立方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查用等量代換解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是要得到2個(gè)大球＋10個(gè)小球＝80ml這一等量關(guān)系，利用差值求得大球和小球的體積。
9．（2022·河北·五年級(jí)專題練習(xí)）甲、乙兩人加工零件，若甲做4小時(shí)，乙做6小時(shí)，則一共加工零件196個(gè)；若甲做7小時(shí)，乙做3小時(shí)，則一共加工零件208個(gè)。甲每小時(shí)加工零件多少個(gè)？
【答案】甲：22個(gè)；乙：18個(gè)
【分析】由于甲做4小時(shí)，乙做6小時(shí)能加工零件196個(gè)；甲做7小時(shí)，乙做3小時(shí)能加工零件208個(gè)，由此即可知道，如果當(dāng)乙做6小時(shí)的時(shí)候，甲做14小時(shí)，則加工零件的個(gè)數(shù)：208×2＝416個(gè)，由此即可知道甲做14小時(shí)比甲做4小時(shí)多做了416－196＝220個(gè)，由此即可知道甲1小時(shí)做的零件個(gè)數(shù)：220÷（14－4）＝22個(gè)，之后把甲1小時(shí)做的22個(gè)代入甲做4小時(shí)，乙做6小時(shí)，一共做196個(gè)這個(gè)條件里面，即可求出乙1小時(shí)做的個(gè)數(shù)。
【詳解】208×2＝416（個(gè)）
（416－196）÷（14－4）＝220÷10＝22（個(gè)）
196－4×22＝196－88＝108（個(gè)）
108÷6＝18（個(gè)）
答：甲一小時(shí)加工零件22個(gè)，乙一小時(shí)加工零件18個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題主要考查等量代還以及等式的性質(zhì)，把題干中甲、乙轉(zhuǎn)換成一個(gè)量是解題的關(guān)鍵。
10．（2022·四川綿陽(yáng)·小升初真題）我們知道對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式例如由圖①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式__________；

（1）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，則a2＋b2＋c2的值為________；
（2）圖③中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片，若干個(gè)長(zhǎng)為a和寬為b的長(zhǎng)方形紙片，利用所給的紙片拼出個(gè)幾何圖形，使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。
【答案】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）45（2）見(jiàn)詳解
【分析】用邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)表示出大正方形面積，再分別將9個(gè)小圖形的面積加起來(lái)，用等號(hào)連接即可。
（1）a＋b＋c＝大正方形邊長(zhǎng)，根據(jù)（1）中所得到的結(jié)論可得2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，將（ab＋bc＋ac）、（a2＋b2＋c2）、（a＋b＋c）看成整體，將a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38的值代入，解方程即可。
（2）由2a2＋5ab＋2b2可知，大圖形由2個(gè)邊長(zhǎng)是a的小正方形，2個(gè)邊長(zhǎng)是b的正方形和5個(gè)長(zhǎng)是b、寬是a的小長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形，再通過(guò)（2a＋b）（a＋2b）可知，大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是（a＋2b），寬是（2a＋b），據(jù)此拼圖即可。
【詳解】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）
（1）2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2
解：2×38＋（a2＋b2＋c2）＝112
76＋（a2＋b2＋c2）－76＝121－76
a2＋b2＋c2＝45
（2）
【點(diǎn)睛】字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定含義的公式，用字母將數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)。

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